Teoría de la probabilidad_Resumen

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Estadística
Teoría Económica
Teoría de la probabilidad
Introducción
Los inicios de la estadística se encuentran a mediados del siglo XVIII, en estudios de
probabilidad motivados por el interés en los juegos de azar, por lo tanto, la teoría
generada de “caras o cruces” y de “rojo o negro”
Pronto encontró aplicaciones actuariales y en algunos aspectos de las ciencias sociales.
Después, L. Boltzmann, J. Gibbs y J. Maxwell introdujeron a la física la probabilidad y la
estadística, y en este siglo se han encontrado aplicaciones en todas las fases del
esfuerzo humano que en alguna forma significan elementos de incertidumbre o riesgo.
Los nombres que se relacionan en forma más prominente con el crecimiento de la
estadística matemática en la primera mitad de este siglo son los de R.A. Fisher, J.
Neyman, E.S. Pearson y A. Wald.
Más recientemente, el trabajo de R. Shlaifer, L. J. Savage y otros, ha dado ímpetu a
teorías estadísticas basadas esencialmente en métodos del clérigo inglés, Thomas
Bayes que datan del siglo XVIII.
Teoría de la probabilidad
Azar
Desconocimiento
Incertidumbre
Probabilidad
El azar está relacionado con el desconocimiento. En una situación aleatoria y la parte
esencial es que no sabemos si el objeto de una muestra tiene una o otra característica.
Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numérica
qué tan probable es que sea de una u otra característica
Si no podemos evaluar qué tan factible es cada característica del objeto, tenemos una
situación de incertidumbre. Por el contrario, si podemos tener una idea de qué tan
probables son los diferentes resultados y entonces tendremos una situación de riesgo.
La manera más antigua de medir probabilidades, el concepto clásico de probabilidad, se
aplica cuando todos los resultados posibles son igualmente probables.
Por consiguiente podemos afirmar que si hay N posibilidades igualmente probables, de las
cuales una debe ocurrir y n se consideran favorables o como un “acierto”, entonces la
probabilidad de lograr un “acierto” está dada por la razón
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando
se realiza un experimento aleatorio.
Probabilidad
Teoría de la probabilidad
Azar
Una desventaja importante del concepto clásico de probabilidad es su limitada
aplicación, ya que hay muchas situaciones en que las posibilidades que se presentan
no pueden considerarse igualmente probables.
Entre los diversos conceptos de probabilidad, el más favorecido es la interpretación de
la frecuencia o interpretación frecuentita, según la cual la probabilidad de un evento es
la proporción de las veces en que ocurrirán a la larga eventos del mismo tipo.
Posteriormente, surge el enfoque o método axiomático, es en el cual las probabilidades
se definen como “conceptos matemáticos” que se comportan según ciertas reglas
bien definidas.
En estadística se acostumbra denominar experimento a un proceso de observación o
medición cualquiera.
Lo que se obtiene de un experimento, ya sea lectura de instrumentos, cuentas,
respuestas “si” o “no” o valores obtenidos a través de muchas operaciones, se
denominan resultados del experimento.
Experimento aleatorio
Objeto del estudio estadístico. Conjunto de los individuos o entes que constituyen el
objeto de un determinado estudio y sobre el que se desea obtener ciertas conclusiones.
Tipos de Población
Población real Población abstracta
Ejemplo: Un estudio sobre la intención de voto de los ciudadanos españoles población
el conjunto de los aproximadamente 30 millones de españoles con derecho a voto. Se
trata de población con una existencia física real, constituida por un número finito,
aunque posiblemente muy elevado, de individuos.
Ejemplo: Una investigación sobre el rendimiento de una nueva variedad de trigo. La
población son las parcelas plantadas con dicha variedad que puedan existir en el futuro
(abstracta) y los individuos que constituyen la población, pueden irse generando
mediante la realización de un determinado proceso.
Teoría de la probabilidad
Probabilidad
Población
Teoría de la probabilidad
Probabilidad
Espacio de muestra
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento recibe el nombre de
espacio de muestra y suele representarse por medio de la letra S. Cada resultado o
producto de un espacio de muestra se conoce como el elemento del espacio de muestra
o simplemente como punto de la muestra.
Si un espacio de muestra tiene un número de elementos finito, podemos citar los
elementos en la notación de conjuntos usual; por ejemplo, el espacio de muestra de los
posibles resultados del lanzamiento al aire de una moneda puede escribirse como:
S = {C,X}
Donde C y X representan cara y cruz.
