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© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 30
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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA
(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)
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TEMA 30
TEORÍA CUÁNTICA. PROBLEMAS PRECURSORES. LÍMITES DE LA FÍ-
SICA CLÁSICA PARA RESOLVERLOS. FENÓMENOS QUE CORROBORAN LA
TEORÍA CUÁNTICA.
Esquema
1. Introducción a la Teoría Cuántica.
2. Problemas precursores de la Teoría Cuántica.
2.1. Radiación del cuerpo negro.
2.1.1. Ley de Rayleigh-Jeans
2.1.2. Ley de Planck de la radiación.
2.1.3. Hipótesis de Planck
2.2. Efecto Fotoeléctrico.
2.2.1. Limitaciones de la teoría clásica para su explicación.
2.2.2. Propiedades de la emisión fotoeléctrica.
2.3. El efecto Compton.
2.4. Espectros atómicos.
2.4.1. Serie de Balmer: Ecuación de Balmer.
2.4.2. Otras series espectrales: Lyman, Paschen, Brackett y Pfund.
2.4.3. Espectros de emisión y de absorción.
2.5. El átomo de Bohr.
2.5.1. Limitaciones de la física clásica.
2.5.2. Postulados de Bohr.
2.5.2.1. Demostración de la energía de los estados cuánticos.
2.5.2.2. Concordancia con los resultados empíricos de Balmer.
3. Consecuencias de la Teoría Cuántica.
3.1. Propiedades corpusculares de las ondas electromagnéticas.
3.2. Propiedades ondulatorias de las partículas.
3.2.1. Difracción de electrones.
3.3. Las transiciones atómicas estimuladas: el láser.
4. Conclusión final sobre la teoría cuántica.
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TEMA 30
TEORÍA CUÁNTICA. PROBLEMAS PRECURSORES. LÍMITES DE LA FÍ-
SICA CLÁSICA PARA RESOLVERLOS. FENÓMENOS QUE CORROBORAN LA
TEORÍA CUÁNTICA.
1. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA CUÁNTICA
Todos los fenómenos relacionados con la interacción de luz con luz, como es el
caso de las interferencias y la difracción, así como la polarización, pueden ser descritos
y explicados con una teoría basada en el modelo ondulatorio de la luz, en especial la
teoría electromagnética de Maxwell. Pero cuando se intenta estudiar las interacciones de
la luz con la materia, como emisión, absorción y dispersión de luz por la materia, se
presentan serias dificultades con la teoría ondulatoria. En algunos fenómenos no se trata
de pequeñas desviaciones entre teoría clásica y resultados experimentales, sino que la
teoría predice resultados en completa contradicción con los resultados observados expe-
rimentalmente.
Históricamente el primer caso de este tipo se encontró al intentar explicar la dis-
tribución de energía en el espectro de un cuerpo calentado a alta temperatura, (radiación
del cuerpo negro). Posteriormente se hicieron patentes otros fallos de la teoría clásica, al
intentar explicar fenómenos de emisión y absorción de luz en el efecto fotoeléctrico y el
efecto Compton. Igualmente las rayas espectrales de la luz emitida por los elementos
gaseosos a alta temperatura, resultaban inexplicables por la teoría clásica e igualmente
la generación de rayos X producidos por el choque de electrones rápidos sobre superfi-
cies metálicas, requerían una revisión profunda de toda la teoría electromagnética clási-
ca y de toda la mecánica newtoniana.
Los ejemplos descritos son algunos de los más sencillos, en los cuales la teoría
ondulatoria fallaba completamente. En otras interacciones más complejas entre radia-
ción y materia, tropieza con dificultades insuperables cuando intenta dar una explica-
ción cuantitativa de los hechos. Así el efecto Zeeman, el efecto Zeeman anómalo, y
otros fenómenos atómicos, sólo se pueden explicar en el marco de una nueva teoría,
surgida a principios de este siglo llamada teoría cuántica.
Entre los años 1900 y 1930 hubo una revolución en la física que dio lugar a la
Mecánica Cuántica. Este nuevo enfoque tuvo mucho éxito para explicar el comporta-
miento de los átomos, moléculas y núcleos. También se puede aplicar a los fenómenos
macroscópicos ordinarios, aunque en este caso, las desviaciones de la mecánica newto-
niana resultan despreciables. Como en el caso de la relatividad, la teoría cuántica re-
quiere una modificación de nuestras ideas relacionadas con el mundo físico.
Los conceptos básicos de la teoría cuántica fueron introducidos originalmente por
Max Planck, pero los progresos matemáticos y las interpretaciones posteriores a la luz
de estas ideas cuánticas se debieron a la aportación de un gran número de físicos entre
los que podemos mencionar a Einstein, Bohr, Schrödinger, de Broglie, Heisenberg,
Born y Dirac. Einstein frecuentemente desempeñó el papel de crítico.
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2. PROBLEMAS PRECURSORES DE LA TEORIA CUANTICA
2.1. Radiación del Cuerpo Negro.
Cuando un cuerpo es calentado emite radiación térmica cuyas características de-
penden de la temperatura y propiedades del objeto. A bajas temperaturas, las longitudes
de onda de la radiación se ubican principalmente en la región infrarroja y no se pueden
observar a simple vista. A medida que se eleva la temperatura el cuerpo empezará a
brillar con tendencia hacia el rojo. A temperaturas suficientemente altas, parece ser
blanca. Un análisis cuidadoso de esta radiación muestra una distribución continua de
longitudes de onda que incluyen las zonas infrarroja, visible y ultravioleta del espectro.
A la luz de la teoría clásica la radiación térmica se origina por el movimiento de
partículas cargadas perteneciente a los átomos y moléculas del objeto emisor. Las acele-
raciones de estas cargas, en su movimiento aleatorio, presentan una distribución tan
variada que explican el espectro continuo de la radiación emitida por el objeto. A finales
del siglo XIX, llegó a ser evidente que la teoría clásica de la radiación térmica era ina-
decuada pues no explicaba con claridad la distribución de energía en la radiación. El
problema principal se relacionaba con la interpretación de la disposición espectral de la
radiación emitida por un cuerpo negro.
Por definición, un cuerpo negro es un sistema ideal que absorbe toda la radiación
que llega a él. Un símil que nos permite imaginar un cuerpo negro ideal es un material
resistente al calor que contenga una cavidad y una abertura muy pequeña que conduce a
la cavidad. La radiación que entra por la cavidad sufre en su interior múltiples reflexio-
nes y absorciones que finalmente no sale por la cavidad ningún resto de la radiación
incidente. La naturaleza de la radiación emitida por un cuerpo negro sólo depende de la
temperatura de las paredes de la cavidad que se suponen en equilibrio térmico con la
radiación. En la fig.1 se ilustran los datos experimentales de la distribución de energía
de la radiación en función de la longitud de onda, para distintas temperaturas.
Se puede observar que la energía radiada varía con la longitud de onda y con la
temperatura. Además, a medida que aumenta la temperatura aumenta la intensidad total
(área bajo la curva), y el pico de la distribución se desplaza hacia longitudes de onda
menores.
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2.1.1. Ley de Rayleigh-Jeans.
Cuando se intentó dar una interpretación física, basada en el modelo clásico, a es-
tas curvas de distribución de energía, se llegó a un completo fracaso. Para describir el
espectro de radiación conviene definir la magnitud que describe la energía radiada por
el cuerpo negro como la Intensidad de radiación:
( ) λλ dtI .,
que es la potencia (energía por unidad de tiempo) que atraviesa la unidad de área normal
a la dirección de propagación, emitida en un intervalo de longitud de onda dλ. El primer
intento de interpretación basado en un modelo clásico de la radiación del cuerpo negro
se conoce como ley de Rayleigh-Jeans:
 ( ) 4
2
,
λ
πλ ckTTI = (1)
donde k es la constante de Boltzmann. En este modelo,los átomos de la cavidad del
cuerpo negro, se consideran como osciladores atómicos que emiten radiaciones elec-
tromagnéticas en todas las longitudes de onda del espectro y la energía media emitida es
proporcional a la temperatura.
La validez de la ley de Rayleigh-Jeans se muestra en la fig.2,
donde, junto a la gráfica de distribución de energía del cuerpo ne-
gro se muestra la gráfica de distribución prevista por la ley de Ra-
yleigh-Jeans. A grandes longitudes de onda, esta ley prevé resulta-
dos razonablemente concordantes con los datos experimentales,
pero en longitudes de onda corta se producen grandes discrepan-
cia. Se observa que cuando λ→0, la energía I(λ,t) se aproxima a
infinito, lo cual es contrario a los resultados experimentales
[I(A,t)→0 cuando λ→0]. Esta contradicción se denomina “catás-
trofe del ultravioleta”. Otro problema es que predice una densidad FIG. 2
de energía total infinita, pues todas las longitudes de onda son posibles y en la teoría del
campo electromagnético, una energía infinita, es imposible.
2.1.2. Ley de Planck de la radiación.
Max Planck propuso una fórmula empírica, en 1900, para explicar la radiación del
cuerpo negro que coincidía con las curvas experimentales en todas las longitudes de
onda: ( ) ( )1
2
,
5
2
−
=
kThce
hc
TI
λλ
πλ (2)
donde h es la constante de Planck: h=6’626.10-34 J.s
k es la constante de Boltzmann: k=1’381.10-23J/K
c es la velocidad de la luz: c=2’997929.108 m/s
e es la base de los logaritmos neperianos.
Para longitudes de onda largas esta expresión se reduce a la de Rayleigh, como
demostramos a continuación:
como: ...
!3!2
1
32
++++= xxxe x
para: kThcx λ= resultará: kThcee kThcx λλ +== 1
y kThckThce kThc λλλ =−+=− 111 y sustituyendo:
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( ) 45
2 2
.
2
,
λ
π
λλ
πλ ckT
kTch
hc
TI ==
2.1.3. Hipótesis de Planck.
Para justificar la expresión (2), Planck tuvo que establecer hipótesis aventuradas
sobre los modos de vibración de un oscilador armónico. La energía de un oscilador ar-
mónico es discreta, solamente puede tener valores que sean múltiplos enteros de una
cantidad mínima o “cuanto” de energía de valor:
νhE = (3)
donde ν es la frecuencia de la oscilación. Esta hipótesis resultó de importancia trans-
cendental en todo el desarrollo posterior de la física.
2.2. El Efecto Fotoeléctrico.
El Efecto Fotoeléctrico, descubierto por Hertz, consiste en que al incidir la luz so-
bre ciertas superficies metálicas, éstas emiten electrones, llamados fotoelectrones. En la
fig.3 se muestra un esquema del aparato que se puede emplear para la observación de
efecto fotoeléctrico.
Un tubo vacío contiene un cátodo metálico C y un
ánodo A entre los que se mantiene una diferencia de poten-
cial constante mediante un generador de c/c. Cuando el tubo
está en oscuridad, el galvanómetro G indica cero, lo que
significa que no detecta paso de corriente por el circuito. Sin
embargo, cuando se ilumina el cátodo con la luz monocro-
mática de A apropiada, el galvanómetro detecta una co-
rriente que se debe a los fotoelectrones emitidos por el cáto-
do y recogidos por el ánodo cerrando el circuito.
Se observa que para grandes valores de la diferencia
de potencial V,la corriente alcanza un valor máximo que co-
rresponde a la captación máxima de fotoelectrones por el ánodo. Se observa también
que la corriente aumenta cuando se aumenta la intensidad de luz incidente, lo que re-
sulta obvio. Sin embargo, cuando la diferencia de potencial Ves negativa y el cátodo se
convierte en positivo, los fotoelectrones serán repelidos por el ánodo negativo. Sólo los
que electrones tengan energías cinéticas mayores que un cierto valor, dado por eV0 al-
canzarán el ánodo. V0, llamado potencial de detención, representa el potencial de corte
por debajo del cual ningún electrón alcanzará el ánodo y la corriente será cero.
En la fig.4 se muestra una gráfica de la co-
rriente fotoeléctrica frente a voltajes, para dos inten-
sidades luminosas diferentes. La corriente eléctrica de
los fotoelectrones aumenta con la intensidad lumino-
sa, pero alcanza un nivel de saturación a grandes va-
lores del potencial V. Para voltajes iguales o menores
que –V0 la corriente no existe. La energía cinética
máxima de los fotoelectrones viene dada por eV0.
 
