Repaso Segundo Parcial 2020 1c Mate

Vista previa del material en texto

1 
 
Roberto Fiadone 
 
Ejercicios con respuestas para el 2° Matemáticas 2020 1c 
 
1) Hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta de 𝑅2 que cumple 
simultáneamente las siguientes condiciones: 
 
✓ Pasa por el punto 𝑃0 = (1; 2) 
✓ Es paralela a la recta cuya ecuación paramétrica es {
𝑥 = −𝑡 + 2
𝑦 = −2𝑡 − 5
 
 
 
 
Resp: 
Ecuación vectorial: t (-1 ; -2 ) + (1 ; 2 ) 
Ecuación paramétrica: {
𝑥 = −𝑡 + 1
𝑦 = −2𝑡 + 2
 
 
 
2) Dado el campo escalar 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2) + 𝑦3 
 
Hallar todos los versores 𝑈 = 𝑢1𝐼 + 𝑢2𝐽 tales que 𝐷𝑢𝐹(0; 1) = 0. 
 
 
Resp: 
Hay dos versores: 
(
−3
√(10)
;
1
√(10)
) y (
3
√(10)
;
−1
√(10)
) 
 
 
3) Calcular mediante integrales dobles, utilizando el teorema de Green, la integral curvilínea: 
 
∮ 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 +
𝐶
2𝑥3 𝑑𝑦 
Siendo C la curva cerrada, orientada en sentido horario, que va del (0; 0) al (2; 4) por la curva:
 𝑦 = 2𝑥 ; y luego vuelve del (2; 4) al (0; 0) por la curva: 𝑦 = 𝑥2. 
 
 
Resp: −8 
 
 
4) Calcular la siguiente integral curvilínea utilizando una función potencial: 
 
∮ (𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑦) + cos(𝑦) + 𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑦𝑥 cos(𝑦) − 
1
(𝑦 + 1)2
 ) 𝑑𝑦
(1;0)
(0;0)
 
 
 
Resp: 
4
3
 
 
 
5) Dada la función escalar, 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2) + 𝑦3 ; y el punto P=(0; 1), hallar: 
a) La derivada direccional máxima y el vector unitario según el cual se cumple dicha 
condición. 
 
2 
 
Roberto Fiadone 
 
b) Los vectores unitarios para los cuales la derivada direccional es nula. 
 
 
Resp: 
a) Dumax f(x; y) = √10 Vector unitario: ( −
1
√10
; 
3
√10
 ) 
 
b) Hay dos vectores unitarios que cumplen con lo pedido: ( 
3
√10
; 
1
√10
 ) y ( −
3
√10
; −
1
√10
 ) 
 
 
6) Dado el campo escalar 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 + ln (𝑥𝑦 + 1) aproximar el valor de 𝑓(0,98 ; −0,03) 
utilizando la fórmula del plano tangente. 
 
 
Resp: 
Si P(x; y) es el plano, la aproximación da P(0,98 ; −0,03)= 0,92 
 
 
7) Considerando los vectores en el plano A= -2 I + 3 J , B= -7 I + 6 J , hallar un vector C que 
verifique simultáneamente que sea perpendicular a A y que B-C tenga la misma dirección que 
el versor J. 
 
 
Resp: 𝐶 = −7 𝐼 −
14 
3
 𝐽 
 
 
8) Dado los vectores A = I – 2 K B = J + K , hallar los vectores de módulo 2 que sean 
perpendiculares a A y a B 
 
 
Resp: 
4
√6
𝐼 −
2
√6
𝐽 + 
2
√6
 𝐾 y −
4
√6
𝐼 +
2
√6
𝐽 − 
2
√6
 𝐾 
 
 
9) Mediante el uso de un polinomio de Taylor de orden 2 de un campo escalar, dar un valor 
aproximado de: 
0,9𝑒0,2 
 
 
Resp: calculando el polinomio de Taylor 𝑃(𝑥; 𝑦) centrado en (1; 0) se obtiene que 𝑃(0,9 ; 0,2) = 1,12 
 
 
10) Sean las funciones: 𝑧 = 𝑧(𝑥; 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑦2) , 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑒𝑡
2+√𝑥 . 
Calcular (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
𝑡
 . 
 
