TEMA 11

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© Antonio Abrisqueta García. 1999 Temario Específico – Tema 11
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
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TEMA 11
DINÁMICA DE FLUIDOS. LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. LA ECUA-
CIÓN DE BERNOULLI. RÉGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO. APLICACIO-
NES A DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS DE INTERÉS Y AL FUNCIONAMIEN-
TO DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR HUMANO.
Esquema
1. Dinámica de fluidos.
1.1. Fluidos en movimiento.
1.2. Campo de velocidades. Líneas de corriente.
1.3. Regímenes de flujo.
1.3.1. Flujo estacionario y no estacionario.
1.3.2. Flujo laminar y turbulento.
1.4. Flujo Másico y Flujo Volúmico o Caudal.
2. Ecuación de continuidad de un fluido.
3. Ecuación de Bernoulli.
3.1. Fluido estacionario. Ecuación de Bernoulli.
3.2. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli.
3.3. Efecto Venturi.
3.4. Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli.
3.4.1. Efusión de un fluido. Teorema de Torricelli.
3.4.2. Cálculo del caudal por un orificio.
3.4.3. Efusión de gases. Ley de Bunsen.
4. Régimen laminar y turbulento.
4.1. Régimen laminar o de Poiseuille.
4.1.1. Concepto de Viscosidad. Viscosímetros.
4.1.2. Ley de Stokes.
4.1.3. Movimientos de fluidos viscosos en tubos. Ley de Poiseuille.
4.2. Régimen turbulento o de Venturi.
4.2.1. Número de Reynolds.
4.2.2. Fuerza de rozamiento en régimen turbulento.
4.3. Efecto Magnus.
5. Aplicaciones a dispositivos tecnológicos.
5.1. Pulverizadores.
5.2. Trompa de vacío.
5.3. Medidor de Venturi
5.4. Tubo de Pitot.
5.5. Mechero Bunsen.
5.6. Ventilador de barcos.
5.7. Frasco de Mariotte.
6. Características de la circulación sanguínea.
6.1. Circulación en régimen continuo no intermitente. Pulso.
6.2. Ecuación de continuidad aplicada a los capilares.
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DINÁMICA DE FLUIDOS. LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. LA ECUA-
CIÓN DE BERNOULLI. RÉGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO. APLICACIO-
NES A DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS DE INTERÉS Y AL FUNCIONAMIEN-
TO DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR HUMANO.
1. DINÁMICA DE FLUIDOS
1.1. Fluidos en movimiento.
El estudio del movimiento de los fluidos es en general, un problema muy com-
plejo, porque no puede reducirse, como en el caso de un sólido, al estudio del movi-
miento de un cuerpo rígido, ya que las moléculas de un fluido, además de ejercerse ac-
ciones mutuas de gran importancia, pueden desplazarse unas respecto de otras. Por ello,
aunque se sigan cumpliendo las leyes de la Dinámica, deben tenerse en cuenta las parti-
cularidades de los fluidos.
Un ejemplo de esta complejidad nos lo muestra la corriente de un río desbordado
o el humo de un cigarrillo. Aunque sigue cumpliéndose la ecuación F=m·a en todo ins-
tante para cada gota de agua o partícula de humo, puede imaginarse la complicación que
resultaría si tuviéramos que resolver las ecuaciones del movimiento para cada partícula.
Sin embargo el problema no es tan insoluble.
Por ser el agua y el aire los dos fluidos más abundantes en la naturaleza, y en los
que tienen lugar la mayor parte de los fenómenos naturales, incluiremos en el presente
tema las dos ramas más importantes de la Dinámica de Fluidos: la Hidrodinámica y la
Aerodinámica.
1.2. Campo de velocidades. Líneas de Corriente.
En el seno de un fluido en movimiento, cada una de sus moléculas, en un instante
dado y en una posición dada, tiene su propia velocidad Esto define en el seno del fluido
un Campo de velocidades, que obviamente, es vectorial y al que podemos aplicar la
Teoría de los Campos Vectoriales. Las velocidades de las moléculas son, en general,
diferentes en el espacio (de una molécula a otra) y también en el tiempo (para la misma
molécula de un instante a otro). En este caso, el campo de velocidades y el régimen de
flujo que determina, se dice que es no-estacionario y por el contrario, si la velocidad de
un punto cualquiera es constante a lo largo del tiempo, el campo de velocidades y el
régimen de flujo que se produce es estacionario, y la velocidad de las partículas que
pasan por el mismo punto es siempre la misma. Para poder determinar de una forma
precisa el estado de movimiento de un fluido es preciso conocer en cada instante su
campo de velocidades, es decir, el conjunto de vectores velocidad correspondientes a
cada molécula del fluido (o elemento de volumen suficientemente pequeño) en cada
instante.
Una vez conocido dicho campo vectorial de velocidades, las líneas tangentes en
cada punto, a los vectores velocidad, se denominan líneas de corriente y son, por tanto,
en todos los puntos, tangentes al vector velocidad correspondiente El aspecto del campo
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de velocidades, en general, varía de un instante a otro, y por consiguiente lo mismo su-
cede con las líneas de corriente. Las líneas de corriente satisfacen la condición:
0=∧ rdv
rr
siendo v
r
 la velocidad del punto y rd
r
el desplazamiento elemental a lo largo de la línea.
La trayectoria descrita por una molécula de fluido en su movimiento, llamadas lí-
neas de movimiento, en general, no coincide con la línea de corriente; tan sólo en el caso
de que la distribución de velocidades no se modifique en el transcurso del tiempo, am-
bas líneas coinciden y el movimiento del fluido se dice que es estacionario.
Si fuera posible fotografiar las moléculas, al tomar una instantánea del fluido en
movimiento, para cada una obtendríamos un pequeño segmento, proporcional a su velo-
cidad, de manera que a trazos discontinuos podríamos identificar las líneas de corriente.
Si tomamos una fotografía con cierto tiempo de exposición, cada molécula impresiona-
ría en la película su trayectoria y se pondrían de manifiesto las líneas de movimiento en
trazo continuo.
Se puede dibujar una línea de corriente por cada
punto que ocupa el fluido, pero para mayor claridad de la
representación las líneas se dibujan espaciadas, siguiendo
un criterio seleccionador que es: “El número de líneas
que atraviesan la unidad de superficie perpendicular a
ellas colocada en un punto, es proporcional a la veloci-
dad de las partículas en dicho punto”. Las zonas donde
las líneas están apretadas (alta densidad de líneas) la ve-
locidad es grande y donde las líneas están más espaciadas
o separadas la velocidad es pequeña. 
FIG. 1
1.3. Regímenes de Flujo.
1.3.1. Flujo estacionario y no estacionario.
Se dice que el régimen de flujo de un fluido es estacionario cuando cada partícula
que pasa por un punto determinado tiene siempre la misma velocidad y seguirá siempre
la misma trayectoria que las partículas precedentes que pasaron por dicho punto. Si la
sección transversal del tubo varía de un punto a otro, la velocidad de cada partícula va-
riará a lo largo de su línea de corriente pero en cualquier punto fijo del tubo, la veloci-
dad de una partícula que pase por dicho punto es siempre la misma. En este caso, el
patrón de líneas de corriente permanece inalterado con el paso del tiempo, o sea, el
campo de velocidades es función exclusiva de las coordenadas (x,y,z) y no lo es del
tiempo t, o sea: ),,( zyxv
r
.
El movimiento de un fluido es estacionario siempre que su velocidad no sea de-
masiado grande y las obstrucciones, estrechamientos o curvas del tubo de conducción
no obliguen a las líneas de corriente a modificar su dirección bruscamente.
En el caso del flujo no-estacionario, las líneas de corriente cambian con el tiempo,
pues los puntos de flujo no tienen una velocidad fija. Las líneas de movimiento, trayec-
torias que siguen las partículas, no coinciden con las líneas de corriente en un momento
dado. Ambas se tocan en un punto, posición de la partícula en ese instante.
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1.3.2. Flujo Laminar y Turbulento.
Si el movimiento del fluido tiene lugar de modo que las
diversas láminas fluidas deslizan unas sobre otras, de la misma
forma como se extiende una baraja de naipes al deslizarse sobre
la mesa, se dice que el flujo es laminar. Las líneas de corriente
no se entrecruzan y la velocidad de desplazamiento va aumen-
tando a medida que nos alejamos de la pared hacia el centro de
la conducción. Fig.2. FIG: 2
Dentro del régimen laminar, si las capas fluidas no presentan rozamiento alguno y
no oponen resistencia alguna al deslizamiento mutuo entre sus partes se dice que fluyen
en régimen de Bernoulli.
Si el rozamiento interno entre las láminas de fluido es muy elevado las líneas de
corriente se entrecruzan, formándose remolinos en el seno del fluido y el flujo es tur-
bulento. La velocidad en cada punto presenta fluctuaciones al azar que se impones a sus
valores medios. El paso de flujo laminar a flujo turbulento se produce al aumentar la
velocidad y al variar bruscamente la geometría de la conducción o del tubo de corriente.
1.4. Flujo Másico y Flujo Volúmico o Caudal.
Se llama Flujo o Gasto de una corriente fluida a la cantidad de fluido que pasa a
través de cualquier sección normal de la conducción en la unidad de tiempo. Pueden
considerarse dos clases de flujo:
A) Flujo Másico que representa la masa de fluido que circula por unidad de tiempo. Su
unidad del S.I. es el Kg/s.
B) Flujo Volúmico o Caudal que representa el volumen de fluido que circula por uni-
dad de tiempo. Su unidad del S.I. es el m3/s.
2. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD DE UN FLUIDO.
Vamos a considerar fluidos ideales en los que las propiedades y características del
flujo, en cada punto del espacio, permanecen invariables en el transcurso del tiempo.
Estos flujos son obviamente estacionarios como hemos visto anteriormente. Supondre-
mos también que el fluido es incompresible, es decir, su densidad es constante y por
tanto, independiente de las coordenadas espaciales y del tiempo. Con estas considera-
ciones se simplifica el análisis del movimiento de los fluidos.
Si en el seno de un fluido en movimiento conside-
ramos un contorno cerrado y todas las líneas de co-
rriente que lo limitan, se obtiene un cuerpo de fluido
rodeado por una superficie cilíndrica, de generatrices
curvas, que recibe el nombre de tubo de corriente, co-
mo se muestra en la Fig.3. Este concepto es importante
pues las tuberías, canalizaciones, mangueras, etc. por
donde los fluidos circulan pueden considerarse, en mu-
chos casos, como tubos de corriente.
 FIG. 3
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Dentro del tubo de corriente se cumple una ley fundamental (enunciada por Leo-
nardo da Vinci) llamada Ecuación de continuidad, que dice así: "Las velocidades con
que circula un fluido incompresible en régimen estacionario por un tubo de corriente,
son inversamente proporcionales a las secciones de éste", o dicho de otra manera, "el
producto del área de la sección por la velocidad del fluido en ella es una constante".
Supongamos una masa M de líquido de densidad ρ, limitada por las secciones A1 y
A2 en el tubo de corriente de la fig.3. En el tiempo dt por la sección A1 penetra una masa
M1 de líquido cuyo volumen es A1dll (siendo dl1 la distancia recorrida en el tiempo dt) y
simultáneamente otra masa M2 que ocupa el volumen A2dl2 sale por la sección A2, y
como la masa M contenida en el tubo permanece invariable, todo el fluido que en ese
instante ha entrado por A1 sale por A2, o sea:
21 MM = à 2211 .. dlAdlA ρρ = à dt
dl
A
dt
dl
A 22
1
1 =
igualdad que demuestra la ecuación de continuidad:
2211 vAvA = à 
1
2
2
1
A
A
v
v =
La Forma General de la Ecuación de Continuidad aplicable a cualquier clase de
fluido, sea compresible o incompresible, es una ecuación diferencial cuya deducción se
realiza en el Anexo I, al final del Tema.
3. ECUACIÓN DE BERNOULLI.
3.1. Fluido estacionario. Ecuación de Bernoulli.
A menudo, en los estudios teóricos del movimiento de los fluidos se supone a és-
tos desprovistos de toda viscosidad con el fin de simplificar el problema. En este caso,
al no existir rozamiento interno, todas las láminas fluidas se desplazan con idéntica ve-
locidad. Cuando esto sucede se dice que el régimen de movimiento es el de Bernoulli o
sin rozamiento. Al moverse un fluido en régimen sin rozamiento no se producen pérdi-
das de energía y por lo tanto su movimiento está regido por el principio de conservación
de la energía mecánica.
Consideremos un tubo de corriente (fig.4) y
en él dos secciones S1 y S2 que debido al movi-
miento del fluido, al cabo de un tiempo t se habrán
desplazado a las posiciones S1’ y S2’ respectiva-
mente. La ecuación de continuidad establece que el
volumen de fluido comprendido entre S1 y S1’ ha
pasado a ocupar la porción comprendida entre S2 y
S2’ sin variar el fluido entre las secciones S1’ y S2.
Por la ley de continuidad:
2211 vAvA = à mtvAtvA == ρρ .. 2211 FIG. 4
donde v1 y v2 son las velocidades del fluido, suponiendo el fluido incompresible, es de-
cir de densidad constante.
Si P1 y P2 son las presiones ejercidas por el fluido sobre las superficies S1 y S2,
respectivamente, establecemos que el trabajo realizado por las fuerzas de presión es
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igual a la variación de la energía cinética y potencial, es decir:
EPECVPW ∆+∆=∆= .
o sea: ( )122122222111 ....2
1
2
1
hgmhgmmvmveAPeAP −+



