Integral definida

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INTRO. LA INTEGRAL DEFINIDA 
 
En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, 
descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han 
encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no quedan 
claros ni su significado ni su utilidad. Éstos son los objetivos de este tema, para lo 
cual se dará la interpretación que Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el 
siglo XIX. 
 
 
 
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc., además de 
sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número que coincide con el 
de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la figura. Se puede cuestionar 
entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula. 
 
 
Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy sencilla, por 
ejemplo f(x) = x, dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y tratar de calcular el área de 
la superficie limitada por la función, el eje de abscisas y la ordenada correspondiente a la 
abscisa x = 1. 
 
 
Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la 
unidad, por tanto su área es 1/2. 
 
 
Es claro que este problema carece de toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su 
simplicidad para intentar obtener algo útil en otros casos menos sencillos. 
 
 
 Si se divide el intervalo [0,1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual longitud: [0, 1/4], 
[1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4], y se trazan rectángulos como se observa en la figura, la 
suma de las áreas de los rectángulos rayados es menor que el área del triángulo; mientras 
que la suma de las áreas de los rectángulos punteados, exceden al área del triángulo. 
 
 
Calculando estas áreas se obtiene: 
 
 
 
Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso, 0,625, se 
encuentra considerablemente lejos de 0,5. 
 
 
 Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0, 1], parece lógico que las 
diferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir. Si se divide ahora 
el intervalo [0, 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie que se «desperdicia» es 
menor, si n > 4. 
 
 
 
Área por defecto: 
 
 
 
Área por exceso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es: 
 
 
 
 
 Además, 
 
 
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0, 1] en un número infinitamente 
grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas 
con el área del recinto que se está calculando. 
 
 
Partición de un intervalo [a, b]
Una partición del intervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], 
disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b]. La partición de un 
intervalo queda determinada por los extremos de los nuevos intervalos, y por esto, la 
partición se suele expresar nombrando dichos extremos. En la figura, la partición de 
[a, b] es: 
 
 
 
 Estos extremos se suelen escribir en orden creciente, 
 
 a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 < x5 = b 
 
 
 • Ejemplo de partición 
 
 
 
 
 
Función escalonada
Sea f una función definida en un intervalo [a, b] y tomando valores en 
R, f:[a,b] ⎯→ R;f es una función escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] 
de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la 
partición. 
 
• Ejemplos de funciones escalonadas 
 
 1. La función f: [-3, 4] ⎯→ R definida por: 
 
 
 La partición asociada a f(x) es P = {-3, 2, 4} y en cada intervalo la función es constante. 
 
 Obsérvese que para cada función escalonada existe una infinidad de particiones 
asociadas. Por ejemplo, {-3, -2,0, 2, 3, 4} es otra partición asociada a f, ya que la función 
toma valores constantes en cada intervalo de la partición. 
 
 
2. El ejemplo más representativo de función escalonada es la función parte 
 
 
La imagen de un número cualquiera mediante E[x] es el mayor número entero que es 
menor o igual que el número del que se parte. 
 
Así, 
 E [3,105] = 3 
 E [5] = 5 
 E [-3,001] = -4 
 E [-1,5401] = -2 
 E [7,32] = 7 
 E [-1,52] = -2 
 
 De una función escalonada sólo van a interesar los valores que toma en el interior de 
cada intervalo que compone la partición, no considerando el valor que toma en los 
extremos. 
 
INTEG. DEF. DE FUNC. ESCALONADA 
 
Sea f una función escalonada definida en [a, b], y P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b} una 
partición de [a, b]. Si mi es el valor que toma la función f en el intervalo (xi-1, xi) (es decir, 
si x ∈ (xi-1, xi), f(x) = mi ), se llama integral de la función f en [a, b] al número 
 
 m1(x1 - x0) + m2(x2 - x1) + m3(x3 - x2) + ... + mn(xn - xn-1) 
 
 
Este número se simboliza por: 
 
 
 
A los números a y b se les llama límites de integración, y la anterior expresión se lee 
«integral, entre a y b, de f(x) diferencial de x». 
 