 FIG. 4
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2.2.1. Limitaciones de la teoría clásica para su explicación.
La Física Clásica y la Teoría Electromagnética de la luz no pueden explicar satis-
factoriamente el Efecto Fotoeléctrico y vamos a destacar aquí las características que
resultan inexplicables por la teoría clásica:
1. No se emiten electrones por debajo de un cierto valor de la frecuencia de la
luz incidente llamada frecuencia umbral que depende del material iluminado. La teoría
ondulatoria, sin embargo predice que la emisión fotoeléctrica debe ocurrir a cualquier
frecuencia, suponiendo que la intensidad luminosa es suficientemente alta.
2. Si la frecuencia de la luz es mayor que la frecuencia umbral se produce la
emisión de fotoelectrones y el número de electrones emitidos es proporcional a la inten-
sidad luminosa. Sin embargo la energía cinética máxima de los fotoelectrones no de-
pende de la intensidad de la luz, hecho que no se puede explicar por la teoría clásica.
3. La energía cinética máxima de los fotoelectrones aumenta únicamente con la
frecuencia de la radiación luminosa y no con la intensidad de la luz incidente.
4. Los electrones se emiten desde el cátodo casi instantáneamente, incluso cuan-
do las intensidades luminosas son bajas. Según la física clásica, era lógico un retraso en
la emisión fotoelectrónica ya que los electrones requirieran un cierto tiempo para absor-
ber la radiación ondulatoria incidente, antes de adquirir la energía suficiente para esca-
par del metal.
2.2.2. Propiedades de la emisión fotoeléctrica.
En 1905, Einstein demostró que los resultados experimentales disponibles hasta
entonces sobre este efecto, eran explicables aceptando como un hecho el que “la radia-
ción electromagnética se emite y absorbe en forma de cuantos de energía hν, o fotones,
y no de forma continua”.
En el efecto fotoeléctrico, un fotón es asimilado íntegro por un electrón invirtién-
dose su energía, en parte, en trabajo de extracción para salir del metal (Φ0) y el resto en
energía cinética del electrón. Al ser la energía del fotón proporcional a la frecuencia de
la radiación se comprende que el efecto fotoeléctrico sea provocado, únicamente, por las
radiaciones de gran frecuencia. La energía cinética máxima del fotón emitido está dada
por: 0Φ−= νhECMAX (5)
A la luz de la teoría corpuscular (fotónica) de la luz pueden explicarse las caracte-
rísticas del efecto fotoeléctrico, que no se podrían explicar utilizando la teoría ondulato-
ria clásica:
1. El efecto fotoeléctrico no se observa por debajo de la frecuencia umbral. Se
explica considerando que la energía cinética máxima es igual a hν-Φ0, es decir, si la
energía del fotón incidente no supera la función de trabajo Φ0, los electrones nunca se-
rán expulsados de la superficie, independientemente de la intensidad de la luz.
2. La energía cinética máxima ECMAX es independiente de la intensidad de la luz
incidente. Se explica considerando en la teoría fotónica que si la intensidad luminosa se
duplica también se duplica el número de fotones y por ello el número de fotoelectrones
emitidos, pero su energía cinética depende exclusivamente de la energía de los fotones,
que es función de su frecuencia y no del número de ellos.
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3. La energíacinética máxima ECMAX aumenta con la frecuencia de los fotones.
Se explica mediante la ecuación del efecto fotoeléctrico de Einstein, puesto que depende
exclusivamente de la frecuencia.
4. Los electrones son emitidos casi instantáneamente. Se explica considerando
que la partícula de luz (fotón) posee un paquete de energía hν concentrado en ella, en
vez de extenderse la energía en una gran área, como ocurriría en la teoría ondulatoria.
Los resultados experimentales de Millikan, obte-
nidos diez años después de que Einstein explicase el
fenómeno se resumen en la fig.5, en la que la pendiente
de la recta es h. Su intersección con el eje horizontal
proporciona la frecuencia de corte ν0, que se relaciona
con la función de trabajo a través de ν0=Φ/h. Esto co-
rresponde a una longitud de onda de corte:
FIG. 5
 
