Características das Ondas Mecânicas

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TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 14
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS
1. CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS. ONDAS MECÁNICAS
Atendiendo a diversos criterios, las ondas pueden clasificarse en:
• transversales (el movimiento de las partículas es perpendicular a la dirección de la onda)
• longitudinales (el movimiento de las partículas es paralelo a dicha dirección).
• mecánicas (necesitan de un medio material para poder viajar)
• electromagnéticas (no necesitan de un medio material)
• atendiendo a su geometría (bidimensionales, tridimensionales...)
• progresivas (se desplazan en el espacio)
• estacionarias (no se desplazan por el espacio)
Una característica principal de toda onda es que desprende energía y lleva asociada una
cantidad de movimiento sin la necesidad de transportar materia.
Ondas unidimensionales
Estas ondas son las más simples de todas. Responden a una ecuación del tipo:
Ψ( , ) ( )x t f x v t= − ⋅
La gráfica de la onda en función de la elongación sería:
Como puede observarse, la forma y la velocidad de la onda permanecen constantes.
El sentido de la onda depende del signo del argumento de la ecuación:
( )
( )
x v t
x v t
− ⋅ →
+ ⋅ →
derecha
izquierda
El argumento de la ecuación siempre se conserva, por lo que también son ecuaciones
de ondas unidimensionales expresiones como log( )x v t− ⋅ , sen( )x v t− ⋅ , etc.
)0,( xΨ ),( txΨ
v
x
tv ⋅
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 15
Esto permite establecer una ecuación universal del movimiento ondulatorio, en una
dimensión, como:
∂
∂
∂
∂
2
2 2
2
2
1Ψ Ψ
x v t
= ⋅
En esta ecuación, v es la velocidad de propagación de la onda. Las diferenciales son
derivadas parciales, que se calculan derivando con respecto a una variable manteniendo
las demás constantes.
• Ejemplo:
f x t t x
x
t
( , ) = +3 2
∂
∂
∂
∂
f
x
t
t
f
x
xt
x
t
= + = +
−
3
1
62
2
2 2; 
Ondas armónicas progresivas
Su ecuación general es del tipo:
Ψ( , ) sen ( )x t A x v t= − ⋅


 

2π
λ
A es la amplitud de la onda.
Su representación gráfica, en función de la elongación, para un instante determinado
(por ejemplo, para t = 0), sería:
Aquí, λ es la distancia a la cual se repite el movimiento, es decir, aquella que separa
dos puntos de iguales características. A esta distancia se le llama longitud de onda.
Si en la ecuación, en lugar de fijar el tiempo como cero, se fija la elongación, se
obtiene lo siguiente:
Ψ( , ) sen sen sen( )0
2 2
t A
v
t A
v
t A t=
−

 

 = −


 

 = −
π
λ
π
λ
ω
λ
πx
Ax
2
sen)0,( =Ψ
4λ 2λ 43 λ
λA
A−
λ
x
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 16
De esta igualdad pueden obtenerse los valores de la frecuencia angular, período, etc.
De ello se deduce que cada punto de la onda se mueve con un movimiento armónico
simple.
ω
π
λ
=
2 v
T
v
= =
2π
ω
λ
v
T
=
λ
(por analogía, v e t= , luego v T= λ )
Suele definirse también la constante k =
2π
λ
, simplificando la escritura de la
expresión.
( )Ψ( , ) sen ( ) sen senx t A x v t A k x
v
t A k x t= − ⋅


 

 = ⋅ −


 