 
Propiedades de la integral definida de una función escalonada
• La integral definida de una función escalonada no depende de la partición elegida. 
Esto significa que si se consideran dos particiones P y P' de una función 
 
 
• Si los límites de integración, en una integral definida de una función escalonada, 
coinciden, entonces 
 
 
 
• Si en una integral definida se intercambian los límites de integración, el valor de la 
integral cambia de signo: 
 
 
 
 
Ejercicio: cálculo de integrales definidas de funciones escalonadas 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
 
 
 
Resolución: 
 
• Se toma la partición asociada P = {-3, -1, 2, 4} 
 
 
 
 
 
Resolución: 
 
• Se toma, por ejemplo, la partición P = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} 
 
• Por definición, 
 
 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAL DE RIEMANN 
 
 Ahora se va a definir la integral de una función cualquiera definida en un intervalo 
[a, b] con la única condición de que esté acotada, es decir, que exista un número M > 0, de 
forma que la función, en el intervalo [a, b], siempre tome valores entre -M y M. 
 
Volviendo al ejemplo introductorio del tema, f(x) = x, es necesario recordar que para el 
cálculo del área de un triángulo se tomaron funciones escalonadas g(x) cumpliendo g(x) ≤ 
f(x) para cualquier x ∈ [a, b] y otras funciones escalonadas h(x) tales que f(x) ≤ h(x) si x ∈ 
[a, b]. De todo ello resultaba que: 
 
 
 
 En general, para una función f(x) acotada, se toman todas las funciones escalonadas 
g(x) por defecto, y todas las funciones escalonadas por exceso, es decir, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) 
cuando x ∈ [a, b]. En estas condiciones, si existe un único número I que cumpla 
 
 
 
para cualesquiera g(x) y h(x) escalonadas, que cumplan g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) si 
x ∈ [a, b], al número I se le llama integral de f(x) entre a y b. 
 
 
 
y se lee «integral, desde a hasta b, o entre a y b, de f(x),diferencial de x. 
 
 
Significado de la integral definida de una función
 
• Si una función positiva f(x), definida en un intervalo [a,b], es integrable (existe su 
por la 
gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b. 
 
• Si la función y = f(x) fuese negativa en el intervalo [a, b], la gráfica de la función quedaría 
por debajo del eje de abscisas. 
 
 En este caso, al tomar funciones escalonadas por exceso y por defecto, sus integrales 
correspondientes serían negativas, y puesto que 
 
 
 
el área 
de la región que determina una función negativa es: 
 
 
 
Este hecho no debería llamar la atención si se tiene presente cómo está definida la integral 
de una función escalonada: la suma de las áreas de los rectángulos que determina con el 
eje de abscisas, si la función escalonada es positivay la suma de las áreas de los 
rectángulos que determina con el eje de abscisas con signo menos, si la función 
escalonada es negativa. 
 
 
• Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo del 
eje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera 
calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b]. 
 
En la figura adjunta, se ve claramente que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La definición de integral de Riemann poco ayuda a su cálculo, pues es imposible encontrar 
todas las funciones escalonadas por defecto y por exceso de otra función dada. Hay, no 
obstante, criterios que son mucho más útiles de cara a decidir si una función acotada es 
integrable o no. Uno de ellos se obtiene con el siguiente teorema, cuya demostración se 
omite por escapar de los objetivos de este libro. 
 
 
Teorema
Toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo. 
 
Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es 
 
Con este teorema resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de 
cualquier función polinómica y, en general, de cualquier función continua. 
 
Aún así, todavía no hay nada que permita calcular de una manera rápida la integral de una 
función f(x) definida en un intervalo [a, b]. 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 
 
Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe 
 
 
A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma: 
 
 
 
 
Obsérvese que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con la 
variable x de la función f. 
 
En estas condiciones, si t0 ∈ [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la función 
G es derivable en t0 y el valor de la derivada en t0 es G'(t0) = f(t0). Es decir, la derivada 
de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo 
mismo, si la función f es continua, la función G es una primitiva de la función f. 
 
El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que 
permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar la 
importante consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow. 
 
Regla de Barrow
Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b], y F(x) una función definida en [a,b], 
derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x ∈ (a, b), entonces 
 
 
 
Este resultado es conocido, frecuentemente, por «segunda parte del teorema fundamental 
del cálculo». Es obligado hacer notar que, para resolver una integral definida de una 
función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites 
de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores. 
 
Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales 
definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función. 
 
Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la 
variable x, y que si F(x) es una primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), f(u) es una 
primitiva de f(u), etc., todas las expresiones siguientes tienen el mismo significado: 
 
 
 
 
Ejercicio: cálculo de áreas 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 Calcular el área encerrada por la curva y = x2, el eje de abscisas y las rectas 
x = 1 y x = 2. 
 
 
Resolución: 
 
 
 
 
 
 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
Dos propiedades fundamentales de la integral definida
Las dos propiedades fundamentales del cálculo de primitivas siguen siendo válidas en el 
cálculo de integrales definidas: 
 
1. Si K es un número real cualquiera, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICACIONES DE LA INTEGRAL 
 
Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al cortarse 
 
 Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces 
 
 
 
representa el área de la superficie que encierran las dos curvas. 
 
En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas 
f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una 
zona situada por debajo del eje X: 
 
 
 
 
Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos 
pasos: 
 
• Se trazan las curvas. 
 
• Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas. 
 
• Se determina la zona de la que hay que calcular el área. 
 
• Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se 
procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración 
apropiados.Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es 
B + C. 
Para calcular su área se procede así: 
 
 
 
Para obtener el área de la zona B + C hay que restar las áreas de A y D y sumar el área de 
C. 
 
 
 
(En C se pone el signo - delante porque al estar g(x) entre c y d por debajo del eje X su 
integral sería negativa.) Por tanto: 
 
 
 
 
Ejercicio: cálculo de áreas 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x2 y g(x) = x. 
 
Resolución: 
 
 
1. Trazado de las curvas: 
 
 
 
 
 
2. Puntos de corte de las dos curvas: 
 
 
 
3. La zona de la que hay que calcular el área es la zona coloreada. Si se llama A al área de 
la parábola entre x = 0 y x = 3 B al área del triángulo que determinan la recta 
y = x, el eje de abscisas y la recta x = 3 y S el área que se quiere calcular, es evidente que 
 
 S = A - B 
 
 
 
 
 
El área también se podría haber calculado así: 
 
 
 
 
 Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f(x) = 6x - x2 y 
g(x) = x2 - 2x. 
 
Resolución: 
 
 
1. Trazado de las curvas: 
 
 
 
 
 
• Máximos y mínimos de f(x): 
 
 
• Máximos de mínimos de g(x): 
 
 
2. Puntos de corte de f(x) y g(x): 
 
 
 
 Puntos (0, 0) y (4,8) 
 
3. Se ha de calcular el área de la zona rayada. 
Puesto que en el intervalo (0, 4) f(x) > g(x), el área pedida es: 
 
 
 
 
 
 Calcular el área del círculo de radio r . 
 
Resolución: 
 
 
• Para simplificar se supondrá la ecuación de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r: 
 
 
• Para más comodidad, y sin que ello afecte a la solución del problema, se calculará el 
área del cuarto de círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro veces el 
área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de circumferencia en el primer cuadrante 
es y = pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho se 
deduce que el área del círculo es: 
 
 
 
• Para resolver esta integral se hace el cambio de variable 
x = r sen t dx = r · cos t 
Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
Volúmenes de sólidos 
 • Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imagínese una recta L con un 
punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por último, que el 
sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, 
respectivamente, a y b unidades de longitud del punto O. 
 
• Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a 
la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido 
entre a y x; y A(x) al área de la secciónque produce el plano en el sólido. En estas 
condiciones, es claro que V(a) = 0 y V(b) = V. 
 
• Tomado otro punto de L, x + h, muy próximo a x, V(x + h) - V(x) es el volumen de un 
cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x) · h. 
 
Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x) es continua, puesto que al 
tomar h infinitamente pequeño, x + h está infinitamente próximo a x y, por consiguiente, A(x 
+ h) es prácticamente igual a A(x). Es por esto por lo que en el «cilindro» de bases A(x) y 
A(x + h) se consideró que ambas eran iguales. 
 
Es decir, V(x + h) - V(x) = A(x) · h 
 
Dividiendo entre h, 
 
 
 
 
 
 
En definitiva, V'(x) = A(x) y puesto que V(b) = V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teorema 
fundamental del cálculo, 
 
 
 
Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se pueda 
determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un plano perpendicular que 
pasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido. 
 
