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M E C Á N I C A D E M A T E R I A L E S M E C Á N I C A D E M A T E R I A L E S R. C. Hibbeler Sexta edición Sexta edición HIBBELER M E C A N I C A M E C Á N I C A D E M A T E R I A L E S D E M A T E R I A L E S Mecánica de Materiales es la obra imprescindible para entender el cómo y el porqué del comportamiento de los materiales. Su manera lógica y orde nada de exponer las explicaciones teóricas sobre los principios del com portamiento físico, facilita al lector la comprensión de las aplicaciones prácticas. t Cada capítulo comienza con una ilustración que demuestra una amplia gama de aplicaciones. t Sus fotografías permiten visualizar conceptos difíciles y comprender cómo se aplican los principios mecánicos. t Contiene más de 1,000 ejercicios, de los cuales 450 son nuevos en esta edición. t Presenta más de 200 ejemplos resueltos. t El número de problemas se encuentra balanceado: tanto unidades del sistema inglés como del sistema internacional; con grados fácil, medio, difícil, y en algunos casos requieren solución por computadora. t La sección Procedimiento de análisis proporciona al lector un método lógico para aplicar la teoría. Los ejemplos son resueltos usando este orden para clarificar la aplicación numérica. t La sección Puntos Importantes provee un resumen de los conceptos fundamentales y los temas significativos que deben desarrollarse cuando se aplica la teoría en la solución de problemas. www.pearsoneducacion.net/hibbeler Visítenos en: www.pearsoneducacion.net M E C Á N I C A D E M A T E R I A L E S 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página i MECÁNICA DE MATERIALES S E X T A E D I C I Ó N R. C. Hibbeler TRADUCCIÓN José de la Cera Alonso Profesor Titular, Universidad Autónoma Metropolitana Virgilio González y Pozo Facultad de Química, Universidad Nacional Autónoma de México REVISIÓN TÉCNICA Alex Elías Zuñiga Ingenierio Industrial Mecánico Instituto Tecnológico de Pachuca Maestría en Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey Doctorado de Ingeniería Mecánica University of Nebraska, Lincoln, EUA Miembro del Sistema Nacional de Investigadores – SNI Director de Ingenería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página iii Edición en español: Editor: Guillermo Trujano Mendoza e-mail: guillermo.trujano@pearsoned.com Supervisor de desarrollo: Jorge Bonilla Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández SEXTA EDICIÓN, 2005 D.R. © 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Email: editorial.universidades@pearsoned.com Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, foto- químico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0654-3 Impreso en México/Printed in Mexico 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 07 06 05 970-26-0654-3 896Formato: 20 � 25.5 cm R. C. Hibbeler Mecánica de materiales PEARSON EDUCACIÓN, México, 2005 Authorized translation from the English language edition entitled, Mechanics of Materials, by R. C, Hibbeler, publis- hed by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2004. All rights reserved. ISBN 0-13-191345 X Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Mechanics of Materials, por R. C. Hibbeler, publica- da por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2004.Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página iv AL ESTUDIANTE Con el deseo de que esta obra estimulará el interés en la ingeniería mecánica y servirá como una guía aceptable para su compresión. 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página v vii P R E F A C I O El propósito principal de este libro es proporcionar al lector una presen- tación clara y minuciosa de la teoría y aplicaciones de la ingeniería mecá- nica; para esto se basa en la explicación del comportamiento físico de los materiales sometidos a carga a fin de realizar un modelo de este compor- tamiento que sea a su vez, el modelo de la teoría. Se hace énfasis en la im- portancia de satisfacer los requisitos del equilibrio, de la compatibilidad de la deformación y del comportamiento del material. Contenido Características del texto Las siguientes son las características más importantes del texto. • Resúmenes. Las secciones “Procedimiento de análisis”, “Puntos importantes” y “Repaso del capítulo” proporcionan una guía para la resolución de problemas y un resumen de los conceptos. • Fotografías. Se utilizan numerosas fotografías a lo largo del libro para explicar cómo se aplican los principios de la mecánica de ma- teriales a situaciones del mundo real. En algunas secciones, se mues- tran cómo los materiales se deforman o fallan bajo carga para así proporcionar un entendimiento conceptual de los términos y con- ceptos. • Problemas. Los problemas propuestos son de aplicación fácil, me- dia y difícil. Algunos de ellos requieren de una solución, con ayuda de la computadora. Se ha puesto un cuidado especial en la presen- tación y en sus soluciones, éstas han sido revisadas en su totalidad para garantizar su claridad y exactitud numérica. • Ilustraciones. En varias partes del libro se han agregado figuras y fotografías que proporcionan una clara referencia a la naturaleza tridimensional de la ingeniería. Hemos tratado de ilustrar concep- tos complicados o abstractos para instruir y poder motivar a los lecto- res a través de lo visual. El libro está dividido en 14 capítulos. El capítulo 1 comienza con un repa- so de los conceptos importantes de la estática, seguido por definiciones formales de los esfuerzos normales y cortantes, así como por un análisis del esfuerzo normal en miembros cargados axialmente y del esfuerzo cor- tante promedio causado por el cortante directo. En el capítulo 2 se definen la deformación unitaria normal y cortante, y en el capítulo 3 se presenta una descripción de algunas de las propieda- des mecánicas de los materiales. Los capítulos 4, 5 y 6 contienen, respec- tivamente, explicaciones de la carga axial, la torsión y la flexión. En cada uno de esos capítulos se considera el comportamiento tanto lineal-elásti- 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página vii viii • PREFACIO Características especiales co como plástico.También se incluyen temas relacionados con concentra- ciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortante transversal se descri- be en el capítulo 7, junto con una descripción de los tubos con pared del- gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El capítulo 8 muestra un repaso parcial del material presentado en los capítulos anteriores, y se des- cribe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. En el capí- tulo 9 se presentan los conceptos de transformación de estados de esfuer- zo multiaxial. En forma parecida, el capítulo 10 describe los métodos de transformación de deformación unitaria, que incluyen la aplicación de va- rias teorías de la falla. El capítulo 11 es un resumen y repaso más del ma- terial anterior, describiendo aplicaciones al diseño de vigas y ejes. En el capítulo 12 se cubren varios métodos para calcular deflexiones de vigas y ejes. También se incluye una descripción del cálculo de las reacciones en esos miembros, cuando son estáticamenteindeterminados. El capítulo 13 presenta una descripción del pandeo en columnas y, por último, en el ca- pítulo 14 se reseñan el problema del impacto y la aplicación de varios mé- todos de energía para calcular deflexiones. Las secciones del libro que contienen material más avanzado se identi- fican con un asterisco (*). Si el tiempo lo permite, se pueden incluir algu- nos de esos temas en el curso. Además, este material es una referencia adecuada de los principios básicos, cuando se usen en otros cursos, y se puede usar como base para asignar proyectos especiales. Método alternativo. Algunos profesores prefieren tratar primero las transformaciones de esfuerzos y deformaciones unitarias, antes de estu- diar las aplicaciones específicas de la carga axial, la torsión, la flexión, y la fuerza cortante. Una manera posible para hacerlo así es tratar primero el esfuerzo y sus transformaciones que se ven en los capítulos 1 y 9, seguido por la deformación unitaria y sus transformaciones que se ven en el capí- tulo 2 y en la primera parte del capítulo 10. El análisis y problemas de ejemplo en estos capítulos se han formulado para hacer esto posible.Ade- más, los conjuntos de problemas se han subdividido de manera que este material pueda ser cubierto sin un conocimiento previo de los capítulos intermedios. Los capítulos 3 al 8 pueden ser entonces estudiados sin pér- dida de continuidad. Organización y enfoque. El contenido de cada capítulo está orga- nizado en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas específicos, problemas de ejemplo ilustrativos y un conjunto de proble- mas de tarea. Los temas de cada sección están agrupados en subgrupos definidos por títulos. El propósito de esto es presentar un método es- tructurado para introducir cada nueva definición o concepto y hacer el libro conveniente para referencias y repasos posteriores. Contenido de los capítulos. Cada capítulo comienza con una ilustra- ción que muestra una aplicación del material del capítulo. Se proporcio- nan luego los “Objetivos del capítulo” que proporcionan una vista gene- ral del tema que será tratado. 