 −=−
y como hemos supuesto que el fluido es incompresible: 2211 eAeAV ==
siendo V el volumen de fluido comprendido entre S1 y S1’ o entre S2 y S2’. Sustituyendo:
( ) ( )12212221 2
1
2
1
hhgvv
m
V
PP −+−=−
separando términos e introduciendo la densidad del fluido (V/m=1/ρ):
2
222
2
111 2
1
2
1
vghPvghP ρρρρ ++=++ (1)
o bien: ctevghP =++ 2
2
1 ρρ (2)
Si analizamos cada uno de los términos de la expresión resulta:
P es la presión manométrica del fluido en cada punto
ρgh es la presión potencial ogravitatoria debida a la altura del punto.
½ρv2 es la presión cinética debida a la velocidad del fluido en el punto.
La ecuación expresa el Teorema de Bernoulli que dice que: "En el movimiento de
un fluido incompresible y sin rozamiento, la suma de la presión manométrica, la pre-
sión gravitatoria debida a la altura y la presión cinética debida a la velocidad es cons-
tante en todos los puntos de la corriente fluida".
Hay que tener en cuenta que el teorema de Bernoulli sólo se cumple exactamente
cuando se satisfacen rigurosamente las condiciones supuestas (fluido incompresible y
sin viscosidad) y por tanto, conduce a resultados muy aproximados para los líquidos y
da sólo indicaciones de tipo cualitativo para las corrientes gaseosas ya que por ser los
gases fácilmente compresibles la densidad no es constante.
Convenimos en llamar presión hidrodinámica a la suma de la presión manométri-
ca y la presión cinética, es decir:
 2.
2
1
vPPH ρ+= (3)
y el teorema de Bernoulli lo enunciaremos así: "En dos puntos de la misma línea de
corriente de un fluido en movimiento, bajo la acción de la gravedad se verifica que la
diferencia de las presiones hidrodinámicas es igual al peso de una columna de fluido de
base la unidad y de altura la diferencia de alturas entre los dos puntos", y lo expresa-
mos matemáticamente así:
( ) ghhvPvP ..
2
1
.
2
1
21
2
11
2
22 ρρρ −=