Ejercicio: cálculo de volúmenes 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 Calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h. 
 
Resolución: 
 
 
• Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje 
del cilindro, y como punto de referencia O el centro de una de las bases. 
 
 
• Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el área 
de la sección producida es un círculo de radio r . Por tanto, A(x) = πr 2. 
 
 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
Volúmenes de cuerpos de revolución 
 Dada una función continua y = f(x), positiva, definida en un intervalo [a, b], al hacer girar 
la gráfica de la función alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio 
llamado de revolución. 
 
Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que 
aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es: 
 
 
 
Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es: 
 
 
 
Ejercicio: cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 Calcular el volumen de una esfera de radio r. 
 
Resolución: 
 
 
• Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro el origen de cordenadas y radio r, 
alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el 
doble del volumen de la semiesfera. 
 
• La ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Despejando y2: 
 
 y2 = r2 - x2, [f(x)]2 = y2 = r2 - x2 
 
 
• El volumen de la esfera es entonces: 
 
 
 
 
 Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r. 
 
Resolución: 
 
 
• Si en un sistema de ejes cartesianos se dibuja un triángulo de vértices (0, 0), 
(h, 0) y (h, r ), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r ), se 
genera un cono de altura h y radio de la base r . 
 
• La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r ) es 
 
 
 
 
 
 
• El volumen del cono es entonces: 
 
 
 
 
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 
 
 
 
 
 
 
 
5. INTEGRAL DEFINIDA 
 
INTRODUCCIÓN E DEFINICIÓNS 
 1
Trátase de calcular áreas de figuras con lados non rectos. 
 
Resolveremos o seguinte problema: 
 
Dada unha función f(x) continua f(x)>0 en [a,b].
¿Cal é a área da rexión delimitada pola gráfica de y=f(x), as 
rectas x=a e x=b e o eixe ox [chamada R(f,a,b)]? . 
 
A idea será tratar de aproximar a área desa rexión usando áreas de figuras xa coñecidas: rectángulos. 
 
Definición : 
Partición dun intervalo [a, b] é un conxunto de puntos P = {x0, x1, …., xi-1, xi, …..xn} con 
x0 =a < x1 < ...<xi+1<xi<...<xn=b, que definen os intervalos pechados [x0, x1], [x1, x2], …...[xi-1, xi], ... 
…, [xn-1, xn]. 
 
 x0 = a x1 x2………...xi-1 xi…………..xn-1 xn = b 
 
Definición : Dadas dúas particións P1 e P2 dun mesmo intervalo [a,b]. 
Dise que P2 é máis fina que P1 se P1⊂P2 
(Ou sexa, se en P2 están os puntos de P1, e hai máis puntos en P2 que en P1) 
 
Exemplo : 
Unha partición de [0, 1] sería P1 = {0, 2
1 , 1} 
 0 ½ 1 
Outra partición de [0,1]: P2 = {0, 2
1
4
1 , , 1} 
 0 ¼ ½ 1 
A partición P2 é máis fina 
que a partición P1
 
Recorda: (Teorema de Weiestrass) 
f continua nun intervalo pechado [a, b] ⇒ f alcanza máximo ( M ) e mínimo ( m ) en [a, b]. 
Logo tamén é certo 
f continua nun intervalo pechado [a, b] ⇒ f continua en cada intervalo pechado [xi-1, xi] determinado por unha partición P 
calquera dese intervalo ⇒ f alcanza máximo (chamarémoslle Mi ) e mínimo (chamarémoslle mi ) en cada un dos intervalos 
[xi-1, xi] determinados pola partición P. 
 
Definición : Suma superior de f asociada a unha partición P : S(f, P) 
 S(f, P) = (x1-x0)M1 + (x2-x1)M2 + ...+ (xn-xn-1)Mn ou escrita como un sumatorio S(f, P) = ( )xi xi Mii
n
− −=
∑ 11
É a suma das áreas dos rectángulos que teñen 
 
 
Base: os subintervalos [xi-1, xi], determinados pola partición P 
Altura: o máximo Mi da función en cada un deses subintervalos. 
 