Φ
=
Φ
== hc
h
cc
c
c ν
λ (6)
Las longitudes de onda mayores que λc para un material con función de trabajo Φ
no producen efecto fotoeléctrico.
2.3. El Efecto Compton.
En 1921, Arthur H.Compton logró determinar el movimiento de un fotón y de un
solo electrón, antes y después de un choque entre ellos, y encontró que se comportaban
como cuerpos materiales que tenían energía cinética y momento lineal, cuyas dos mag-
nitudes se conservan después del choque. Este experimento fue una evidencia experi-
mental sobre la existencia de los fotones.
El experimento de Compton consistía en la dispersión de rayos X por electrones
en un blanco de carbono. Se midió la intensidad de los rayos X dispersados en función
de su longitud de onda y para varios ángulos de dispersión. Se observó que los rayos X
dispersados tenían una longitud de onda λ ligeramente mayor que la de los rayos X in-
cidentes λ0. Esta variación de la longitud de onda ∆λ=λ-λ0 se denominó corrimiento de
Compton y varía con el ángulo de dispersión. Este resultado no puede explicarse me-
diante la teoría ondulatoria clásica ya que según este modelo, los rayos X se consideran
como ondas electromagnéticas de frecuencia ν0 que inciden sobre un material que con-
tiene electrones. Las ondas electromagnéticas causarían oscilación de los electrones y
éstos a su vez emitirían de ondas electromagnéticas de la misma frecuencia ν0, y por
tanto las ondas dispersadas deberían tener igual frecuencia y longitud de onda que la
incidente; lo que es contrario a los resultados experimentales.
A la luz de la teoría fotónica, Compton interpretó el proceso de dispersión como
una colisión elástica de una partícula (fotón) con otra (electrón). En este modelo el fotón
se considera como una partícula con energía:
λ
ν chhE ==
Se considera que la masa del fotón en reposo es nula, por lo que el momento li-
neal del fotón puede describirse por:
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λν
ν h
c
h
c
h
c
E
p ==== (7)
La colisión entre un fotón incidente de longitud de onda λ0 y un electrón inicial-
mente en reposo, se muestra en la fig.6. Como resultado del choque, parte de la energía
del fotón se transfiere al electrón, que sufre una perturbación de su estado de reposo. La
energía y la frecuencia del fotón dispersado se reducen y su longitud de onda aumenta.
Suponiendo que la energía y el momento lineal se conservan durante la colisión, se ob-
tiene la relación para el corrimiento en la longitud de onda del fotón dispersado:
 ( )θλλλ cos10 −=−=∆ mc
h
(8)
que vamos a demostrar detalladamente a continuación.
Llamaremos: Energía del fotón incidente: E0=hν0
Energía del electrón en reposo: Ee=m0c2
Energía del fotón dispersado: E=hν
Energía del electrón dispersado: E’ 22420 cpcm += (9)
Aplicando el principio de conservación de la energía al impacto de las partículas:
 νν hEhcm +=+ '0
2
0 (10)
Aplicando el principio de conservación del momento lineal:
Eje X: φθ
λλ
cos.cos
0
mv
hh +=
Eje Y: φθ
λ
sen.sen0 mv
h −=
Despejando cosφ y senφ, elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro las
ecuaciones resultantes, tendremos:
 