 +−



 + (4)
El teorema de Bernoulli se reduce al Teorema Fundamental de la hidrostática en el
momento en que se considere un fluido en equilibrio (fluidos en reposo).
3.2. Interpretación energética de la Ecuación de Bernoulli.
La ecuaciónde Bernoulli es fundamentalmente una formulación del principio de
conservación de la energía aplicado al flujo estacionario e incompresible de un fluido
ideal.
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Si multiplicamos la ecuación (1) del Teorema de Bernoulli, por el elemento de
volumen dV, tenemos:
2
222
2
111 2
1
2
1
dVvdVghdVPdVvdVghdVP ρρρρ ++=++
 2222
2
111 2
1
2
1
mvmghdVPmvmghdVP ++=++ (5)
 ctemvmghdVP =++ 2
2
1
. (6)
Los tres términos del trinomio representan la energía del volumen dV por estar
sometido a la presión p (primer término pdV), por estar en el campo gravitatorio (se-
gundo término mgh) y por estar a una velocidad determinada (tercer término mv2 /2).
Aplicando el principio general de conservación de la energía a la expresión ante-
rior: cteUmvmghdVP =+++ 2
2
1
. (7)
donde ahora tenemos un término adicional U correspondiente a la energía interna del
elemento de volumen dV de fluido. Si el fluido es incompresible, la energía interna será
constante a lo largo del tubo de corriente y podrá ser suprimida.
3.3. Efecto Venturi.
Es una consecuencia directa del teorema de Bernoulli y se produce cuando el flui-
do se propaga por un tubo horizontal que tiene un estrechamiento. Aplicando la ecua-
ción de continuidad a dos puntos de la conducción, la velocidad en la parte estrecha tie-
ne que ser mayor que en la parte ancha, y por estar
ambas a la misma altura, la presión en la parte es-
trecha ha de ser menor que en la parte ancha, al
contrario de lo que puede parecer intuitivamente.
Se puede enunciar como ley general que
cuando un fluido aumenta su velocidad (sin variar
de nivel) su presión disminuye. FIG: 5
3.4. Aplicaciones del Teorema de Bernoulli.
3.4.1. Efusión de un líquido. Teorema de Torricelli.
Consideremos un depósito cerrado cilíndrico o pris-
mático de sección transversal de área S1 que contiene un
líquido de densidad ρ hasta un cierto nivel z1 y aire a la
presión p1 por encima de la superficie libre. El líquido
fluye al aire libre (presión atmosférica) a través de un
pequeño orificio de área S2, en la pared del depósito. Todo
el líquido participa en el movimiento y el flujo es conver-
gente hacia el orificio. Si la relación de áreas S1/S2 es su-
ficientemente grande podemos considerar que el nivel z1
permanece constante durante un intervalo de tiempo ∆t
durante el cual el flujo puede considerarse estacionario.
 
 FIG. 6
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Aplicando el Teorema de Bernoulli a los puntos 1 (en la superficie) y 2 (en el ori-
ficio) podemos calcular la velocidad de efusión del líquido por el orificio:
2
222
2
111 2
1
2
1
vgzpvgzp ρρρρ ++=++
y considerando que z1-z2=h y que p2=patm sustituyendo resulta:
 gh
pp
vv atm 2221
2
2 +
−+=
ρ
(8)
Si consideramos el caso particular de que la presión que actúa sobre la superficie
libre del líquido sea también la presión atmosférica, por ser abierto el recipiente, enton-
ces p1=patm nos quedará: ghvv 221
2
2 +=
y si consideramos que el área de la superficie libre del líquido S1 es mucho más grande
que la del orificio S2, por la ecuación de continuidad al ser S1>>S2 resultará v1<<v2 y
podemos considerar sin gran error que 021 =v y resultará finalmente que, la velocidad
con que fluye el líquido será: ghv 2= (9)
Esta expresión constituye la forma matemática del Teorema de Torricelli que
puede enunciarse así: “el líquido sale por el orificio con la misma velocidad que tendría
un móvil en caída libre desde una altura h". El líquido gana energía cinética en la salida
por el orificio a expensas de la energía potencial que pierde en el nivel de su superficie
libre.
3.4.2. Cálculo del caudal por un orificio.
Cuando fluye líquido a través de un orificio, hay que considerar que a causa de la
convergencia de las líneas de corriente en las proximidades del orificio, el área de la
sección recta de la vena líquida continúa disminuyendo durante un corto recorrido fuera
del depósito hasta que finalmente las líneas de corriente se hacen paralelas entre sí. El
chorro toma la forma característica, fig.7, y el área mínima de la sección transversal (Sc)
recibe el nombre de vena contracta. La ley de Torricelli aplicada al caso, da la veloci-
dad de salida una vez completada la contracción y el gasto vendrá dado por la expre-
sión: cSvG 2=
y como Sc no resulta fácil de medir, se define el coefi-
ciente de contracción Cc, como:
2S
S
orificioArea
contractavenaArea
C cc =⋅
⋅⋅= (10)
y el gasto vendrá dado por: 22 SvCG c=
Los coeficientes de contracción se determinan ex-
perimentalmente y sus valores están tabulados en las
principales obras de hidrodinámica para diversas formas
de tubos y orificios.
 