É unha aproximación por exceso da área da rexión R(f, a, b) 
(Na gráfica de exemplo os máximos alcánzanse nos extremos da dereita de cada un dos 
tres subintervalos da partición) 
 
A suma superior de f decrece a medida que construímos particións 
máis finas aumentando os puntos da partición. 
 
(Por exemplo se entre os puntos x1 e x2 introducimos un novo punto x4 teríamos dous 
novos rectángulos, de bases [x1, x4] e [x4, x1]en vez do rectángulo de base [x1, x2] pero 
a suma das áreas destes dous novos é menor que a área do anterior, xa que coa nova 
partición non estaría a zona raiada) 
 
Definición : Suma inferior de f asociada a unha partición P : I(f, P) 
 I(f, P) = (x1-x0)m1 + (x2-x1)m2 + ...+ (xn-xn-1)mn ou escrita como un sumatorio I(f, P) = ( )xi xi mii
n
− −=
∑ 11
É a suma das áreas dos rectángulos que teñen: 
Base: Os subintervalos [xi-1, xi], determinados pola partición P. 
Altura: o mínimo mi da función en cada un deses subintervalos. 
 
É unha aproximación por defecto da área da rexión R(f, a, b) 
(Na gráfica do exemplo os mínimos alcánzanse nos extremos da esquerda de cada un dos 
tres subintervalos da partición) 
 
A suma inferior de f crece a medida que construímos particións máis 
finas aumentando os puntos da partición. 
 
(Por exemplo se entre os puntos x1 e x2 introducimos un novo punto x4 teríamos dous 
novos rectángulos, de bases [x1, x4] e [x4, x1]en vez do rectángulo de base [x1, x2] pero a 
suma das áreas destes dous novos é maior que a área do anterior, xa que coa nova 
partición agora estaría tamén a zona raiada) 
 
Faise o seguinte razoamento: 
Considérase unha sucesión de particións P1⊂P2⊂...⊂Pn⊂... de [a,b] (que definen intervalos cada vez máis 
pequenos) 
 S(f, Pi) > S(f, Pi+1) e sempre maior que a áreaComo Pi+1 é máis fina que Pi I(f, Pi) < I(f, Pi+1) e sempre menor que a área
cando i→∞ chegarán a ser 
iguais 
 
Ou sexa que é a área da rexión R(f,a,b) . lim ( , ) lim ( , )n
S f Pn n
I f Pn→∞
=
→∞
 
(Ou sexa, a medida que aumentamos os puntos da partición as sumas inferiores crecen e as superiores decrecen aproximándose 
cada vez máis , unha por defecto , e outra por exceso á área baixo a curva no intervalo [a, b]. No límite serán iguais a ela) 
 
Definición: 
Dada f(x) definida en [a,b] e unha sucesión de particións P1 ⊂ P2 ⊂ ......⊂ Pn ⊂ ... do intervalo [a,b] 
Dicimos que f(x) é integrable en [a,b] se )P,f(Ilim)P,f(Slimnnnn ∞→∞→ = . 
Definición:
Se f(x) é integrable en [a,b] chámase integral definida de f(x) en [a,b] ó NÚMERO REAL 
∫
b
a
dx)x(f = )P,f(Ilim)P,f(Slim nnnn ∞→∞→ =
(a e b chámanse extremos inferior e superior de integración) 
 
Teorema:
Se f(x) é unha función continua nun intervalo [a,b] ENTÓN f(x) é integrable en [a,b]. 
 
INTERPRETACIÓN XEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA. 
 
 2
Se f(x) ≥ 0 en [a,b] 
∫
b
a
dx)x(f ≥ 0 
é a área da 
rexión R(f,a,b) 
Se f(x) ≤ 0 en [a,b] 
∫
b
a
dx)x(f ≤ 0 
é área de 
R(f,a,b) 
cambiada de 
signo 
 
En xeral 
∫
b
a
dx)x(f 
R(f,c,b) 
é a área de R(f,a,c) 
menos a área de 
En xeral, se a función toma valores positivos e negativos, para calcula-la área entre a función e o eixe: 
 
 f(x) 
 A 
 D 
 a b c d 
 C 
 
 
Área = A+C+D = ∫∫ ∫ +−
d
c
b
a
c
b
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
 
