Intervalos e Desigualdades

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Intervalos 
 
Sea el intervalo determinado por los números reales a y b (extremos), tales que a < b. 
 
Se llama intervalo abierto al conjunto de números reales x tales que a < x < b. No 
incluye a los extremos a y b. 
(a,b)=]a,b[={x | a < x < b} 
 
Se llama intervalo cerrado al conjunto de números reales x tales que a ≤ x ≤ b . Si 
incluye a los extremos a y b. 
(a,b)=[a,b]={x | a < x < b} 
 
 
 
 
Tipos de intervalos 
 
[a,b]={x | a ≤ x ≤ b} 
(a,b)= {x | a < x < b} 
(a,b]= {x | a < x ≤ b} 
[a,b)= {x | a ≤ x < b} 
(∞,∞)=ℜ 
(-∞,a]={x | -∞ < x ≤ a} 
(-∞,a)={x | -∞ < x < a} 
[a,∞)={x | a ≤ x < ∞} 
(a,∞)={x | a < x < ∞} 
 
(a,b)=]a,b[= {x | a < x < b} 
 
 
a b a b 
 
 
Sea ℑ la familia de intervalos de la recta numérica. En la familia se incluyen el conjunto 
vacío y los puntos [a,a]. Entonces la intersección de dos intervalos siempre es un 
intervalo. Si A ∈ A , B ∈ A , A ∩ B ≠ ∅ ⇒ (A ∪ B) ∈ A 
 
La resta de dos intervalos no comparables es un solo intervalo. 
Si A ∈ A , B ∈ A , A ⊄ B ⊄ A ⇒ (A-B) A 
 
 
Ejercicios de Intervalos 
 
¡) Efectuar las siguientes operaciones con los intervalos: 
 
A= ]-∞,6] 
B=[0,8) 
C=]-10,1] 
 
(Dar el resultado con notación de intervalos y de conjuntos) 
 
a) A’ = {x | 6< x < ∞}, (6, ∞) 
b) A-B = {x | -∞ < x < 0}, (-∞,0) 
c) A∪B= {x | -∞ < x < 8}, (-∞,8) 
d) A∩B= {x | 0 ≤ x ≤ 6}, [0,6] 
e) C-B= {x | -10 < x < 0}, (-10,0) 
f) B∩C= {x | 0 ≤ x ≤ 1}, [0,1] 
g) (A∪B) ∩ (A∪C) 
(A∪B) = {x | -∞ < x < 8}, (-∞,8) 
(A∪C) = {x | -∞ < x ≤ 1}, (-∞,1] 
(A∪B) ∩ (A∪C) = {x | -∞ < x ≤ 1}, (-∞,1] 
h) A∩ (B∪C) 
(B∪C) = {x | -10 < x < 8}, (-10,8) 
A∩ (B∪C) = {x | -10 < x ≤ 6}, (-10,6] 
 
 
“DESIGUALDAD” 
 
 
Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de los números reales que la 
hacen verdadera en contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución consta 
de un solo número el conjunto solución de una desigualdad consta de un 
intervalo completo de números o en algunos casos la unión de algunos casos la 
unión de varios intervalos. 
 
3
23
233
1763
6173
=
=
+=
=−
x
x
x
x
 
6.7
3
23
233
6173
617......3
<
<
<
+<
<
x
x
x
x
x
 
 
 
Intervalos 
 
La doble desigualdad describe un intervalo abierto ( a< x < b ) que consiste en 
todos los números comprendidos entre a y b sin incluir los extremos a y b la 
designaremos mediante el símbolo: 
 
 
 
La desigualdad a x b describe a un intervalo cerrado que si incluye los 
extremos a y b y se denota así: 
 
 
 
Nota: Observar forma de paréntesis 
 
(
[ siextremocerrado
noextremoabierto
....
....
==≤=•=
==<== o
 
 
TIPS 
 
Los paréntesis redondos ( ), no entran extremos 
Con los paréntesis cuadrados [ ], sí entran los extremos 
La flecha indica infinito 
 
Notación de conjuntos Notación de intervalos Gráfica 
 x / a < x < b (a, b) 
 
 x / a x b [a , b] 
 
 x / a x < b [a , b) 
 
 x / a < x b (a , b] 
 
 x / x b (- , b ] 
 
 x / x < b 
 
(- , b ) 
 
 x / x a [a , ) 
 
 
 x / x > a (a , ) 
 
 R (- , ) 
 
 
 
 
 
Ejercicio: 
 
Dibujar cada uno de los siguientes intervalos en la recta numérica. 
 
 Notación de conjuntos 
a) (-4 , 1) 
 
 
 
b) [0 , 6) 
 
 
 
c) [7 , ) 
 
 
d) [-7 , 2] 
 
e) [-3 , 5) 
 
 
 
f) (- , -2] 
 
 
 
 
Escribe en notación de conjuntos e intervalos 
 
 
 Notación conjunto Notación intervalos 
 
 
(2, 7) 
 
 
 
[-3 , 4) 
 
 
(- , -2) 
 
 
(-4 , ) 
 
 
[-1 , 3 ] 
 
Encontrar valor absoluto de Escribir > ó < = entre los dos valores para 
que sea positivo
|-4|=4 
 
|5/3|=5/3 
 
|-8|=8 
 
|0|=0 
a) |-3| = |3| 
 
b) |-3| < |-4| 
 
c) |6| < |8| 
 
d) -|4| < |-3| 
 
e) -|-6| < |-5| 
 
f) |6| = |-6| 
 
g) |9| > |3| 
 
h) |-16| > |-5| 
 
i) |-9| < |3| 
 
j) –4 = -|4| 
 
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