Séries de Potências e Convergência

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n
nnn
!
+=
∞
∑
11 
 
 
Definición: Llamamos serie de potencias a toda expresión del tipo 
o
n na x
∞
∑ , en donde na ∈R
Es decir 
 
0
n n 0 1 2
2
3
3
n
na x = a + a x + a x + a x +....+ a x +...
∞
∑
Por ejemplo 
 
0
nx = 1+ x + 2x + 3x +...+ nx +...
∞
∑
en donde todos los valen 1, o na
 
0
n
2 3
n1
n!
x = 1+ x +
x
2!
+
x
3!
+...+
1
n!
x +...
∞
∑ 
y todos sus na =
1
n!
. 
Es interesante saber cuáles son los valores de x ∈ R para los que las respectivas series funcionales se 
convierten en series numéricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series anteriores 
hacemos x=0, es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1, se 
convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente. 
0
nx
∞
∑
 
Pero para x = 1/2 es 
 
 1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+...+
1
2
+...n 
 
que es una serie geométrica de razón q =
1
2
< 1 y su suma S =
1
1- q
= 2 con lo que la serie es convergente. 
Más aún, es una serie geometrica de razón 
0
nx
∞
∑ x y será convergente si |x|< 1, es decir si x I∈ , 
siendo . { }I = x / -1 < x < 1∈R
 
Si se cumple esta condición: 
 1+ x + x + x +...+ x +...=
1
1 - x
2 3 n 
 
 
 
 1
Entonces bajo ciertas condiciones, una serie de potencias describe exactamentea a una función. En este caso a 
f(x) =
1
1 - x
, pero sólo en el intervalo (-1;1). 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 f(x) =
1
1 - x
 sólo definida en la parte marcada gruesa por 
la serie 
 
 
 
 
 
 
Si en el segundo ejemplo tomamos x =1, se convierte en 
 1+ 1+
1
2!
+
1
3!
+...+
1
n!
+...= e 
Intervalo de convergencia: Se llama intervalo de 
convergencia I al conjunto de valores reales de x que 
convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente. 
 
Radio de convergencia: Lamamos así a la menor de las cotas superiores del conjunto I. 
En el caso de se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es R 
= 1. 
0
nx
∞
∑
Se observa que el intervalo I está centrado en el origen. Siempre es asi para el I de . 
0
n na x
∞
∑
Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:
Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir 
0
n na x
∞
∑
 
0
n
n
0 1 2
2
n
n|a x |=|a |+|a x|+|a x |+...+|a x |+...=
∞
∑
 =| que es una serie de términos positivos que si 
converge arrastrará la convergencia de 
a |+|a ||x|+|a ||x |+...+|a ||x |+...0 1 2 2 n n
0
n na x
∞
∑ que no necesariamente es de términos positivos. 
La convergencia de la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si
0
n
n|a x |
∞
∑ lim
n
|a ||x |
a x
<n+1
n+1
n
n→∞
1 
será convergente. 
Desarrollando 
 lím
n
 
a
a
x
x
= lím
n
 
a
a
|x|<n+1
n
x+1
n
n+1
n→ ∞ →∞
1 
y entonces la serie converge para 
 |x|<
1
lím
n
a
a
n+1
n→∞
 ó |x| lím
n
a
a
n
n+1
<
→∞
 
Llamamos R al lím
n
a
a
n
n+1→∞
 y además { }I = x / -R < x < R∈ R . 
Para todos los valores de a
0
nx
∞
∑ n=1, R lím
n
a
a
= 1n
n+1
=
→∞
, en cambio para 
0
n1
n!
x
∞
∑ es 
R = lím
n
a
a
= lím
n
1
n!
1
(n+ 1)!
= lím
n
n+ 1=n
n+1→∞ →∞ →∞
∞ y el I = R 
 
Series de McLaurin y Taylor:
Sea la fórmula de McLaurin 
 f(x) = f(0)+ f (0)x +
f (0)x
2!
+...+
f (0)
n! x
+R (x)
2 (n)
n
n+1′
′′
 
siendo n+1
(n+1)
n+1R (x) =
f (z)
(n+ 1)! x
 con 0 < z < x. 
Es decir f(x) =
f (0)
n!
x +R (x)
0
n (n)
n
n+1∑ . 
Llamaremos serie de MacLaurin asociada a una función f(x) a la expresión 
 
 
0
(n)
n 2
(n)
nf (0)
n!
x = f(0)+ f (0)x +
f (0)
2!
x +....+
f (0)
n!
x +...
∞
∑ ′ ′′ 
Esta serie describe exactamente a la función f(x) cuando coincida con la fórmula de McLaurin y para ello 
deberá cumplirse que: 
 
1)Se trabaje en el intervalo de convergencia de la serie y 
 
2) lím
n
R (x) = 0n+1
→∞
. 
 
