Vigas metodo doble integracion

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA 
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO 
“SANTIAGO MARIÑO” 
EXTENSION PORLAMAR 
INGENIERÍA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de la Doble Integración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autores: 
Adriana Adrián C.I 19.232.852 
Andrelis Zerpa C.I 24.832.192 
Anthony Vásquez C.I 24.107.346 
Anyelo Rengel C.I 23.589.626 
Jesús Moyola C.I 24.765.577 
José Lanza C.I 24.089.125 
Luicelys Subero C.I 24.765.815 
Mayerlin Gonzalez C.I 24.545.368 
Michael Rodríguez C.I 25.157.049 
Ricardo Giansante C.I 24.437.927 
 
Prof.: 
Ing. Sergio Molina 
 
 
 
Porlamar, Abril 2017 
INTRODUCCIÓN 
 
 Frecuentemente el diseño de una viga queda determinado más por su 
rigidez que por su resistencia. Por ejemplo, al diseñar elementos de maquinas 
para trabajos de precisión, tales como tornos, prensas, limaduras, etc. Las 
deformaciones deben permanecer por debajo de las tolerancias admisibles del 
trabajo que se va a realizar. Asimismo, en las vigas de pisos que tengan por 
debajo cielo raso de yeso o escayola, se suele limitar la deflexión máxima a 1/360 
de claro, para que no aparezcan grietas en el yeso. Una de las más importantes 
aplicaciones del estudio de la deformación de las vigas es, por otra parte la 
obtención de ecuaciones de deformación que, junto con las condiciones de 
equilibrio estático, permitan resolver las vigas estáticamente indeterminadas. 
En análisis estructural, se considera a las deflexiones como la respuesta 
estructural porque expresan una serie de parámetros que responde a una acción 
de cargas aplicadas (muertas, sismos, etc.). Para la resolución matemática de la 
estructura, es decir, el estudio de las cargas y esfuerzos, existen varios métodos 
de análisis de deformaciones de vigas. 
 
El análisis estructural es tan importante porque brinda las herramientas 
necesarias para determinar deflexiones y giros en elementos estructurales, es por 
eso que para resolver un problema de análisis estructural es necesario hacer tanto 
un estudio matemático, para determinar las cargas y esfuerzos que afectan a la 
estructura, como un estudio arquitectónico, para determinar el material a utilizar en 
la construcción de la estructura así como sus dimensiones. 
Para eso hay varios métodos matemáticos de análisis de deformaciones de vigas, 
entre ellos tenemos: 
 Método de área de momento. 
 Método de viga conjugada, 
 Teorema de los Tres momentos. 
 Método de la doble integración y 
 Método matricial. 
 En el presente trabajo se desarrollará todo lo referente al método de Doble 
integración. 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS TEORICOS. 
 
 VIGAS: 
 Las vigas son elementos horizontales que forman parte de una estructura. 
Las vigas son las encargadas de recibir las cargas de las losas o los elementos 
planos que se encuentren sobre ella y al mismo tiempo transmitir éstas cargas a 
las columnas de la estructura. Las hay de diversos materiales (concreto armado, 
acero, madera, etc.) y dimensiones (cuadradas, rectangulares, tipoT, tipoi, etc.). El 
material y las dimensiones dependerán de la estructura de la que forme parte y de 
la carga que tendrá que soportar. 
 
 DEFLEXIÓN DE UNA VIGA: 
 Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas 
que se flexionan o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza 
externa. Esta flexión y(x) está determinada por una ecuación diferencial lineal de 
cuarto orden, relativamente sencilla. 
 
 Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y 
tiene sección Transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga 
alguna, incluyendo su Propio peso, la curva que une los centroides de sus 
secciones transversales es una recta que Se llama eje de simetría. Si a la viga se 
le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría, sufre una 
distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se 
llama curva de flexión o curva elástica o simplemente elástica. La curva de flexión 
describe la forma de la viga. 
 
MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN. 
 El método de la doble integración para el cálculo de las deformaciones 
consiste en la aplicación de la ecuación diferencial de la elástica desarrollada por 
el Ingeniero Civil Alemán Otto Mohr, el cual expresa que la 2da derivada de la 
elástica es igual a la curvatura del momento afectada por su modulo de flexión, 
siendo entonces la 1era integral de la curvatura del momento igual al ángulo de 
rotación de la elástica y la 2da integral de la curvatura del momento de la ecuación 
de la elástica. 
 Partiendo de la ecuación diferencial de la elástica, tenemos que el valor del 
producto EI es constante, ya que se está trabajando para elementos prismáticos (I 
constante) y para vigas de un sólo material (E constante). En cambio, el momento 
flexionante M, en lo general presenta variación, la cual depende de x. 
 Esto nos permite reescribir la ecuación diferencial de la elástica de la 
siguiente forma: 
 
 La cual muestra que se debe resolver una ecuación diferencial de variables 
separables, siendo el método de integración directa la opción más viable. Al 
realizar una primera integración se obtiene: 
 
 Siendo C1 la constante de integración y recordando que la primera derivada 
de v con respecto a x corresponde al giro (de acuerdo a la hipótesis de 
deformaciones pequeñas). 
 Integrando la ecuación anterior: 
 
 Donde C2 es la constante de integración y el valor de v corresponde a la 
deflexión. 
 Por otra parte, si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la 
ecuación de momentos tendrá que reflejar dicha variación. Por lo general se 
establecen rangos de aplicabilidad de las diversas ecuaciones de momentos 
necesarias para describir a la viga en su totalidad. Los rangos se definen como el 
espacio comprendido entre dos puntos de discontinuidad de cargas, los cuales 
pueden ser: cargas concentradas y/o inicio o fin de cargas distribuidas. 
 Cada uno de estos rangos tiene su propia ecuación de momentos, mismas 
que al ser integradas, generarán ecuación de giros y ecuación de deflexiones para 
cada rango, con sus correspondientes constantes de integración. La obtención de 
los valores de las constantes de integración se realiza en base a condiciones de 
frontera y a condiciones de continuidad. 
CONDICIONES DE FRONTERA. 
 Para el caso en estudio, las condiciones de frontera son básicamente las 
condiciones impuestas por el o los apoyos de la viga. Es decir, se trata de aplicar 
las ecuaciones resultantes del proceso de integración en los lugares donde se 
conoce de antemano que el tipo correspondiente de deformación es nulo, con el 
propósito de generar expresiones matemáticas que permitan obtener los valores 
de las constantes de integración. 
 La Tabla 1 presenta en forma esquemática las condiciones de frontera para 
vigas simplemente apoyadas, y la Tabla 2 las correspondientes a vigas con 
empotramiento y voladizo. 
Tabla 1: Condiciones de frontera en vigas simplemente apoyadas. 
 
Tabla 2: Condiciones de frontera en vigas con empotramiento y voladizo
 
 
 
 CONDICIONES DE COTINUIDAD. 
 Como ya se mencionó anteriormente, es frecuente que la descripción de la 
variación del momento flexionante a lo largo de la viga requiera de establecer 
varios rangos, y por ende, una ecuación de momentos para cada rango. Las 
condiciones de continuidad se establecen específicamente en los puntos que 
limitan los rangos. En estos puntos se presentan discontinuidades en cargas o 
momentos pero en lo que respecta a giros y deflexiones no existe posibilidad de 
discontinuidad alguna, siendo ésta la base de las condiciones de continuidad. 
 En otras palabras,la curva elástica de una viga es continua. Por lo tanto, en 
un punto determinado solo puede existir un valor de deflexión y la tangente a la 
curva en dicho punto también es única. Dado que los rangos se establecen 
incluyendo al punto "frontera" entre dos de ellos, bastará con calcular para el valor 
de x común a ambos rangos el valor del giro con la ecuación correspondiente a 
cada rango en cuestión e igualar esas dos expresiones entre sí. Se procede de 
forma análoga en el caso de las ecuaciones de deflexión. 
 CONSTANTES DE INTEGRACIÓN. 
 Con la aplicación tanto de las condiciones de frontera como de las 
condiciones de continuidad se genera un sistema de ecuaciones simultáneas, que 
al ser resueltas, se obtienen los valores de las constantes de integración. Vale la 
pena resaltar que en el caso del primer rango (el situado más a la izquierda de la 
viga) las constantes de integración tienen una relación directa con los valores de 
deformación en el inicio de la viga. Es decir: 
 