 = ⋅ − ⋅
2 2π
λ
π
λ
ω
υ=
1
T
ω πυ= 2 v
k
=
ω
La velocidad v es ajena a la onda, es decir, depende del medio.
Si se fija el tiempo t, la diferencia de fase entre dos ondas sucesivas x1 y x2 puede
calcularse como:
( ) ( ) ( )
( )
kx t kx t kx t kx t k x x
x x
1 2 1 2 1 2
1 22− − − = − − + = − =
−
ω ω ω ω
π
λ
Si x x n1 2− = λ, las ondas están en fase (su diferencia de
fase es nula o igual a n ⋅2π).
Si x x n1 2 2 1 2
− = −( )
λ
, donde n = 0 1 2 3, , , ..., las ondas están
en oposición de fase (su diferencia de fase es
( )2 1n − π).
1x 2x
1x
2x
× ×
×
×
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2. SUPERPOSICIÓN E INTERFERENCIA DE ONDAS ARMÓNICAS
En un medio lineal, dos ondas en contacto producirían una tercera onda resultante de la
suma de ambas: Ψ Ψ ΨR = +1 2 .
Sin embargo, a la hora de llevar las ondas a la práctica habrá que tomar en cuenta más
factores. Se va a partir de dos ondas cuya única diferencia es la fase (por lo tanto, su
amplitud, velocidad, longitud de onda... son iguales).
Ψ
Ψ
1 1
2 2
= − +
= − +
A kx t
A kx t
sen( )
sen( )
ω ψ
ω ψ
Aplicando la propiedad trigonométrica de la suma de los senos de dos ángulos distintos:
sen sen cos senα β
α β α β
+ =
−

 

 +

 

2
2 2
[ ]Ψ Ψ ΨR A kx t kx t
A
kx t kx t kx t kx t
A kx t
= + = − + + − + =
=
− + − − +
⋅
− + + − +
=
=
+
− +
+



1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2
2 2
2
2 2
sen( ) sen( )
cos
( ) ( )
sen
( ) ( )
cos sen ( )
ω ψ ω ψ
ω ψ ω ψ ω ψ ω ψ
ψ ψ
ω
ψ ψ
En la última ecuación que queda, se considera la amplitud de la onda resultante a:
A AR =
−
2
2
1 2cos
ψ ψ
Si ψ ψ π1 2− = n , la amplitud resultante es el doble que la inicial (la suma de ambas
amplitudes si no son iguales), hablándose de interferencia constructiva. A A AR = +1 2 .
Si ψ ψ
π
1 2 2 1 2
− = −( )n , la amplitud resultante es nula (la resta de ambas amplitudes si
no son iguales), hablándose de interferencia destructiva. A A AR = −1 2 .
Esto se da en todo el eje x, considerando la amplitud constante.
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 18
Considerando dos focos que emiten ondas, la onda resultante en el punto P, considerando
igual amplitud, se calcula como:
Ψ Ψ ΨR A r vt A r vt
A
r r
r r vt
= + = −



 + −



 =
=
−
+ −




1 2 1 2
1 2
1 2
2 2
2
sen ( ) sen ( )
cos
( )
sen ( )
π
λ
π
λ
π
λ
π
λ
 Si 
π
λ
π λ
( )r r
n r r n1 2 1 2
−
= → − = , la interferencia es constructiva.
Si 
π
λ
π λ( )
( ) ( )
r r
n r r n1 2 1 22 1 2
2 1
2
−
= − → − = − , la interferencia es destructiva.
Interferencia de dos ondas diferentes
Sean dos ondas Ψ1 y Ψ2 , su interferencia resultante, considerando constante la
amplitud (para simplificar la expresión) es:
Ψ
Ψ
1 1 1
2 2 2
= −
= −
A k x t
A k x t
sen( )
sen( )
ω
ω
ΨR A
k k
x t
k k
x t=
−
−
−





+
−
+




2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2cos sen
ω ω ω ω
El caso más sencillo es el de ondas similares, es decir:
k k k
k k
k k k1 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
≈ =
+
⇒ ≈ ≈
≈ =
+
⇒ ≈ ≈
 
