Tarea 2

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Tarea 2
Estructuras Algebraicas - IMA 1302
Nombre: Diego Gárate Sanfuentes
Problema 1 Determine si la siguiente proposición es verdadera o falsa: Sea G un grupo multiplicativo.
La función • : G×G → G definida por g • x = xg es una acción.
Solución: Verifiquemos:
a) Consideremos eG ∈ G el elemento identidad de G. Note que
eG · x = xeG = x
b) Consideremos g1, g2 y x elementos arbitrarios de G. Notemos primeramente que
(g1g2) • x = x(g1g2)
Por otro lado, tenemos que:
g1 • (g2 • x) = g1 • (xg2) = (xg2)g1 = x(g2g1)
Esto último, al ser un grupo multiplicativo, la operación • es asociativa. Pero, la operación • no
es necesariamente conmutativa, por lo que a priori no se puede afirmar que g1g2 = g2g1. Luego,
no se cumple que
(g1g2) • x = g1 • (g2 • x)
Por lo tanto, no podemos afirmar que la función • : G×G → G definida en el enunciado sea una acción
de grupo. La proposición es falsa.
Problema 2 Considere el subgrupo G = ⟨(12) , (34)⟩ de S4 y el conjunto definido por
X =
{
(x, y) ∈ Z+ × Z+ : 1 ≤ x, y ≤ 4
}
Se define la acción • : G×X → X por σ • (x, y) = (σ (x) , σ (y)).
a) Determine los elementos de G
b) Determine los elementos de X
c) Determine el estabilizador de (2, 4)
d) Determine la órbita de (3, 3)
Solución:
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a) Consideremos las permutaciones generadas por ambos elementos combinando ambos ciclos, tenien-
do en cuenta que los elementos son ciclos disjuntos. Note que:
(12)1 = (12)
(34)1 = (34)
(12)2 = (34)2 = eG
(12) (34)
Luego, G = {eG, (12) , (34) , (12) (34)}
b) El conjunto X está definido como el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), donde x e y
son enteros positivos y 1 ≤ x, y ≤ 4. Podemos enumerar todos los elementos de X de la siguiente
manera:
X =
{
(1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) ,
(3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4)
}
c) Se tiene que:
StabG (2, 4) = {σ ∈ G : σ (2, 4) = (2, 4)}
= {σ ∈ G : σ (2, 4) = (σ (2) , σ (4))}
= {eG}
d) Note que:
Orb (3, 3) = {σ (3, 3) : σ ∈ G}
En ese sentido se tendrá que:
eG (3, 3) = (eG (3) , eG (3)) = (3, 3)
(12) (3, 3) = ((12) (3) , (12) (3)) = (3, 3)
(34) (3, 3) = ((34) (3) , (34) (3)) = (4, 4)
(12) (34) (3, 3) = ((12) (34) (3) , (12) (34) (3)) = (4, 4)
Luego, Orb (3, 3) = {(3, 3) , (4, 4)}
Problema 3 Considere la función • : Z× Z8 → Z8 definida por n • a = 2n+ a.
a) Demuestre que es una acción.
b) Determine todas las órbitas distintas.
Solución:
a) Note lo siguiente:
Consideremos 0 ∈ Z el elemento identidad de Z. Luego, se cumple que:
0 • a = 2 · 0 + a = 0 + a = a
Consideremos m,n ∈ Z. En ese sentido, se tiene que:
m • (n • a) = m • 2n+ a
= 2m+ 2n+ a
Por otro lado, se tiene que:
(m+ n) • a = 2 (m+ n) + a
= 2m+ 2n+ a
Luego, m • (n • a) = (m+ n) • a
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Por lo tanto, • es una acción.
b) Consideremos que:
n • 0 = n • 2 = n • 4 = n • 6 = 2j =
{
2, 4, 6, 0
}
n • 1 = n • 3 = n • 5 = n • 7 = 2j + 1 =
{
3, 5, 7, 1
}
Para j ∈ Z. Luego, hay dos órbitas distintas:
Orb
(
0
)
=
{
0, 2, 4, 6
}
Orb
(
1
)
=
{
1, 3, 5, 7
}
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