 
 ECUACIONES FINALES. 
 Una vez obtenidos los valores de las constantes de integración, se procede 
a sustituir dichos valores en las ecuaciones producto del proceso de integración 
directa, llegando con ello a las ecuaciones finales. Se cuenta entonces con 
expresiones matemáticas que describen el comportamiento de la viga en función 
de la variable independiente x. Basta con elegir la ecuación adecuada al tipo de 
deformación que se desea calcular (giro o deflexión) en el rango adecuado (de 
acuerdo al valor de x) y sustituyendo tal valor obtener el resultado 
correspondiente. 
 Es frecuente que se requiera calcular el valor de la deflexión máxima (en 
términos absolutos) y para ello se aplican las técnicas del análisis de funciones 
 En el caso de vigas con apoyos simples, se requiere localizar el valor de x 
donde la derivada de la deflexión es nula, y con ese valor, calcular en la ecuación 
correspondiente el valor de la deflexión máxima. En el caso de vigas con 
empotramiento y voladizo, si las cargas actúan de acuerdo a la ley de la gravedad, 
el punto donde se presenta la deflexión máxima es el extremo libre del elemento. 
 
 
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO. 
Problema 1: Resolver la viga mostrada y determinar su deflexión máxima, si 
b=300mm, h=400mm y E=19000N/mm2. 
 
Solución: 
La viga es estáticamente indeterminada o hiperestática y determinamos su grado 
de indeterminación por la fórmula: 
G.I.  R 3 
Donde: 
R - número de reacciones en los apoyos. 
En este caso es: 
G.I.  6 3  3 
De esta manera la viga es tres veces hiperestática. 
Calculamos las reacciones de la viga, considerando su simetría y analizamos cada 
tramo. 
 
 
 
Para determinar C3 y C4, aplicamos el Principio de continuidad. 
 
Con la finalidad de determinar MA, será necesario plantear una condición 
adicional, tal como: 
 
Luego los diagramas finales serán los siguientes: 
 
 
 
Ahora determinamos el valor de la deflexión máxima: 
 
Reemplazamos E 19000N/mm 19.10 kN/m2 en la ecuación anterior y tenemos: 
 
La orientación de la flecha indica la dirección de la deflexión máxima y se 
producirá en el centro de la viga. 
 
Problema 2: Resolver la siguiente viga y calcular las deflexiones en los tramos AB 
y BC, donde surgen los momentos máximos. Considerar que EIAB 100000kN.m
2 y 
EIBC  200000kN.m
2. 
 
 
Solución: Determinamos su grado de indeterminación de la viga: 
G.I.  4 3 1 
En consecuencia, la viga es una vez hiperestática. Eliminamos el apoyo B y lo 
reemplazamos por su reacción. 
 
Ahora, calculamos las reacciones de los otros apoyos. 
 
Por facilidad de cálculo, en lo sucesivo consideraremos EIAB  EI1 y EIBC  EI2. 
Ahora, analizamos en forma consecutiva cada tramo de la viga. 
 
Posteriormente, aplicamos el Principio de continuidad entre el 1er y 2do tramo. 
 