Resp: (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
𝑡
= (
𝜕𝑧
𝜕𝑥
)
𝑦
+ 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
 
𝜕𝑦
𝜕𝑥
 
 
Realizando las respectivas derivadas y reemplazando, se llega a: 
 
3 
 
Roberto Fiadone 
 
 −𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2)𝑦2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2) 2𝑥𝑦 𝑒𝑡
2+√𝑥 1
2√𝑥
= −𝑠𝑒𝑛 (𝑥(𝑦𝑒𝑡
2+√𝑥)
2
) (𝑦𝑒𝑡
2+√𝑥)
2
−
𝑠𝑒𝑛((𝑥𝑒𝑡
2+√𝑥)2) 2𝑥(𝑒𝑡
2+√𝑥) 𝑒𝑡
2+√𝑥 1
2√𝑥
 
 
11) La ecuación del plano tangente al campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦) en el punto (𝑥, 𝑦) = (2; 3) es 
𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 + 2 
Hallar la derivada direccional máxima en dicho punto y el vector unitario según el cual se 
cumple la condición. 
 
Resp: 
𝛁𝒇(𝟐;𝟑) = 𝑰 − 𝑱 |𝛁𝒇| = √𝟐 
𝐷𝑀𝐴𝑋𝑓(2; 3) = √2 𝑉𝑀𝐴𝑋 = 
1
√2
 𝐼 − 
1
√2
 𝐽 
 
 
 
12) Sean A y C dos vectores en R3 tales que 𝐴 𝑋 𝐶 = 8𝐼 – 4𝐽 + 5 𝐾. Hallar 𝐶 𝑋 (𝐴 + 𝐶 ). 
 
 
Resp: −8𝐼 + 4𝐽 − 5𝐾 (sale sin hacer cuentas, sólo utilizando propiedades, en menos de un 
renglón…) . 
 
 
13) Hallar la ecuación de la trayectoria y representarla gráficamente especificando los valores 
que pueden tomar las variables 𝑥 e 𝑦. 
𝐹(𝑡) = 
2
(𝑡 − 3)2
 𝑰 + (8 − 
4
(𝑡 − 3)4
) 𝑱 
 
 
 
 
Resp: 
 𝒚 = 𝟖 − 𝒙𝟐 
donde: 
 𝒙 > 𝟎; 𝒚 < 𝟖 
 
 
 
 
 
 
 
14) Hallar la solución general de: 
𝒆𝒙
𝒙
𝒚′ −
𝟐𝒆𝒙
𝒙𝟐
𝒚 = 𝒙 
 
 
 
Resp: 𝒚 = 𝒙𝟐 (−𝒆−𝒙 + 𝒄) 
 
 
4 
 
Roberto Fiadone 
 
 
15) Sabiendo que 𝑦𝑝 es una solución particular de la ecuación diferencial: 
𝑥2𝑦′′ + 3𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 
demostrar que 
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝 también lo es. 
 
 
Resp: Reemplazo las “y” por 
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝 
 
 
𝑥2 ∙ (
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝)
′′ + 3𝑥 ∙ (
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝)
′ + 
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝 = 0 
 
Distribuyo las derivadas: 
 
𝑥2 ∙ ( 
2𝑐1
𝑥3
+ 𝑐2𝑦𝑝
′′) + 3𝑥 ∙ (−
𝑐1
𝑥2
+ 𝑐2𝑦𝑝
′) + 
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝 = 0 
Distribuyo las “x” y quito paréntesis: 
 
2𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑥
2𝑦𝑝
′′ − 3
𝑐1
𝑥
+ 3𝑥𝑐2𝑦𝑝
′ + 
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2𝑦𝑝 = 0 
 
Saco de factor común las constantes 𝑐1 y 𝑐2 
 
2𝑐1
𝑥
− 3
𝑐1
𝑥
+ 
𝑐1
𝑥
+ 𝑐2(𝑥
2𝑦𝑝
′′ + 3𝑥𝑦𝑝
′ + 𝑦𝑝) = 0 
 
Notemos que: 2
𝑐1
𝑥
− 3
𝑐1
𝑥
+ 
𝑐1
𝑥
= 0 
O sea que queda: 
𝑐2 ∙ (𝑥
2𝑦𝑝
′′ + 3𝑥𝑦𝑝
′ + 𝑦𝑝) = 0 (*) 
 
Pero como por hipótesis 𝑦𝑝 es solución de la ecuación sabemos que: 
𝑥2𝑦𝑝
′′ + 3𝑥𝑦𝑝
′ + 𝑦𝑝 =0 
Por lo tanto (*) = 𝑐2 ∙ 0 = 0 
 