=






−=
2
222
2
0
222
sensen
coscos
θ
λ
φ
θ
λλ
φ
h
vm
hh
vm
 
22
0
222 sencos 



+



−== θ
λ
θ
λλ
hhh
vmp (11)
Despejando E’ de la expresión (10), elevando al cuadrado y sustituyendo (9) pre-
viamente elevada al cuadrado, resultará:
( )22002' cmhhE +−= νν
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( )220022420 cmhhcpcm +−=+ νν (12)
sustituyendo en ésta, la expresión (11) resulta:
( )












+



−+=+−
22
0
242
0
22
00 sencos θλ
θ
λλ
νν hhhccmcmhh (13)
y desarrollando el corchete del último término:
 θ
λ
θ
λλ
θ
λλ
2
2
2
0
2
22
2
2
2
0
2 sencos
2
cos 



+−



+


 h
c
h
c
h
c
h
c (14)
y sustituyendo las frecuencias: 
λ
ν c= 
0
0 λ
ν c=
( ) ( ) ( ) θνθννθνν 22022220 sencos.2cos hhhh +−+
( ) ( ) [ ] θννθθνν cos.2sencos 0222220 hhh −++
( ) ( ) θνννν cos.2 02220 hhh −+
y el segundo miembro de la ecuación (13) quedará:
 ( ) ( ) θνννν cos.2 02220420 hhhcm −++ (15)
desarrollando ahora el primer miembro de la ecuación (13) tendremos:
( ) ( ) 20042020 2 cmhhcmhh νννν −++−
 ( ) ( ) ( ) 20042002220 22 cmhcmhhh νννννν −++−+ (16)
e igualando ambos miembros ya desarrollados en las ecuaciones (16) y (15) y cancelan-
do los términos comunes, tendremos:
( ) 20002 22 cmhh νννν −+− = θνν cos.2 02h−
y simplificando 2h: ( ) 2000 cmh νννν −+− = θνν cos.0h−
( ) ( ) ννθνν 0200 cos1−=− hcm
( )θ
νν
νν
cos120
0
0 −=− hcm → ( )θ
νν
cos1
11
00
−=



−
cm
h
c
 ( )θλλ cos1
0
0 −=− cm
h
(8)
En esta expresión, conocida como ecuación del corrimiento Compton, λ es la lon-
gitud de onda del fotón dispersado, m0 es la masa del electrón y θ es el ángulo entre las
direcciones de los fotones incidente y dispersado. El factor h/m0c que tiene dimensiones
de longitud, se denomina longitud de onda Compton. Obsérvese que el corrimiento de-
pende del ángulo de dispersión θ y no de la longitud de onda. Los resultados experi-
mentales de los rayos X dispersados desde varios blancos están en excelente concordan-
cia con los datos teóricos obtenidos a partir de la ecuación (8), lo cual confirma nueva-
mente la validez de la hipótesis fotónica.
El efecto Compton es un fenómeno cuántico, lo que puede comprobarse conside-
rando h próxima a cero, para ver si las predicciones cuánticas concuerdan con las leyes
de la física clásica. En efecto, si en la ecuación (8), consideramos h→0 entonces ∆λ→0,
es decir, no hay variación de la longitud de onda del fotón incidente lo que concuerda
con la predicción de la física clásica.
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2.4. Espectros atómicos.
Los gases cuando se encuentran enrarecidos, a baja presión, y se les somete a
fuertes diferencias de potencial eléctrico en tubos debidamente preparados con electro-
dos o se les eleva suficientemente la temperatura, emiten luz visible y otras radiaciones
no visibles del espectro electromagnético. La luz emitida por el gas, cuando se descom-
pone en un espectroscopio muestra un espectro discreto (no continuo) formado por una
serie de rayas separadas (imágenes de la ranura colimadora) con frecuencias diferentes.
El espectro de cada gas es característico del gas y, a modo de documento de identidad,
sirve para identificar el gas. Si consideramos que el gas se encuentra a baja presión,
puede suponerse que cada átomo, al emitir luz, está libre de las influencias de otros
átomos, por lo que el espectro de emisión es característico del átomo. Esta consecuencia
experimental debe ser tenida en cuenta en cualquier modelo atómico que se establezca.
Experimentalmente se realizaen un tubo vacío lleno de un gas a baja presión y
sometido a una descarga eléctrica. El tubo emite luz, que se analiza en un espectrosco-
pio que contenga una abertura estrecha. Se observará una serie de rayas correspondien-
tes a longitudes de onda diferente. Esto se conoce como espectro de líneas. Las longitu-
des de onda contenidas en un determinado espectro permiten la identificación de los
elementos contenidos en una sustancia química.
2.4.1. Serie de Balmer. Ecuación de Balmer.
Los datos espectrográficos obtenidos en el análisis de los espectros de muchos ga-
ses demuestran que las rayas de los espectros atómicos se agrupan series espectrales,
constituidas por rayas que al aumentar la frecuencia van disminuyendo de intensidad y
aproximándose entre sí.
El espectro mejor estudiado es el espectro del átomo de hidrógeno y en él, la pri-
mera serie fue estudiada por Balmer que encontró una serie de rayas en la región del
visible, como se muestra en la fig.7:
FIG. 7
Balmer encontró que las longitudes de onda de estas líneas se podían describir
matemáticamente por la expresión empírica siguiente:
 



 −= 22
1
2
11
n
R
λ
(17)
donde n es un número natural que tomará los valores n=3,4,5,6, ... y R es una constante,
denominada constante de Rydberg. En el Sistema Internacional, la constante valdrá:
R=10.196.775’8 /m (ó 101.967’758 cm-1)
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2.4.2. Otras series espectrales: Lyman, Paschen, Brackett y Pfund.
Además de la serie de Balmer, que se presenta en el visible, el espectro del átomo
de hidrógeno presenta otras cuatro serien más, situadas en otras zonas del espectro elec-
tromagnético y que llevan los nombres de sus descubridores. La primera de ellas, la
serie de Lyman se presenta en el ultravioleta y las otras, serie de Paschen, serie de
Brackett y serie de Pfund se presentan en el infrarrojo cada vez más lejano.
Serie de Lyman 