 ω ω ω
ω ω
ω ω ω
La diferencia entre ambas longitudes de onda y frecuencia se define:
k k k1 2
1 2
− =
− =
∆
∆ωω ω
1r
2r
P
21 AA =
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La representación gráfica de la onda resultante es la típica del producto de dos ondas
armónicas distintas. Dada la siguiente ecuación:
( )Ψ ∆ ∆ωR A
k
x t kx t= −


 

 −2
2 2
cos sen ω
Como 
∆k
2
 es muy pequeño, el número de ondas de la parte armónica referida al
coseno es muy pequeña (su longitud de onda es muy grande). Las distintas gráficas
resultantes son:
Ψ1 Ψ2
sen( )kx t− ω cos
∆ ∆ωk
x t
2 2
−


 


( )Ψ ∆ ∆ωR A
k
x t kx t= −


 

 −2
2 2
cos sen ω
La forma de la onda resultante permite descubrir una envolvente, que la modula. Esta
onda es la propia del coseno (la de enorme longitud de onda), que se llama señal u
onda moduladora.
Este tipo de señal es propio de la radio, en A.M. (amplitud modulada). Los datos, el
sonido, representan la onda moduladora, la “larga”, mientras que la señal que lleva
asociada, de longitud onda muy corta, ayuda a realizar la transferencia, pues se propaga
a mucha distancia.
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3. GRUPO DE ONDAS. VELOCIDAD DE GRUPO
Las funciones de seno y coseno representan casos ideales que no se dan en la realidad.
Por ejemplo, realizando un único pulso en una cuerda, la onda no se propaga hasta el infinito.
Por ello, se busca una forma de representar matemáticamente estas perturbaciones,
mediante el concepto de grupo de ondas
Un paquete o grupo de ondas es una perturbación de tipo ondulatorio que afecta a una
región determinada del espacio.
Si el grupo de ondas no se
deforma, se dice que está en un
medio no dispersivo. Si el grupo de
ondas se deforma, el medio es
dispersivo.
Conformese van superponiendo más ondas de tipo seno, para poder encontrar una onda
resultante que represente la realidad, se observa:
Algunas ondas de tipo seno:
Infinitas ondas de tipo seno:
 (donde sólo hay un grupo de ondas aislado)
La velocidad de propagación del grupo de ondas se llama velocidad de fase.
medio dispersivo
cada vez más ancho y pequeño
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 21
Velocidad de fase para una onda: v
kf
=
ω1
1
Envolvente (superponiendo dos ondas): cos
∆ ∆ω ∆ω
∆
k
x t v
ke2 2
−


 