 
16) Suponga que la ecuación del plano tangente de una función escalar 𝑓(𝑥; 𝑦) en el punto 
𝑃0 = (1; 4) es: 
 
𝑃(𝑥; 𝑦) = 3(𝑥 − 1) + 4 (𝑦 − 4) + 8 
 
a) Utilizando el plano, calcule aproximadamente el valor de 𝑓(1,1; 4,2) 
b) Hallar el gradiente de 𝑓(𝑥; 𝑦) en el punto P0 
c) Hallar la derivada direccional máxima en P0 y el vector unitario según el cual se cumple 
dicha condición. 
d) Calcule cuánto vale aproximadamente ∆𝑓(𝑥; 𝑦) en P0 para ∆𝑥 = 0,3 ∆𝑦 = 0,1 
 
 
Resp: 
a) 𝑃(1,1; 4,2) = 8,7 
b) 𝛻𝑓(𝑥; 𝑦) = 3 𝐼 + 4 𝐽 
c) 𝐷𝑓𝑈𝑚á𝑥 = 5 �⃗⃗� 𝑚𝑎𝑥 = (
3
5
; 
4
5
) 
d) 𝛥𝑓 ≅ 𝑑𝑓 = 3 ∙ 0,3 + 4 ∙ 0,1 = 0,13 
 
5 
 
Roberto Fiadone 
 
 
 
17) Resolver la ecuación diferencial, 
 
𝑦′ + 2𝑦′ = 5𝑒3𝑥 + 𝑥 + 2 
 
 
Resp: 
Al calcular la solución particular del término polinómico hay que tener en cuenta que como el cero es 
raíz del polinomio característico entonces hay que multiplicarla una vez por “x” para que no sea 
solución del homogéneo. O sea, hay que plantear 𝑦𝑝 = 𝑥 ∙ (𝐴𝑥 + 𝐵) 
La solución general es: 
𝑦𝐺 = 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 +
1
3
𝑒3𝑥 +
1
4
𝑥2 +
3
4
𝑥 
 
 
18) Resolver 
(𝒙𝟐 − 𝟑𝒚𝟐)𝒚′ = −𝟑 − 𝟐𝒙𝒚 
 
Resp: 
𝟑𝒙 + 𝒙𝟐𝒚 − 𝒚𝟑 + 𝑪 = 𝟎 
 
 
19) Determinar y graficar el dominio del siguiente campo escalar 
𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3 − 𝑙𝑛 (𝑥 − 𝑦 + 3)
√4 − 𝑥2
 
 
 
 
Resp: 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = {(𝒙; 𝒚) ∈ ℝ𝟐 : − 𝟐 < 𝒙 < 𝟐 ; 𝒚 < 𝒙 + 𝟑} 
 
. 
20) Se necesita saber en forma aproximada el valor del número 
2√3,98 + 𝑙𝑛 (1,05) 
 Juan quiere usar una aproximación por diferenciales, Pedro calcular la aproximación usando 
un plano tangente y María quiere hacerlo utilizando un polinomio de grado 2. 
a) ¿Cuál es el valor que obtiene Juan? 
b) ¿Cuál es polinomio (según la teoría que conocemos) que debería usar María? 
c) ¿En cuánto difieren las aproximaciones de Pedro y María? ¿Y las de Juan y Pedro? 
d) ¿Con cuál de todas las aproximaciones se quedan? 
 
Resp: 
𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝟐√𝒙 + 𝒍𝒏(𝒚) (𝒙𝟎; 𝒚𝟎) = (𝟒; 𝟏) 
Plano tangente de Pedro: 
𝑧(𝑥; 𝑦) = (𝑦 − 1) + 
1
2
(𝑥 − 4) + 4 
Polinomio de Taylor de orden 2 
 
 
6 
 
Roberto Fiadone 
 
a) 4,04 
b) 𝑃(𝑥, 𝑦) = −
1
2
(𝑦 − 1)2 −
1
32
 (𝑥 − 4)2 + (𝑦 − 1) + 
1
2
(𝑥 − 4) + 4 
c) Aprox de Pedro = 4.04 ; Aprox de Juan = 4.04 Aprox de María = 4,039 
Las aproximaciones de Pedro y María difieren en |4.039 − 4.04| 
d) María 
 