 −=
22
1
1
11
n
R
λ
 n=2,3,4,5,6,…
Serie de Paschen 



 −=
22
1
3
11
n
R
λ
 n=4,5,6,7,8,…
Serie de Brackett 



 −=
22
1
4
11
n
R
λ
 n=5,6,7,8,9,…
Serie de Pfund 



 −=
22
1
5
11
n
R
λ
 n=6,7,8,9,10,…
En todas las series aparece la misma constante R de Rydberg. Expresiones seme-
jantes se obtienen para otros elementos distintos del hidrógeno, solo que hay ligeras
variaciones en el valor de la constante R de un átomo a otro como consecuencia de las
diferentes masas atómicas.
2.4.3. Espectros de emisión y de absorción.
Un elemento tiene capacidad para emitir luz de longitudes de onda específicas, lo
que da lugar a un espectro de emisión con la aparición de las rayas correspondientes.
Dicho elemento puede también absorber luz de longitudes de onda determinadas, dando
lugar a un espectro de absorción, en el cual sobre un espectro continuo de luz, aparecen
unas rayas negras que representan la ausencia de esas determinadas frecuencias o lon-
gitudes de onda absorbidas por la sustancia.
Experimentalmente, un espectro de absorción puede obtenerse mediante el paso
de un haz continuo de luz blanca (espectro completo) a través del vapor del elemento
que se está analizando. El espectro resultante consta de una serie de rayas oscuras su-
perpuestas al espectro continuo emitido por la fuente luminosa. Se observa que cada
raya oscura del espectro de absorción coincide con una raya luminosa del espectro de
emisión. Sin embargo, normalmente, no todas las líneas del espectro de emisión de un
elemento se ven en el espectro de absorción correspondiente. Para observar algunas
series en un espectro de absorción, habitualmente se hace necesario elevar la temperatu-
ra del gas a valores extremadamente altos.
El espectro de absorción de un elemento tiene muchas aplicaciones prácticas, por
ejemplo, la luz blanca emitida por el Sol, al pasar a través de los gases fríos de la atmós-
fera solar y de la atmósfera terrestre sufre absorciones que se manifiestan como rayas
oscuras que salpican el espectro continuo del sol. Las diferentes rayas de absorción ob-
servadas han sido útiles para identificar elementos en las atmósferas solar y terrestre. El
mismo método se utiliza para analizar la composición de las estrellas y de las galaxias.
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2.5. El átomo de Bohr
2.5.1. Limitaciones de la Física Clásica.
La Física Clásica entra en el siglo XX en una profunda crisis ante la imposibilidad
de explicar el origen de los espectros atómicos y otras características que se postulaban
en los incipientes modelos atómicos propuestos. Resultaba inexplicable, por ejemplo, la
estabilidad de las órbitas circulares de los electrones alrededor del núcleo. Según la teo-
ría electromagnética de Maxwell, toda partícula cargada acelerada (el electrón posee
aceleración centrípeta) se convierte en emisora de radiación electromagnética y por
tanto perdería energía al exterior. El electrón, como tal partícula cargada, al girar alre-
dedor del núcleo, emitiría energía radiante, disminuiría su energía potencial y su radio
orbital y terminaría por colapsarse contra el núcleo y el átomo no sería estable, lo que va
en contra de la evidencia de un átomo estable. Además producirían un espectro continuo
con toda clase de frecuencias en la radiación emitida y la realidad evidente es que el
átomo da lugar aun espectro discontinuo de determinadas frecuencias, lo que resulta
incompatible con la teoría electromagnética clásica.
En 1913, el científico danés Niels Bohr, propuso la primera explicación con éxito
de los espectros atómicos. Su teoría contenía una combinación de ideas que parten de la
teoría cuántica original de Max Planck, del concepto fotónico de la luz propuesto por
Albert Einstein y del modelo atómico de Ernest Rutherford que postula un núcleo pe-
queño cargado positivamente y rodeado por electrones en órbitas circulares. El modelo
propuesto por Bohr contiene algunas características clásicas así como algunos postula-
dos revolucionarios que no podían justificarse dentro del esquema de la Física Clásica.
Este modelo puede aplicarse con bastante éxito a iones similares al átomo de hidrógeno
como He+ y Li2+, sin embargo, no describe adecuadamente los espectros de muchos
átomos e iones complejos.
2.5.2. Postulados de Bohr.
Niels Bohr aplicó al modelo nuclear de átomo esta-
blecido por Rutherford, la teoría cuántica de la radiación tal
y como la desarrollaron Planck y Einstein. La hipótesis de
Bohr se fundamentaba en los siguientes postulados:
1. Los electrones se mueven alrededor del núcleo en
órbitas circulares estables sin emitir energía radiante y so-
metidos a las fuerzas de atracción eléctricas que le produce
el núcleo. Fig.8
 
 FIG.8
2. Las únicas órbitas permitidas para los electrones son aquellas en las que el
momento angular del electrón alrededor del núcleo es un múltiplo entero de un valor
mínimo llamado cuanto de momento angular que es h/2π=�. Es decir el momento an-
gular está cuantizado, cumpliendo la condición de cuantización:
 ηn
h
nmvr ==
π2
. (18)
siendo n un número entero, llamado número cuántico, que tomará valores: n=1,2,3,…
Cuando el electrón se encuentra en una de estas órbitas permitidas, no radia energía y el
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átomo es estable. Estas órbitas se denominan niveles de energía o estados estacionarios,
pues a cada órbita le corresponde una energía potencial determinada.
3. El átomo sólo irradia energía electromagnética cuando un electrón salta de un
estado estacionario o nivel de energía permitido a otro. La frecuencia de la radiación
emitida corresponde a la relación:
 21 EEh −=ν (19)
siendo E1y E2 las energías correspondientes a los estados estacionarios o niveles de
energía 1 y 2. Esta expresión para la energía del fotón, concuerda con la que propuso
Einstein para llegar a su ecuación del efecto fotoeléctrico.
2.5.3. Demostración de la energía de los estados cuánticos
Tomando como base los postulados establecidos vamos a determinar las energías
de las órbitas permitidas o estados estacionarios para el electrón en el átomo de hidró-
geno por ser el sistema más sencillo.
La energía de un electrón en una órbita permitida se compone de dos términos: la
Energía Cinética y la Energía Potencial Eléctrica, y siendo:






−=
=
r
e
kEP
mvEC
2
2
2
1
 la energía total será: 
r
e
kmvEPECE
2
2
2
1 −=+= (20)
siendo k la constante de la Ley de Coulomb en el sistema electrostático.
Considerando que el electrón describe una trayectoria circular de radio r sometido
a la fuerza culombiana, ke2/r2, esta fuerza se comporta como fuerza centrípeta que vale
mv2/r e igualando ambas expresiones:
 
r
v
m
r
e
k
2
2
2
= ⇒ 2
2
2
1
2
mv
r
e
k = (21)
y sustituyendo este resultado en la expresión de la energía, (20), resulta:
 
r
e
k
r
e
k
r
e
k
r
e
k
r
e
kmvE
2
1
2
1
22
1 222222 −=




 −=−=−= (22)
Se puede deducir una expresión para el radio r a partir de las ecuaciones (18) y
(21), despejando v2 en ambas:
de (18) 
mr
nv
η= 22
2
22
rm
nv
η=
de (21) 
mr
ke
v
2
2 =
e igualando ambas expresiones resulta:
 
mr
ke
rm
n
2
22
2
2 =η ⇒ 2
2
2
mke
nr
η= (23)
Los radios de las diferentes órbitas permitidas tienen valores discretos, que son
múltiplos enteros de un valor mínimo.
La órbita que tiene el radio más pequeño, denominado radio de Bohr r0, corres-
ponde a n=1 y tiene el valor siguiente:
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 529'02
2
0 == mke
r
η
 Å (24)
Las energías de los estados estacionarios se obtienen sustituyendo la expresión
(23) del radio de la órbita en la expresión (22) de la energía:
 




−=
22
42 1
2 n
emk
En
η
(25)
y si se sustituyen los valores numéricos de los parámetros y las constantes, se obtiene:
 2
1
6'13
n
En ⋅−= eV (26)
2.5.4. Concordancia con los resultados empíricos de Balmer.
A partir de las ecuaciones (19) y (25) se encuentra que si el electrón salta de una
órbita, de número cuántico n1 a una segunda órbita de número cuántico n2, emite un
fotón de frecuencia ν, dada por la expresión:



 −=






 −⋅−−


 −⋅−=−=
2
1
2
2
2
42
2
2
2
42
2
1
2
42
21 11
2
1
2
1
2
1
nnh
emk
n
emk
n
emk
hh
EE
ηηη
ν
 



−= 2
1
2
2
3
42 11
4 nn
emk
ηπ
ν (27)
Para comparar este resultado con las fórmulas empíricas propuestas para las dife-
rentes series espectrales, se usa la expresión λν=c y la expresión anterior quedará:
 



−== 2
1
2
2
3
42 11
4
1
nnc
emk
c ηπ
ν
λ
(28)
y si se identifica esta expresión con la ecuación empírica propuesta por Balmer, (17), se
obtiene para la constante de Rydberg:
 3
42
4 ηc
emk
R
π
= (29)
donde, sustituyendo los valores numéricos de las constantes fundamentales que figuran
en la expresión se obtiene para R el valor siguiente:
( ) ( )
48'459.970.10
2
.10.626'6
/10.997929'2.4
10.602'1.10.988'810.1095'9
334
8
419222931
=




×
××=
−
−−
π
π sJsm
CCmNKg
R /m =…
…= 109.704’59 cm-1
valor que está en concordancia con el obtenido en los cálculos experimentales
La ecuación anterior (28), se puede expresar así:
 