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página viii PREFACIO • ix Procedimientos de análisis. Se presenta al final de varias secciones del libro con el objetivo de dar al lector una revisión o resumen del ma- terial, así como un método lógico y ordenado a seguir en el momento de aplicar la teoría. Los ejemplos se resuelven con el método antes descrito a fin de clarificar su aplicación numérica. Sin embargo, se entiende que una vez que se tiene dominio de los principios relevantes y que se ha ob- tenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podrá desarrollar sus propios procedimientos para resolver problemas. Fotografías. Se utilizan numerosas fotografías a lo largo de todo el li- bro para explicar cómo se aplican los principios de la mecánica a situacio- nes del mundo real. Puntos importantes. Aquí se proporciona un repaso o resumen de los conceptos fundamentales de una sección y se recalcan los temas me- dulares que deban tomarse en cuenta al aplicar la teoría en la solución de problemas. Entendimiento conceptual. Por medio de fotografías situadas a lo largo de todo el libro, se aplica la teoría de una manera simplificada a fin de ilustrar algunas de las características conceptuales más importantes que aclaran el significado físico de muchos de los términos usados en las ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas incrementan el interés en el tema y preparan mejor al lector para entender los ejemplos y a resolver los problemas. Problemas de tarea. Múltiples problemas de este libro muestran si- tuaciones reales encontradas en la práctica de la ingeniería. Se espera que este realismo estimule el interés por la ingeniería mecánica y proporcio- ne la habilidad de reducir cualquiera de tales problemas desde su descrip- ción física hasta el modelo o representación simbólica sobre los cuales se aplican los principios de la mecánica. A lo largo del texto existe aproxi- madamente igual número de problemas que utilizan tanto las unidades SI como las FPS. Además, en cada conjunto de problemas se ha intenta- do presentar éstos de acuerdo con el grado de dificultad en forma crecien- te. Las respuestas a todos los problemas, excepto cada cuatro, se encuen- tran listados al final del libro. Para advertir al lector de un problema cuya solución no aparezca en la lista mencionada, se ha colocado un asterisco (*) antes del número del problema. Las respuestas están dadas con tres cifras significativas, aún cuando los datos de las propiedades del material se conozcan con una menor exactitud.Todos los problemas y sus solucio- nes se han revisado tres veces. Un símbolo “cuadrado” (�) se usa para identificar problemas que requieren de un análisis numérico o una apli- cación de computadora. Repaso del capítulo. Los puntos clave del capítulo resumen en las nuevas secciones de repaso, a menudo en listas con viñetas. Apéndices. Contienen temas de repaso y listas de datos tabulados. El apéndice A proporciona información sobre centroides y momentos de inercia de áreas. Los apéndices B y C contienen datos tabulados de per- files estructurales y la deflexión y la pendiente de varios tipos de vigas y 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página ix x • PREFACIO flechas. El apéndice D, llamado “Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería”, contiene problemas típicos junto con sus soluciones par- ciales comúnmente usados en exámenes de ingenieros profesionales. Estos problemas también pueden usarse como práctica y repaso en la prepara- ción de exámenes de clase. Revisión de la exactitud. Esta nueva edición ha sido sometida a un riguroso escrutinio para garantizar la precisión del texto y de las páginas a las que se hace referencia. Además de la revisión del autor de todas las figuras y material de texto, Scott Hendricks del Instituto Politécnico de Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Técnicos Laurel, examinaron to- das las páginas de prueba así como todo el manual de soluciones. Suplementos • Manual de soluciones para el profesor. El autor preparó este ma- nual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en tres ocasiones. • Course compass. Course compass es una solución en línea ideal para ayudarle a dirigir su clase y a preparar conferencias, cuestio- narios y exámenes. Con el uso de course compass, los profesores tienen un rápido acceso a los suplementos electrónicos que le permi- ten incluir ilustraciones completas e imágenes para sus presentacio- nes en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones electrónicas (por seguridad en archivos individuales), y ayuda a ex- hibir sólo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor no difunda estas respuestas en niguna dirección electrónica no pro- tegida. Para saber más acerca de Course compass, visite www.pearsoneduca- cion.net/coursecompass o diríjase a su representante local de Pearson Edu- cación o envíe un mail a editorialmx@pearsoned.com Reconocimientos A lo largo de los años este texto ha incorporado muchas de las sugeren- cias y comentarios de mis colegas en la profesión docente. Su estímulo y buenos deseos de proporcionar una crítica constructiva son muy aprecia- dos y espero que acepten este reconocimiento anónimo. Mi agradecimien- to se extiende también a los revisores de las varias ediciones previas. B. Aalami, San Francisco State University R. Alvarez, Hofstra University C. Ammerman, Colorado School of Mines S. Biggers, Clemson University R. Case, Florida Atlantic University R. Cook, University of Wisconsin—Madison J. Easley, University of Kansas A. Gilat, Ohio State University I. Elishakoff, Florida Atlantic University H. Huntley, University of Michigan—Dearborn 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página x PREFACIO • xi J. Kayser, Lafayette College J. Ligon, Michigan Technological University A. Marcus, University of Rhode Island G. May, University of New Mexico D. Oglesby, University ofMissouri—Rolla D. Quesnel, University of Rochester S. Schiff, Clemson University C. Tsai, Florida Atlantic University P. Kwon, Michigan State University C. Lissenden, Penn State University D. Liu, Michigan State University T. W. Wu, The University of Kentucky J. Hashemi, Texas Tech University A. Pelegri, Rutgers—The State University of New Jersey W. Liddel, Auburn University at Montgomery Quisiera dar las gracias particularmente a Scott Hendricks del Instituto Politécnico de Virginia quien revisó minuciosamente el texto y el manual de soluciones de este libro. También hago extensiva mi gratitud a todos mis alumnos que han usado la edición previa y han hechos comentarios para mejorar su contenido. Por último quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny) durante todo el tiempo que me ha tomado preparar el manuscrito para su publicación. Apreciaría mucho si usted en cualquier momento tiene comentarios o sugerencias respecto al contenido de esta edición. Russell Charles Hibbeler hibbeler@bellsouth.net 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página xi 3 Propiedades mecánicas de los materiales 85 3.1 Pruebas de tensión y compresión 85 3.2 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria 87 3.3 Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles 91 3.4 Ley de Hooke 94 3.5 Energía de deformación 96 3.6 Relación de Poisson 107 3.7 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante 109 *3.8 Falla de materiales por flujo plástico y por fatiga 112 4 Carga axial 121 4.1 Principio de Saint-Venant 121 4.2 Deformación elástica de un miembro cargado axialmente 124 xiii 1 Esfuerzo 3 1.1 Introducción 3 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable 4 1.3 Esfuerzo 22 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 1.5 Esfuerzo cortante promedio 32 1.6 Esfuerzo permisible 49 2 Deformación unitaria 69 2.1 Deformación 69 2.2 Deformación unitaria 70 C O N T E N I D O 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página xiii CONTENIDO • xv 9 Transformación de esfuerzo 453 9.1 Transformación del esfuerzo plano 453 9.2 Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano 458 9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano 462 9.4 El círculo de Mohr (esfuerzo plano) 476 9.5 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión 485 9.6 Variaciones de esfuerzos a través de una viga prismática 486 9.7 Esfuerzo cortante máximo absoluto 492 10 Transformación de deformación unitaria 505 10.1 Deformación unitaria plana 505 10.2 Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana 507 *10.3 Círculo de Mohr (deformación unitaria plana) 514 *10.4 Deformación unitaria cortante máxima absoluta 522 10.5 Rosetas de deformación 525 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales 530 *10.7 Teorías de la falla 542 11 Diseño de vigas y ejes 557 11.1 Base para el diseño de vigas 557 11.2 Diseño de vigas prismáticas 559 *11.3 Vigas totalmente esforzadas 573 *11.4 Diseño de ejes 577 12 Deflexión de vigas y ejes 587 12.1 La curva elástica 587 12.2 Pendiente y desplazamiento por integración 591 *12.3 Funciones de discontinuidad 609 *12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área 620 12.5 Método de superposición 634 12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterminados 641 12.7 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de integración) 642 *12-8 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método del momento de área) 647 12.9 Vigas y ejes estáticamente indeterminados (método de la superposición) 653 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página xv xvi • CONTENIDO 13 Pandeo de columnas 669 13.1 Carga crítica 669 13.2 Columna ideal con soportes articulados 672 13.3 Columnas con diversos tipos de apoyos 678 *13.4 La fórmula de la secante 689 *13.5 Pandeo inelástico 697 *13.6 Diseño de columnas para carga concéntrica 704 *13.7 Diseño de columnas por carga excéntrica 716 14 Métodos de energía 727 14.1 Trabajo externo y energía de deformación 727 14.2 Energía de deformación elástica para varias clases de carga 732 14.3 Conservación de la energía 746 14.4 Carga de impacto 752 *14.5 Principio del trabajo virtual 762 *14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado a armaduras 766 *14.7 Método de las fuerzas virtuales aplicado a vigas 774 *14.8 Teorema de Castigliano 784 *14.9 Teorema de Castigliano aplicado a armaduras 786 *14.10 El teorema de Castigliano aplicado a vigas 790 Apéndices A. Propiedades geométricas de un área 798 A.1 Centroide de un área 798 A.2 Momento de inercia de un área 801 A.3 Producto de inercia de un área 805 A.4 Momentos de inercia de un área respecto a ejes inclinados 807 A.5 El círculo de Mohr para momentos de inercia 809 B. Propiedades geométricas de los perfiles estructurales 815 C. Pendientes y deflexiones en vigas 823 D. Repaso para el examen de fundamentos de ingeniería 825 Respuestas 845 Índice 863 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página xvi M E C Á N I C A D E M A T E R I A L E S 00-Preliminares 30/8/56 10:29 AM Página i [[A 2337]] Los pernos usados para las conexiones de esta estructura de acero están sometidos a esfuerzos. En este capítulo veremos cómo los ingenieros diseñan esas conexiones y sus sujetadores. 