Ejercicios subespacios lineales - Cynthia Chicaiza

Vista previa del material en texto

Accede a apuntes, guías, libros y más de tu carrera
separata-subespacios-lineales
pag.
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
1 
 
CAPITULO III 
ESPACIOS LINEALES 
 
3.1. Espacios lineales 
Se denomina espacio lineal a todo conjunto "V" no vacío de objetos (vectores, matrices, polinomios, etc.) en el que 
se han definido dos operaciones: una interna (suma) y una externa (multiplicación por un escalar), sujetos a los 
siguientes diez axiomas, que deben cumplir los objetos u, v y w ϵ V, así como con los escalares c y d ϵ ℝ 
1. La suma de "u" y "v", denotada como " vu + ", está en "V", es decir, el conjunto es cerrado bajo la suma. 
2. uvvu +=+ 
3. ( ) ( )wvuvuwvu ++=++=++ w 
4. Existe un vector cero en V tal que: uu00u =+=+ 
5. Para cada "u" en V, existe un vector "–u" en V tal que: ( ) 0uu =−+ 
6. El múltiplo escalar de "u" por c, denotado mediante "cu", está en V. Es decir, el conjunto es cerrado bajo la 
multiplicación de una escalar. 
7. ( ) cvcuvuc +=+ 
8. ( ) ducuudc +=+ 
9. ( ) ( )ucdduc = 
10. u1u = 
 
Ejemplos de espacios lineales: 
 
ESPACIO LINEAL DESCRIPCIÓN 
Espacio Vectorial 
Conjunto de todos los vectores con 2 entradas (ℝ2) 
Conjunto de todos los vectores con 3 entradas (ℝ3) 
Conjunto de todos los vectores con "n" entradas (ℝn) 
Espacio Polinomial Conjunto de todos los polinomios de grado "n" 
Espacio Matricial Conjunto de todas las matrices " nn " 
 
Subespacios 
Un subespacio de un espacio lineal "V" es un subconjunto "H" de "V" que tiene 3 propiedades: 
1. El vector cero de "V" está en "H". 
2. "H" es cerrado bajo la suma. Si "u" y "v" ϵ H, entonces: " vu + " ϵ H. 
3. "H" es cerrado bajo la multiplicación de un escalar. Si "u" ϵ H, entonces: "cu" ϵ H, donde "c" es un escalar. 
 
Si "H" cumple estas tres propiedades, entonces, automáticamente cumple todos los demás axiomas de un espacio 
lineal. 
 
 
 
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
2 
 
 
En el siguiente gráfico se presenta un subconjunto "H", de dimensión dos, incluido en el espacio lineal "V", ℝ3 
 
 
 
Todo subespacio tiene la estructura algebraica de un espacio vectorial. Todo espacio vectorial es un subespacio 
(de sí mismo). El término subespacio se usa cuando se tienen en mente por lo menos dos espacios vectoriales, uno 
dentro de otro y la frase subespacio de V identifica a V como el espacio mayor. 
 
El conjunto que consta únicamente del vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V llamado 
subespacio cero, o subespacio trivial. Se escribe  0 , esto porque: 000 =+ y 0c0 = , para todo c ϵ ℝ. 
 
3.2. Espacios vectoriales 
Se denomina espacio vectorial a todo conjunto "V" no vacío de vectores en el que se han definido dos operaciones: 
una interna (suma) y una externa (multiplicación por un escalar), sujetos a los diez axiomas antes mostrados. 
Subespacio generado por un conjunto de vectores 
Un subconjunto "W" de un espacio vectorial "V" se llama subespacio de "V" si "W" por sí mismo es un espacio 
vectorial bajo la suma y multiplicación por un escalar tal como se definen en "V", es decir, debe cumplirse lo 
siguiente: 
1. Si u y v están en "W", entonces vu+ está en "W". 
2. Si "c" es cualquier escalar y u está en "W", entonces uc está en "W". 
 
Es común describir un subespacio lineal en función de un conjunto de vectores  p21 v...,,v,v (conjunto 
generador) que se pueden escribir combinándolos linealmente. Una combinación lineal se refiere a cualquier suma 
de múltiplos de varios vectores. En general, se cumple que  p21 v...,,v,vGen es un subespacio lineal y será igual 
a "W" si éste es generado por el conjunto  p21 v...,,v,v . Se dice entonces que  p21 v...,,v,v es el conjunto 
generador del subespacio "W", denotado como  p21 v...,,v,vGen . 
 
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
3 
 
 
 
EJEMPLO 1 Averiguar si los siguientes conjuntos son subespacios lineales 
 
a. Una recta de ℝ2 que pasa por el origen: x3y = 
b. Una recta de ℝ2 que no pasa por el origen 
c. 









=
3
x
H3 
d. =4H { x
x es un vector de ℝ2 cuyas componentes son positivas o cero} 
e. =5H { x
x ϵ ℝ2 cuyas componentes están en el 1er cuadrante o en el 3er cuadrante} 
f. 






=


= 0xy/
y
x
H6 
g. Sea 7H el conjunto de todos los vectores de la forma ( )b,a,ab,b3a −− . Demuestre que 7H es una subespacio 
de ℝ4 
h. Demostrar que el conjunto solución 0xA = es un subespacio de ℝn, donde A es de nm . 
i. 












=
0
x
H9 ℝ2, "x" ϵ ℝ. 
 
La estrategia consiste en verificar si se cumplen los tres axiomas importantes antes mencionados: que exista el 
vector cero, que el conjunto sea cerrado bajo la suma y cerrado bajo la multiplicación de un escalar. 
 
Caso a. Recta x3y = 
Se hace la verificación gráficamente 
 
Para comprobar si x3y = es un subespacio "H1" se definen los 
vectores u y v sobre la recta x3y = y se verifican los axiomas 
correspondientes: 
1. El vector cero, 0 , ϵ "H1", ya que la recta pasa por el origen y 
una de sus soluciones es el vector cero. 
2. Los vectores u y v ϵ "H1" y, además, se comprueba que vu + 
ϵ "H1". 
3. El vector u (o v ) ϵ "H1" y, además, se comprueba que uc 
(o vc ) ϵ "H1". 
 
Como se cumplen las 3 condiciones, se puede afirmar que la recta 
x3y = es un subespacio de ℝ2. 
 
Luego, si se quisiera hacer la verificación analíticamente 
 
Primero, se define el subespacio como 
 









=






=


=
x3
x
x3y/
y
x
H1 
u
v
x3y =
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
4 
 
Luego, se verifican los axiomas correspondientes 
1. Si: 0x = , entonces: 


=



0
0
x3
x
. Con esto, se comprueba que 0 , ϵ "H1". 
2. Si: 





=
1
1
x3
x
u y 





=
2
2
x3
x
v , entonces: 
( )
( )




+
+
=





+





=+
21
21
2
2
1
1
xx3
xx
x3
x
x3
x
vu . Con esto, se comprueba que vu + 
ϵ "H1". 
3. Si: 





=
1
1
x3
x
u , entonces: 
( )
( )




=
1
1
cx3
cx
uc . Con esto, se comprueba que uc ϵ "H1". 
 
Como se cumplen las 3 condiciones, se puede afirmar que la recta x3y = es un subespacio de ℝ2. 
 
Caso b. Recta que no pasa por el origen 
Se hace la verificación gráficamente 
 
 
Claramente se comprueba que: 
1. El vector cero no pertenece a "H2", ya que la recta no pasa por 
el origen. 
 
Con el no cumplimiento de uno de los axiomas basta para verificar 
que "H2" no es un subespacio de ℝ2. No obstante, seguiremos 
evaluando los dos axiomas restantes: 
2. No se pueden generar "vectores posición" u y v ϵ "H2". Los 
vectores posición parten del origen, mientras que la recta no lo 
hace. Por lo tanto, "H2" no es cerrado bajo la suma. 
3. No se puede generar un vector posición u ϵ "H2". Por lo tanto, 
"H2" no es cerrado bajo la multiplicación de un escalar. 
 
 
Caso c. Conjunto 









=
3
x
H3 
El conjunto 









=
3
x
H3 no puede ser un subespacio lineal porque no contiene el vector cero. 
 
bmxy +=
b
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
5 
 
 
Caso d. =4H { x
x es un vector de ℝ2 cuyas componentes son positivas o cero} 
Se hace la verificación gráficamente 
 
Del gráfico adjunto se comprueba que: 
1. El vector cero, 0 , ϵ "H4". 
2. Los vectores u y v ϵ "H4" y, además, se comprueba que vu + 
ϵ "H1". 
3. El vector " u " pertenece a "H4", pero uc no. 
 
Dado que el tercer axioma no se cumple, se dice que " H4" no es 
un subespacio lineal. 
 
 
 
 
 
 
Caso e. =5H { x
x ϵ ℝ2 cuyas componentes están en el 1er cuadrante o en el 3er cuadrante} 
Si losvectores u y v se definen, ambos, en el primer (o tercer) cuadrante, sucederá lo mismo que en el caso 
anterior. El caso que va a estudiarse a continuación es cuando u se define en el primer cuadrante y v en el tercero: 
 
 
 
 
 
Se observa claramente que vu+ no pertenece al conjunto 
"H5", por lo tanto " H5" no es un subespacio lineal. Por otro 
lado, fíjese que los axiomas uno y tres sí se cumplen. 
 
 
 
 
 
 
 
Caso f. 






=





= 0xy/
y
x
H6 
La ecuación 0xy = se cumple cuando "x" es igual a cero e "y" toma cualquier valor (incluyendo el cero), y 
viceversa, es decir, los vectores de "H6" solo pueden definirse tomando los puntos de las rectas 0x = e 0y = . 
 
Cuando los vectores u y v se definen en el mismo eje sucederá lo mismo que en el caso "a" y "H6" será un 
subespacio lineal. Pero, analicemos el caso en el que los vectores u y v se definen en distintos ejes: 
u
v
vu+
uc
u
v
vu+
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
6 
 
 
 
Se incumple el axioma dos, esto porque vu+ no pertenece al 
conjunto "H6". 
 
Entonces, si bien es cierto que para el primer caso, en el que u 
y v se definen en el mismo eje, "H6" sí es un subespacio 
lineal, no se puede decir lo mismo para el segundo caso. Por 
lo tanto, " H6" no es un subespacio. 
 
 
 
 
 
 
Caso g. Sea 7H el conjunto de todos los vectores de la forma ( )b,a,ab,b3a −− . 
Se define "H7" como 






































−
=


























+












−
=


























−
+
=
1
0
1
3
,
0
2
2
1
Gen
1
0
1
3
b
0
2
2
1
a
b
a
ab
b3a
H7 
Por lo tanto, " H7" es un subespacio de ℝ4. 
 
Caso h. Conjunto solución de 0xA = , donde A es de nm . 
Sea "H8" el conjunto solución de 0xA = , analicemos los tres axiomas: 
1. Una de las soluciones de 0xA = es 0 , ya que 00A = . Entonces, se afirma que 0 ϵ "H8". 
2. Si u ϵ al CS de 0xA = , se cumple que: 0uA = . 
Luego, si v ϵ al CS de 0xA = , se cumple que: 0vA = . 
Entonces, si u y v contienen pesos que generan individualmente el vector cero, vu + también lo hará. Por lo 
tanto, vu + ϵ "H8". 
3. Si u ϵ al CS de 0xA = , se cumple que: 0uA = . Entonces, uc también ϵ al CS de 0xA = , porque 
( ) ( ) 00c0ucA0ucA =→=→= . 
 
Se cumplen los tres, por lo tanto, "H8" es un subespacio lineal. 
 
Caso i. 












=
0
x
H9 
A continuación, se evalúa el cumplimiento de los tres axiomas: 
1. Si 0x = , entonces: 0 ϵ "H9". 
2. Si 





=
0
x
u
1
 y 





=
0
x
v
2
 ϵ "H9", entonces: 




 +
=+
0
xx
vu
21
 ϵ "H9". 
3. Si 





=
0
x
u
1
 ϵ "H9", entonces: 





=
0
cx
uc
1
 ϵ "H9". 
 
u
v vu+
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
7 
 
EJEMPLO 2 Dados 1v y 2v en un espacio vectorial "V". Demuestre que  21 v,vGenH = es un subespacio 
de "V" 
 
Recuerde que "H" es el conjunto de todas las combinaciones lineales de 1v y 2v . Con esto, se hace la verificación 
de los axiomas correspondientes: 
1. 0 ϵ "H" porque 21 v0v00 += . 
2. Si 2211 vcvcu += y 2211 vdvdv += ϵ "H", entonces: ( ) ( ) 222111 vdcvdcvu +++=+ ϵ "H". 
3. Si 2211 vcvcu += ϵ "H", entonces: ( ) ( ) 2211 vccvccuc += ϵ "H". 
 
Entonces, queda demostrado que  21 v,vGenH = es un subespacio de "V". 
 
 
Espacio Nulo de una matriz A 
El espacio nulo de una matriz nmA  , que se escribe NulA , es el conjunto de todas las soluciones de 0xA = 
 
=NulA  xx ϵ ℝn y 0xA = 
 
Se dice, entonces, que NulA es un subespacio de ℝn. 
 
 
 
EJEMPLO 3 Demuestre que NulA es un subespacio de ℝn 
 
Sea la matriz nmA  , se dice que NulA es un subconjunto de ℝn porque "A" tiene "n" columnas. Entonces, si se 
satisfacen las tres condiciones de un subespacio lineal quedará concluida la demostración 
1. Una de las soluciones de 0xA = es 0 , ya que 00A = . Entonces, se afirma que 0 ϵ NulA . 
2. Si u ϵ al CS de 0xA = , se cumple que: 0uA = . 
Luego, si v ϵ al CS de 0xA = , se cumple que: 0vA = . 
Entonces, si u y v contienen pesos que generan individualmente el vector cero, vu + también lo hará. Por lo 
tanto, vu + ϵ NulA . 
3. Si u ϵ al CS de 0xA = , se cumple que: 0uA = . Entonces, uc también ϵ al CS de 0xA = , porque 
( ) ( ) 00c0ucA0ucA =→=→= . 
 
EJEMPLO 4 Sea "H" el conjunto de todos los vectores de ℝ4 cuyas coordenadas a, b, c y d satisfacen las 
ecuaciones dc5b2a −=++ y bac =− . Demostrar que "H" es un subespacio de ℝ4. 
 
Forma implícita de NulA 

















=+−−
=−++












=














=−
=++












=
=
  
0xA
0cba
0dc5b2a
/
d
c
b
a
bac
dc5b2a
/
d
c
b
a
H 
Nulidad de una matriz A 
La nulidad de una matriz A es igual a la cantidad de variables libres de . 
 
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
8 
 
 
Se observa que tiene el mismo conjunto solución que NulA . Entonces, si NulA es un subespacio, "H" también será 
un subespacio (de ℝ4 porque "A" tiene "4" columnas). 
 
0
d
c
b
a
0111
1521
xA =


















−−
−
= 
 
 
EJEMPLO 5 Halle un conjunto generador para para NulA del ejemplo anterior 
 
Forma explícita de NulA 
0
d
c
b
a
0111
1521
xA =


















−−
−
= 
 
)2(12)2(12
)1(21
H
01610
01701
~
H
01610
01521
~
H00111
01521 −−






−
−






−
−






−−
−
 
 






=
=
+−=
−=
→



=−+
=+−
sd
tc
st6b
st7a
0dc6b
0dc7a
~ 











−
+












−
=












+−
−
=












=
1
0
1
1
s
0
1
6
7
t
s
t
st6
st7
d
c
b
a
x 
 
De lo obtenido, se resuelve que 
 

























−












−
=
1
0
1
1
,
0
1
6
7
GenNulA 
GENERADOR
CONJUNTO
1
0
1
1
,
0
1
6
7
S

























−












−
= 
 
Espacio de Columnas de A 
El espacio de columnas de nmA  , que se escribe NulA , es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los 
vectores columna de A 
 
=ColA { b ϵ ℝm/ bxA = , para x ϵ ℝn } 
 n21 a...,,a,aGenColA = 
 
Se dice, entonces, que ColA es un subespacio de ℝm. 
 
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
9 
 
EJEMPLO 6 Encuentre una matriz A tal que ColAW = . ¿Qué lugar geométrico es ColA ? 
 





















−
+
−
= b,a;
a7
ba
ba6
W 
 
Se define el subespacio "W" 
 



















−










−
=



















−
+










−
==
0
1
1
,
7
1
6
Gen
0
1
1
b
7
1
6
aColAW 
 
Con lo cual se determina la matriz "A" 
 










−
−
=
07
11
16
A 
 
Esta matriz "A" está formada por dos vectores de ℝ3, es decir, ColA
(subespacio de las infinitas CL's de los vectores de "A") representa un 
plano de ℝ3 que pasa por el origen. 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 7 Dados 
 











 −
=
882205
23182
551123
12041
A 
















−
=
0
1
0
1
2
u 












−
=
1
2
2
0
v 
 
a. ¿A qué espacios pertenecen NulA y ColA ? 
b. Determine si u está en NulA , ¿podría estar en ColA ? 
c. Determine si v está en ColA , ¿podría estaren NulA ? 
 
Apartado a 
- NulA ϵ ℝ5 para que x sea multiplicativamente conforme con "A". 
- ColA ϵ ℝ4 porque los vectores de "A" están en ℝ4. 
 
Apartado b 
Para que u esté en NulA debe cumplirse que 
x
y
z
1v
2v
ColA
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com
10 
 
 
0
2
1
1
0
0
1
0
1
2
882205
23182
551123
12041
0uA 












−
−
−
=
















−











 −
→=  NulAu 
 
Luego, u no podría pertenecer a ColA porque las CL's de los vectores columna de "A" generan un vectores en ℝ4 
y u está en ℝ5. 
 
 
 
Apartado c 
Para que v esté en ColA debe ocurrir que la ecuación vxA = tenga solución siempre 
 
)2(42
)1(32
)5(41
)2(31
)3(21
H
H
1132200
241100
281100
012041
~
H
H
H
1882205
223182
2551123
012041
vxA
−
−
−
−
−












−
−−
−
−












−
−
→= 
 












−
−












−
−












−−
−−
−
−
−−
−
000000
110000
281100
012041
~
H110000
110000
281100
012041
~
H
H
330000
440000
281100
012041
~
)1(43)3/1(4
)4/1(3
 
 
( ) ( ) 5.incógn3b,ArAr
:FrobeniusRouché
===
−
 
235rango.incógnlibres.var
ADOINDETERMINCOMPATIBLESISTEMA
=−=−=

 
 
Al demostrarse que el sistema asociado es compatible, se puede afirmar que v ϵ ColA . Además, v no podría estar 
en NulA porque v ϵ ℝ4 y los vectores de NulA ϵ ℝ5. 
 
De lo anterior, se puede decir que un sistema lineal asociado a bxA = es consistente, si y solo si b está en ColA
. 
 
Descargado por Cynthia Chicaiza (chicaizacynthia3@gmail.com)
Encuentra más documentos en www.udocz.com