−= 2
1
2
2
111
nn
R
λ
(30)
más apropiada para determinar las longitudes de onda de las distintas series del espectro
del hidrógeno.
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3. CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA CUÁNTICA
3.1. Propiedades corpusculares de las ondas electromagnéticas.
En este tema se han presentado evidencias experimentales que apoyan el concepto
corpuscular de la luz. Se ha descrito a la onda electromagnética en términos de partícu-
las, que tienen energía hν y momento lineal h/λ, propiedad ésta típicamente corpuscular.
Pero la luz y otras ondas electromagnéticas producen fenómenos de interferencia y di-
fracción, que son típicamente ondulatorios. Se plantea el interrogante de qué modelo es
el correcto y la respuesta depende del fenómeno que se esté observando.
Algunos fenómenos observados pueden explicarse a partir del concepto de fotón,
mientras que otros se describirán mejor mediante la teoría ondulatoria de la luz. Es de-
cir, se deben aceptar ambas teorías y reconocer que el mismo haz luminoso que puede
expulsar fotoelectrones de una superficie metálica (corpúsculo), puede ser difractado
por una rejilla (onda). La teoría ondulatoria y la teoría corpuscular se complementan
entre sí.
Para ilustrar cómo los fotones son compatibles con las ondas examinemos el si-
guiente hecho: las ondas de radio, de gran longitud de onda, no presentan características
corpusculares. En ondas de radio de frecuencia ν=2 MHz, la energía de un fotón, del
orden de 8.10-9 eV, es demasiado pequeña para ser detectada como un único fotón. Un
receptor de radio muy sensible podría detectar unos 1010 fotones por segundo, lo que
representa un flujo de fotones tan elevado que parecería una onda continua.
Análogamente si se consideran frecuencias elevadas, como en el visible, es posi-
ble observar tanto el carácter corpuscular como el ondulatorio de la luz. A frecuencias
aún más altas, (rayos X y rayos γ), el momento lineal y la energía de los fotones au-
mentan y por tanto la descripción fotónica de la luz comienza a predominar sobre la
ondulatoria. Podemos decir que todas las formas de radiación electromagnética pueden
describirse desde dos puntos de vista. En consecuencia, se concluye que la luz tiene una
naturaleza dual, exhibe ambas características ondulatoria y corpuscular.
3.2. Propiedades ondulatorias de las partículas.
Con objeto de explicar los experimentos de interacción entre la energía radiante y
la materia, y ante el doble comportamiento de onda y corpúsculo que presenta la radia-
ción en estos fenómenos, Louis de Broglie, en 1924, introdujo la hipótesis dual de la
radiación. En ella se sugería que las partículas materiales, de momento lineal p debe-
rían de tener propiedades semejantes a las ondas y por tanto poseerían una longitud de
onda asociada. Para entonces se conocían experiencias en las que la luz, que había sido
considerada exclusivamente como una onda electromagnética, presentaba un compor-
tamiento corpuscular. Esto le indujo a proponer que, de forma análoga, debería obser-
varse un comportamiento ondulatorio en las partículas de la materia.
De Broglie supuso que la relación entre el momento lineal y la longitud de onda
de la onda asociada a la partícula, verifica la misma relación encontrada para el fotón en
el efecto Compton:
mv
h
p
h ==λ
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A toda partícula que se mueve con un momento lineal de módulo p, se le puede
asociar una onda cuya longitud de onda viene expresada por la relación anterior.
Además, en analogía con los fotones, postuló que la frecuencia de las ondas aso-
ciadas a las partículas de materia, obedece la relación de Einstein E=hν, de manera que:
h
E=ν
En estas ecuaciones se pone de manifiesto la naturaleza dual, pues contiene pará-
metros corpusculares, como momento lineal y energía, y parámetros ondulatorios, como
frecuencia y longitud de onda. El efecto fotoeléctrico confirma la validez de la E=hν
para los fotones y el efecto Compton confirma la validez de p=h/λ para las ondas.
3.2.1. Difracción de electrones.La proposición de De Broglie relativa a que cualquier clase de partícula exhibe
propiedades tanto de onda como de partícula, fue considerada inicialmente como una
pura especulación. Si partículas tales como los electrones tuvieran propiedades similares
a las ondas entonces, bajo condiciones concretas, deberían exhibir fenómenos de inter-
ferencia. Tres años más tarde, en 1927, C.J.Davisson y L.H.Germer, en Estados Unidos,
obtuvieron con gran éxito, la medición de la longitud de onda de los electrones, en un
histórico experimento de difracción de electrones, utilizando un sólido cristalino. Su
importante descubrimiento proporcionó la primera confirmación experimental de las
ondas asociadas a las partículas, propuesta por de Broglie.
A grandes rasgos, el experimento de Davisson y Germer, consistía en que los
electrones emitidos por un filamento caliente son acelerados por una diferencia de po-
tencial V hasta tener una energía cinética eV, a continuación son difractados por un mo-
nocristal de níquel por reflexión en su superficie y se producen máximos de interferen-
cia para determinados ángulos de incidencia cuya medida junto con el dato del espacia-
do de la red y con ayuda de la ley de Bragg, permite calcular la longitud de onda λ de
los electrones.
El desarrollo de los aceleradores de partículas y de los reactores de haces de neu-
trones de alta intensidad, ha permitido observar interferencias de protones, neutrones e
incluso de átomos completos. La naturaleza ondulatoria de la materia ha sido demostra-
da de muchos modos diferentes, y se manifiesta tanto más acentuadamente cuanto ma-
yor es la longitud de onda de De Broglie, y las propiedades corpusculares son más mar-
cadas para longitudes de onda cortas.
3.3. Las transiciones atómicas estimuladas: el Láser.
Cuando Una masa de gas se encuentra sometida a elevada temperatura o excitada
por otra fuente de energía, sus átomos emiten múltiples radiaciones a frecuencias dis-
cretas dando lugar a espectros de muchas rayas. Estas emisiones corresponden a la sepa-
ración de energías existente entre las órbitas permitidas o niveles de energía estables.
Ilustramos esta situación considerando un átomo con muchos estados permitidos
descritos en la fig.9 por E1, E2, E3, etc, donde el estado E1 se considera el estado funda-
mental. Cuando dicho átomo se excita por una fuente de luz, ciertos fotones interaccio-
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nan con el átomo y son aquellos que cumplen la condición de
que su energía hν es completamente absorbida por los elec-
trones en saltos desde el estado fundamental a estados permi-
tidos, es decir, cuando la energía del fotón hν es igual a la
separación de energía ∆E entre los dos niveles.
En este fenómeno de interacción entre la luz (conside-
rada de constitución fotónica) y la materia (formada por áto-
mos) podemos considerar tres tipos de procesos diferenciados 
FIG. 9
que vamos a describir:
1) Un electrón situado en su nivel fundamental o en cualquier otro nivel permitido
absorbe la energía del fotón y pasa a ocupar un nivel de energía superior en un proceso
que llamaremos absorción estimulada y que queda ilustrado en la fig.10, y como conse-
cuencia de ello, algunos átomos son promovidos a muy diversos niveles de energía su-
periores llamados estados excitados.
FIG.10 
2) Cuando el átomo se encuentra en el estado excitado, por causa del proceso an-
terior, existe una cierta probabilidad de que el electrón regrese a un nivel de energía
inferior, mediante la emisión de un fotón, como se ilustra en la fig.11, en un proceso
que llamaremos emisión espontánea.
FIG. 11 
3) Existe también la posibilidad de un tercer proceso llamado emisión estimulada,
en el cual un átomo que se encuentra en un estado excitado, fig.12, al recibir a un fotón
incidente aumenta la probabilidad de que el átomo regrese a su estado fundamental,