Ejemplo: Si en una caja hay 10 manzanas y 2 están echadas a perder (¡al menos en
este momento!), al extraer tres manzanas y ver cuantas son buenas podemos obtener;
el espacio muestral es: { Tres manzanas }.
Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a
cualquier subconjunto del espacio muestral.
A cualquier evento puede asignársele un conjunto de puntos de muestra, que
constituyen un subconjunto de un espacio de muestra adecuado. Este subconjunto
representa todos los elementos para los cuales ocurre el evento.
En muchos problemas de probabilidad nos interesan “eventos” que son, en realidad,
combinaciones de dos o mas eventos, que se forman tomando uniones, intersecciones
y complementos.
Los espacios de muestra y eventos, en particular relaciones entre eventos, a menudo se
presentan por medio de diagramas de Venn, en los cuales el espacio de muestra está
representado por medio de un rectángulo, en tanto que los eventos se representan a
través de regiones contenidas en el rectángulo, por lo general a través de círculos o
partes de círculos.
Teoría de la probabilidad
Probabilidad
Evento
Teoría de la probabilidad
Probabilidad
Evento
Ejemplo: Al comprar llantas para mi coche, puede ser que manifiesten un defecto de
fabricación dentro del período de garantía total y que el fabricante deba reponerlas.
La población son todas aquellas llantas que se regresan por reclamo de garantía
El espacio muestral en este experimento es: S = { T, P1, P2, P3, N, OK }. Con la
siguiente notación
Situación de la llanta Pago
T 100%
P1 50%
P2 30%
P3 10%
N 0%
OK Sin defecto
Un evento posible es que no se pague dinero, lo cual agrupa a dos puntos
muestrales (variables aleatorias) N y OK.
Probabilidad de un evento
Axioma 1
Axioma 2
La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado
cuando se realiza un experimento aleatorio.
Los axiomas por si mismos no requieren demostración, pero si se va a aplicar la teoría
resultante, debemos demostrar que se cumplen los axiomas cuando damos a las
probabilidades un significado “real”.
La probabilidad de un evento es un numero real no negativo; o sea,
P(A)≥ 0 para cualquier subconjunto A que pertenece a S.
P(S) = 1
La certeza se identifica con una probabilidad de 1 (después de todo, siempre se supone
que debe ocurrir una de las posibilidades de S y es a este evento cierto que asignamos
una probabilidad de 1.
Axioma 3
Probabilidad de un evento
Si A1, A2, A3,… AN es una secuencia finita o infinita de eventos mutuamente
excluyentes de S entonces
P(A1 U A2 U A3 U …AN)= P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(AN)
En caso mas simple; o sea, en relación con dos eventos mutuamente excluyentes A1 y
A2. Si un evento ocurre, por ejemplo 28% del tiempo, otro 39% del tiempo y ambos
eventos no pueden incidir en forma simultanea, entonces uno o el otro ocurrirá 28 + 39 =
67% del tiempo.
Para asignar una medida de probabilidad a un espacio de muestra, no es necesario
especificar la probabilidad de cada subconjunto posible. En vez de citar las
probabilidades de todos los subconjuntos posibles, a menudo hacemos una lista de
probabilidades de los resultados individuales o puestosde muestra de S, y después
aplicamos el siguiente teorema:
Probabilidad de un evento
Axioma 3
Teorema 1.1
Si A es un evento de un espacio de muestra discreto S, entonces P(A) es igual a la suma
de las probabilidades de los resultados individuales que componen A.
Teorema 1.2
Si un experimento puede dar origen a uno de N resultados diferentes igualmente
probables y si n de estos resultados constituye juntos el evento A, entonces la
probabilidad del evento A es:
N
n
AP =)(
Reglas para medir la probabilidad
Reglas de probabilidad
Mediante el uso de los tres axiomas de probabilidad, podemos deducir muchas otras
reglas que tienen importantes aplicaciones. Entre las consecuencias inmediatas de los
axiomas, demostramos los siguientes teoremas:
Teorema 1.3
Si A y A’ son eventos complementarios de un espacio de muestra S, entonces
P(A’) = 1- P(A)
Teorema 1.4
P(Ø) = 0
para un espacio de muestra S cualquiera.
Teorema 1.5
Si A y B son eventos de un espacio maestral S y A Є B, entonces
P(A) ≤ P(B).
Si el evento A es un subconjunto del evento B, entonces P(A) no es mayor que P(B).
Reglas para medir la probabilidad
Reglas de probabilidad
Teorema 1.6
0 ≤ P(A) ≤ 1
para cualquier evento A.