3.4.3. Efusión de Gases. Ley de Bunsen.
Mediante el Teorema de Bernoulli puede calcularse teóricamente la velocidad de
salida de un gas por un orificio, o velocidad de efusión de un gas.
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Supongamos un depósito lleno con gas de densidad ρ y a una presión p. El gas
puede escapar a través de un orificio de pequeñas dimensiones abierto en la pared del
depósito. Sea p0 la presión existente en el exterior del depósito, por ejemplo, la presión
atmosférica: Patm. Si la diferencia de presiones: ∆p=p-p0 es pequeña en comparación
con la presión exterior p0 podemos considerar el gas como incompresible y aplicaremos
el teorema de Bernoulli a dos puntos: en primero en el interior del depósito (presión p) y
el segundo en el centro del orificio (presión p0). En el caso de los gases podemos pres-
cindir generalmente de los cambios de presión debidos al peso del gas (por ser pequeña
la densidad ρ, la presión gravitatoria en ambos puntos es la misma). Y aplicando el teo-
rema de Bernoulli resultará:
2
00
2
2
1
2
1
vpvp ρρ +=+
y como v<<v 0, la velocidad de efusión del gas será:
 
( )
ρ
0
0
2 pp
v
−= (11)
Así, para una diferencia de presión ∆p=p-p0 dada "la velocidad de efusión de un
gas por un orificio es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad del
mismo". Este es el enunciado de la Ley de Bunsen. Si el gas puede considerarse perfec-
to, entonces la densidad ρ=(p/RT)·M, de modo que la velocidad de efusión es inversa-
mente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molecular. Si tenemos una mezcla de
gases, esta propiedad nos permite llevar a cabo la separación fraccionada de los distintos
componentes de la mezcla.
4. REGIMEN LAMINAR Y TURBULENTO.
El régimen de circulación de un fluido que hemos considerado hasta ahora ha sido
el régimen ideal estacionario, es decir, sin rozamiento interno entre sus capas fluidas o
entre el fluido y las paredes de la conducción.
La realidad es más compleja y se han de considerar las fuerzas internas de roza-
miento entre sus capas fluidas y el régimen de circulación vendrá afectado por estas
fuerzas internas y dependerá de la velocidad de circulación. Según la velocidad se pro-
ducen dos tipos de regímenes: régimen laminar y régimen turbulento.
4.1. Régimen Laminar o de Poiseuille.
Este régimen de movimiento de fluido fue descrito por Poiseuille al estudiar la
circulación sanguínea. Una corriente fluida se halla en régimen laminar cuando se pue-
den considerar en ella capas fluidas que, con distinta velocidad, deslizan unas respecto a
otras. Si un fluido se mueve en régimen laminar dentro de un canal, las moléculas de la
superficie se desplazarán con la velocidad máxima, mientras que las del fondo o latera-
les permanecerán en reposo, por el contrario, si el movimiento tiene lugar en el interior
de una tubería, serán las moléculas que avanzan a lo largo del eje las que estarán anima-
das de mayor velocidad, mientras quedaránprácticamente en reposo las contiguas a las
paredes.
FIG. 8 FIG.9
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El régimen de Poiseuille está caracterizado por el hecho de que en la sección nor-
mal a la corriente existe una variación de velocidad, motivada por la influencia de la
viscosidad o rozamiento interno. Por ello, parte de la energía de la corriente se disipa,
venciendo estas fuerzas de rozamiento y convirtiéndose en calor. La presión del fluido
tiene que disminuir a lo largo de una tubería horizontal, por este rozamiento interno.
Se puede comprobar con el dispositivo de la
fig.10. Mientras la llave K está cerrada el nivel del
líquido es el mismo en el depósito A que en los tubos
C1, C2, C3 y C4, que comunican con aquel. Al abrirse
la llave se inicia la corriente al aparecer una presión
cinética disminuye la presión hidrostática y se ob-
serva una pérdida lineal de carga, es decir, que el
nivel de los tubos disminuye proporcionalmente a su
distancia al depósito, por causa del rozamiento in-
terno.
 FIG.10
4.1.1. Concepto de viscosidad. Viscosímetros.
La viscosidad puede considerarse como el rozamiento interno de un fluido. A cau-
sa de la viscosidad es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa líquida a des-
lizar sobre otra. Tanto los líquidos como los gases presentan viscosidad, aunque los lí-
quidos son mucho más viscosos que los gases. Cuando un elemento de fluido se mueve
respecto a elementos contiguos, este movimiento se ve obstaculizado por la existencia
de esfuerzos tangenciales o cortantes que tienden a disminuir la velocidad relativa del
elemento considerado respecto a los contiguos
Para reducir el problema a sus términos más sencillos imaginemos una porción de
capa líquida comprendida entre la pared móvil y la pared fija de la fig.11. Se encuentra
que el líquido que está en contacto con la pared móvil tiene la misma velocidad que esta
superficie, mientras que el líquido adyacente a la
pared fija permanece en reposo. La velocidad de
las capas intermedias de líquido aumenta unifo r-
memente de una pared a la otra como indican las
flechas.
 FIG.11
Un flujo de este tipo se llama laminar. Las capas del fluido deslizan unas sobre
otras como las hojas de un libro cuando se le aplica una fuerza horizontal sobre la cu-
bierta superior (deformación por cizalladura). La porción de líquido abcd tomará un
instante posterior la posición abc'd' y se deformará cada vez más al continuar el esfuer-
zo. E1 líquido aumenta constantemente su deformación por cizalladura.
Para mantener el movimiento se ejerce continuamente una fuerza dirigida hacia la
derecha sobre la lámina móvil. Esta fuerza tiende a arrastrar el líquido y también la lá-
mina inferior, por tanto para mantenerla fija es necesario aplicarle una fuerza hacia la
izquierda. Ambas fuerzas, designadas por F, actuando sobre la superficie de área A,
realizan un esfuerzo cortante F/A.
Cuando se aplica un esfuerzo cortante a un sólido, se produce un desplazamiento
del sólido llamado deformación por cizalladura. La deformación unitaria por cizalladu-
ra se define como la razón del desplazamiento dd' a la dimensión transversal L, y dentro
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de los límites de elasticidad, esta deformación unitaria es proporcional al esfuerzo cor-
tante aplicado.
En un fluido, por el contrario, la deformación unitaria por cizalladura, aumenta sin
límite mientras se aplica el esfuerzo cortante y se encuentra experimentalmente que este
esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria por cizalladura, sino a su varia-
ción, es decir, a su derivada. En la fig.11, la deformación unitaria en el instante en que
el volumen del fluido tiene la forma abc'd' es dd'/L, y puesto que L es constante, la deri-
vada de la deformación unitaria será la derivada de dd' partido por L, o sea v/L, es decir:
L
v
A
F ∝ à 
L
v
A
F η= (12)
y generalizando, el término general que se utiliza para designar la derivada de la veloci-
dad respecto del espacio, en una dirección perpendicular al movimiento, es el gradiente
de la velocidad, nos queda:
 
dy
dv
A
F η= (13)
donde dv es el incremento de velocidad entre dos puntos separados dy en dirección per-
pendicular al flujo. Podemos escribir:
 
dy
dv
AF .η= o bien 
L
vA
F
.η= (14)
para el caso general y para el caso de que la velocidad sea función lineal de la distancia
entre las dos placas.
El coeficiente de proporcionalidad η (eta) se llama coeficiente de viscosidad, o
simplemente viscosidad. Su unidad en el sistema CGS es el poise:
1 poise = 1 dina·s/cm2
y en el Sistema Internacional, es el decapoise: 1 daP = 10 P
1 Decapoise = 1 N·s/m2 = 10 P = 1 Pa·s
El coeficiente de viscosidad varía mucho con la temperatura aumentando para los
gases y disminuyendo para los líquidos cuando la temperatura se eleva.
Para la medida experimental de viscosidad hace uso de un aparato consistente en
dos cilindros concéntricos entre cuyas paredes se sitúa el líquido problema. Por un me-
canismo mecánico de poleas se hace girar el cilindro interior, manteniendo fijo el exte-
rior. Si h es la altura de los cilindros de radios R1 (interior) y R2 (exterior), la fuerza F
tangente a la superficie del primero está distribuida sobre toda su área A=2πR1h. Esta
fuerza origina un momento que mueve el cilindro interior: M=F·R1 luego:
1R
M
F =
Aplicando la expresión (14) teniendo en cuenta que el espesor de la capa es R2-R1
y que la velocidad v está relacionada con la velocidad angular ω, es v=ω·R1:
 