 
 
 
 3
Ejemplo: Sea f(x) = ex
 x
2 3 n z n+
e = 1+ x +
x
2!
+
x
3!
+...+
x
n!
+
e x
(n+ 1)!
1
 
Veremos si lím
n
R (x) = 0n+1
→∞
. 
 lím
n
e x
(n+ 1)!
= e lím
n
x
(n+ 1)!
= e .0 = 0
z n+1
z
n+1
z
→∞ →∞
 que lím
n
x
(n+ 1)!
= 0
n+1
→∞
. 
 
 
Ejercicio: 
Desarrollar f(x) = sen x en serie de potencias. 
f(x) = senx ; f(0)=0 
f'(x) = cosx ; f '(0)=1 
f"(x)= -senx; f"(0)=0 
f"'(x)= -cosx ; f"'(0)=-1 
fIV(x)= senx ; fIV(0)=0 
fV(x)= cosx ; fV(0) =1 y generalizando 
 
f
x
x
n( ) sen
cos
+ =
⎧
⎨
⎩
1 pero en todo caso siempre son en valor absoluto menores que 1, y finalmente 
n+1
z
(n+1) n+1
R =
[senx ] x
(n+ 1)!
 con lo que lím
n
R = lím
n
[senx ] x
(n+ 1)!
= 0n+1
z
(n+1) n+1
→∞ →∞
 y finalmente 
 senx = x -
x
3!
+
x
5!
-
x
7!
+
x
9!
+...+(-1 )
x
(2n+ 1)!
3 5 7 9
n+1
2n+1
 
 
Estudiemos el intervalo de convergencia 
R límn
a
a
límn
1
(2n - 1)!
1
(2n + 1)!
límn 4n + 2n
n
n+1
2= →∞ = →∞ = →∞ = ∞ y por lo tanto I = R 
 
 
 
 
 
 4
SUCESIONES 
Diremos que {an} es convergente si lim an = L (finito) 
 
i {a
n→∞ 
S n}y {bn}son convergentes tales que 
lim a lim bn = L n = M ; Entonces: n→∞ n→∞
{an} (±,*,/){bn}= L(±,*,/) M 
 
Si lim |a | lim an = 0 ⇒ n= 0 n→∞ n→∞ 
Dada {an} diremos que C ∈ R es una cota superior de {an} si C ≥ an; B ∈ R es una 
cota inferior si B ≤ an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y 
continua es convergente, ya que tiende a su cota. 
 
SERIES NUMÉRICAS 
 
Diremos que una serie Σan es convergente si lim Σan = L (finito) 
 ∞ 
Series Geométricas (ΣKr
n→∞ 
n-1; K,r ∈ R) 
 n=1 
La serie geométrica converge si |r|<1 y converge a 
 k 
Sn= -------- 
 1-r 
Si Σan y Σbn son convergentes a A y B respectivamente entonces: 
Σan ± Σbn= A ± Β 
Si ΣC*an ; C=cte. ⇒ C*Σan = C*A 
El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros 
términos. 
Si dos series coinciden a partir de un término “n”, las dos tienen el mismo carácter. 
Dada Σan convergente ⇒ lim an = 0 
 
n→∞ 
 ∞ 
 Σ1/np es convergente para p>1. 
 n=1 
CRITERIO DE LA INTEGRAL 
Sea y=ƒ(x) una función continua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que ƒ(n)= an 
entonces: 
 +∞ +∞ 
∫ƒ(x)dx y Σan tienen el mismo carácter. 
1 n=1 
CRITERIO DE COMPARACIÓN 
Σan y Σbn de términos positivos. 
Si Σan ≤ Σbn ⇒ si Σbn converge se tendrá que Σan converge. Y si Σan diverge 
entonces Σbn diverge. 
 
COMPARACIÓN AL LÍMITE (para se s de términos positivos) rie
Si ⇒ lim an/bn = L (finito, positivo) an≈ L*bn
 
n→∞ 
Entonces si an converge bn converge y viceversa. 
Si lim a n/bn = 0 si bn converge an converge. 
 
n→∞ 
Si lim a n/bn = +∞ si bn diverge an diverge. 
 
n→∞ 
 ∞ ∞ 
SERIES ALTERNAS (Σ(−1)n+1 a Σ(−1)n ó n an )n=1 n=1 
Criterio Para Series Alternas. 
Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente. 
 
n→∞ 
CONVERGENCIA ABSOLUTA 
Dada Σan de términos de cualquier signo. 
Σ|an| converge ⇒ Σan es convergente y diremos que Σan converge absolutamente. 
Si Σ|an| diverge y Σan converge, diremos que an converge condicionalmente. 
CRITERIO DE LA RAZÓN 
Si lim |an+1|/|an|= L; L<1 la serie converge absolutamente. 
 
n→∞ 
Si L=1 no se puede concluir. Si L>1 la serie diverge. 
CRITERIO DE LA RAÍZ 
Si lim (|a n|)1/n=L; L<1 la serie converge absolutamente. 
 