Teorema 1.7
Si A y B son dos eventos cualquiera en el espacio muestra S, entonces
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Teorema 1.8
Si A, B y C son tres eventos cualquiera de un espacio de muestra S, entonces
P(A U B U C)=P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Probabilidad condicional
Fácilmente pueden presentarse dificultades cuando las probabilidades se citan sin
especificación del espacio de muestra.
Ejemplo: si pedimos la probabilidad de que un abogado gane más de $50,000 al año,
bien podemos obtener varias respuestas diferentes y quizá todas correctas. Una de ellas
podría aplicarse a todos los graduados de la escuela de leyes, otra a todas las personas
que tienen autorización de ejercer la profesión, una tercera a todas las personas que
estén activamente comprometidas en el ejercicio de la ley, etc.
Como la elección del espacio muestra (es decir, el conjunto de todas las posibilidades
sometidas a consideración) no siempre es una sola opción, a menudo debemos utilizar
el símbolo P(A|S) para representar la probabilidad condicional del evento A en relación
con el espacio de muestra S o también la llamamos “la probabilidad de A dado S”. El
símbolo P(A|S) hace referencia explícita a un espacio de muestra determinado S”.
Probabilidad condicional
Definición 2.1
Probabilidad condicional
Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio de muestra S y P(A) ≠ 0, la
probabilidad condicional de A dada B es
)(
B) P(A 
)/(
BP
BAP

=
Al multiplicar las expresiones de ambos lados de la fórmula de la definición 2.1 por P(B),
obtenemos la siguiente regla de multiplicación:
Teorema 2.1
Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio de muestra S y P(A) ≠ 0, entonces
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)
La probabilidad de que ocurrirán A y B es el producto de la probabilidad de A y una
probabilidad condicional de B dada A.
En forma alternativa, si P(B) ≠ 0, es el producto de la probabilidad de B y la probabilidad
condicional de A dada B; simbólicamente
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Hay cuatro posibles soluciones:
1. La probabilidad de una blanca es 3/22. Esto es porque si se escoge la urna 1, hay 3
de 22 bolas que son blancas. Esta respuesta nos deja pensando en que es muy
arbitrario decir que la urna escogida es la 1. Si la urna escogida fuese la 1 esta
sería la respuesta correcta.
2. De manera similar, podemos pensar que la urna escogida es la 2 y entonces la
probabilidad de una bola blanca es 20/22.
3. Claro que, también, la urna escogida puede ser la 3 y entonces la probabilidad de
blanca es 11/22.
4. Como no se sabe cual es la urna escogida y las tres urnas tienen el mismo número
de bolas, la probabilidad se calcula como si fuese una gran urna con 66 bolas de las
cuales 3+20+11 son blancas y, así, la probabilidad es 34/66
Probabilidad condicional
Ejemplo 1
Consideremos la siguiente situación. Se tienen tres urnas similares; por fuera son
idénticas. Se sabe que
en la urna 1 hay 3 bolas blancas y 19 azules,
en la urna 2 hay 20 bolas blancas y 2 azules,
en la urna 3 hay 11 bolas blancas y 11 azules.
Se va a sacar una bola de una de las urnas. Puede ser azul o blanca. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea blanca?
Probabilidad condicional
Ejemplo
A la primera la llamamos "probabilidad condicional de blanca dado que la urna es la 1".
Formalmente, definimos en clase la probabilidad condicional de la siguiente manera:
)(
B) P(A 
)/(
BP
BAP

=
El símbolo P(A|B) lo leemos como probabilidad de A dado B. Lo interpretamos como la
probabilidad de que, sabiendo que ya sucedió B, además suceda A. En el ejemplo de las
urnas A sería el evento "la bola es blanca''; B sería la urna correspondiente
.
El denominador es la probabilidad de lo dado, la fórmula no es simétrica en A y B. Si los
intercambiamos, da otro número.
Si P(B)=0, la probabilidad condicional no está definida. Claro que eso está bien porque no
puede haber sucedido algo que es imposible.
Eventos independientes
Definición 2.2
En términos informales, se dice que dos eventos A y B son independientes si la
incidencia de uno u otro no afecta la probabilidad en la incidencia del otro.
Simbólicamente, dos eventos A y B son independientes si
P(B|A) = P(B) y la P(A|B) = P(A).
Dos eventos A y B son independientes si y solo si
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Eventos independientes (para leer en casa)
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1
Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del
0,08
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))
P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))
P (A ∩ B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algún grado de
dependencia entre ellos.
Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5
Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))
P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))
P (A ∩ B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, estos dos sucesos sí son independientes.
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