 → =
Envolvente (infinitas ondas, grupo): v
d
dkg
=
ω
Se dice que un medio es dispersivo cuando la velocidad de propagación de una onda
armónica (su velocidad de fase) depende de la longitud de onda de dicha onda armónica.
v v k
k
k v kf f f= = → = ⋅( ) ( )
ω
ω
v
d
dk
d k v k
dk
v k k
dv
dkg
f
f
f= =
⋅
= +
ω ( ( ))
( )
v v k k
dv
dkg f
f= +( )
Si es un medio no dispersivo, la velocidad de fase es constante.
v cte v v k kf g f= = + ⋅. ( ) 0
v vg f=
Por lo tanto, si v vf g≠ , es un medio dispersivo.
• Ejemplo:
ω
ω
=
= = → =
3
6 6
2
0
k
v
d
dk
k v kg g
k0 representa el valor central de las distintas k posibles, y es el valor que se coge para
calcular la velocidad de grupo.
En un medio dispersivo, en un grupo de ondas, las ondas poseen diferentes velocidades
de fase. Por eso, las más lentas se retrasan y las más rápidas se adelantan, provocando un
ensanchamiento del grupo y una disminución de su amplitud.
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4. ENERGÍA TRANSPORTADA POR LAS ONDAS
Las ondas transmiten energía y cantidad de movimiento. Esto puede comprobarse al
observar que las ondas, por ejemplo, chocan.
Esta energía depende de la amplitud y la frecuencia de la onda, ambas al cuadrado:
E A~ 2 2υ
Un concepto nuevo es el de intensidad, que se define como la potencia media que
atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación:
I
P
S
m=
El concepto de intensidad puede comprenderse entendiendo la diferencia que hay entre
dos focos, ambos de 1W , que atraviesan diferentes superficies:
Esto, sin embargo, sólo es válido para ondas tridimensionales, que son las que pueden
formar una superficie en un determinado momento. Por ello, en ejemplos como la cuerda (una
dimensión, se formaría un punto) o el estanque (dos dimensiones, se formaría una recta), hay
que encontrar otra ley.
Para ello, supongamos una superficie S que es atravesada por un grupo de ondas.
Pasado cierto tiempo t, una cierta cantidad de la onda (v∙t) habrá pasado a través de ella.
Esta cantidad de onda permanecerá en un lugar determinado, que es precisamente el
volumen engendrado tras dicha superficie:
Por ello, la intensidad puede definirse como:
I
E t
S
E
S t
v
v
E
vol
vm m m= =
⋅
⋅ = ⋅
.
Donde el producto de la superficie por la velocidad y el tiempo es el volumen. Además,
considerando la relación entre energía media y volumen como densidad de energía:
24
24
1
1 10
10
1
mW
m
W
S
P
I m ===
−
2
22
1
1
1
mW
m
W
I ==
21cm
21m
v
!
tv ⋅
S
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I vEn= ⋅ρ
Esto ya puede usarse para una o dos dimensiones:
• En una dimensión: ρEn
mE
long
=
.
• En dos dimensiones: ρEn
mE
superf.
=
Y en el caso de tratarse de un grupo de ondas, I vEn g= ⋅ρ
5. GEOMETRÍA DE LA TRANSMISIÓN DE ENERGÍA
En función de la geometría que presente el foco emisor de ondas, la intensidad de la onda
resultante será distinta.
Ondas esféricas
Considerando un foco puntual, que emite ondas en un espacio tridimensional, en un
medio homogéneo e isótropo (no hay pérdidas de energía).
El foco f emite con una potencia P. La potencia de la onda
que atraviesa la superficie determinada es P’. Puesto que el
medio es homogéneo e isótropo, P P= ' .
La intensidad queda entonces como:
I
P
S
P
S
P
r
= = =
'
4 2π
Como puede observarse, esta intensidad decrece con el radio al cuadrado, es decir,
cuanto más lejos se encuentre el punto del foco emisor, menor intensidad tiene la onda.
Como la intensidad depende de la amplitud al cuadrado, y de la inversa del radio al
cuadrado: I A~ 2 y I r~ 1 2 , la amplitud de la onda decrece también con la distancia:
A r~ 1
f
'P
P
x
r
•
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 24
Ondas cilíndricas
Se dan cuando el foco es fundamentalmente lineal.
Las ondas resultantes se propagan formando una
forma que suele considerarse cilíndrica para
facilitar los cálculos (en la figura, la parte en verde
no formaría parte de nuestra consideración).
El foco f emite ondas con una potencia P que, por ser el medio homogéneo e
isótropo, es igual a la potencia en la superficie P’. La intensidad de la onda resultante en
esta superficie es:
I
P
rh
P
rh
= =
'
2 2π π
Por lo tanto, la intensidad decrece con la distancia, aunque de forma más lenta a
como decrecía en las ondas esféricas, es decir, I A~ 2 y I r~ 1 . La amplitud, por
tanto, A r~ 1 .
Ondas planas
Estas ondas parten de una
superficie plana para ir atravesando
sucesivas superficies paralelas a la
original. En un medio homogéneo e
isótropo, las distintas potencias en cada
una de las posibles superficies es igual a
la original.
La intensidad es, por tanto, I
P
S
= , que permanece constante durante todo el
recorrido (junto con la amplitud).
6. ONDAS EN CUERDAS
Dada una cuerda de masa m, longitud L y tensión F. Estudiando la dinámica en un punto
determinado se obtiene:
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
y
x
m
F L
y
t
=
⋅
Ejercicio: Comprobar mediante el estudio de la dinámica en un punto de la cuerda que la
igualdad anterior es cierta.
rf
h
f
S 'S ''S
P 'P ''P
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Comparando esta ecuación con la propia del movimiento ondulatorio, 
∂
∂
∂2
2 2
2
2
1Ψ Ψ
x v dt
= , se
tiene que:
1
2
2
v
m
F L
F L m v v
F L
m
F
m L
=
⋅
→ ⋅ = ⋅ → =
⋅
=
Como el cociente de la masa entre la longitud de la cuerda puede llamarse densidad lineal
de la cuerda:
v
F
=
µ
Considerando ahora un segmento muy reducido de la cuerda:
Puede calcularse su energía total a partir de la cinética y la potencial.
La energía cinética se calcula como:
∆ ∆
∆
∆E m v
m
L
s v s
y
tc
= ⋅ = ⋅ = ⋅