produciéndose la emisión de dos fotones idénticos que son, el fotón incidente y el fotón
emitido. Este último estará en fase con el fotón incidente y estos fotones en fase, estarán
en disposición, a su vez, de estimular a otros átomos excitados para emitir fotones en
una cadena de procesos similares.
FIG. 12 
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El gran número de fotones en fase que puede dar lugar este proceso genera un
potente rayo de luz coherente e intensa que es lo que se denomina luz láser.
La absorción y emisión estimuladas son dos procesos igualmente probables. Nor-
malmente cuando la luz excita a un sistema de átomos, se produce una absorción neta de
energía debido, debido a que hay muchos más átomos en el estado fundamental que en
los estados excitados. Sin embargo, si se pudiera invertir la situación, de manera que
existan más átomos en un estado excitado que en el estado fundamental (inversión de la
población), puede aumentar la probabilidad de que se produzca emisiones estimuladas
sobre las absorciones estimuladas. Este es el principio fundamental en que se basa el
funcionamiento de un láser (L.A.S.E.R.= Light Amplification by Stimulated Emission of
Radiation = Amplificación de luz por emisión estimulada de radiación).
Para conseguir la emisión de luz láser se deben satisfacer tres condiciones:
1. Debe existir una población invertida, es decir, deben predominar los átomos en
estados excitados sobre los átomos en estado fundamental de energía.
2. El estado excitado debe ser metaestable, es decir, su vida media debe superar a
las vidas medias de los estados excitados restantes. Sólo así el proceso de emisión esti-
mulada ocurrirá antes que tenga lugar la emisión espontánea.
3. Los fotones emitidos deben estar encerrados en el sistema, el tiempo suficiente
para que puedan dar lugar a nuevas emisiones estimuladas de otros átomos excitados.
Esto se consigue utilizando espejos reflectores en los extremos del sistema. Un extremo
se hace totalmente reflector y devuelve los fotones al sistema y el otro se hace ligera-
mente transparente para que permita la salida del rayo láser.
Desde 1960 que se desarrolló del primer láser, la tecnología de la luz láser ha
avanzado espectacularmente. Los láseres que se construyen actualmente cubren longitu-
des de onda en las regiones del infrarrojo, visible y ultravioleta. Las aplicaciones de la
tecnología láser abarca campos muy amplios de la actividad humana, por ejemplo, como
instrumento quirúrgico en cirugía y microcirugía, como fuente de energía potencial para
producir reacciones de fusión nuclear, para la comunicación telefónica a través de fibras
ópticas, para generar imágenes tridimensionales de objetos (holografía), etc.
4. CONCLUSIÓN FINAL SOBRE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Como se ha visto, no se puede asignar una descripción exclusivamente ondulato-
ria a las ondas electromagnéticas, ni exclusivamente corpuscular a las partículas, ambas
participan de los dos tipos de comportamientos. Los trabajos realizados para unificar la
dualidad onda-corpúsculo en una sola teoría consistente, condujeron al establecimiento
de la Mecánica Cuántica.
Por un lado Werner V.K.Heisenberg y Max Born en 1925 desarrollan su mecánica
de matrices, teoría matemática que describe las ecuaciones del movimiento de un siste-
ma cuántico, como ecuaciones entre matrices y permite calcular las transiciones electró-
nicas entre los distintos niveles energéticos de un átomo con resultados más ajustados a
los valores experimentales que los obtenidos a partir de los postulados de Bohr.
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Por otro lado, Erwin Schrödinger desarrolla la mecánica ondulatoria y basándose
en la teoría de ondas clásica y en la teoría de De Broglie establece la correspondencia
entre las variables dinámicas del corpúsculo y las variables características dela onda
asociada. Un sistema cuántico se representa mediante una función de onda cuya propa-
gación se describe mediante la ecuación de Schrödinger.
Ambas mecánicas, que en principio fueron consideradas como rivales debido a
sus formulaciones diferentes, son matemáticamente idénticas como demostró poste-
riormente el propio Schrödinger. Son dos formulaciones particulares de la mecánica
cuántica, cuya formulación general fue expuesta por Dirac en 1929 incluyendo conside-
raciones relativistas.
La mecánica cuántica es la teoría adecuada para la descripción de los fenómenos
microscópicos. Por una parte en ella se incluyen como casos particulares todos los con-
ceptos que son válidos en la mecánica clásica, y por otra, de ella se derivan como con-
secuencias lógicas los tres aspectos inexplicables por la teoría clásica: el comporta-
miento corpuscular de las ondas, el comportamiento ondulatorio de las partículas y la
cuantización de las magnitudes físicas.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA
Gerald HOLTON y Duane H.ROLLER. Fundamentos de Física Moderna. Edito-
rial Reverté. 1963. BARCELONA.
Irving KAPLAN. Física Nuclear. Editorial Aguilar. 1962. MADRID.
Raymond A.SERWAY. Física. Nueva Edit. Interamericana, S.A. 1985. MEJICO.
Francis W.SEARS. Fundamentos de Física III. Óptica. Editorial Aguilar. 1967.
MADRID.
Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y Carlos
GRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. ZARAGOZA.
Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física. Fundamentos y Aplicacio-
nes. Tomo I- Ediciones McGraw-Hill. 1990. MADRID.
Robert W:CHRISTY y Agnar PYTTE. Estructura de la materia: una introducción
a la Física Moderna. Editirial Reverté. 1971. BARCELONA.
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Tratamiento Didáctico
OBJETIVOS
Poner de manifiesto las limitaciones de la física clásica en la interpretación de ciertos
fenómenos relacionados con la luz y las partículas atómicas.
Sentar las bases conceptuales teórico-matemáticas para interpretar los fenómenos
atómicos, el funcionamiento del átomo y las fuerzas que actúan entre ellos, lo que re-
sulta fundamental en el estudio del enlace químico.
UBICACION
Este tema se ubicará en el 2° curso de bachillerato dentro de la asignatura de Física,
en el bloque temático de “Elementos de Física Cuántica”.
TEMPORALIZACION
El tema debe exponerse en un periodo de 12 horas, para la explicación exhaustiva y
detallada y un periodo de al menos 2 horas para la resolución de problemas numéricos
relacionados con el tema.
METODOLOGIA
Por su complejidad conceptual debe explicarse teóricamente con todo detalle los
conceptos fundamentales del tema, los planteamientos experimentales y las interpreta-
ciones físicas.
Debe cuidarse la comprensión de los conceptos básicos, mediante una explicación
activa y participativa por parte del alumnado.
Cuando sea posible, deben realizarse experiencias de cátedra (como la espectrosco-
pía) que apoyen la explicación teórica.
CONTENIDOS MÍNIMOS
Hipótesis de Planck. El cuerpo negro. El cuanto de energía.
El efecto fotoeléctrico. Características básicas.
Función de trabajo. Frecuencia umbral.
El efecto Compton. Corrimiento Compton (cualitativo).
Espectros. Serie de Balmer. Otras series. Ecuación empírica.
Atomo de Bohr. Postulados de Bohr. Niveles de energía. Frecuencia vibración.
Propiedades ondulatorias de las partículas. Onda asociada.
Emisión espontánea. Emisión estimulada. Láser.
MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOS
Apuntes de clase. Libros de consulta que los complementen.
Equipo de láser de laboratorio.
Equipo de espectroscopía para la obtención de espectros de gases.
Colección de problemas cuidadosamente recopilados relacionados con los distintos
apartados del tema.
EVALUACION
Ejercicio escrito sobre cuestiones fundamentales del tema y conceptos básicos rela-
cionados con la teoría cuántica, con los fenómenos relacionados con ella y las conse-
cuencias que se derivan.
Prueba escrita de opción múltiple, con preguntas de varias respuestas, en las que el
alumno razone ante diferentes situaciones planteadas.