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 2 3 En este capítulo repasaremos algunos principios importantes de la estática y mos- traremos cómo se usan para determinar las cargas internas resultantes en un cuer- po. Después, presentaremos los conceptos de esfuerzo normal y esfuerzo cortan- te y se estudiarán las aplicaciones específicas del análisis y diseño de los miembros sometidos a una carga axial o a un cortante directo. EsfuerzoC A P Í T U L O 1 OBJETIVOS DEL CAPÍTULO 1.1 Introducción La mecánica de materiales es una rama de la mecánica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerza internas que actúan dentro del cuerpo. Esta dis- ciplina de estudio implica también calcular las deformaciones del cuerpo y proveer un estudio de la estabilidad del mismo cuando está sometido a fuerzas externas. En el diseño de cualquier estructura o máquina, es necesario primero, usar los principios de la estática para determinar las fuerzas que actúan sobre y dentro de los diversos miembros. El tamaño de los miembros, sus deflexiones y su estabilidad dependen no sólo de las cargas internas, sino también del tipo de material de que están hechos. En consecuencia, una determinación precisa y una compresión básica del comportamiento del material será de importancia vital para desarrollar las ecuaciones nece- sarias usadas en la mecánica de materiales. Debe ser claro que muchas fórmulas y reglas de diseño, tal como se definen en los códigos de inge- niería y usadas en la práctica, se basan en los fundamentos de la mecáni- ca de materiales, y por esta razón es tan importante entender los princi- pios de esta disciplina. 3 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 3 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable Desarrollo histórico. El origen de la mecánica de materiales data de principios del siglo XVII, cuando Galileo llevó a cabo experimentos para estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos ma- teriales. Sin embargo, para alcanzar un entendimiento apropiado de tales efectos fue necesario establecer descripciones experimentales precisas de las propiedades mecánicas de un material. Los métodos para hacer esto fueron considerablemente mejorados a principios del siglo XVIII. En aquel tiempo el estudio tanto experimental como teórico de esta materia fue emprendido, principalmente en Francia, por personalidades como Saint- Venant, Poisson, Lamé y Navier. Debido a que sus investigaciones se ba- saron en aplicaciones de la mecánica a los cuerpos materiales, llamaron a este estudio “resistencia de materiales”. Sin embargo, hoy en día llamamos a lo mismo “mecánica de los cuerpos deformables” o simplemente, “me- cánica de materiales”. En el curso delos años, y después de que muchos de los problemas fun- damentales de la mecánica de materiales han sido resueltos, fue necesa- rio usar matemáticas avanzadas y técnicas de computación para resolver problemas más complejos. Como resultado, esta disciplina se extendió a otras áreas de la mecánica moderna como la teoría de la elasticidad y la teoría de la plasticidad. La investigación en estos campos continúa, no só- lo para satisfacer las demandas de solución a problemas de ingeniería de vanguardia, sino también para justificar más el uso y las limitaciones en que se basa la teoría fundamental de la mecánica de materiales. Debido a que la estática juega un papel esencial tanto en el desarrollo como en la aplicación de la mecánica de materiales, es muy importante tener un buen conocimiento de sus principios fundamentales. Por esta ra- zón repasaremos algunos de esos principios que serán usados a lo largo del texto. Cargas externas. Un cuerpo puede estar sometido a diversos tipos de cargas externas; sin embargo, cualquiera de éstas puede clasificarse co- mo fuerza de superficie o como fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1. Fuerzas de superficie. Como su nombre lo indica, las fuerzas de super- ficie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie de otro. En todos los casos, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de contacto entre los cuerpos. En particular si esta área es pequeña en com- paración con el área total del cuerpo, entonces la fuerza superficial pue- de idealizarse como una sola fuerza concentrada, que es aplicada a un punto sobre el cuerpo. Por ejemplo, esto podría hacerse para representar el efecto del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga so- bre ésta. Si la carga superficial es aplicada a lo largo de un área estrecha, la carga puede idealizarse como una carga linealmente distribuida, w(s). Aquí la carga se mide como si tuviese una intensidad de fuerza/longitud a lo largo del área y se representa gráficamente por una serie de flechas a lo largo de la línea s. La fuerza resultante FR de w(s) es equivalente al área bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante actúa a través del centroide C o centro geométrico de esta área. La carga a lo largo de la longitud de una viga es un ejemplo típico en el que es aplicada a menu- do esta idealización. 4 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo w(s) Idealización de una fuerza concentrada Idealización de una carga linealmente distribuida Fuerza de superficie Fuerza de cuerpo s C G FR W Fig. 1-1 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 4 TA B L A 1 - 1 Fuerza de cuerpo. Una fuerza de cuerpo se desarrolla cuando un cuer- po ejerce una fuerza sobre otro cuerpo sin contacto físico directo entre los cuerpos. Ejemplos de esto incluyen los efectos causados por la gravi- tación de la Tierra o por su campo electromagnético. Aunque las fuerzas de cuerpo afectan cada una de las partículas que forman el cuerpo, esas fuerzas se representan normalmente por una sola fuerza concentrada ac- tuando sobre el cuerpo. En el caso de la gravitación, esta fuerza se llama el peso del cuerpo y actúa a través del centro de gravedad del mismo. Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarro- llan en los soportes o puntos de contacto entre cuerpos se llaman reaccio- nes. En problemas bidimensionales, es decir, en cuerpos sometidos a sis- temas de fuerzas coplanares, los soportes más comúnmente encontrados se muestran en la tabla 1-1. Observe cuidadosamente el símbolo usado para representar cada soporte y el tipo de reacciones que ejerce en su miembro asociado. En general, siempre puede determinarse el tipo de reacción de soporte imaginando que el miembro unido a él se traslada o gira en una dirección particular. Si el soporte impide la traslación en una dirección dada, entonces una fuerza debe desarrollarse sobre el miem- bro en esa dirección. Igualmente, si se impide una rotación, debe ejer- cerse un momento sobre el miembro. Por ejemplo, un soporte de rodillo sólo puede impedir la traslación en la dirección del contacto, perpendicu- lar o normal a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza normal F sobre el miembro en el punto de contacto. Como el miembro puede girar libremente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un mo- mento sobre el miembro. SECCIÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 5 Muchos elementos de máquinas son conec- tados por pasadores para permitir la rota- ción libre en sus conexiones. Esos soportes ejercen una fuerza sobre un miembro, pero no un momento. F F Cable Rodillo Una incógnita: F Una incógnita: F F Soporte liso Una incógnita: F Pasador externo Pasador interno Fx Fy Fx Fy Dos incógnitas: Fx, Fy Fx FyM Empotramiento Tres incógnitas: Fx, Fy, M Dos incógnitas: Fx, Fy Tipo de conexión Reacción Tipo de conexión Reacción 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 5 Ecuaciones de equilibrio. El equilibrio de un miembro requiere un balance de fuerzas para impedir que el cuerpo se traslade o tenga movi- miento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance de momentos para impedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden expresarse matemáticamente con las dos ecuaciones vectoriales: (1-1) Aquí, � F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuer- po y � MO es la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto a cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistema coorde- nado x, y, z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y momento pueden resolverse en componentes a lo largo de los ejes coordenados y las dos ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma escalar como seis ecuaciones, que son: (1-2) A menudo, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo pue- de representarse como un sistema de fuerzas coplanares. Si es éste el ca- so y las fuerzas se encuentran en el plano x-y, entonces las condiciones para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse por medio de sólo tres ecuaciones escalares de equilibrio; éstas son: (1-3) En este caso, si el punto O es el origen de coordenadas, entonces los mo- mentos estarán siempre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicu- lar al plano que contiene las fuerzas. La correcta aplicación de las ecuaciones de equilibrio requiere la espe- cificación completa de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que ac- túan sobre el cuerpo. La mejor manera de tomar en cuenta esas fuerzas es dibujando el diagrama de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el diagrama de cuerpo libre está dibujado correctamente, los efectos de to- das las fuerzas y momentos aplicados serán tomados en cuenta cuando se escriban las ecuaciones de equilibrio. 