 
PROPIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
a) Se c∈[a,b] f x dx f x dx f x dx
a
b
a
c
c
b
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫= + 
 
b) f x dx
a
a
( )∫ = 0 ( Se non hai intervalo a área , se f > 0, sería cero ) 
 
c) f x dx f x dx
a
b
b
a
( ) ( )∫ ∫= − ( Se cambiamos os extremos de integración a integral cambia de signo ) 
 
d) ( )( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx
a
b
a
b
a
b
± = ±∫ ∫ ∫ 
 
e) ( . )( ) ( )k f x dx k f x dx
a
b
a
b
∫ ∫= con k un número real 
 
 
6. TEOREMA DO VALOR MEDIO DO CÁLCULO INTEGRAL 
f continua en [ , ] ( , ) / ( ) ( ).( )a b c a b f x dx f c b a
a
b
⇒ ∃ ∈ = −∫
 (c chámase valor medio)
 
Demostración : 
Por ser f continua en [a, b] ⇒ existe m ( mínimo ) e M ( máximo ) de f en [a, b ] (Teorema de Weiestrass) 
 
Polo tanto m ≤ f(x) ≤ M para todo x de [a, b]. Integrando estas tres funcións (m e M son funcións constantes) 
∫ ∫ ∫≤≤
B
A
b
a
b
a
Mdx)x(fdxm ⇒ ⇒
 
( ). ( ) ( ).b a m f x dx b a M
a
b
− ≤ ≤ −∫ m b a f x dx Ma
b
≤
−
≤∫
1
( )
( ) 
Por ser f continua en [a, b] ⇒ f toma tódolos valores comprendidos entre m e M (Teorema de Darboux) 
Ou sexa, ∃ ∈ =
−
⇒ ∃ ∈ − =∫ ∫c a b f c b a f x dx c a b f c b a f x dxa
b
a
b
( , ) / ( )
( )
( ) ( , ) / ( ).( ) ( )1 
 
Interpretación xeométrica supoñendo f > 0 en [a, b] : 
 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 a c b 
O teorema asegura que a área da rexión limitada 
pola gráfica, as rectas x=a x=b e o eixe ox : 
R(f,a,b) coincide coa área dun rectángulo que ten 
-como base (b-a) 
-como altura un número f(c) comprendido entre o 
 máximo e o mínimo da función. 
 4
 
 
 
7. TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL. 
 
Definición : Función integral. 
Dada f(x) continua en [a,b] definimos no mesmo intervalo [a,b] a función integral: F x f t dt
a
x
( ) ( )= ∫
• Se x = a F a f t dt
a
a
( ) ( )= =∫ 0
• Se x = b integral definida de f en [a, b] F b f t dt
a
b
( ) ( )= ∫
Obsérvese que F(x) verifica 
• Se f > 0 en [a, b] F(x) dá o valor da área baixo a curva no intervalo [a,x] 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO INTEGRAL. 
 
Se f é continua en [a, b] entón a función integral asociada é derivable en [a, b] F x f t dt
a
x
( ) ( )= ∫
e F´(x) = f(x) para todo x de [a, b] ( A función integral é unha primitiva de f en [a, b] 
 
Demostración : 
Pola definición de derivada F x F x h F x
hh
′ =
+ −
→
( ) lim ( ) (
0
)
 = [definición de F(x)] = lim = 
( ) ( )
h
a
x h
a
x
f t dt f t dt
h→
+
∫ ∫−
0
= [propiedade (a) da integral definida] = lim
( )
h
x
x h
f t dt
h→
+
∫
0
 = [T. do Valor Medio do C. I.] = lim . ( )
h
h f c
h→0
 con c ∈ [x,x+h] = 
= = f (x) xa que cando h → 0 temos que c → x, e como f é continua f( c ) → f( x ) lim ( )
h
f c
→0
 
Interpretación Xeométrica se f > 0 en [a, b] 
 
F(x) é a área baixo a curva entre a e x (zona raiada dúas veces) 
 