 

1
2
1
2
1
2
2 2
2
µ∆
∂
∂
Si se considera un ángulo muy pequeño:
∆ ∆
∆
∆
E
y
t
x
E
x
y
tc
c
Ec
=


 

 → = =


 

1
2
1
2
2 2
µ
∂
∂
ρ µ
∂
∂
La energía potencial, por su parte, será de carácter elástico. Llamando ∆l al
estiramiento, donde ∆ ∆ ∆l s x= − (lo que mide la cuerda con perturbación menos lo que
mide sin dicha perturbación):
( )∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆
∆
s x y l x y x x y x x
l x
y
x
2 2 2 2 2 2
2
1
1 1
= + → = + − = + −
= +


 

 −






El término 
∆
∆
y
x


 


2
 ha de ser pequeño, por lo que puede recurrirse a una serie de Taylor.
Ejercicio: Realizar el desarrollo en serie de Taylor con 1 02+ =h h .
El resultado obtenido será:
∆s
∆x
∆y
θ
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 26
∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
l x
y
x
x
y
x
= +


 

 −





 =


 

1
1
2
1
1
2
2 2
Como la energía potencial U puede expresarse en términos de trabajo que realiza la
tensión:
( )
W U
U F l F
y
x
x
U
x
F y t
F
U
=
= ⋅ =


 

 → = =∆ ∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
1
2
1
2
2
2ρ
Sumando ahora ambas energías, se obtendrá la energía total:
ρ
∂
∂
ρ µ
∂
∂
ρ ρ ρ
∂
∂
µ
∂
∂
U
E
En U E
F
y
x
y
t
F
y
x
y
t
c
c
=


 


=


 








= + =


 

 +


 


1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2 2
Considerando que 
∂
∂
∂
∂
y
x v
y
t
=
−1
:
ρ
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
µ
∂
∂En
F
v
y
t
y
t
F
v
y
t
y
t
=
−

 

 +


 

 =


 

 +


 

1
2
1 1
2
1
2
1 1
2
2 2
2
2 2
Y como v F v F F v= → = → =µ µ µ2 2 :
ρ µ
∂
∂
µ
∂
∂En
y
t
y
t
=


 

 +


 

1
2
1
2
2 2
ρ µ
∂
∂
ρ
∂
∂
En
En
yt
F
y
x
=


 


=


 


2
2
Ambas expresiones son equivalentes.
La intensidad queda entonces como:
( )
I v v
y
t
y A kx t
I v A kx t vA kx t
I A
En= ⋅ = ⋅


 


= −
= ⋅ − = −
⋅
ρ µ
∂
∂
ω
µ ω ω µ ω ω
ω
2
2 2 2 2
2 2
sen( )
cos( ) cos ( )
~
La intensidad depende, pues, del tiempo, por lo que se define una intensidad media:
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 27
I I v Am = = ⋅ ⋅
1
2
2 2µ ω
Ejercicio: Se ha calculado el valor de la intensidad partiendo de la energía total como
ρ µ
∂
∂En
y
t
=


