Bases matematicas

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Bases Matemáticas Control 1
BASES MATEMÁTICAS
Jimmy Tombe Andrade
Universidad Autónoma de Occidente
jtombe@uao.edu.co
INTRODUCCIÓN
Con el tiempo los controles automáticos tienen una intervención cada vez más importante en la
vida diaria, desde los simples controles, hasta los complicados sistemas de control necesarios en
vehículos espaciales, las bases matemáticas indispensables para dar el primer paso de todo sistema
de control, el modelado matemático tenemos álgebra, calculo diferencial e integral y ecuaciones
diferenciales, que analiza los sistemas físicos en el dominio del tiempo y la frecuencia, es necesario
conocer y comprender los conceptos de variable, funciones complejas y la transformada de Laplace.
A continuación se presentan las definiciones y propiedades de cada uno de estos conceptos.
VARIABLES Y FUNCIONES COMPLEJAS
Número complejo: se define como una entidad matemática que viene dada por un par ordenado de
números reales Z = (x, y). siendo la primera componente x, denominada parte real y la segunda y,
parte imaginaria de Z, usándose la notación: x = Re(z) y y = Im(z).
Los números complejos se representa por un par de números entre paréntesis (x, y), como los puntos
del plano, o bien, en la forma usual de x+ yi, i se denomina la unidad imaginaria, la raíz cuadrada
de menos uno.
Ejemplo: 4± 3i; 2± 5j.
Variable compleja: Una variable compleja es aquella que posee coeficientes en la parte real y en la
imaginaria que son cambiantes.
Ejemplo: s = σ + jw.
Función compleja: La definición que se tiene de una función compleja; de hecho se define de la
misma manera que una función real. F (s), donde se encuentra una parte real y una imaginaria de la
forma: F (s) = Fx + jFy
Donde la magnitud de F (s) es: absF (s) =
√
F 2x + F
2
y
y el ángulo o fase de F (s) es: absF (s) = tg−1 FyFx
Una función compleja de la forma: G(s) = 1s+1 = Gx + jGy
para s = σ + jw se tiene: G(σ + jw) = 1σ+jw+1 =
1
(σ+1)+jw
1
Bases Matemáticas Control 1
Ejemplo: Sea la función G(s) tal que: G(s) = s+2s+3
para s = 5 + 2j, se tiene: G(5 + 2j) = 5+2j+15+2j+3 =
6+2j
8+2j =
√
6
2
+22|tg−1(2/6)
√
8
2
+22|tg−1(2/8)
G(5 + 2j) =
6,32|18,45
8,24|14,03 = 0,76|4,39 = 0,76 + 0,58j
(G5 + 2j) = 0,76 + 0,58j
DEFINICIÓN DE POLOS Y CEROS
Polos y Ceros Entiéndase por ceros a las expresiones polinómicas que conforman el numerador de
la función y por polos a las expresiones polinómicas que conforman el denominador cuando este
tiende a a cero, aproximándose la función si es evaluada al infinito.
Ejemplo: Sea la función G(s) dada por: G(s) = K(s+2)(s+4)s(s+3)(s+1)(s+5)2
Los polos de G(s) son: 0,-3,-1,-5,-5
Los polos de G(s) son: -2,-4
para valores elevados de s, la función G(s) se convierte en: G(s) ≈ Ks3
Aparecen tres ceros en s =∞ si s→∞ ⇒ G(s) → 0
En total todo sistema tendrá igual numero de polos y ceros, así:
Los polos de G(s) son: 0,-3,-1,-5,-5
Los polos de G(s) son: -2,-4∞,∞,∞
Identidad de Euler1 Esta identidad específica que: cosθ + jsenθ = ejθ
De tal forma empleando la identidad
cosθ = 12 (e
jθ + e−jθ) senθ = 12 (e
jθ + e−jθ)
Dando continuidad al proceso se logra percibir y comprender como la identidad permite encontrar
con facilidad la transformada de Laplace de las funciones seno y coseno.
La Transformada de Laplace.
Es aquel procedimiento matemático que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una
función de la variable compleja s , problema que fue desarrollado por el matemático y astrónomo
francés Pierre Simón Marques de Laplace2 (1749 - 1827)
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de
Laplace si existe un real a > 0 tal que su integral converge para s > a. En este caso, la transformada
de Laplace de la función f es la función f
′
definida en el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada
s esta dado por
F (s), definida por: F (s) =
∫∞
0
e−stdt. Se denota como: L{f(t)}
1Leonhard Euler (1707 – 1783) Matemático y físico suizo, uno de los fundadores de la matemática pu-
ra. No solamente realizó contribuciones en geometría, cálculo y mecánica, sino también en ciencias como la
astronomía.
2Pierre Simon Laplace (1749 – 1827) Matemático físico y astrónomo francés nacido en Normandía conoci-
do por sus investigaciones acerca de la estabilidad del sistema solar.
2
Bases Matemáticas Control 1
Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:
Método operacional que se emplea para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en
funciones algebraicas lineales en la variable S.
Además de ello sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por ope-
raciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Finalmente el método permite el manejo de técnicas gráficas para predecir el funciona-
miento de un sistema, sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales
correspondiente.
Definición. En este orden de ideas se denomina Transformada de Laplace de f(t) a la siguiente
operación:
F (s) = L{f(t)} ⇒ F (s) =
∫ ∞
0
e−st f(t)dt (1)
La inversas de esta con las que se logra hallar la función f(t) a partir de la función F (s), de tal
forma que: f(t) = L−1{F (s)}
Teorema del Valor inicial.
Este teorema permite determinar las condiciones iniciales de un circuito, es decir el comportamiento
de f(t)ent = 0, a partir del conocimiento de su transformada de Laplace F (s).
El valor inicial de una función f(t) es un valor en t = 0, siempre que f(t) sea continua en t =
0.Sif(t) es discontinua en t = 0, el valor inicial es el límite cuando t→ 0+ , donde t tiende a t = 0
desde valores positivos del tiempo.
Teorema: Utilizando Laplace, si son transformables f(t)ydf(t)dt y si existe el ĺıms→∞sF (s) enton-
ces F (0+ = ĺıms→∞sF (s)
Por ejemplo, sea: f(0) = ĺıms→∞ sF (s) = ĺıms→∞
[
−2s3
34
]
= −23
Teorema del Valor Final.
El teorema del valor final se emplea cuando se desea determinar el valor de una variable, de un
sistema, cuando se alcanza el régimen permanente, sin necesidad de determinar la transformada
inversa de dicha variable. por otra parte se aplica si y solamente si el límite: ĺımt→∞ f(t) existe.
Este Teorema se enuncia de la siguiente manera: ĺıms→ 0 F (s)
Ejemplo: si L
[
f(t)
]
= F (s) = 1s(s+1) ⇒ ĺımt→∞ f(t) = ĺıms→ 0 sF (s) = ĺıms→ 0
1
s(s+1)=1
El teorema del valor final no puede aplicarse a la determinación de funciones con excitación senoi-
dal, pues las raíces del denominador de sF (s) se encuentran en el eje imaginario.
3
Bases Matemáticas Control 1
En la siguiente tabla se puede apreciar los Teoremas y Propiedades de la Transformada de Laplace.
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Teoremas y propiedades diversas 
1 Linearidad             1 1 2 2 1 1 2 2n n n nc f t c f t c f t c F s c F s c F t      L   
donde 1c , 2c , … nc son constantes 
2 Primer teorema de traslación          
       
1 1
at
s s a
s s a
at at
e f t f t F s F s a
F s a e F s e f t
 
 
 
   
  
L L
L L
 
3 Segundo teorema de traslación 
donde la función escalón unitario es 
  0, 0
1,
t a
t a
t a
 
   
U 
         as asf t a t a e f t e F s    L LU 
           1 1as t t ae F s F s t a f t a t a
 
 
    L L U U 
4 Función multiplicada por nt 
(derivada de transformada) 
      1
n
nn
n
d
t f t F s
ds
 L 
5 Función dividida entre t 
(integral de transformada) 
   
s
f t
F s ds
t
 
 
  L 
6 Transformada de derivada    0df sF s f
dt
    
 
L 
     
2
2
2
0 0
d f
s F s sf f
dt
 
   
 
L 
             2 11 20 0 0 0
n
n nn n n
n
d f
s F s s f s f sf f
dt
          
 
L  
7 Transformada de integral 
   
0
t F s
f t dt
s
 
 
 L 
8 Teorema de convolución 
donde la integral de convolución es 
   τ τ τ
0
*
t
f g f g t d  
          *f g f t g t F s G s L L L 
    
1
*F s G s f g

L 
9 Transformada de una función periódica 
con periodo T tal que    f t T f t      0
1
1
T
st
sT
f t e f t dt
e



 L 
10 Transformada de una función periódica 
con periodo T tal que    g t T g t       0
1
1
T
st
sT
g t e g t dt
e



 L 
 
 δ
o bien
0 0
0
0 0
1
,
2
0,
a
t a t t a
t t a
t t a t t a
      
    
  δ 00 2
sa sa
st
a
e e
t t e
sa

  L 
11 Función delta de Dirac 
 δ 00
0
,
0,
t t
t t
t t
 
   
 
  δ 00 stt t e L 
12 Derivada de la función delta 
(función doble impulso)  δ
0
0
std t t se
dt
   
 
L 
13 Teorema del valor inicial    
0
lim lim
t s
f t sF s
 
    
14 Teorema del valor final    
0
lim lim
t s
f t sF s
 
    
 
4
Bases Matemáticas Control 1
Función escalón. también conocida como función escalón unitario, Es una función discontinua cuyo
valor es 0 para cualquier valor negativo, y 1 para cualquier valor positivo.
L{f(t)} =
∫∞
0
Ae−stdt = A
∫∞
0
e−stdt = A
[
− e
−st
s
]∞
o
= As ⇒ L{f(t)} =
A
s
Función seno.
partir de la definición de la transformada como integral impropia, Se procede primero por encontrar
la integral indefinida que hace parte de la impropia, evaluar la integral y luego encontrar el límite
que se formó al transformar la integral impropia
f(t) = 0 para t < 0 Aplicando el teorema de Euler se tiene:
L{f(t)} = A2j
[
1
s−jw −
1
s+jw
]
= Aws2+w2 ⇒ L{f(t)} =
Aw
s2+w2
De la misma manera para la función coseno, se dice que: L{Acos(wt)} = Ass2+w2
Función Rampa.
La funcion rampa es muy utilizada en sistemas con respuesta lenta. Por ejemplo, la apertura de
válvulas industriales son accionadas a través de servomotores. Para evitar sobre pico de corriente y
manejo adecuado de la apertura se utiliza este tipo de señal sobre el servo.
f(t) = 0 para t < 0 L{f(t)} =
∫∞
0
(Ate−stdt = As2 ⇒ L{At} =
A
s2
f(t) = At para t ≥ 0
Transformada inversa de Laplace.
Siendo aquel procedimiento que consiste en encontrar la función en el tiempo f(t) a partir de la
correspondiente transformada de Laplace F (s).
por consiguiente, para encontrar la transformada inversa de Laplace se utilizan principalmente dos
métodos:
Anteriormente nos ocupamos del problema de transformar una función f(t) en otra función F (s)
mediante la integral F (s) =
∫∞
0
e−stdt, su representación simbólica es Lf(t) = F (s). Ahora se
invertirá el problema, dada la función F (s)hallar la función f(t) que corresponde a esa transforma-
ción. Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F (s) y se expresa:
f(t) = LF (s)
Método de expansión en fracciones Parciales.
Usando las tablas de transformadas.
Método de Expansión en Fracciones Parciales.
Siendo el método que procura dividir la función F (s) en factores más pequeños y matemáticamente
de fácil transformada inversa en comparación con la función F (s). Así,
F (s) = F1(s) + F2(s) + F3(s) + ......+ Fn(s)
5
Bases Matemáticas Control 1
L−1{F (s)} = f1(t) + f2(t) + f3(t) + ......+ fn(t)
Las funciones de transferencia más comunes en los sistemas de control, mantienen normalmente la
forma:
F (s) = A(s)B(s) =
K(s+z1)(s+z2)......(s+zn)
(s+p1)(s+p2)......(s+pn)
zi = Cero; pj = Polo
Función F (s) con polos diferentes:
Se expresara mediante F (s) así:
F (s) = A(s)B(s) =
a1
s+p1
+ a2s+p2 +
a3
s+p3
Donde ak son constantes y se denominan residuos del polo en ks = −ps. El valor de ak a se halla
mediante la siguiente fórmula.
ak =
[
(s+ pk)
A(s)
B(s)
]
s=−pk
Ejemplo: Encontrar la transformada inversa de:
G(s) = s+ 3 s+1(s+2)(s+3)
Se sabe L−1{∆(t)} = 1 ademas L−1{ ddt∆(t)} = s
Entonces la transformada inversa de Laplace de G(s) es:
G(t) = d{∆(t)}dt + 3∆(t) + 3e
−t − 3e−2t
Función F (s) con polos conjugados complejos.
Para los polos complejos conjugados. En control estos polos son muy comunes e importante, es por
ellos merecen un tratamiento especial.
La función F (s) = A(s)B(s) en este caso se expresa como:
F (s) = α1s+α2(s+p1)(s+p2) +
α3
s+p3
+ ......+ αns+pn Polos conjugados complejos polos reales
De este modo tanto un lado como el otro de la ecuación se presentan valores complejos, igualando
las partes reales y complejas entre sí, se encuentran 2 ecuaciones que permitirán despejar α1 y α2.
Ejemplo: Hallar la antitransformada de:
F (s) = s+3s(s−2+s+3)
1 función en forma de polos y ceros:
F (s) = α1s+α2(s+0,5+30,8)(s+0,5−30,8) +
a
s
Función F (s) con polos múltiples.
En este caso, para exponer o indicar el procedimiento a seguir en este caso se retoma el siguiente
ejemplo, el cual indica como hallar ( encontrar, despejar) la transformada inversa de Laplace de la
función F (s) dada por:
6
Bases Matemáticas Control 1
F (s) = s
2+2s+3
(s+1)2
F (s) = A(s)B(s) =
b3
(s+1)3 +
b2
(s+1)2 +
b1
(s+1)1
Se procede a encontrar los coeficientes b3, b2, b1 el asi :
(s+ 1)2 =
[
s2+2s+3
(s+1)2
]∣∣∣∣∣
s=−1
= (s2 + 2s+ 3)s=−1 = 2 ⇒ b3 = 2
d
ds
[
(s+ 1)3 =
[
s2+s+1
(s+1)3
]]
s=−1
= (2s+ 2)s=−1 = 0 ⇒ b2 = 0
d2
ds2
[
(s+ 1)3 =
[
s2+s+1
(s+1)3
]]
s=−1
= 12x2 = 1 ⇒ b1 = 1
Por medio de las tablas de transformadas se evidencia que:
F (t) F (s)
1
(n−1)! t
−at 1
(s−a)n
L−1{F (s)} = f(t) = 22! t
2e−t + e−t
f(t) = e−t(t2 + 1)
Solución de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace.
En definitiva el método puede ser empleado para obtener la solución transitoria y permanente de
ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo.
pasos a seguir para la aplicación del método:
1. En primer lugar se toma la Transformada de Laplace a cada término de la ecuación diferencial,
de modo tal, que esta quede en la forma de una ecuación algebraica.
2. La respuesta en el tiempo se halla encontrando la Transformada inversa de Laplace de la función
obtenida en el paso 1.
por lo que se puede apoyar mediante la tabla de transformadas ya planteadas para la solucion de
estas.
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Bases Matemáticas Control 1
REVISIÓN 6 – 86256.94 PÁGINA 1 DE 2 
 
TRANSFORMADA DE LAPLACE L 
Definiciones integrales 
Transformada de Laplace Transformada inversa de Laplace 
      
0
lim
b
st
b
F s f t e f t dt

  L 
s es en realidad una variable compleja pero se trata 
como constante durante la integración 
      
σ
σπ
1 1
lim
2
iR
st
R iR
f t F s e F s ds
i

 
  L 
σ es un número real elegido de tal forma que todos los polos de 
 F s queden a la izquierda de la recta vertical que pasa por σ 
Tabla de transformadas 
  f t   f tL 
1 1 
1
s
 
2 
nt 
n es un entero positivo 1
!
n
n
s 
 
3 t 
π
34s
 
4 
1
t
 π
s
 
5 ate 
1
s a
 
6 
n att e 
n es un entero positivo   1
!
n
n
s a 
 
7 senkt 2 2
k
s k
 
8 coskt 2 2
s
s k
 
9 senhkt 2 2
k
s k
 
10 coshkt 2 2
s
s k
 
11 senate kt  2 2
k
s a k 
 
12 cosate kt 
 
 2 2
s a
s a k

 
 
13 sent kt  22 2
2ks
s k
 
14 cost kt  
2 2
22 2
s k
s k


 
15 sen coskt kt kt  
3
22 2
2k
s k
 
16 sen coskt kt kt  
2
22 2
2ks
s k
 
  f t   f tL 
17 senh senkt kt 
3
4 4
2k
s k
 
18 cosh coskt kt 
2
4 4
2k s
s k
 
19 1 coskt  
2
2 2
k
s s k
 
20 senkt kt  
3
2 2 2
k
s s k
 
21  2 2
sen sena bt b at
ab a b


 
  2 2 2 2
1
s a s b 
 
22 2 2
cos cosbt at
a b


   2 2 2 2
s
s a s b 
 
23 lnt 
γ ln s
s

 
γ es la constante de Euler 
( γ 0.5772156  ) 
24 2ln t 
 γπ 2ln
6
s
s s

 
25  γ lnt  ln s
s
 
26   πγ
2
2ln
6
t  
2ln s
s
 
27 
at bte e
t
 
 ln
s b
s a
 
  
 
28 
π 34
at bte e
t
 
 s b s a   
29 
π
2 /4
34
a ta e
t
 a se 
30  erf t  
2 /4
1
21 erf
se
s
s
   
31 
sent
t
 
1
arctan
s
 
 
8