n→∞ 
Si L=1 no se puede concluir; si L>1 la serie diverge. 
ESTIMACIÓN DEL RESTO 
Criterio de la Integral. 
Resto(Rn)=S-Sn=an+1 + an+2+ an+3+... 
+∞ +∞ 
∫ƒ(x)dx ≤ Rn≤ ∫ƒ(x)dx 
n+1 n 
Para Series Alternas 
|Rn|≤|an+1|<error 
 
 + ∞ 
SERIES DE POTENCIA (ΣCn(x-a)n; serie de potencia centrada en a) 
 n=0 
 ∞ 
 Σxn =1/(1-x) ⇒ |x|<1 
 n=0 
 ∞ 
 Σxn/n!= ex
 n=0 
Si una serie de potencia es convergente para x=x1 ⇒ converge absolutamente para 
cualquier valor de x tal que |x|<|x1|. 
Si una serie de potencia es divergente para x=x2 ⇒ también es divergente para 
cualquier valor de x tal que |x|>|x2|. 
 
 
 
SERIE DE TAYLOR 
Cn=ƒn(a)/n! De lo que se obtiene: 
 ∞ 
ƒ(x)= Σƒn(a)(x-a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin. 
 n=0 
 
 
“SERIES, PROGRESIONES 
O SUCESIONES” 
 
_ Progresión: considera las siguientes sucesiones de números 
 
 3,6,9,12,15,.................(1) aritmética 
 
Aquí cada número es igual al que le precede en tres, en cambio en la siguiente 
sucesión, cada número es igual al que le precede multiplicado por 3 
 
 3,9,27,81,243,...................(2) geométrica 
 
Las sucesiones de números así obtenidos se llaman progresiones. Las 
progresiones pueden ser aritméticas y geométricas. De tal suerte que la 
número (1) es aritmética y la número (2) es geométrica. 
 
Cuando me ponen ÷ es aritmética 
Cuando me ponen :: es geométrica 
 
Una progresión aritmética es una sucesión de términos donde cada uno de los 
cuales es igual al que le precede, más un número llamado razón o diferencia 
común. 
 
Ejemplo: 
 
 2,7,12,17,22...... 
 
Razón o diferencia: 
7-2=5 
12-7=5 
17-12=5 
22-17=5 
 
La razón o diferencia nos sirve para ver si es aritmética, o sea si en la serie 
estoy sumando, para saber como sigue la serie lo que hago es aumentar un 
número. En este caso es el 5. 
 
7
3
Es una razón porque el 3 está en proporción con el 7 y el 7 está en proporción 
con el 3. 
 
 
_ Razón o diferencia: una progresión aritmética puede ser creciente o 
decreciente. Si la progresión es creciente la razón es positiva y negativa si es 
decreciente. 
 
NOTACIÓN PARA LA PROGRESIÓN: 
 
 
 n 
 
 
 2 7 12 17 22 
 a r=d r=d l 
 
 
 
 
 diferencia entre cada uno 
 
a=3 
n=5 
r=3 
l=? 
Para saber cual es mi último número haría lo siguiente: 
 
 
‘a’ es mi primer termino 
r)1n(a(l −+=
(n-1) porque tengo el primer término 
 
Suma de los términos de una progresión aritmética 
a=3 
r=3 
n=5 
 
 3 6 9 12 15 
 a a+r a+2r a+3r 
 
S=sumatoria 
S= 45=na+10r 
S=(5)(3)+10(3)=45 
 
34S4 =
4 7 10 13 
 
n=4 
r=3 
a=4 
 
4
2
17
4
2
98
)4(
2
)3)(14(44
n
2
r)1n(aaS
=
+
=
−++
=
−++
=
 
Para sacar la fórmula verdadera: 
 
n)
2
la(S +=
 
 
Como un ejemplo usamos la primera: 
 
45)5(9
5
2
126
)5(
2
)3)(15(33
n
2
r)1n(aaS
==
+
=
−++
=
−++
=
 
	Series.pdf
	Series1.pdf
	Dada {an} diremos que C R es una cota superior de {an} si C an; B R es una cota inferior si B  an . Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y continua es convergente, ya que tiende a su cota. 
	 
	SERIES NUMÉRICAS 
	Series Geométricas (Krn-1; K,r R) 
	La serie geométrica converge si |r |<1 y converge a 
	Sn= -------- 
	Si an y bn son convergentes a A y B respectivamente entonces: 
	 np es convergente para p>1. 
	CRITERIO DE COMPARACIÓN 
	SERIES ALTERNAS (n+1 an ó n an ) 
	 n=1 n=1 
	CONVERGENCIA ABSOLUTA 
	ESTIMACIÓN DEL RESTO 
	SERIES DE POTENCIA (Cnx-a)n; serie de potencia centrada en a) 
	 xn =1/(1-x) |x|<1 
	 xn/n!= ex 
	(x)= n(a)(x-a)n/n!; si a=0 entonces se habla de serie de Mc. Laurin. 
	series2.pdf