12
11
1
.2
RR
RhR
R
M
−
= ωπη à ( )
hR
RRM
3
1
12
2πω
η −= (15)
lo que permite calcular la viscosidad ya que todas las magnitudes del segundo miembro
son directamente medibles.
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Un método técnico corriente de medir la viscosidad es utilizar un viscosímetro,
aparato constituido por un pequeño depósito en cuyo fondo existe un orificio de dimen-
siones determinadas. Se vierte en el depósito un volumen dado de líquido, y se mide el
tiempo empleado en pasar por el orificio. A partir de estos datos se calcula la viscosidad
mediante una fórmula empírica.
El viscosímetro más corrientemente utilizado es el viscosí-
metro de Ostwald, fig.12, que permite medir la viscosidad por el
tiempo que tarda en fluir un volumen V de líquido por un tubo
capilar d. Aplicando la ley de Poiseuille sobre movimientos de
fluidos viscosos en tubos, tanto al líquido problema como al agua
que se toma como referencia, se obtiene la expresión de la visco-
sidad relativa η’ en función de la densidad relativa del líquido:
'' ρη
at
t=
donde t y ta son los tiempos empleados por el líquido-problema y
por el agua en pasar por el capilar del viscosímetro y ρ' es la den-
sidad relativa del líquido-problema. Conocida la viscosidad relati-
 FIG. 12
va se multiplica por la viscosidad absoluta del agua y se obtiene la viscosidad absoluta
del líquido-problema: η=ηa·η’ a la temperatura en que se realiza la experiencia.
4.1.2. Ley de Stokes.
Cuando un fluido viscoso se mueve alrededor de una esfera con movimiento esta-
cionario, o cuando una esfera se desplaza en el interior de un fluido viscoso en reposo,
se ejerce una fuerza resistente sobre la esfera. (Naturalmente, sucede lo mismo sobre un
cuerpo de forma arbitraria, pero la fuerza sólo puede calcularse fácilmente en el caso de
un cuerpo de forma esférica). Esta fuerza viene dada por:
 rvF πη6= (16)
siendo η el coeficiente de viscosidad, r el radio de la esfera y v la velocidad de la esfera
respecto del fluido. Esta relación fue deducida por sir George Stokes en 1845, conside-
rando comportamiento ideal e introduciendo algunasaproximaciones. Vamos a inter-
pretarla para el caso de una esfera que cae dentro de un fluido viscoso.
Consideremos una esfera que se abandona desde el reposo (v=0). La resistencia
debida a la viscosidad es nula al principio. Las otras fuerzas que actúan sobre la esfera
son su peso y el empuje del fluido. Si ρ es la densidad de la esfera y p0 la densidad del
fluido:
grgmpeso ρπ 3
3
4
. == grempuje 0
3
3
4 ρπ=
Puesto que la fuerza que actúa sobre la esfera es igual al producto de la masa por
su aceleración, resulta:
aramgrgr ρπρπρπ 30
33
3
4
.
3
4
3
4 ==−
y simplificando: agg ρρρ =− 0 à ga ρ
ρρ 0−=
Como resultado de esta aceleración, la esfera adquiere una velocidad dirigida ha-
cia abajo y, por consiguiente, experimenta una resistencia que puede calcularse por la
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ley de Stokes. Puesto que la velocidad aumenta, la resistencia aumenta también en pro-
porción directa, y se alcanzará con el tiempo una velocidad tal que la fuerza dirigida
hacia abajo y la resistencia hacia arriba serán iguales. Entonces deja de aumentar la ve-
locidad y la esfera se mueve con velocidad constante, llamada velocidad límite. Esta
velocidad puede calcularse escribiendo que la fuerza dirigida hacia abajo es igual a la
resistencia de Stokes:
 ( ) rvgr πηρρπ 6
3
4
0
3 =− à ( )0
2
9
2 ρρ
η
−⋅= grv (17)
Esta relación se cumple siempre que la velocidad no sea tan grande que se origine
un régimen turbulento. Cuando esto ocurre, la resistencia es mucho mayor que la deter-
minada por la fórmula de Stokes.
4.1.3. Movimientos de Fluidos viscosos en tubos. Ley de Poiseuille.
Como los efectos de viscosidad se presentan en todos los fluidos, resulta evidente
que la velocidad con que fluye un fluido por un tubo no es la misma en todos los puntos
de una sección transversal.Las paredes del tubo ejercen una fuerza resistente sobre la ca-
pa externa del fluido, que a su vez actúa sobre la
capa inmediata, y ésta sobre la siguiente y así
sucesivamente. Como consecuencia de esto, la
velocidad es máxima en el centro del tubo y dis-
minuye hasta ser nula en las paredes.
 FIG.13
Si la sección del tubo es circular, la distribución de velocidades es parabólica,
como se observa en la fig.13. Se puede demostrar que la ecuación de estas curvas es:
( )2221
4
rR
L
pp
V −−=
η
siendo v la velocidad que corresponde al radio r y p1 y p2 las presiones en los extremos
del tubo de longitud L y radio R.
El caudal de salida es: ( )21
4
8
pp
L
R
Q −=
η
π
relación conocida como Ley de Poiseuille. Ésta expresa que la velocidad de flujo de un
líquido viscoso a través de un tubo es directamente proporcional a la diferencia de pre-
sión entre los extremos del tubo, así como a la cuarta potencia del radio del mismo e
inversamente proporcional a la viscosidad del fluido. La deducción de la Ley de Poi-
seuille se expone en el Anexo II al final del tema.
4.2. Régimen Turbulento o de Venturi.
Se dice que una corriente fluida tiene régimen turbulento cuando se forman en su
seno torbellinos y remolinos, por causa de entremezclarse en su seno las líneas de co-
rriente. El origen de estos torbellinos radica en la viscosidad del fluido, ya que si la dife-
rencia de velocidad entre dos capas al deslizarse una
sobre otra es elevada, la fuerza de rozamiento, obliga a
voltear sobre sí misma la superficie de contacto entre
ambas, dando lugar a remolinos. Es como si la capa más
rápida sacara virutas de la capa más lenta.
También puede interpretarse el origen de los remolinos mediante el efecto Ventu-
ri, ya que en la capa más lenta existirá más presión que en la más rápida y por esto, la
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primera tiende a introducirse en la segunda y al ser arrastrada en su movimiento se ori-
gina el remolino.
4.2.1. Numero de Reynolds.
Los experimentos realizados por Reynolds (1842-1912) con venas líquidas colo-
readas confirman la existencia de los dos regímenes descritos: laminar y turbulento.
Describiremos el experimento de Reynolds.
Consideremos un depósito, A, lleno de agua, provisto de un tubo de salida en su
fondo, que tiene una llave de paso T, para regular la velocidad de salida del fluido a lo
largo del tubo B. Con objeto de hacer visibles las líneas de corriente, se introduce en el
seno del agua, un líquido coloreado mediante el tubo C, conectado a un depósito con la
llave L. Cuando el agua circula lentamente por B el
líquido coloreado se mantiene como un hilillo rec-
tilíneo de color, demostrando la existencia de un
régimen laminar en B. Si vamos abriendo la llave T
y aumentando, en consecuencia, la velocidad de
salida del agua, observamos que, bruscamente, y
para una cierta velocidad crítica v0 el hilillo colo-
reado rectilíneo se deforma apareciendo curvaturas
y remolinos en la corriente, lo que demuestra que
el régimen laminar es inestable a partir de cierta
velocidad, que depende del líquido y del tubo de
modo que:
v < v0 → régimen laminar
v > v0 → régimen turbulento
Reynolds encontró que la velocidad crítica está ligada a la viscosidad η del líqui-
do, a su densidad ρ y al diámetro d de la conducción
d
vc ρ
η.2400=
y la magnitud adimensional: 
η
ρdv
R =
se le denomina numero de Reynolds y se comprueba experimentalmente que, salvo pe-
queñas variaciones debidas al pulimento de las paredes del tubo, para cualquier fluido el
flujo es laminar si R<2000; para valores de R entre 2000 y 4000 el régimen es de trans i-
ción, y para R>4000 el flujo es claramente turbulento. Es una buena aproximación con-
siderar como valor crítico del número de Reynolds el de 2400.
4.2.2. Fuerza de rozamiento en régimen turbulento.
La experiencia nos demuestra la existencia de una fuerza de resistencia que se
opone al movimiento de los cuerpos en el seno de los fluidos. Ya sea el cuerpo o el flui-
do el que se mueve, el régimen de este último puede ser laminar o turbulento, según
sean las fuerzas de resistencia, deformándose las líneas de corriente.
En el caso del régimen turbulento se debe a Newton una fórmula empírica que
permite determinar el valor de la fuerza de rozamiento que aparece en el movimiento de
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un cuerpo respecto de un fluido, con velocidad relativa v superior a la crítica. Dicha
fuerza es:
2
2
1
SvKF ρ=
en donde K es el coeficiente de forma (relación entre la fuerza que actúa sobre él y la
que ejerce sobre el cuerpo patrón) del cuerpo, S es la sección frontal del cuerpo y v es la
velocidad de un fluido de densidad ρ.
Esta expresión nos dice que "la resistencia al movimiento en un fluido con movi-
miento turbulento, es proporcional al cuadrado de la velocidad, es prácticamente inde-
pendiente de la viscosidad del medio y proporcional a la densidad de éste. Es también
dependiente de la forma y la sección transversal del cuerpo".
4.3. Efecto Magnus.
Cuando se lanza una pelota animada de movimiento de rotación sobre sí misma,
su trayectoria no es rectilínea, sino que presenta una curvatura en su trayectoria. Este
fenómeno se conoce como efecto Magnus.
Supongamos un cilindro girando sobre su
eje y situado en el seno de una corriente fluida.
Las líneas de corriente de la parte superior, al te-
ner el mismo sentido que el movimiento del cilin-
dro, son aceleradas por éste a causa de la viscosi-
dad del fluido, mientras que en la parte inferior las
líneas de corriente son retardadas. Al existir una
diferencia de velocidad entre ambas zonas apare-
cerá una diferencia de presión y, por tanto, apare-
cerá una fuerza dirigida hacia la parte superior que
 