21) Si 
𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥2√𝑦 − 2 +
𝑦 − 𝑥
𝑥 + 2𝑦
 
𝑥(𝑢, 𝑣) = 𝑢 + 2𝑣 + 3 
 
𝑦(𝑣) = −𝑣 
 
Calcular 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
 𝑦 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
 
 
 
Resp: 
𝜕𝑧
𝜕𝑢
=
√−𝑣 − 2 (𝑢 + 2𝑣 + 3)( −2𝑢2 − 3𝑢(𝑣 + 4) + 6𝑣2 − 9𝑣 − 18)
(𝑢 + 3)2
 
𝜕𝑧
𝜕𝑣
=
(𝑢 + 2𝑣 + 3)(𝑢2 + 𝑢(19𝑣 + 34) + 42𝑣2 + 129𝑣 + 93)
2(𝑢 + 3)√−𝑣 − 2
 
 
22) Calcular, utilizando una integral doble, la siguiente integral curvilínea dondeC es el camino 
cerrado formado por los segmentos de las rectas: 
𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 𝑥; 𝑥 = 2 
recorrido en sentido positivo 
∮(4𝑦 + 𝑥3) 𝑑𝑥 + (4𝑦 + 𝑥4) 𝑑𝑦 
 
Resp: 
 
∬ (𝟒𝒙𝟑 − 𝟒 𝒅𝒚𝒅𝒙
𝟐 𝟐𝒙
𝟎 𝒙
) = ∫ (𝟒𝒙𝟒 − 𝟒𝒙)
𝟐
𝟎
 𝒅𝒙 =
𝟖𝟖
𝟓
 
 
23) Resolver la ecuación diferencial 
 
𝑦′′ + 2𝑦′ − 𝑥 = 5𝑒3𝑥 + 2 
 
Resp: 
𝒄𝟏 + 𝒄𝟐𝒆
−𝟐𝒙 +
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙 +
𝟏
𝟒
𝒙𝟐 +
𝟑
𝟒
𝒙 
 
24) Cuál debiera ser la solución particular 𝑦𝑝 a proponer, según el método de los coeficientes 
indeterminados, en una ecuación del tipo: 
 
7 
 
Roberto Fiadone 
 
𝑦′′ + 𝛼𝑦′ + 𝛽𝑦 = 𝑓(𝑥) 
en cada uno de estos casos. 
 
 
 Solución del homogéneo 𝒇(𝒙) 𝒚𝒑 
a) 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 5𝑒4𝑥 
b) 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 𝑥3 + 1 
c) 𝑐1𝑒
3𝑥 + 𝑐2𝑒
4𝑥 5𝑒4𝑥 
d) 𝑐1𝑒
4𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
4𝑥 7𝑒4𝑥 
e) 𝑐1𝑒
3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
3𝑥 𝑥3 
f) 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 7 
g) 𝑐1𝑒
3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
3𝑥 cos(5𝑥) 
h) 𝑐1𝑒
4𝑥𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝑐2𝑒
4𝑥𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 7 cos(5𝑥) + 7 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 
i) 𝑐1𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 7 cos(5𝑥) + 7 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 
 
 
Resp: 
 
 Solución del homogéneo 𝒇(𝒙) 𝒚𝒑 
a) 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 5𝑒4𝑥 𝑨𝒆𝟒𝒙 
b) 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 𝑥3 + 1 𝑨𝒙𝟒 + 𝑩𝒙𝟑 + 𝑪𝒙𝟐 + 𝑫𝒙 
c) 𝑐1𝑒
3𝑥 + 𝑐2𝑒
4𝑥 5𝑒4𝑥 𝑨𝒙𝒆𝟒𝒙 
d) 𝑐1𝑒
4𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
4𝑥 7𝑒4𝑥 𝑨𝒙𝟐𝒆𝟒𝒙 
e) 𝑐1𝑒
3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
3𝑥 𝑥3 𝑨𝒙𝟑 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝑪𝒙 + 𝑫 
f) 𝑐1 + 𝑐2𝑒
−2𝑥 7 𝑨𝒙 
g) 𝑐1𝑒
3𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒
3𝑥 cos(5𝑥) 𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝑩 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙) 
h) 𝑐1𝑒
4𝑥𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝑐2𝑒
4𝑥𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 7 cos(5𝑥) + 7 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑨𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝑩 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙) 
i) 𝑐1𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 7 cos(5𝑥) + 7 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑨𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝑩𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝟓𝒙)