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Resumen de fórmulas de probabilidad A continuación se presenta un resumen de las fórmulas que aparecen en los capítulos dedicados a probabilidad (capítulos 1 a 7). El mismo no incluye las fórmulas usadas en estadística (capítulos 8 a 11) ni las que aparecen en los demás apéndices. Fórmulas básicas de probabilidad (Capítulo 1) Definición de Laplace (Sección 1.2) resultadosdetotalcantidad Aenconenidosresultadosdecantidad AP =)( Definición empírica (Sección 1.2) n )A(fr )A(fr)A(P abs rel =≈ Axiomas y consecuencias (Sección 1.2) • P(A) ≥ 0 • P(E) = 1 • A ∩ B = ∅ <=> P(A ∪ B) = P(A) + P(B) • P(A) ≤ 1 • P(A) + P( A ) = 1 • P(∅) = 0 • A ⊂ B => P(A) ≤ P(B) Suma de probabilidades (Sección 1.2) • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) • P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) Probabilidad condicional (Sección 1.3) • )( )()/( )( )( )/( BP APABP BP BAP BAP = ∩= Multiplicación de probabilidades (Sección 1.3) • ( ) ( ) BA CPA BP)A(P)CBA(P ∩=∩∩ • ∏ = − == = n 1i 1i 1j ji n 1i i AAP)A(P II Independencia de sucesos (Sección 1.4) • A, B indep. <=> P(A/B) = P(A) <=> P(B/A) = P(B) <=> P(A ∩ B) = P(A) . P(B) • A, B indep. <=> A, BC indep. <=> AC, B indep. <=> AC, BC indep. Probabilidad total (Sección 1.5) • ∑∑ == =∩= n i ii n i i pPpAPpAPAP 11 )()./()()( Regla de Bayes (Sección 1.6) • ∑ = = n i ii ii i pPpAP pPpAP ApP 1 )()/( )()/( )/( Variables aleatorias unidimensionales (Capítulo 2) Funciones de densidad y distribución y probabilidades (Sección 2.3) • ∑ −∞= ==≤ 0 )()()( 00 x x XX xPxFxXP (X discreta) • ∫ ∞− ==<=≤ 0 )()()()( 000 x XX dxxfxFxXPxXP (X continua) • )()( xF dx d xf XX = Cambio de variables continuo (Sección 2.4) d x d y xf yf XY )( )( = Esperanza (Sección 2.5) • ∫ +∞ ∞− = dxxfxXE X )()( • ∫ +∞ ∞− = dxxfxxE X )()())(( ϕϕ • Para X discreta, reemplazar integrales por sumatorias y fX por PX. • ℜ∈+=+=+ baconbXaEbEaXEbaXE ,)()()()( Varianza (Sección 2.6) • ∫ ∞ ∞− −=−== dxxfxXEXEXVar XXX )()()))((()( 222 µσ • 222 )()( XEXE X −=σ • ℜ∈=+ baconabaX X ,)( 222 σσ Mezcla (Sección 2.9) • fXMEZCLA = P(A1) fX1(x) + P(A2) fX2(x) + ... + P(An) fXn(x) Variables aleatorias bidimensionales y n-dimensionales (Capítulo 3) Marginación (Sección 3.3) • ∑+∞ −∞= = y XYX )y,x(P)x(P para variables discretas • dyyxfxf XYX ∫ +∞ ∞− = ),()( para variables continuas Distribución condicional (Sección 3.4) • )( ),( ),( / yP yxP yxP Y XY YX = para variables discretas • )( ),( ),( / yf yxf yxf Y XY YX = para variables continuas Independencia de variables aleatorias (Sección 3.5) • X e Y indep. <=> fX/Y(x,y) = fX(x) <=> fY/X(x,y) = fY(y) <=> fXY(x,y) = fX(x) . fY(y) • Para variables discretas es análogo Esperanza condicional (Sección 3.6) • ∫ ∞ ∞− == dxyxfxYXE YXYX ),()/( // µ • Para variables discretas es análogo Cambio de variables (Sección 3.7 , 3.8) • ),( ),( ),( ),( yx