Resolución_Parcial_1_MG byb

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Facultad de Bioqúımica y Ciencias Biológicas - UNL
Matemática General - Bioqúımica y Lic. en Biotecnoloǵıa - Primer Parcial - 11/05/2018
Alumno: Carrera: Comisión:
Recuerde que usted DEBE JUSTIFICAR todas sus respuestas
Ejercicio 1 (25 puntos): Dada la matriz A =
á
3 1 β − 6
0 −1 4
β + 1 1 −4
ë
, se pide:
a) Hallar |A| en términos de β.
b) Resolver y clasificar el sistema Ax =
Ü
−2
2
−2
ê
para β = −1.
c) Indicar si
Ü
−1
0
2
ê
es solución del sistema Atx =
Ü
3
1
−4
ê
para β = 2.
d) Sin resolver, clasificar, si es posible, el sistema Atx =
Ü
3
1
−4
ê
para β = 2.
e) Si le dijeran que la solución trivial es la única solución del sistema Ax = 0 para todo valor de β, ¿lo
creeŕıa? Justifique.
Resolución:
a) |A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 β − 6
0 −1 4
β + 1 1 −4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 12 + 4(β + 1)− 12 + (β − 6)(β + 1) = (β + 1)(4 + β − 6) = (β + 1)(β − 2).
b) Realizando una operación por renglones obtenemos un sistema equivalente al dado:á
3 1 −7 | −2
0 −1 4 | 2
0 1 −4 | −2
ë
R3→R3+R2−→
á
3 1 −7 | −2
0 −1 4 | 2
0 0 0 | 0
ë
. De aqúı se sigue que −y + 4z = 2
y 3x+ y − 7z = −2. Luego, realizando sustitución hacia atrás, se obtiene que y = −2 + 4z y x = z. Aśı,
el sistema dado para β = −1 resulta compatible indeterminado y el conjunto solución está dado por:
(x, y, z) = (λ,−2 + 4λ, λ) λ ∈ R.
c) Si realizamos el producto matricial, obtenemos At
Ü
−1
0
2
ê
=
Ü
3 0 3
1 −1 1
−4 4 −4
êÜ
−1
0
2
ê
=
Ü
3
1
−4
ê
. De
aqúı se sigue inmediatamente que
Ü
−1
0
2
ê
es solución del sistema dado.
d) Si β = 2, entonces |A| = 0 (esto se sigue inmediatamente del cálculo realizado en el inciso a)) y, aśı,
|At| = |A| = 0. Luego, el sistema Atx = b, con b 6= 0, será compatible indeterminado o incompatible.
1
2
Dado que Atx =
Ü
3
1
−4
ê
admite solución (por el item c)), se sigue inmediatamente que el sistema
Atx =
Ü
3
1
−4
ê
resulta compatible indeterminado.
e) No lo creeŕıa, pues |A| = 0 para β = −1 y β = 2 (esto se sigue del cálculo realizado en el item a)). En
estos casos, el sistema homogéneo Ax = 0 será compatible indeterminado.
Ejercicio 2 (25 puntos):
a) Escriba la ecuación canónica de la elipse cuyos vértices son (−1, 3)
y (5, 3) y con longitud de lado menor 2. Indique sus elementos y
grafique.
b) A partir del gráfico dado y los puntos indicados, obtenga la ecuación
de la cónica correspondiente.
Ejercicio 2-b
Resolución:
a) Dado que los vértices son (−1, 3) y (5, 3), el centro de la elipse estará en el punto medio entre ellos, es
decir centro: (h, k) = (2, 3) y la longitud del lado mayor es 6, con lo cual a = 3. Por otro lado, como la
longitud del lado menor es 2, se tiene que b = 1. Luego,
(x− 2)2
9
+ (y − 3)2 = 1. Para hallar los focos,
calculamos el valor de c: c2 = a2 − b2 = 8. Por lo tanto, los focos están en los puntos (2 +
√
8, 3) y
(2−
√
8, 3).
b) Nuevamente, dado que los vértices de la cónica son conocidos, el punto medio serça el centro. En este
caso el centro es (h, k) = (2, 1). El valor de a es la distancia del centro al vértices y por lo tanto
a = 1. Dado que la cónica es una hipérbola con eje transversal vertical, su forma canónica está dada
por −(x− 2)
2
b2
+ (y − 1)2 = 1. Para hallar el valor de b utilizamos el hecho de que el punto (0, 1 +
√
2)
pertenece a la cónica y, por ende, verifica su ecuación. Es decir, − 4
b2
+ (1 +
√
2 − 1)2 = 1, de donde se
obtiene que b2 = 4. Luego, la ecuación de la hipérbola está dada por −(x− 2)
2
4
+ (y − 1)2 = 1.
