Prueba 1

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Estructuras Algebraicas 1
Prueba 1
Viernes 21 de abril del 2023
1. (20 Puntos) Determine cual de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique
en cada caso.
a. El grupo aditivo Z8 es isomorfo al grupo aditivo Z2 × Z4
FALSO. La razón es que el grupo Z2×Z4 no es ćıclico, debido a que mcd(2, 4) = 2 6= 1,
mientras que Z8 es un grupo ćıclico.
b. Sea G un grupo y H, K subgrupos de G, entonces H ∩K es un subgrupo de G.
VERDADERO. En efecto, 1G ∈ H ∩K, por ser H y K ambos subgrupos de G, aśı
H ∩ K 6= φ. Por otra parte, dado x, y ∈ H ∩ K entonces x, y ∈ H y x, y ∈ K por lo
tanto, como ambos son subgrupos de G, xy−1 ∈ H y xy−1 ∈ K de donde se tiene que
xy−1 ∈ H ∩K. Esto prueba que H ∩K es un subgrupo de G.
c. El grupo de automorfismos de Z8 tiene órden 4
VERDADERO. En efecto, los generadores de Z8, como grupo ćıclico, son 1,3,5,7 y aśı
obtenemos cuatro automorfismos, esto son ψi : Z8 → Z8, i ∈ {1, 2, 3, 4}, isomorfismo de
grupos definidos por:
ψ1(1) = 1
ψ2(1) = 3
ψ3(1) = 5
ψ4(1) = 7
d. Si N es un subgrupo cualquiera de un grupo abeliano G entonces G�N es siempre un
grupo abeliano.
VERDADERO Como G es un grupo abeliano entonces N es un subgrupo normal de
G y por lo tanto G/N es un grupo.
El grupo G/N es claramente un grupo abeliano ya que, dados aN, bN ∈ G/N cuales-
quiera, se tiene:
aNbN = abN = baN = bNaN
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2. (15 Puntos) Sea H =
{(
1 0
x 1
)
: x ∈ R
}
subgrupo de SL2(R) y sea φ : (H, ·) → (R+, ·)
definida por, φ
(
1 0
x 1
)
= 2x.
a) Demuestre que φ es un homomorfismo.
Desarrollo: Sean A =
(
1 0
x 1
)
, B =
(
1 0
y 1
)
∈ H, entonces:
φ(AB) = φ
(
1 0
x+ y 1
)
= 2x+y = 2x · 2y = φ(A)φ(B)
Luego, φ es un homomorfismo.
b) Determine el kernel de φ. ¿Es φ inyectiva?
Desarrollo:
ker(φ) =
{(
1 0
x 1
)
∈ H : φ
(
1 0
x 1
)
= 1
}
=
{(
1 0
x 1
)
∈ H : 2x = 1
}
=
{(
1 0
x 1
)
∈ H : x = 0
}
= I2
φ es inyectiva.
c) Determine la imagen de φ. ¿Es φ sobreyectiva.?
Desarrollo:
Im(φ) =
{
φ
(
1 0
x 1
)
:
(
1 0
x 1
)
∈ H
}
= {2x : x ∈ R}
= R+
φ es sobreyectiva.
3. (15 pts.) Considere el grupo de los cuaterniones Q = {1,−1, i,−i, j,−j, k,−k} donde
i2 = j2 = k2 = −1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = −k, kj = −i y ik = −j.
a) Determine todos los subgrupos de orden 4.
Desarrollo: < i >=< −i >,< j >=< −j > y < k >=< −k > .
b) ¿Cuántos subgrupos de orden 2 tiene Q?.
Desarrollo: Existe un único subgrupo de orden 2, < −1 > .
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4. (10 Puntos) Pruebe que si N CG y H es cualquier subgrupo de G, entonces N ∩H CH
DEMOSTRACIÓN
Dado x ∈ N ∩H debemos probar que hxh−1 está en N ∩H para cualquier h ∈ H.
En efecto, como x ∈ N entonces hxh−1 está en N (por ser N CG y H ⊆ G) y como x ∈ H
entonces hxh−1 está en H (por ser H un subgrupo de G). Esto prueba que hxh−1 está en
N ∩H para todo h ∈ H.
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