 FIG.16
empujará al cilindro en dicha dirección, moviéndose,por tanto, transversalmente a la
corriente.
En este caso, lo esencial no es el cuerpo en sí, sea cilíndrico o esférico, sino la ca-
pa de fluido adherida a la superficie de aquél y que es arrastrada por la rotación del
cuerpo, constituyendo un remolino en el seno de una corriente fluida. Por lo tanto,
siempre que tengamos en un fluido, líneas de corriente que se cierren sobre sí mismas,
la masa limitada por ellas tenderá a moverse transversalmente a la corriente, en el sent i-
do correspondiente al borde del cuerpo en que la velocidad de traslación coincide con la
de giro.
5. APLICACIONES A DISPOSITIVOS TECNOLÓGICOS.
El Teorema de Bernoulli y las consecuencias que de él se derivan, como el efecto
Venturi o el teorema de Torricelli, permiten la construcción de numerosos dispositivos
mecánicos de aplicación a la medida de magnitudes en los fluidos como presiones, ve-
locidades, etc.
De entre los dispositivos más frecuentes y comunes describiremos el pulverizador,
la trompa de vacío, el medidor de Venturi, el tubo de Pitot, el mechero Bunsen, el ven-
tilador de barcos y el frasco de Mariotte.
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5.1. Pulverizador.
Consiste en un frasco cerrado por un tapón horadado
atravesado por un tubo fino sumergido en el líquido. Por el
otro extremo, se sitúa otro tubo con un estrechamiento en su
extremo. Una corriente de aire producida por una pera de
goma P, da lugar a una pérdida de presión en el estrecha-
miento, debido al aumento de velocidad. Esta pérdida de
presión succiona al líquido del frasco de modo que puede
ascender por el tubo vertical y ser dispersado y pulverizado
por la corriente de aire.
 
5.2. Trompa de vacío.
En la trompa de vacío, fig.18, se produce una gran caí-
da de presión en el estrechamiento B del tubo que conduce
agua, y el aire circundante es arrastrado por el chorro de
agua. Si la tubuladura A está unida a otro recipiente, los gases
y vapores contenidos en éste serán succionados por la trom-
pa. Con este mecanismo, pueden conseguirse vacíos hasta del
orden de unas decenas de torr (1 torr=1 mmHg). El grado de
vacío que puede conseguirse con este aparato viene limitado
por la presión saturante del vapor de agua, ya que el reci-
piente estará siempre lleno de tal vapor.
 