Aplicamos la condición que la deflexión en el apoyo B es cero. 
 
De esta manera, las ecuaciones del 1er y 2do tramo quedarán así: 
1er TRAMO: 
 
2do TRAMO: 
 
Ahora analizamos el 3er tramo. 
 
Aplicamos una vez más el Principio de continuidad, pero esta vez entre el 2do y 
3er tramo. 
Considerando que se obtiene que C  264 1,6VB 
 
De donde: 
C6 12,8VB  2712 
De esta manera, las ecuaciones del 3er tramo serán: 
3er TRAMO: 
Además, por condición del apoyo C, se tendrá que: 
De donde: 
VB  215,9kN 
De esta forma, se podrán determinar las otras dos reacciones y graficar los 
diagramas correspondientes, tal como se muestra a continuación: 
 
Ahora, analizamos la deflexión en los puntos requeridos, es decir donde el 
momento flector es máximo en cada tramo. 
PUNTO D: 
 
PUNTO E: 
 
 
Problema 3: Resolver la siguiente viga y calcular su deflexión máxima. Considerar 
b  300mm, h  400mm y E 19000N/mm2. 
 
Solución: Determinamos su grado de indeterminación de la viga: 
G.I.  6 3  3 
En consecuencia, la viga es tres veces hiperestática. Luego, dividimos la viga en 
tramos y esquematizamos las direcciones de las reacciones y momentos. 
 
Ahora, analizamos cada tramo de la viga. 
 
Como: 
 
TRAMO II (4  x  8) 
 
Aplicamos el Principio de continuidad. 
 
De esta manera, las ecuaciones para el 1er y 2do tramo serán: 
1er TRAMO: 
 
2do TRAMO: 
 
 
Además, como el apoyo derecho es empotramiento, se tendrán dos condiciones 
adicionales: 
 
Resolvemos las ecuaciones (a) y (b) y obtenemos: 
VA  97,5kN 
MA 110kN.m 
En base a los resultados obtenidos, calculamos las otras reacciones y graficamos los 
diagramas de cortante, momento flector y refuerzo, tal como se muestra a continuación: 
 
 
 
Ahora, analizamos el punto donde la deflexión será máxima, para ello, en dicho 
punto la pendiente debe ser cero, pero no sucederá en los empotramientos, donde 
la deflexión es también cero. 
TRAMO I: 
La ecuación de la pendiente es: 
 
Resolvemos la ecuación y tenemos los siguientes resultados: 
x1  0 ; x2  3,55m ; x3  6,20m 
De estos tres resultados, se puede decir que en x1  0 se sabe que la pendiente y 
deflexión son ceros, por ser un empotramiento perfecto y en x3  6,20m es irreal, 
porque se encuentra fuera del tramo analizado, quedando como única alternativa 
x2  3,55m 
TRAMO II: 
Ecuación de la pendiente será: 
 
Resolvemos dicha ecuación y obtenemos: 
x1  8m x2  3,55m 
El valor de x1  8m coincide con el empotramiento del lado derecho y x2  3,55m 
se encuentra en el otro tramo, por ello, para el tramo analizado se descarta dicha 
respuesta. De esta manera, el único valor que se ajusta a la realidad es 3,55m en 
el 1er tramo y para dicho punto analizamos la deflexión, siendo máxima para toda 
la viga. 
 
Conclusiones: 
Se ha demostrado a través de métodos numéricos la existencia de soluciones .Por 
medio del método de la doble integración se pudo demostrar que al integrar la 
ecuación de la elástica nos dará como resultado la pendiente de dicha ecuación, 
evitando crear datos no existentes que generen el error. 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
Dr. Genner Villarreal Castro (2010): Resistencia de Materiales. 
Oscar M. González Cuevas (2002): Análisis Estructural. 
Jorge Eduardo Salazar Trujillo (2007): Resistencia de Materiales Básica para 
Estudiantes de Ingeniería,