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Examen sustitutorio Estructuras algebraicas

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
Escuela Profesional de Matemática
Examen sustitutorio de Estructuras algebraicas I
1. Fundamentar la verdad o falsedad de cada una de las siguientes proposiciones: (5pts)
a) Si G es p-grupo y f : G→ H es homomorfismo, entonces H es p-grupo.
b) Si G es grupo, H es subgrupo normal de G que es p-grupo y G/H es p-grupo,
entonces G es p-grupo.
c) Todo grupo de orden par tiene un elemento a 6= e tal que a2 = e.
d) Todo grupo de orden par tiene un elemento a 6= e tal que a4 = e.
e) Todo grupo de orden 125 tiene como mı́nimo 4 subgrupos.
f) Todo grupo de orden 1681.
2. Sea R un acc1 y S ⊆ R tal que i) xy ∈ S ∀x, y ∈ S y ii) 1 ∈ S. Probar que la relación
∼, definida en R×S como (a, s) ∼ (b, t) si y solo si existe u ∈ S tal que u(ta−sb) = 0,
es una relación de equivalencia. (5pts)
3. Sea G un grupo de orden n ∈ N y fijemos k ∈ N tal que k y n no son coprimos. Probar
que f : G→ G definido como f(x) = xk no es inyectiva. ¿Es f homomorfismo? (5pts)
4. Denotemos U el conjunto de todos los números complejos de norma 1. Entender y
probar el isomorfismo de grupos U ' R/Z. (5pts)
Mg. Jorge Rojas O.
Callao, agosto del 2020

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