5.3. Medidor de Venturi.
El Medidor o Contador de Venturi, llamado también
Venturímetro es un dispositivo que permite medir el cau-
dal o gasto que circula por una tubería. Consiste en un
tubo conductor de fluido con un estrechamiento diseñado
de forma adecuada para evitar turbulencias, que se inter-
cala en la tubería. Lleva acoplado un manómetro diferen-
cial (tubo en U con mercurio) que permite medir la dife-
rencia de presiones p1-p2 entre las secciones rectas de su-
perficies A1 y A2. Aplicando las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli entre los
puntos 1 y 2 resultará: 2211 AvAv =
y 222
2
11 2
1
2
1
vpvp ρρ +=+
y eliminando v2 entre ambas y teniendo en cuenta que:
ghpp m )(21 ρρ −=−
siendo ρm la densidad del líquido manométrico (mercurio) obtenemos:
( )
( )222121
2
AA
gh
Av m
−
−
=
ρ
ρρ
 y el Caudal 
( )
( )22212111
2
AA
gh
AAAvG m
−
−
==
ρ
ρρ
5.4. Tubo de Pitot.
El tubo de Pitot es un aparato que se utiliza para medir la velocidad de una co-
rriente fluida, bien líquida o gaseosa. Consta de un tubo acodado en ángulo recto con
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una de sus aberturas frente a la corriente.
Para el caso de un líquido, una vez que este fluya en régi-
men laminar y se alcance el equilibrio, aplicamos el teorema de
Bernoulli a los puntos 1 y 2 y considerando que el punto 1 no
tiene velocidad con respecto al tubo, nos queda que:
2
21 2
1
vpp ρ+=
siendo: 221 2
1
vghpp ρρ ==− resulta ghv 2=
Para el caso de un gas, la medida de p1–p2 queda determi-
nada por ρ1gh, siendo ρ1 la densidad del líquido manométrico
(fig.21), que hemos supuesto mayor que la del gas, quedando:
ρ
ρ12ghv =
5.5. Mechero Bunsen.
El Mechero de Bunsen, descrito en la fig.22, es el más fre-
cuentemente utilizado en los laboratorios. Tiene un tubo o chi-
menea (1) que sobresale del tubo (2) o zona de alimentación y
mezcla. El gas inflamable que penetra por el conducto lateral es
regulado por la llave (4) y sale a gran velocidad por un estrecho
orificio en el interior de la base del tubo vertical, zona (2), veri-
ficándose una succión de aire exterior por los orificios (5), cuya
abertura puede regularse a voluntad, lo que producirá una com-
bustión más perfecta, con el consiguiente mejor rendimiento del
mechero.
 FIG.22
5.6. Ventilador de Barcos.
Son tubos verticales que conectan las bodegas
del barco con la cubierta y tienen su parte superior
ensanchada y orientable en contra de la dirección del
viento, como se muestra en la fig. 23. Las líneas de
corriente de aire que se aproximan a la boca del tubo
se ven obligadas a estrecharse, lo que da lugar a un
aumento de la velocidad y una disminución de la
presión en la zona de la boca y esto provoca una
succión del aire interior de las bodegas con su consi-
guiente renovación.
5.7. Frasco de Mariotte.
E1 frasco de Mariotte se emplea para conseguir una velocidad de salida constante
de un líquido por un orificio practicado en un depósito. Consiste en un recipiente cerra-
do por un tapón horadado al que atraviesa un tubo cuya boca inferior (punto 1 a nivel
AB) dista del orificio de salida (punto 2) una altura h.
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En el nivel AB existe una presión igual a la atmosférica
Pa, que es la misma que hay en la boca inferior, 2, del tubo.
Aplicando el teorema de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y to-
mando como nivel de referencia el plano horizontal que pasa
por 2, obtenemos:
2
2
2
1 2
1
2
1
vpghvp aa ρρρ +=++
y considerando la sección AB enorme, en comparación con la
sección del orificio de salida, por lo que la velocidad del li-
quido v1 en dicha sección AB es prácticamente nula, tenemos: 
2
22
1
vgh ρρ = à ghv 22 =
y la velocidad de salida es constante al ser constante h. Aunque el recipiente se retroa-
limente de líquido por la parte superior, la altura h permanecerá constante mientras el
tubo 1 permanezca en la misma posición. Al subirlo o bajarlo aumentará o disminuirá
respectivamente la velocidad de salida del líquido.
6. CARACTERÍSTICAS DE LA CIRCULACION SANGUÍNEA
6.1. Circulación en régimen continuo no intermitente. Pulso.
La circulación de la sangre se realiza gracias a los impulsos periódicos que le co-
munica el corazón en sus movimientos de diástole y sístole, sin embargo, el flujo san-
guíneo a lo largo de venas y arterias se realiza de modo continuo debido a la elasticidad
de los vasos que se dilatan al recibir el impulso y se contraen seguidamente, regulando
de esta forma la circulación de la sangre por ellos. Si los vasos sanguíneos fueran de
paredes rígidas la sangre avanzaría a borbotones es decir, con intermitencias.
Para comprender la influencia de la elasticidad de los conductos en la circulación
de la sangre basta realizar la siguiente experiencia: por dos tubos de vidrio A y B em-
palmados mediante un tubo de goma G (fig.25) se hace circular una corriente de agua
que puede bifurcarse siguiendo, bien por el tubo D de vidrio o por el CC' que tiene un
tubo de goma G' empalmando dos trozos de ellos.
Al interrumpir periódicamente el flujo de líquido en el tubo A-B, con ayuda de
una pinza en G, por el tubo D se obtiene un flujo intermitente, mientras que por el C'
fluye el líquido de un modo continuo, gracias a la elasticidad del tubo G', notándose
además en éste las expansiones y contracciones que coinciden con loscortes que se rea-
lizan en G, pudiéndose en consecuencia medir en G' la frecuencia de las intermitencias
o impulsos lanzados por G. En esto se funda el tomar el pulso en la muñeca de una per-
sona.
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6.2. Ecuación de continuidad aplicada a los capilares.
Teniendo en cuenta que la sangre es un líquido de una viscosidad elevada y consi-
derando lo estudiado en el régimen laminar viscoso o de Poiseuille, debe haber una pér-
dida de presión a lo largo de las arterias, vasos y capilares y en consecuencia la presión
sanguínea tendría que ser más baja en las extremidades que en la proximidad del cora-
zón. Ahora bien, sucede que la sección total de los capilares es superior a la de los vasos
de los que deriva y, por lo tanto, en virtud de la ecuación de continuidad, la velocidad de
la sangre disminuye al alejarse del corazón, y por el efecto Venturi, se producirá un in-
cremento de la presión que tiende a compensar las pérdidas sufridas por rozamientos a
lo largo de arterias, venas y capilares.
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA
Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCIA y Carlos
GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.
Manuel R.ORTEGA GIRON. Lecciones de FISICA. Mecánica 3 Departamento
de Física Aplicada. Universidad de Córdoba. CÓRDOBA..
Joaquín CATALA DE ALEMANY. Física General. SABER, Entidad española de
Librería. VALENCIA.
Francis W. SEARS. Fundamentos de Física I. Mecánica, Calor y Sonido. Editorial
Aguilar. 1967. Madrid.
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20/23
ANEXO I
Forma General de la Ecuación de Continuidad.
Consideremos un volumen elemental dτ=dx·dy·dz,
centrado en el punto P y en el interior de un fluido en
movimiento. Si llamamos ),,( zyx vvvv
r
 a la velocidad del
fluido en P, las componentes según el eje X de la veloci-
dad sobre las caras A1 y A2 del elemento de volumen se-
rán respectivamente:
21
dx
x
v
vv xxx ⋅∂
∂
−= ; 
22
dx
x
v
vv xxx ⋅∂
∂
+=
y la masa que en un tiempo dt entra por la cara A1 es: 11 .. 1 Adtvdm xρ=
con lo que: dzdy
dx
x
v
v
dt
dm x
x .2
1 



 ⋅
∂
∂
−= ρ
y la masa que en el tiempo dt sale por la cara A2 es: 22 .. 2 Adtvdm xρ=
con lo que: dzdy
dx
x
v
v
dt
dm x
x .2
2 