Ejercicio 3 (25 puntos):
a) Sin hallar α, complete la siguiente tabla sabiendo que π/2 < α < 3π/2:
3
senα cosα tgα cosecα secα cotgα
3
b) Dada la matriz M =
á
cos θ 1 −1
0 1/2 sen θ
0 sen θ 1
ë
, halle los valores de θ ∈ [0, π] para los cuales existe M−1.
Resolución:
a) Dado que cosecα = 3, se tiene inmediatamente que senα = 1/3. Luego, utilizando este hecho y la
identidad trigonométrica sen2 α + cos2 α = 1, se obtiene que cosα = ±2
√
2
3 . Dado que π/2 < α < 3π/2,
cosα < 0 y, por lo tanto, cosα = −2
√
2
3 . Una vez obtenido el valor del coseno del ángulo α, las demás
razones trigonométricas se obtienen utilizando la definición de las mismas, de donde resulta:
senα cosα tgα cosecα secα cotgα
1
3 −
2
√
2
3 −
√
2
4 3 −
3
√
2
4 −2
√
2
b) Para hallar los valores de θ tales que existe M−1, buscaremos aquellos valores para los cuales |M | 6= 0.
|M | =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
cos θ 1 −1
0 1/2 sen θ
0 sen θ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= cos θ
∣∣∣∣∣∣∣
1/2 sen θ
sen θ 1
∣∣∣∣∣∣∣ = cos θ
Ä
1
2 − sen
2 θ
ä
. Luego, si |M | = 0, entonces cos θ = 0 o 12 −
sen2 θ = 0. De la primer ecuación, y del hecho que θ ∈ [0, π], se sigue que θ = π2 . Por otro lado,
1
2 − sen
2 θ = 0 implica sen θ = ±
√
2
2 . Otra vez, dado que θ ∈ [0, π], se sigue que los valores de θ que
solucionan la segunda ecuación son θ = π4 y θ =
3π
4 . Por lo tanto, M
−1 existe para todo θ ∈ [0, π] tal que
θ 6= π4 , θ 6=
π
2 y θ 6=
3π
4 .
Ejercicio 4 (25 puntos):
a) Determine los valores de a y b para los cuales M es la inversa de N , donde
M =
á
1 −2 a
0 1 b
−1 1 1
ë
y N =
á
0 1 −1
−1/4 3/4 −1/4
1/4 1/4 1/4
ë
.
b) Sean A y B matrices cuadradas de orden 4. Sabiendo que |AB| = 2 y |B−1| = 3, halle: i) |A|
ii)| −B|
c) Si en el inciso b) le dijeran que B es la inversa de la matriz A, ¿lo creeŕıa? Justifique.
Resolución:
a) Para hallar los valores de a y b para los cuales M es la inversa de N ,utilizaremos la definición de inversa.
Es decir, buscamos a y b tales que MN = I donde I es la matriz identidad de orden 3.
MN =
á
1 −2 a
0 1 b
−1 1 1
ëá
0 1 −1
−1/4 3/4 −1/4
1/4 1/4 1/4
ë
=
á
1/2 + a/4 −1/2 + a/4 −1/2 + a/4
−1/4 + b/4 3/4 + b/4 −1/4 + b/4
0 0 1
ë
Por lo mencionado anteriormente queremos que MN = I, es decir
MN =
á
1/2 + a/4 −1/2 + a/4 −1/2 + a/4
−1/4 + b/4 3/4 + b/4 −1/4 + b/4
0 0 1
ë
=
á
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ë
,
de donde se sigue que:
1) (MN)11 = 1/2 + a/4 = 1
4
2) (MN)12 = −1/2 + a/4 = 0
3) (MN)13 = −1/2 + a/4 = 0
4) (MN)21 = −1/4 + b/4 = 0
5) (MN)22 = 3/4 + b/4 = 1
6) (MN)23 = −1/4 + b/4 = 0.
Resolviendo (MN)11 = 1/2 + a/4 = 1 y (MN)21 = −1/4 + b/4 = 0 se obtiene que a = 2 y b = 1- Es
importante mencionar aqúı que estos valores hallados verifican las demás ecuaciones planteadas. Aśı, la
matriz M es la inversa de N para a = 2 y b = 1.
b) Dado que el determinante de un producto es el producto de los derterminantes, se tiene 2 = |AB| = |A||B|
y aśı |A| = 2|B| (sabemos que |B|neq0 porque B admite inversa). Calculemos ahora el |B|: |B| =
1
|B−1| =
1
3 .
Luego, |A| = 2|B| = 6.
Para calcular | −B| recordemos que para todo escalar λ 6= 0, |λB| = λn|B|, donde n es el tamañao de la
matriz. Luego, | −B| = (−1)4|B| = 1/3.
c) No lo creeŕıa, pues si aśı fuera AB = I en cuyo caso 1 = |I| = |AB| = 2, lo cual es un absurdo que
proviene de suponer que A es la inversa de B.