6 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 6 Cargas internas resultantes. Una de las aplicaciones más importan- tes de la estática en el análisis de problemas de la mecánica de materia- les es poder determinar la fuerza y momento resultantes que actúan den- tro de un cuerpo y que son necesarias para mantener unido al cuerpo cuando éste está sometido a cargas externas. Por ejemplo, considere el cuerpo mostrado en la figura 1-2a, que es mantenido en equilibrio por las cuatro fuerzas externas.* Para obtener las cargas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario usar el méto- do de las secciones. Esto requiere hacer una sección imaginaria o “corte” a través de la región donde van a determinarse las cargas internas. Las dos partes del cuerpo son separadas y se dibuja un diagrama de cuerpo libre de una de las partes, figura 1-2b. Puede verse aquí que existe realmente una distribución de la fuerza interna que actúa sobre el área “expuesta” de la sección. Esas fuerzas representan los efectos del material de la par- te superior del cuerpo actuando sobre el material adyacente de la parte inferior. Aunque la distribución exacta de la carga interna puede ser des- conocida, podemos usar las ecuaciones de equilibrio para relacionarlas fuerzas externas sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución, FR y MRO, en cualquier punto específico O sobre el área seccionada, figura 1-2c.Al hacerlo así, note que FR actúa a través del pun- to O, aunque su valor calculado no depende de la localización de este punto. Por otra parte, MRO, sí depende de esta localización, ya que los bra- zos de momento deben extenderse de O a la línea de acción de cada fuerza externa sobre el diagrama de cuerpo libre. Se mostrará en partes poste- riores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del área seccionada, y así lo consideraremos aquí a menos que se indique otra cosa. Además, si un miembro es largo y delgado, como en el caso de una barra o una viga, la sección por considerarse se toma generalmente perpendicu- lar al eje longitudinal del miembro.A esta sección se le llama sección trans- versal. SECCIÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 7 *El peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeño y, por tanto, despreciable en comparación con las otras cargas. sección F4 F2 (a) F1 F3 Fig. 1-2 F1 F2 (b) F1 F2 O MRO FR (c) 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 7 Tres dimensiones. Veremos después en este texto cómo relacionar las cargas resultantes, FR y MRO, con la distribución de fuerza sobre el área sec- cionada y desarrollaremos ecuaciones que puedan usarse para el análisis y diseño del cuerpo. Sin embargo, para hacer esto deben considerarse las componentes de FR y MRO, actuando normal o perpendicularmente al área seccionada y dentro del plano del área, figura 1-2d. Cuatro tipos diferen- tes de cargas resultantes pueden entonces definirse como sigue: Fuerza normal, N. Esta fuerza actúa perpendicularmente al área. Ésta se desarrolla siempre que las fuerzas externas tienden a empujar o a jalar sobre los dos segmentos del cuerpo. Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg- mentos del cuerpo resbalen uno sobre el otro. Momento torsionante o torca, T. Este efecto se desarrolla cuando las cargas externas tienden a torcer un segmento del cuerpo con respecto al otro. Momento flexionante, M. El momento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano del área. En este texto, advierta que la representación de un momento o una tor- ca se muestra en tres dimensiones como un vector con una flecha curva asociada. Por la regla de la mano derecha, el pulgar da el sentido de la fle- cha del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotación (tor- sión o flexión). Usando un sistema coordenado x, y, z, cada una de las car- gas anteriores puede ser determinada directamente de las seis ecuaciones de equilibrio aplicadas a cualquier segmento del cuerpo. 8 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo (d) O F1 F2 N T M V Momento de torsión Momento flexionante Fuerza cortante FR Fuerza normal MRO F1 F2 O MRO FR (c) Fig. 1-2 (cont.) 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 8 Cargas coplanares. Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas coplanares, figura 1-3a, entonces sólo existen en la sección componen- tes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento flexionante, figu- ra 1-3b. Si usamos los ejes coordenados x, y, z, con origen en el punto O como se muestra en el segmento izquierdo, entonces una solución direc- ta para N se puede obtener aplicando � Fx � 0, y V se puede obtener di- rectamente de � Fy � 0. Finalmente, el momento flexionante MO se pue- de determinar directamente sumando momentos respecto al punto O (el eje z), � MO � 0, para eliminar los momentos causados por las incógnitas N y V. SECCIÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 9 Para diseñar los miembros de este mar- co de edificio, es necesario primero en- contrar las cargas internas en varios pun- tos a lo largo de su longitud. sección F4 F3F2 F1 (a) Fig. 1-3 O V MO N x y Momento flexionante Fuerza cortante Fuerza normal (b) F2 F1 PUNTOS IMPORTANTES • La mecánica de materiales es un estudio de la relación entre las cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas in- ternas dentro del cuerpo. • Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como car- gas distribuidas o cargas de superficie concentradas, o bien como fuerzas de cuerpo que actúan sobre todo el volumen del cuerpo. • Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resultan- te que tiene una magnitud igual al área bajo el diagrama de car- ga y una posición que pasa por el centroide de esa área. • Un soporte produce una fuerza en una dirección particular sobre su miembro correspondiente si ésta impide traslación del miembro en esa dirección y él produce un momento de par sobre el miem- bro si él impide una rotación. • Las ecuaciones de equilibrio � F � 0 y � M � 0 deben ser satis- fechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento acelerado o que gire. • Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, es importante dibujar pri- mero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder tomar en cuenta todos los términos en las ecuaciones. • El método de las secciones se usa para determinar las cargas internas resultantes que actúan sobre la superficie del cuerpo sec- cionado. En general, esas resultantes consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante, un momento torsionante y un mo- mento flexionante. 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 9 10 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS El método de las secciones se usa para determinar las cargas internas resultantes en un punto localizado sobre la sección de un cuerpo. Pa- ra obtener esas resultantes, la aplicación del método de las secciones requiere considerar los siguientes pasos. Reacciones en los soportes. • Decida primero qué segmento del cuerpo va a ser considerado. Si el segmento tiene un soporte o conexión a otro cuerpo, enton- ces antes de que el cuerpo sea seccionado, es necesario determi- nar las reacciones que actúan sobre el segmento escogido del cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y luego aplique las ecuaciones necesarias de equilibrio para obte- ner esas reacciones. Diagrama de cuerpo libre. • Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de flexión, los momentos de torsión y las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imagina- rio por el cuerpo en el punto donde van a determinarse las car- gas internas resultantes. • Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o disposi- tivo mecánico, la sección es a menudo tomada perpendicularmen- te al eje longitudinal del miembro. • Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos “cor- tados” e indique las resultantes desconocidas N, V, M y T en la sección. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto que representa el centro geométrico o centroide del área seccio- nada. • Si el miembro está sometido a un sistema coplanar de fuerzas, só- lo N, V y M actúan en el centroide. • Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroi- de y muestre las componentes resultantes que actúan a lo largo de los ejes. Ecuaciones de equilibrio. • Los momentos deben sumarse en la sección, respecto a cada uno de los ejes coordenados donde actúan las resultantes. Al hacerlo así se eliminan las fuerzas desconocidas N y V y es posible en- tonces determinar directamente M (y T). • Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da un valor negati- vo para una resultante, el sentido direccional supuesto de la re- sultante es opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre. Los siguientes ejemplos ilustran numéricamente este procedimiento y también proporcionan un repaso de algunos de los principios importan- tes de la estática. 01-Hibbeler 28/8/56 5:01 AM Página 10 E J E M P L O 1.1 Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la seccióntransversal en C de la viga mostrada en la figura 1-4a. SECCIÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 11 Solución Reacciones en el soporte. Este problema puede ser resuelto de la ma- nera más directa considerando el segmento CB de la viga, ya que en- tonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas. Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpen- dicular al eje longitudinal de la viga, obtenemos el diagrama de cuer- po libre del segmento CB mostrado en la figura 1-4b. Es importante mantener la carga distribuida exactamente donde está sobre el seg- mento hasta después que el corte se ha hecho. Sólo entonces debe es- ta carga reemplazarse por una sola fuerza resultante. Note que la in- tensidad de la carga distribuida en C se determina por triángulos semejantes, esto es, de la figura 1-4a, w/6 m � (270 N/m)/9 m, w � 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al área bajo la curva de carga (triángulo) y actúa a través del centroide de esta área. Así, F � �12�(180 N/m)(6 m) � 540 N, que actúa a 1/3 (6 m) � 2 m de C, como se muestra en la figura 1-4b. Ecuaciones de equilibrio. Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob- tenemos Resp. Resp. Resp. El signo negativo indica que MC actúa en dirección opuesta a la mos- trada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema usando el segmento AC, obteniendo primero las reacciones en el so- porte A, que son dadas en la figura 1-4c. MC = -1080 N # m -MC - 540 N12 m2 = 0d+ © MC = 0; VC = 540 N VC - 540 N = 0+q © Fy = 0; NC = 0 -NC = 0:+ © Fx = 0; (a) A B C 3 m 6 m 270 N/m Fig. 1-4 180 N/m 540 N 2 m 4 mVC MC NC (b) BC 1.5 m 0.5 m 1 m 180 N/m 90 N/m 540 N 135 N VC MC NC 1215 N 3645 N�m CA 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 11 E J E M P L O 1.2 Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C de la flecha de la máquina mostrada en la figura 1-5a. La flecha está soportada por chumaceras en A y B, que ejercen sólo fuerzas verticales sobre la flecha. 12 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo Solución Resolveremos este problema usando el segmento AC de la flecha. Reacciones en el soporte. En la figura 1-5b se muestra un diagrama de cuerpo libre de toda la flecha. Como el segmento AC va a ser con- siderado, sólo la reacción en A tiene que ser considerada. ¿Por qué? El signo negativo para Ay indica que ésta actúa en sentido opuesto al mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre. Diagrama de cuerpo libre. Si realizamos un corte imaginario perpen- dicular al eje de la flecha por C, obtenemos el diagrama de cuerpo li- bre del segmento AC mostrado en la figura 1-5c. Ecuaciones de equilibrio. Resp. Resp. Resp. ¿Qué indican los signos negativos de VC y MC? Como ejercicio, calcu- le la reacción en B y trate de obtener los mismos resultados usando el segmento CBD de la flecha. MC = -5.69 N # m MC + 40 N10.025 m2 + 18.75 N10.250 m2 = 0d+ © MC = 0; VC = -58.8 N -18.75 N - 40 N - VC = 0+q © Fy = 0; NC = 0:+ © Fx = 0; Ay = -18.75 N -Ay10.400 m2 + 120 N10.125 m2 - 225 N10.100 m2 = 0d+ © MB = 0; 225 N C D 200 mm 100 mm 100 mm 50 mm50 mm 800 N/m B (a) A Fig. 1-5 0.275 m 0.125 m (800 N/m)(0.150 m) = 120 N 0.100 m 225 N Ay By (b) B (c) 40 N 18.75 N 0.250 m 0.025 m MC VC C A NC 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 12 E J E M P L O 1.3 SECCIÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 13 El montacargas en la figura 1-6a consiste en la viga AB y en las poleas unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en C si el motor es- tá levantando la carga W de 500 lb con velocidad constante. Desprecie el peso de las poleas y viga. Solución La manera más directa de resolver este problema es seccionar el cable y la viga en C y luego considerar todo el segmento izquierdo. Diagrama de cuerpo libre. Vea la figura 1-6b. Ecuaciones de equilibrio. Resp. Resp. Resp. Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados consideran- do el segmento de viga AC, es decir, retire la polea en A de la viga y muestre las componentes de la fuerza de 500 lb de la polea actuando sobre el segmento de viga AC. MC = -2000 lb # ft d+ © MC = 0; -500 lb - VC = 0 VC = -500 lb+q © Fy = 0; 500 lb + NC = 0 NC = -500 lb:+ © Fx = 0; (b) 4.5 pies C 0.5 pie 500 lb 500 lb VC NC MC A Fig. 1-6 4 pies 2 pies6 pies 0.5 pie 0.5 pie A C D B W (a) pie 500 lb (4.5 pies)-500 lb (0.5 pies)+MC=0 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 13 E J E M P L O 1.4 Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7a. Supon- ga que las juntas en A, B, C, D y E están conectadas por pasadores. 14 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo Solución Reacciones en los soportes. Consideraremos el segmento AG para el análisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra en la figura 1-7b. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En par- ticular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que sólo dos fuer- zas actúan en él. Por esta razón la reacción en C debe ser horizontal tal como se muestra. Como BA y BD son también miembros de dos fuerzas, el diagrama de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas FBA y FBD. Diagrama de cuerpo libre. Usando el resultado para FBA, la sección izquierda AG de la viga se muestra en la figura 1-7d. Ecuaciones de equilibrio. Aplicando las ecuaciones de equilibrio al segmento AG, tenemos Resp. Resp. Resp. Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmen- to GE. MG = 6300 lb # ft MG - 17750 lb2A35 B 12 ft2 + 1500 lb 12 ft2 = 0d+ © MG = 0; VG = 3150 lb -1500 lb + 7750 lb A35 B - VG = 0+q © Fy = 0; 7750 lb A45 B + NG = 0 NG = -6200 lb:+ © Fx = 0; Fig. 1-7 6200 lb = 4650 lb = 7750 lbFBA FBD 3 4 5 (c) B (d) MG NG VG 2 pies 3 4 5 7750 lb1500 lb A G (a) 300 lb/pie 2 pies 2 pies 6 pies 1500 lb A B G D C 3 pies E 3 pies 6 pies (6 pies) = 4 pies (6 pies)(300 lb/pie) = 900 lb12 1500 lb = 2400 lb = 6200 lb = 6200 lb Ey Ex FBC (b) 2 3 (2 pies)+1500 lb(2 pies)=0 pie 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 14 E J E M P L O 1.5 Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en B del tubo mostrado en la figura 1-8a. El tubo tiene una masa de 2 kg/m y está sometido a una fuerza vertical de 50 N y a un par de momento de 70 N � m en su extremo A. El tubo está empotra- do en la pared en C. Solución El problema se puede resolver considerando el segmento AB, que no implica las reacciones del soporte en C. Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, z se fijan en B y el diagra- ma de cuerpo libre del segmento AB se muestra en la figura 1-8b. Las componentes de fuerza y momento resultantes en la sección se supo- ne que actúan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por el centroide del área transversal en B. El peso de cada segmento de tu- bo se calcula como sigue: Estas fuerzas actúan por el centro de gravedad de cada segmento. Ecuaciones de equilibrio. Aplicando las seis ecuaciones escalares de equilibrio, obtenemos* Resp. Resp. Resp. Resp. Resp. Resp. ¿Qué indican los signos negativos de (MB)x y (MB)y? Note que la fuer- za normal NB � (FB)y � 0, mientras que la fuerza cortante es Además, el momento torsionante es TB � (MB)y � 77.8 N � m y el momento flexionante es MB � �(3�0�.3�)2���(0�)� 1/2 � 30.3 N � m. 21022 + 184.322 = 84.3 N.VB = 1MB2z = 0©1MB2z = 0; 1MB2y = -77.8 N # m 1MB2y + 24.525 N 10.625 m2 + 50 N 11.25 m2 = 0©1MB2y = 0; 1MB2x = -30.3 N # m - 9.81 N 10.25 m2 = 0 1MB2x + 70 N # m - 50 N 10.5 m2 - 24.525 N 10.5 m2©1MB2x = 0; 1FB2z = 84.3 N 1FB2z - 9.81 N - 24.525 N - 50 N = 0© Fz = 0; 1FB2y = 0© Fy = 0; 1FB2x = 0© Fx = 0; WAD = 12 kg>m211.25 m219.81 N>kg2 = 24.525 N WBD = 12 kg>m210.5 m219.81 N>kg2 = 9.81 N SECCIÓN 1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable • 15*La magnitud de cada momento respecto a un eje es igual a la magnitud de cada fuer- za por la distancia perpendicular del eje a la línea de acción de la fuerza. La dirección de cada momento es determinada usando la regla de la mano derecha, con momentos positivos (pulgar) dirigidos a lo largo de los ejes coordenados positivos. 0.625 m 70 N·m (b) y0.625 m A 50 N 0.25 m 0.25 m x z 9.81 N 24.525 N B (MB)z (MB)y (MB)x (FB)x (FB)y (FB)z Fig. 1-8 0.75 m 50 N 1.25 m B A 0.5 m C D 70 N�m (a) 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 15 16 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo 1-1. Determine la fuerza normal interna resultante que actúa sobre la sección transversal por el punto A en cada columna. En (a), el segmento BC pesa 180 lb/pie y el seg- mento CD pesa 250 lb/pie. En (b), la columna tiene una masa de 200 kg/m. P R O B L E M A S 1-3. Determine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos B y C. *1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas re- sultantes en el miembro en (a) la sección a-a y (b) la sec- ción b-b, cada una de las cuales pasa por el punto A. La carga de 500 lb está aplicada a lo largo del eje centroidal del miembro. 