 


2
. Calcular ahora la intensidad partiendo de ρ
∂
∂En
F
y
x
=


 


2
.
7. ONDAS ESTACIONARIAS
Dadas dos ondas que son exactamente iguales en todo, salvo en su sentido, originan una
onda resultante que se denomina estacionaria (no viaja con el tiempo).
Ψ
Ψ
Ψ1
2
2
= −
= +



=
A kx t
A kx t
A t kxR
sen( )
sen( )
cos sen
ω
ω
ω
ΨR A kx t= 2 sen cosω
En esta ecuación, el término 2A kxsen es la amplitud de un oscilador armónico, que es
variable con la posición. Esto puede afirmarse porque va multiplicando al coseno de ωt .
En toda onda estacionaria se diferencian dos puntos particulares: los nodos y los
antinodos.
Los nodos son los puntos en los que la amplitud es nula.
2 0 0 0 2A kx kx x x xsen sen ; ; ...= → = → = = =π π
kx n= π k
x
n= → = →
2 2π
λ
π
λ
π x n=
λ
2
Los antinodos o vientres son los puntos en los que la amplitud es máxima.
2 2 1
2
3
2
a kx A kx kx kxsen sen ; ...= → = ± → = =
π π
( )kx n= −2 1
2
π ( )k
x
n= → = − →
2 2
2 1
2
π
λ
π
λ
π ( )x n= −2 1
4
λ
Ambas ecuaciones permiten localizar los puntos que, en una onda estacionaria, actúan
como nodos y antinodos. La gráfica resultante de una onda estacionaria representa a una
onda en la que, conforme pasa el tiempo, la figura no se desplaza en el eje, sino que son los
puntos que la forman los que van moviéndose según un oscilador armónico, habiendo puntos,
los nodos, que no se mueven nunca.
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 28
Para t = 0:
Ψ= 2A kxsen
Para 0
4
< <t
T
:
Ψ
Ψ
0 2
2
2
4
2 0 0
=
= = ⋅ =
A kx
A kx
T
T
A kxf
sen
sen cos sen
π
Para t
T
=
4
:
Ψ= 0
Para 
T
t
T
4 2
< < :
Ψ
Ψ
0 0
2
2
2
2
=
= = −f A kx T
T
A kxsen cos sen
π
Para t T= :
Ψ= −2A kxsen
nodos:
antinodos:
TEMA 2: ONDAS MECÁNICAS Luis F. GIMILIO BARBOZA página 29
Como la onda no “viaja” a lo largo del eje x, se dice que es estacionaria.
Sólo pueden darse unas frecuencias determinadas para poder formar una onda
estacionaria. Esto es así porque si la onda posee una frecuencia que no es la adecuada, al
llegar a un extremo, rebotará e interferirá consigo misma de forma destructiva hasta
desaparecer.
La longitud de onda que debe tener una onda para poder ser estacionaria es:
l n=
λ
2
λ =
2l
n
Todas las siguientes ondas son correctas:
λ1 2= l λ 2 = l λ 3 2 3= l
Las frecuencias permitidas para la formación de ondas estacionarias son:
v
v
v
F
= ⋅ → = =λ υ υ
λ µ
 
υ
µn
F n
l
= ⋅
2
La frecuencia más baja posible que puede crear ondas estacionarias (υ1) se llama
armónico fundamental. Las siguientes, υ υ2 3, ... reciben el nombre de segundo armónico,
tercer armónico...
Como se ha dicho, el movimiento que se genera en todos los puntos del eje x en una onda
estacionaria es de tipo oscilador armónico. Conocida la ecuación de la onda, pueden
calcularse la velocidad y la pendiente de los puntos de la misma:
• velocidad: 
∂Ψ
∂t
• pendiente: 
∂Ψ
∂x