F(x+h) é a área baixo a curva entre a e x+h 
F(x+h)−F(x), que é o incremento da función integral no intervalo 
[x, x+h], será a área baixo a curva entre x e x+h (zona raiada unha 
vez) 
Do Teorema temos que F x h F x
h
f c
( ) ( )
( )
+ −
= con c en [x, x+h], é 
dicir 
F(x+h)-F(x)=f(c).h e que podemos interpretar como que : 
O incremento da función integral nun intervalo [x, x+h] coincide 
coa área dun rectángulo de base h , que é a lonxitude dese 
intervalo, e altura f( c ) con c un punto de (x, x+h) 
 5
8. REGRA DE BARROW. 
[ ]
f continua en 
G primitiva de f
(notación) G(x)
[ , ]
( ) ( ) ( )
a b
f x dx G b G a
a
b
a
b⎫
⎬
⎭
⇒ = − ≡∫ 
Demostración : 
-Polo Th.Fundamental do Cálculo Integral a función integral F x f t dt
a
x
( ) ( )= ∫ é unha primitiva de f en [a, b]. 
-Por hipótese G(x) tamén é unha primitiva de f en [a,b] 
 
ENTÓN F(x) = G(x)+K con K un número real (teorema visto ó principio do tema) 
Para x = a temos que F(a) = G(a)+K pero como temos que K = −G(a) F a f t dt
a
a
( ) ( )= ∫ = 0
[Entón : F(x) = G(x)−G(a)] 
Para x = b teremos entón que F(b) = G(b)-G(a), 
Ou sexa F(b)= que é o que queríamos probar. f x dx G b G a
a
b
( ) ( ) ( )= −∫
 
EXERCICIOS 
 
1. Comproba que se verifica o Teorema do Valor Medio do Cálculo Integral e calcula os valores medios 
das seguintes funcións nos intervalos que se citan: 
 (a) f(x)=x2 en [0,1] (b) g(x)=a+b·cos(x) en [-π,π] (c) h(x)=sen2(x) en [0,π] 
 
2. Sabendo que ¿Pódese asegurar que a =b?. Razoar a resposta. f x dx
a
b
( ) =∫ 0
 
CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS: 2 TIPOS DE EXERCICIOS: 
1º Tipo: 
(a) a gráfica da función, o eixe ox e as rectas x=a e x=b. [R(f,a,b)]Dáse unha función f(x) e pídese a área entre 
(b) a gráfica da función e o eixe ox. 
Se f(x) é continua, resólvese calculando os puntos de corte da gráfica co eixe ox [buscando x con f(x)=0] 
e facendo tantas integrais como signos distintos teña a función no intervalo [a,b] ou no intervalo onde 
está acotada. Hai que ter en conta que se a función é negativa, a integral debe cambiarse de signo. 
 
3. Calcula a área limitada pola curva y=Ln(x+2), o eixe ox e as rectas x=0 e x=1 
4. Calcula a área limitada pola curva y=sen(x), e o eixe ox no intervalo[0,2π] 
5. Calcula a área limitada pola curva y=-x2+4 , o eixe ox e as rectas x=0 e x=1 
 o eixe ox e as rectas x=-3 e x=3 
 e o eixe ox 
6. Calcula a área encerrada entre a curva y=x4-x2 e o eixe ox 
7. Calcula a área encerrada entre a curva y=x3-6x2+8x e o eixe ox 
 
2º Tipo: Danse dúas funcións continuas f(x) e g(x) e pídese a área encerrada entre elas. 
Resólvese o sistema para calcular os puntos de intersección. Faise a integral de f(x)-g(x) entre os puntos 
nos que se cortan. Se se cortan en máis de 2 puntos, fanse tantas integrais como parellas de puntos tendo en 
conta o signo. 
8. Calcula a área limitada polas curvas y=5-x2 e y=x2
Mesturas dos dous tipos: 
9. Calcula a área limitada polas curvas y=ex y=e-x e a recta x=1 
10. Calcula a área limitada pola curva y2=x e a recta x–y=2 
 6
	Integral definida.pdf
	INTEGRAL DEFINIDA1.pdf
	INTRODUCCIÓN E DEFINICIÓNS 
	 
	Ou sexa que é a área da rexión R(f,a,b) . 
	 
	(Ou sexa, a medida que aumentamos os puntos da partición as sumas inferiores crecen e as superiores decrecen aproximándose cada vez máis , unha por defecto , e outra por exceso á área baixo a curva no intervalo [a, b]. No límite serán iguais a ela) 
	 D 
	PROPIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
	EXERCICIOS