1-2. Determine el par interno resultante que actúa sobre las secciones transversales por los puntos C y D. Los co- jinetes de soporte en A y B permiten el libre giro de la flecha. 1-5. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal a través del punto D del miembro AB. 8 kN 3 m 1 m 6 kN6 kN 4.5 kN4.5 kN 200 mm200 mm A (b) 200 mm200 mm 3 pies 2 pies 2 pies 1 pie B A C 500 lb�pie 350 lb�pie 600 lb�pie Prob. 1-3 A BD C300 mm 200 mm 150 mm 200 mm 250 mm 150 mm 400 N�m 150 N�m 250 N�m Prob. 1-2 3 klb3 klb 5 klb 10 pies 4 pies 4 pies 8 pulg8 pulg A C D (a) B Prob. 1-1 30° A ba b a 500 lb500 lb Prob. 1-4 200 mm 50 mm 150 mm 50 mm 300 mm C A D B 70 N m� Prob. 1-5 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 16 PROBLEMAS • 17 1-6. La viga AB está articulada por un pasador en A y soportada por un cable BC. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto D. 1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas internas re- sultantes que actúan en el punto E. 4 pies B C 6 pies 8 pies 3 pies A D 1200 lb E 3 pies Probs. 1-6/7 D 5 pies 20 pies 3 pies 10 pies C BA 1500 lb Prob. 1-8 3 pies F 3 pies 30° 30° 0.2 pie G A B E D C Prob. 1-9 4 pies A D 2 pies C B 75 lb/pie 1 pie 150 lb 1 pie E 30° 2 pies 1 pie G 1 pie F Probs. 1-10/11 *1-8. La viga AB está empotrada en la pared y tiene un peso uniforme de 80 lb/pie. Si el gancho soporta una car- ga de 1500 lb, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos C y D. 1-9. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. La unidad en- friadora tiene un peso total de 52 klb y su centro de gra- vedad en G. 1-10. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre las secciones transversales por los puntos D y E de la estructura. 1-11. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura. 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 17 18 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo *1-12. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre (a) la sección a-a y (b) la sección b-b. Cada sec- ción pasa por el centroide en C. 1-13. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por el punto C en la vi- ga. La carga D tiene una masa de 300 kg y está siendo iza- da por el motor M con velocidad constante. 1-14. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por el punto E de la viga en el problema 1-13. 1-15. La carga de 800 lb está siendo izada a velocidad constante usando el motor M que tiene un peso de 90 lb. Determine las cargas internas resultantes que actúan so- bre la sección transversal por el punto B en la viga. La viga tiene un peso de 40 lb/pie y está empotrada en la pa- red en A. *1-16. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por los puntos C y D en el problema 1-15. 1-17. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal en el punto B. A B C 12 pies3 pies 60 lb/ pie Prob. 1-17 45° 8 pies 4 pies 45° A C B b a a b 600 lb/pie Prob. 1-12 M 2 m B CE D A 0.1 m 2 m 2 m 1.5 m 0.1 m 1 m Probs. 1-13/14 M 4 pies 3 pies 4 pies C B 1.5 pies A 0.25 pie 4 pies 3 pies D Probs. 1-15/16 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 18 PROBLEMAS • 19 1-18. La viga soporta la carga distribuida mostrada. De- termine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C. Suponga que las reac- ciones en los soportes A y B son verticales. 1-19. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por el punto D en el pro- blema 1-18. 3 m 3 m DC A B 0.5 kN/m 1.5 kN/m 3 m Probs. 1-18/19 9 N 500 mm 12 N 15 mm 150 mm 60° AB C T CV CM CN 100 mm Prob. 1-20 60° 50 mm 100 mm 200 mm 300 mm B C D 120 N 50 mm 100 mm E 30° A Probs. 1-21/22 300 mm 200 mm 150 mm 60 N 60 N 400 mm 150 mm B A x y z C D Prob. 1-23 *1-20. La charola de servicio T usada en un avión está soportada en cada lado por un brazo. La charola está co- nectada por un pasador al brazo en A, y en B tiene un pa- sador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranu- ra en los brazos para poder plegar la charola contra el asiento del pasajero al frente cuando aquella no está en uso.) Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto C del brazo cuan- do el brazo de la charola soporta las cargas mostradas. 1-21. La perforadora de vástago metálico está sometida a una fuerza de 120 N en su mango. Determine la magni- tud de la fuerza reactiva en el pasador A y en el eslabón corto BC. Determine también las cargas internas resultan- tes que actúan sobre la sección transversal que pasa por D en el mango. 1-22. Resuelva el problema 1-21 para las cargas internas resultantes sobre la sección transversal que pasa por E y en una sección transversal del eslabón corto BC. 1-23. El tubo tiene una masa de 12 kg/m. Considerando que está empotrado en la pared en A, determine las car- gas internas resultantes que actúan sobre la sección trans- versal en B. Desprecie el peso de la palanca CD. 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 19 20 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo *1-24. La viga principal AB soporta la carga sobre el ala del avión. Las cargas consisten en la reacción de la rueda de 35 000 lb en C, el peso de 1200 lb de combustible en el tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de 400 lb del ala con centro de gravedad en E. Si está empo- trada al fuselaje en A, determine las cargas internas resul- tantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a tra- vés de la viga. 1-25. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por el punto B del letre- ro. El poste está empotrado en el suelo y una presión uni- forme de 7 lb/pie2 actúa perpendicularmente sobre la cara del letrero. 1-27. Una manivela de prensa tiene las dimensiones mos- tradas. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal en A si se aplica una fuer- za vertical de 50 lb a la manivela como se muestra. Suponga que la manivela está empotrada a la flecha en B. 1-26. La flecha está soportada en sus extremos por dos cojinetes A y B y está sometida a las fuerzas aplicadas a las poleas fijas a la flecha. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal en el punto C. Las fuerzas de 300 N actúan en la dirección �z y las fuerzas de 500 N actúanen la dirección �x. Los cojine- tes en A y B ejercen sólo componentes x y z de fuerza so- bre la flecha. B 30° z x y 50 lb 3 pulg 7 pulg 7 pulg A Prob. 1-27 6 pies 4 pies 2 pies 1.5 pies D E 1 pie A B C 35 000 lb z x y Prob. 1-24 4 pies z y 6 pies x B A 3 pies 2 pies 3 pies 7 lb/pie2 Prob. 1-25 y B C 400 mm 150 mm 200 mm 250 mm A x z 300 N 300 N 500 N 500 N Prob. 1-26 01-Hibbeler 28/8/56 5:04 AM Página 20 PROBLEMAS • 21 *1-28. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso. 4 pies 1.5 pies 1.5 pies 3 pies A B C E D G 80 lb 5 pies 2 pies 2 pies 30° F Prob. 1-28 A B C 90° 6 pulg Prob. 1-29 C A B 30° 45° 2 pies 500 lb 3 45 Prob. 1-30 θ O r C B D A θ Prob. 1-31 A B C 45° 90° D O r 22.5° Prob. 1-32 M V N +V dV dθ +M dM +N dN T + dT T Prob. 1-33 1-29. El vástago del perno está sometido a una tensión de 80 lb. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal en el punto C. 1-30. Determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal en los puntos B y C del miembro curvo. 1-33. Se muestra en la figura un elemento diferencial tomado de una barra curva. Demuestre que dN/d� � V, dV/d� � �N, dM/d� � �T y dT/d� � M. *1-32. La barra curva AD de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano hori- zontal, determine las cargas internas resultantes que ac- túan sobre la sección transversal por el punto B. Sugeren- cia: la distancia del centroide C del segmento AB al punto O es CO � 0.9745r. 1-31. La barra curva AD de radio r tiene un peso w por unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano ver- tical, determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección transversal por el punto B. Sugerencia: la distancia del centroide C del segmento AB al punto O es OC � [2r sen(�/2)]/�. 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 21 1.3 Esfuerzo 22 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo En la sección 1.2 mostramos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura 1-9, representan los efectos resultantes de la distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada, figura 1-9b. La obten- ción de esta distribución de carga interna es de importancia primor- dial en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es ne- cesario establecer el concepto de esfuerzo. Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal como el área sombreada de �A mostrada en la figura 1-10a. Al reducir �A a un tamaño cada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedades del material. Considerare- mos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distri- bución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos.Ade- más, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes es- tán unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita pero muy pequeña �F, actuando sobre su área asociada �A, se muestra en la figura 1-10a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para el análisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, �Fx, �Fy y �Fz, que se to- man tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área �A tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza �F y sus compo- nentes; sin embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en ge- neral a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto. F1 F2 F∆ ∆A F∆ F∆ z z y F∆ y x F∆ x yz yx y xy xz x z (c)x y F1 (b) zz x y (a) x y Fig. 1-10 F1 F2 O (a) MRO FR Fig. 1-9 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 22 Esfuerzo normal. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando normalmente a �A se define como el esfuerzo normal, � (sigma). Como �Fz es normal al área, entonces, (1-4) Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” al elemento de área �A como se muestra en la figura 1-10a, se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” a �A se le llama esfuerzo de compresión. Esfuerzo cortante. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unita- ria, actuando tangente a �A se llama esfuerzo cortante, � (tau). Aquí te- nemos las componentes de esfuerzo cortante, (1-5) El subíndice z en �z se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica la orientación del área �A, figura 1-11. Para las componentes del esfuerzo cortante, �zx y �zy, se usan dos subíndices. El eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor- denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes. Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo es adicionalmente seccio- nado por planos paralelos al plano x-z, figura 1-10b, y al plano y-z, figura 1-10c, podemos entonces “separar” un elemento cúbico de volumen de material que representa el estado de esfuerzo que actúa alrededor del pun- to escogido en el cuerpo, figura 1-12. Este estado de esfuerzo es caracteri- zado por tres componentes que actúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzo describen el estado de esfuerzo en el punto só- lo para el elemento orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fue- se seccionado en un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando un conjunto diferente de componentes de esfuerzo. Unidades. En el sistema SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante se especifican en las unidades básicas de newtons por metro cuadrado (N/m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa � 1 N/m2) es algo pequeña y en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), sim- bolizado por, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G, para representar valores mayores del esfuerzo.* De la misma ma- nera, en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por lo regular expre- san el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilolibra (kip) � 1000 lb. tzy = lim¢A:0 ¢Fy ¢A tzx = lim¢A:0 ¢Fx ¢A sz = lim¢A:0 ¢Fz ¢A SECCIÓN 1.3 Esfuerzo • 23 z zy zx x y z Fig. 1-11 x y z zσ zx zy yz yx xz xσ xy yσ Fig. 1-12 lím lím lím *Algunas veces el esfuerzo se expresa en unidades de N/mm2, donde 1 mm � 10�3 m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en el denominador de una fracción y por tanto es mejor usar el equivalente 1 N/mm2 � 1 MN/m2 � 1 MPa. 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 23 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente 24 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican lar- gos y delgados.Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmen- te se aplican a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernos son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzo promedio que actúa sobre la sección transver- sal de una barra cargada axialmente como la mostrada en la figura 1-13a, que tiene una forma general. Esta sección define el área de la sección transversal de la barra y como todas esas secciones transversales son igua- les, a la barra se le llama barra prismática. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como se indica en la figura 1-13b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante que actúa so- bre la sección transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en el fondo de la barra. Suposiciones. Antes de determinar la distribución de esfuerzo prome- dio que actúa sobre el área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesis simplificatorias relativas a la descripción del materialy a la apli- cación específica de la carga. 1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que se aplica la carga, y también, la sección transversal debe permane- cer plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barra cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se deformarán uniformemente cuando la barra esté sometida a la carga, figura 1-13c. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extre- mos de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede ocasionar distorsiones localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra. 2. Para que la barra experimente una deformación uniforme, es nece- sario que P se aplique a lo largo del eje centroidal de la sección transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un ma- terial homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y mecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas mismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la ingenie- ría pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por ejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar en cada milíme- tro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las aplicaciones este material tiene un tamaño físico que es mucho mayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la composición del ma- terial es bastante realista. Sin embargo, debe mencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio del laminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturas subcríticas. Los mate- riales anisotrópicos tienen propiedades diferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si la anisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barra se deformará unifor- memente cuando sea sometida a una carga axial. Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un material que es homo- géneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el siguiente aná- lisis. P P Fuerza externa Área de la sección transversal Fuerza interna (b) P P (a) (c) Región de deformación uniforme de la barra P P Fig. 1-13 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 24 Distribución del esfuerzo normal promedio. Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normal � constante, figura 1-13d. En consecuencia, cada área �A sobre la sección transversal está someti- da a una fuerza �F � � �A, y la suma de esas fuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a la fuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que �A → dA y por tanto �F → dF, entonces co- mo � es constante, tenemos (1-6) Donde, � � esfuerzo normal promedio en cualquier punto sobre el área de la sección transversal P � fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área de la sección transversal. P se determina usando el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio A � área de la sección transversal de la barra La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transver- sal ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nu- los respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 1-13d. Cuando esto ocurre, Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide, � y dA � 0 y � x dA � 0. (Vea el apéndice A.) Equilibrio. Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquier elemento de volumen de material localizado en cada punto so- bre la sección transversal de una barra cargada axialmente. Si considera- mos el equilibrio vertical del elemento, figura 1-14, entonces al aplicar la ecuación de equilibrio de fuerzas, En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele- mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste se le llama esfuerzo uniaxial. s = s¿ s1¢A2 - s¿1¢A2 = 0© Fz = 0; 0 = - � A x dF = - � A xs dA = -s� A x dA1MR2y = © My; 0 = � A y dF = � A ys dA = s� A y dA1MR2x = © Mx; s = P A P = s A �dF = � A s dA+q FRz = © Fz; SECCIÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 25 (d) P F∆ = ∆σ A P y x x z σ y A∆ Fig. 1-13 (cont.) Fig. 1-14 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 25 El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a compre- sión, como se muestra en la figura 1-15. Como interpretación gráfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen ba- jo el diagrama de esfuerzo; es decir, P � � A (volumen � altura � base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos, esta resultante pasa por el centroide de este volumen. Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, usando un análisis más exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de sec- ción transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados adyacen- tes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según � � P/A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la elasticidad. Esfuerzo normal promedio máximo. En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y por tanto se obtu- vo un esfuerzo normal � � P/A también constante. Sin embargo, en oca- siones la barra puede estar sometida a varias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse un cambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzo normal dentro de la barra puede ser dife- rente de sección a sección, y si debe calcularse el esfuerzo normal prome- dio máximo, tendrá que determinarse la posición en que la razón P/A sea máxima. Para esto es necesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo de la barra, lo que se consigue dibujando un diagra- ma de fuerza normal o axial. Específicamente, este diagrama es una grá- fica de la fuerza normal P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se considerará positiva si causa tensión en el miembro y nega- tiva si causa compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podrá identificarse la razón máxima de P/A. 26 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo Esta barra de acero se usa para suspen- der una porción de una escalera, y por ello está sometida a un esfuerzo de tensión. = P_ A P P P P Tensión Compresión Fig. 1-15 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 26 PUNTOS IMPORTANTES • Cuando un cuerpo que está sometido a una carga externa es sec- cionado, hay una distribución de fuerza que actúa sobre el área seccionada que mantiene cada segmento del cuerpo en equilibrio. La intensidad de esta fuerza interna en un punto del cuerpo se denomina esfuerzo. • El esfuerzo es el valor límite de la fuerza por área unitaria, al ten- der a cero el área. Para esta definición, el material en el punto se considera continuo y cohesivo. • En general, hay seis componentes independientes de esfuerzo en cada punto en el cuerpo, que son los esfuerzos normales, �x, �y, �z y los esfuerzos cortantes, �xy, �yz, �xz. • La magnitud de esas componentes depende del tipo de carga que actúa sobre el cuerpo y de la orientación del elemento en el punto. • Cuando una barra prismática está hecha de material homogéneo e isotrópico, y está sometida a una fuerza axial que actúa por el centroide del área de la sección transversal, entonces el material dentro de la barra está sometido sólo a esfuerzo normal. Este es- fuerzo se supone uniforme o promediado sobre el área de la sec- ción transversal. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS La ecuación � � P/A da el esfuerzo normal promedio en el área transversal de un miembro cuando la sección está sometida a una fuerza normal interna resultante P. Para miembros axialmente car- gados, laaplicación de esta ecuación requiere los siguientes pasos. Carga interna. • Seccione el miembro perpendicularmente a su eje longitudinal en el punto donde el esfuerzo normal va a ser determinado y use el diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio de fuerza necesarios para obtener la fuerza axial interna P en la sección. Esfuerzo normal promedio. • Determine el área transversal del miembro en la sección y calcu- le el esfuerzo normal promedio � � P/A. • Se sugiere que � se muestre actuando sobre un pequeño elemento de volumen del material localizado en un punto sobre la sección donde el esfuerzo es calculado. Para hacer esto, primero dibuje � sobre la cara del elemento que coincide con el área seccionada A. Aquí, � actúa en la misma dirección que la fuerza interna P ya que todos los esfuerzos normales sobre la sección transversal actúan en esta dirección para desarrollar esta resultante. El es- fuerzo normal � que actúa sobre la cara opuesta del elemento puede ser dibujada en su dirección apropiada. SECCIÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 27 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 27 E J E M P L O 1.6 La barra en la figura 1-16a tiene un ancho constante de 35 mm y un es- pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en la barra cuando ella está sometida a las cargas mostradas. 28 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo Solución Carga interna. Por inspección, las fuerzas axiales internas en las re- giones AB, BC y CD son todas constantes pero tienen diferentes mag- nitudes. Usando el método de las secciones, esas cargas son determina- das en la figura 1-16b; y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultados gráficamente se muestra en la figura 1-16c. Por inspec- ción, la carga máxima está en la región BC, donde PBC � 30 kN. Como el área transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promedio también ocurre dentro de esta región de la barra. Esfuerzo normal promedio. Aplicando la ecuación 1-6, obtenemos Resp. La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección trans- versal arbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura 1-16d. Gráficamente el volumen (o “bloque”) representado por esta distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN � (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm). sBC = PBC A = 3011032N 10.035 m210.010 m2 = 85.7 MPa (d) 30 kN 85.7 MPa35 mm 10 mm Fig. 1-16 (b) 9 kN 9 kN 12 kN 12 kN = 12 kNPAB = 30 kNPBC 22 kN= 22 kNPCD P(kN) x 12 22 30 (c) 12 kN 22 kN 9 kN 9 kN 4 kN 4 kN 35 mm A DB C (a) 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 28 Solución Carga interna. Debemos primero determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura 1-17b se muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara.Aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la reac- ción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su longitud. Esfuerzo normal promedio. Aplicando la ecuación 1-6, tenemos Resp. Resp. La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una sección transversal de la barra AB se muestra en la figura 1-17c, y en un punto sobre esta sección transversal, un elemento de material está esforzado como se muestra en la figura 1.17d. sBA = FBA ABA = 632.4 N p10.005 m22 = 8.05 MPa sBC = FBC ABC = 395.2 N p10.004 m22 = 7.86 MPa FBC = 395.2 N, FBA = 632.4 N FBC A35 B + FBA sin 60° - 784.8 N = 0+q © Fy = 0; FBC A45 B - FBA cos 60° = 0:+ © Fx = 0; E J E M P L O 1.7 La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y BC como se muestra en la figura 1-17a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tie- ne un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cada barra. SECCIÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 29 sen 60° (b) 60° FBA FBC y x 80(9.81) = 784.8 N B 3 4 5 A 60° B C 3 4 5 (a) Fig. 1-17 632.4 N 8.05 MPa 8.05 MPa (c)(d) 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 29 E J E M P L O 1.8 La pieza fundida mostrada en la figura 1-18a está hecha de acero con peso específico de ac � 490 lb/pie 3. Determine el esfuerzo de compre- sión promedio que actúa en los puntos A y B. 30 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo 0.75 pie 0.75 pie 2.75 pies y z x (a) A B0.75 pie 0.4 pie Fig. 1-18 2.75 pies (b) A P (c) 9.36 lb/pulg2 B Wac Solución Carga interna. En la figura 1-18b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento superior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B. El peso de este segmento es Wac � acVac. La fuer- za axial interna P en la sección es entonces Esfuerzo de compresión promedio. El área transversal en la sección es A � (0.75 pie)2, y el esfuerzo de compresión promedio es en- tonces Resp. El esfuerzo mostrado en el elemento de volumen de material en la figura 1-18c es representativo de las condiciones en A o B. Note que este esfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo o cara sombreada del elemento ya que esta cara forma parte del área de la superficie del fon- do de la sección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna re- sultante P empuja hacia arriba. P = 2381 lb P - 1490 lb>pie3212.75 pies2p10.75 pie22 = 0 P - Wac = 0+q � Fz = 0; =9.36 lb>pulg2 =1347.5 lb>pie2=1347.5 lb>pie2 11 pie2>144 pulg22 s= P A = 2381 lb p10.75 pie22 01-Hibbeler 28/8/56 5:05 AM Página 30 E J E M P L O 1.9 El miembro AC mostrado en la figura 1-19a está sometido a una fuer- za vertical de 3 kN. Determine la posición x de esta fuerza de modo que el esfuerzo de compresión promedio en el soporte liso C sea igual al esfuerzo de tensión promedio en el tirante AB. El tirante tiene un área en su sección transversal de 400 mm2 y el área de contacto en C es de 650 mm2. SECCIÓN 1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente • 31 Solución Carga interna. Las fuerzas en A y C pueden ser relacionadas consi- derando el diagrama de cuerpo libre del miembro AC, figura 1-19b. Se tienen tres incógnitas que son FAB, FC y x. En la solución de este pro- blema usaremos unidades de newtons y milímetros. (1) (2) Esfuerzo normal promedio. Puede escribirse una tercera ecuación necesaria que requiere que el esfuerzo de tensión en la barra AB y el esfuerzo de compresión en C sean equivalentes, es decir, Sustituyendo esto en la ecuación 1, despejando FAB y FC, obtenemos La posición de la carga aplicada se determina con la ecuación 2, Resp. Note que 0 � x � 200 mm, tal como se requiere. x = 124 mm FC = 1857 N FAB = 1143 N FC = 1.625FAB s = FAB 400 mm2 = FC 650 mm2 -3000 N1x2 + FC 1200 mm2 = 0d+ © MA = 0; FAB + FC - 3000 N = 0+q © Fy = 0; x A B C 200 mm (a) 3 kN Fig. 1-19 (b) x 3 kN A 200 mm FAB FC 01-Hibbeler 28/8/56 5:06 AM Página 31 El esfuerzo cortante se definió en la sección 1.3 como la componente del esfuerzo que actúa en el plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo, consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura 1-20a. Si los soportes se consideran rígi- dos y F es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de la barra, figura 1-20b, indica que una fuerza cortante V � F/2 debe aplicarse a cada sección pa- ra mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante promedio dis- tribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se define por: (1-7) Donde, �prom � esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mis- mo en todo punto localizado sobre la sección V � fuerza cortante interna resultante en la sección; se determina con las ecuaciones de equilibrio A � área en la sección La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando so- bre la sección derecha en la figura 1-20c. Observe que �prom tiene la mis- ma dirección que V, ya que el esfuerzo cortante debe
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