 ⋅
∂
∂
+= ρ
El aumento de la masa de fluido que se produce en el volumen dτ en el tiempo dt,
debido al flujo en la dirección del eje X es pues:
τρρ d
x
v
dzdydx
x
v
dt
dm
dt
dm
dt
dm xx
X ∂
∂
−=
∂
∂
−=−=



 ..21
Si repetimos el cálculo para los otros dos pares de caras del elemento dτ en las di-
recciones de los ejes Y y Z, se obtienen ecuaciones semejantes y a partir de ellas se ob-
tiene la variación temporal de la masa del elemento considerado, que resulta:
( ) ( ) ( )
τ
ρρρ
d
z
v
y
v
x
v
dt
dm zyx




∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
...
Por otro lado, la masa contenida en el elemento dτ en un instante dado t, es:
dm=ρ·dτ
y si la densidad cambia con el tiempo, las variaciones de la masa y de la densidad ven-
drán relacionadas por la expresión:
τρ d
tdt
dm ⋅
∂
∂= à 0=−⋅
∂
∂
dt
dm
d
t
τρ
y sustituyendo la anterior, resulta:
0
).().().( =
∂
∂+
∂
∂
+
∂
∂+
∂
∂
z
v
y
v
x
v
t
zyx ρρρρ
o sea: ( ) 0. =•∇+
∂
∂
v
t
rρρ
que es la ecuación de continuidad para fluidos en movimiento. Para el caso de que el
líquido sea incompresible, la densidad será constante y la ecuación se reduce a que la
divergencia se hace cero: 0=•∇ vr
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ANEXO II
Deducción de la Ley de Poiseuille.
Consideremos una porción de tubo de radio R y lon-
gitud L, a través del cual fluye un líquido de viscosidad η.
Sean p1 y p2 las presiones en los extremos del tubo. Un pe-
queño cilindro de radio r se halla en equilibrio (moviéndose
con velocidad constante) accionado por la fuerza debida a la
diferencia de presión entre sus extremos (p1-p2), menos la
fuerza retardadora de la viscosidad, que actúa en su superfi-
cie exterior. 
La primera de dichas fuerzas vale: ( ) 221 rpp π−
y la fuerza de viscosidad es:
dr
dv
rL
dr
dv
AF πηη 2.. −=−=
en la cual el signo menos se introduce debido a que la velocidad v disminuye al aumen-
tar r. Igualando ambas fuerzas, se obtiene:
( )
L
r
pp
dr
dv
η221
−=− à drr
L
pp
dv .
2
21 ⋅−=−
η
La integración de esta ecuación diferencial conduce a:
Cr
L
pp
v +−=− 221
4η
y por ser v=0 para r=R tendremos: CR
L
pp +−= 221
4
0
η
 à 221
4
R
L
pp
C
η
−−=
y sustituyendo: ( )2221
4
rR
L
pp
v −−=
η
que es la ecuación de una parábola.
Para calcular el caudal Q, consideremos el elemento de fluido infinitesimal en
forma de superficie cilíndrica de radio r y espesor dr y el caudal dQ que corresponde a
este elemento, será:
== dAvdQ . ( ) rdrrR
L
pp π
η
2.
4
2221 −−
e integrando: 
( ) ( )∫ ∫ −
−==
R
drrrR
L
pp
dQQ
0
2221 .
4
2
η
π
 o sea ( )21
2
8
pp
L
R
Q −=
η
π
que expresa la Ley de Poiseuille.
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Tratamiento Didáctico
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OBJETIVOS
Mostrar el comportamiento de los fluidos en movimiento, desde una situación ideal
(régimen estacionario) hasta la situación real (régimen laminar y turbulento).
Estudiar las leyes básicas que regulan el comportamiento de los fluidos en movi-
miento y razonar sus múltiples aplicaciones tecnológicas.
Aplicar este estudio a explicar múltiples fenómenos de la naturaleza, especialmente
los relacionados con los seres vivos.
Demostrar que las leyes particulares que rigen la Dinámica de Fluidos son aplica-
ciones y consecuencias de los principios de conservación de la energía y la masa.
UBICACIÓN
En la Enseñanza Secundaria, se explicará el tema dentro de los cursos de Bachille-
rato, ubicando en el 1º curso, lo referente al régimen estacionario, sus leyes y compor-
tamientos y en el 2º curso, lo referente al régimen laminar y turbulento, aunque no está
contemplado en los actuales currículos de la Enseñanza Secundaria.
TEMPORALIZACIÓN
Seis horas de clase para la explicación teórica del tema incluyendo la realización
de problemas numéricos.
Dos horas dedicadas a procedimientos experimentales: experimentos de cátedra,
prácticas de los alumnos y medios audiovisuales.
METODOLOGÍA
Explicación exhaustiva de los conceptos de la Dinámica de Fluidos, principios y le-
yes que los regulan, mostrando continuamente aplicaciones e imágenes de la realidad
relacionados con estos temas, para demostrar la íntima conexión entre la teoría explica-
da y la realidad que nos rodea.
Implicar al alumno en la explicación, mediante una metodología activa y participa-
tiva, preguntando, discutiendo, razonando y obligándolo a interpretar y obtener conclu-
siones de las explicaciones de clase.
Realización de experimentos de laboratorio que ilustren al alumno fenómenos estu-
diados y sus aplicaciones a las situaciones reales.
Resolución de problemas numéricos sobre movimiento de fluidos haciendo especial
hincapié en la utilización del Sistema Internacional de unidades y la transformación de
otras unidades comúnmente utilizadas.
CONTENIDOS MÍNIMOS
Regímenes ideal (estacionario) y reales (laminar y turbulento). Características que
los distinguen.
Conservación de la masa: ecuación de continuidad.
Conservación de la energía: teorema de Bernoulli.
Aplicaciones tecnológicas principales del teorema de Bernoulli.
Teorema de Torricelli.
Ley deBunsen.
Régimen laminar. Concepto de coeficiente de viscosidad.
Movimiento de un fluido viscoso en un tubo. Ley de Poiseuille.
La circulación de la sangre a la luz de las leyes de la dinámica de los fluidos.
MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Libro de Texto complementado con apuntes tomados en clase de las explicaciones
del Profesor, subrayando los conceptos fundamentales.
Material de laboratorio sencillo y adecuado a prácticas de Hidrodinámica: manó-
metros, viscosímetros, tubos de Pitot, transparencias de hidrodinámica.
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Hojas de problemas de Dinámica de Fluidos que incluya ejercicios de la ley de
Bernoulli, ecuación de continuidad, teorema de Torricelli, ley de Bunsen y ley de Poi-
seuille.
Medios audiovisuales como: transparencias de hidrodinámica para retroproyector y
vídeos didácticos sobre fluidos en movimiento (de la serie El Universo Mecánico).
EVALUACIÓN
Pruebas objetivas escritas de carácter teórico sobre los conceptos básicos del tema,
valorando comprensión, memorización y aplicación de estos conceptos.
Pruebas escritas con problemas numéricos que incluya unidades variadas para obli-
gar al cambio de unidades y exigiendo resolución completa con utilización de máquinas
calculadoras.
Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas (3 falsas y 1 cierta)
que obligue al alumno al razonamiento de las situaciones planteadas.
Valoración de las prácticas realizadas en el laboratorio.