vu yxf vuf X Y U V ∂ ∂ = • ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− = dxdyyxfyxyxE XY ),(),()),(( ϕϕ • E(X + Y) = E(X) + E(Y) • ∑∑ == = n i ii n i ii XEaXaE 11 )( • XYYXbYaX abba σσσσ 222222 ++=+ • YXXYYXXY XYEdxdyyxfyxYX µµµµσ −=−−== ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− )(),())((),cov( • YX XY σσ σρ = Máximos y mínimos (Sección 3.9) Hipótesis sobre las variables aleatorias X i: Y = max{X1, X2, ..., Xn} Y = min{X1, X2, ..., Xn} Las X i son independientes e idénticamente distribuidas [ ] )()()( 1 yfyFnyf X n XY −= [ ]n XY yFyF )()( = [ ] )()(1)( 1 yfyFnyf X n XY −−= [ ]n XY yFyF )(11)( −−= Las X i son independientes, y cada una tiene su propia distribución [ ] [ ] [ ])(...)( )()( 1 yFyF yFyF XX n i XiY = == ∏ = [ ] [ ] [ ])(1...)(11 )(11)( 1 1 yFyF yFyF XnX n i XiY −−−= =−−= ∏ = Las X i no son independientes ∫ ∫ ∫ ∞− ∞− ∞− = y y y nXXX Y dxdxdxf yF n 12... ...... )( 21 ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ −= y y y nXXX Y dxdxdxf yF n 12... ...... 1)( 21 Distribuciones particulares (Capítulos 4 - 7) Nombre Cap. Función de probabilidad / densidad Esperanza Varianza Beta 7 ( ) ( ) ( ) ∀ <<− ΓΓ +Γ = −− xotro xxx ba ba xf ba X 0 10)1( )( 11 (***) ba a + )1()( 2 +++ baba ba Binomial 4 ∀ ≤≤− = − xotro nxpp x n xP xnx X 0 0)1.(. )( n.p n.p.(1-p) Chi-cuadrada 7 (*) ν 2ν Exponencial negativa 5 ≤ > = − 00 0 )( x xe xf x X λλ 1 / λ 1 / λ2 F 7 (*) (*) (*) Gamma (**) 5 ≤ > Γ= −− 00 0 )( )( )( 1 x x k ex xf xk X λλλ (***) k / λ k / λ2 Geométrica 4 ∀ ≥− = − xotro xpp xP x X 0 1)1.( )( 1 1 / p 1 / p2 Hipergeométrica 7 − − ⋅ = n N xn kN x k xP X )( -- -- Multinomial 7 ∏ = == k i i i x p nxXP ix 1 ! !)( -- -- Normal (ver aparte) 6 ℜ∈∀= −− x e xf x X σπ σ µ 2 )( 2 2 1 µ σ2 Pascal 4 ∀ ≥− − − = − xotro kxpp k x xP kxk X 0 )1.(. 1 1 )( k / p k / p2 Poisson 5 < ≥= − 00 0 !)( x x x e xP x X µµ µ µ t-Student 7 (*) 0 2−ν ν Uniforme 7 ∀ ≤≤ −= xotro bxa abxf X 0 1 )( 2 ba + 12 )( 2ab − (*) No resulta de utilidad (**) Para calcular probabilidades de la gamma se puede usar: • ∫ ∑ − = =−=ox k i X iYPdxxf 0 1 0 )(1)( • ∫ ∑∞+ − = == ox k i X iYPdxxf 1 0 )()( donde X:Gamma(λ,k) e Y:Poisson(µ) con µ = λ . x0 (***) ∫+∞ −−=Γ 0 1)( dxexk xk Para k natural, vale Γ(k) = (k-1)! Distribución normal (Sección 6.1) • Estandarización: X:N(µ;σ) ∧ σ µ−= XZ => Z:N(0,1) • Valores tabulados: −Φ= −==≤ σ µ σ µ xx FxFxXP ZX )()( • Fractiles tabulados: Dada Z:N(0;1), zα = z tal que Φ(z) = P(Z ≤ z) = α • Función lineal: X:N(µx ; σx) ∧ Y = aX+b => Y:N(a µx + b ; σx |a|) • Combinación lineal: Xi:N(µ i;σi) independientes ∧ ∑ = = n i ii XZ 1 α => == ∑∑ == n i iiz n i iizNZ 1 22 1 ;: σασµαµ Teorema central del límite (Sección 6.2) • n X Z σ µ−= tiene una distribución aproximadamente normal estándar • ∑ = = n i i XY 1 tiene una distribución aproximadamente );( σµ nnN
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