S04_PPT_EA_NEGOCIOS (2016-2)

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https://www.youtube.com/watch?v=By1J
QFxfLMM
https://www.youtube.com/watch?v=By1JQFxfLMM
¿Qué tipo de variable
es el tiempo de llegada
de los atletas?
¿El numero de atletas
en una competencia
será una variable
aleatoria continua?
¿Se podrá determinar la probabilidad
que un recién nacido tenga un peso
superior a 2800 y menor a 3500 gr. ?
¿Se podrá determinar la probabilidad
que la estatura de un jugador de
básquet, se encuentre entre 1.70 y
1.85?
CASO: En ourcampus
Usted trabaja como diseñador en el sitio web de OurCampus, un sitio de redes
sociales dirigido a estudiantes universitarios. Para atraer y conservar a los
visitantes del sitio, necesita asegurarse de que los videos diarios de contenido
exclusivo puedan descargarse y reproducirse con rapidez en el navegador del
usuarios. El tiempo de descarga, la cantidad de tiempo (en segundos) desde el
primer contacto con la página principal del sitio web hasta el momento en que el
primer video está listo para reproducirse, depende tanto de la tecnología de
transmisión multimedia como del número de usuarios simultáneos del sitio web.
Para verificar la rapidez de descarga de un video, abre un buscador de Internet en
una PC de las oficinas corporativas de OurCampus y mide el tiempo de descarga.
Datos anteriores indican que el tiempo medio de descarga es de 7 segundos y
que la desviación estándar es de 2 segundos. Aproximadamente dos terceras
partes de los tiempos de descarga varían entre 5 y 9 segundos, y alrededor de
95% de los tiempos de descarga varían entre 3 y 11 segundos. En otras palabras,
los tiempos de descarga se distribuyen en una curva en forma de campana, con
un agrupamiento de los datos alrededor de la media de 7 segundos. ¿De qué
manera podría utilizar esta información para responder preguntas acerca de los
tiempos de descarga del primer video?
ESTADISTICA APLICADA
Sesión N° 04
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 
CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL Y 
NORMAL ESTÁNDAR
LOGRO DE APRENDIZAJE
Al finalizar la sesión, el estudiante
estará en capacidad de calcular
probabilidades haciendo uso de
distribuciones de probabilidad para
una variable aleatoria continua,
específicamente de la distribución
normal y normal estándar.
8
Función de Distribución
Función Densidad
Variable Aleatoria ContinuaVariables Aleatorias Discretas
Función de Probabilidad
Hemos Visto Vamos a ver
   
b
a
dxxfbXaP 
 


1dxxf
 x-,0)( sixf j
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Función de Densidad
Se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las
probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso.
La función de Densidad f(x) tiene que
cumplir las siguientes condiciones:
La función de distribución es la aplicación FX (x) que asigna a cada 
valor x de la variable aleatoria continua X la probabilidad de que la 
variable tome valores menores o iguales que x:
 ( )
x
F X f t dt

 
La función de densidad de una V.A. determina la concentración de 
probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria 
continua
Interpretación gráfica de F
F(x) representa el área bajo la 
función de densidad desde –
hasta x.
Como consecuencia de la 
definición de F:
 P(X  a) = F(a)
 P(a  X  b) = F(b) – F(a)
 P(X  a) = 1 – F(a)
ESPERANZA MATEMATICA Y VARIANZA PARA V.A 
CONTINUA
Valor esperado o esperanza matemática (Media)
Varianza o varianza matemática
 22222 dxxf(x)f(x)x)(   dxXE Xx 
Sea X una V.A. con función de densidad:Ejemplo 3: Sea X una V.A. con función de densidad: 
 
( )f x  2(3 )a x x , Si 0 3x  
 0 , En otros caso 
a) Encuentre el valor de la constante a 
b) Calcular la probabilidad que X esté en el intervalo  1,2 
 
Solución: Todos los  xR 0,3 entonces: 
a) 
33 2 3
2
0 0
3x x 27 2
a( 3x x )dx a a 9 1 a
2 3 2 9
   
          
  
 
b)    
22 2 3
2
1 1
2 x 2x 13
P 1 x 2 3x x dx
9 3 27 17
 
       
 
 
EJEMPLO:
2
Ejemplo 4: Hallar la Esperanza Matemática y Varianza en el ejemplo 3 
a)    
33 3 2 3 3 4
2
0 0 0
2x 6 x 2x 2x x
E X 3x x dx dx 1.5
9 9 9 9 18
   
         
   
  
b)      
2 22
Var x E x E( x ) 2.7 1.5 0.45       
 
33 32 3 4 4 5
2 2
0 0 0
2x 6 x 2x x 2x
E X 3x x dx dx 2.7
9 9 9 6 45
   
            
   
  
Hallar la Esperanza Matemática y Varianza del ejemplo anterior:
EJEMPLO:
DISTRIBUCIÓN NORMAL Y NORMAL 
ESTÁNDAR
Introducción
Una de las herramientas de mayor uso en las
empresas es la utilización de la curva normal para
describir situaciones donde podemos recopilar
datos. Esto nos permite tomar decisiones que
vayan a la par con las metas y objetivos de la
organización
http://thumbs.dreamstime.com/z/histograma-de-distribución-normal-13721055.jpg
http://thumbs.dreamstime.com/z/histograma-de-distribución-normal-13721055.jpg
Distribución Normal
El resultado de Abrahan de Moivre fue ampliado
por Laplace en su libro teoría analítica de las
probabilidades (1812) La Distribución normal
fue presentada por primera vez por el francés
Abraham de Moivre en un artículo del año 1733.
Abraham de Moivre
( 1667- 1754)
Matemático Francés
16
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss realizó
estudios más a fondo donde formula la
ecuación de la curva conocida comúnmente
como Campana de Gauss".
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg
Función de densidad de la distribución Normal
Se dice que la variable aleatoria continua X, se distribuye normalmente con 
media µ y varianza σ2, si su función de densidad está dado por:
17
Gráfica de la Distribución Normal
18
Características de la Distribución Normal
• Es simétrica con respecto a su media µ como
muestra en el gráfico Nº 1 la curva hacia
cualquier de los lados de µ es una imagen de
espejo de la del otro lado.
19
• Es asintótica con respecto al eje X es decir, la curva no intercepta el eje X.
• Los valores de la media, mediana y la moda son iguales. 
• El área encerrada bajo la curva y por encima del eje X es igual a la
unidad, de aquí el área bajo la curva entre dos abscisas X = a y X =
b, donde a < b representa la probabilidad de que X se encuentre
entre a y b y se denota por P (a≤ X ≤ b).
Áreas Bajo la Curva Normal
 Aproximadamente 68.26% del área bajo la curva normal está esta dentro
de más menos una desviación estándar respecto de la media. Esto se
expresa como µ ± 1σ
 Aproximadamente 95.44% del área bajo la curva normal está dentro de
más menos dos desviaciones estándar respecto de la media. Esto se
expresa como µ ± 2σ
 Aproximadamente 99.7% del área bajo la curva normal está dentro de más
menos tres desviaciones estándar respecto de la media. Esto se expresa
como µ ± 3σ
20
Distribución Normal Estándar
Si se tiene una variable aleatoria X normal con media μ y varianza σ2
puede ser transformada a una variable aleatoria estandarizada Z, por la
siguiente transformación:
Con Media µz = 0 y varianzaσ
2
z = 1 
21
Función de densidad de la distribución Normal 
Estándar
Si Z es una variable que tiene una distribución normal, con media µ = 0 y σ 2 =1 
entonces a Z se llama variable normal estándar si su función de densidad es:
En este caso podemos denotar la distribución normal estándar por:
Se lee, Z tiene una distribución normal estándar con media cero y
varianza 1.
22
Características de la Distribución Normal Estándar
Es simétrica con respecto a su media µ
Es asintótica respeto a Z, es decir, la curva no intercepta el eje Z
El área bajo la curva normal es uno. 
La media, mediana y la moda son iguales a cero.
23
No depende de ningún parámetro.Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1. 
La curva f(x) es simétrica respecto del eje de Y 
Tiene un máximo en el eje de Y. 
Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1
El área bajo la curva normal estándar es útil para asignar
probabilidades de ocurrencia de la variable X.
Debemos tomar en cuenta que el área total bajo la curva es
igual a 1. Y que, por ser una gráfica simétrica, cada mitad
tiene un área de 0.5
Pasos para determinar el área bajo la 
curva normal estándar
Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interés.
Paso 2 - Determinar el valor Z
x
z




Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la 
probabilidad deseada
USO DE LA TABLA NORMAL ESTANDAR
P(Z  1.17) = 
Valor de Z=z 
Estandarizado: de un 
valor de -4 a 4
Probabilidad dada para 
un valor de Z 
estandarizado de la 
forma: P(Z  z)
26
Halle, en una distribución N(0, 1), las siguientes probabilidades:
 20, a) zp
    5793,02,02,0  zpzp
 271, b) zp
    1020,08980,0127,1127,1  zpzp
 031,520, c)  zp
      52,003,103,152,0 zpzpzp
          52,0103,152,003,1 zpzpzpzp
  5470,06985,018485,0 
Ejemplo
b) sea mayor que 12.29
27
Una embotelladora de gaseosas envasa
sus productos en latas cuyo contenido
neto sigue una distribución normal con
media igual 12 onzas y varianza 0.0625
(onzas)2 si se elige al azar una lata. Hallar
la probabilidad de que su contenido
a) Sea menor que 12.5 onzas
a. La probabilidad de que su contenido sea menor que 12.5 onzas.
Sea X: Contenido de las latas de Gaseosas.
μ = 12 onzas σ 2 = 0.0625 σ = 0.25 
nos piden :
P (X < 12.5) = P ( Z < 2) = 0.9772
Estandarizamos la variable X
12.5 12
2
0.25
X
Z
m
s
- -
= = = = 1- 0.8770
P(Z < 2)
Solución
b. La probabilidad de que su contenido sea mayor que 12.29 onzas.
Estandarizamos la variable X
Sea X: Contenido de las latas de Gaseosas.
nos piden :
P (X > 12.29) =
μ = 12 onzas σ 2 = 0.0625 σ = 0.25 
12.29 12
1.16
0.25
X
Z
m
s
- -
= = =
P( Z > 1.16) = 1- P(Z ≤ 1.16)
= 1- 0.8770
= 0.123
P(Z>1.16)
P(Z ≤ 1.16) P( Z > 1.16)
28
Usando la fórmula de la normal estandarizada:
Ejemplos:
¿Qué porcentaje de atletas de varios equipos de básquetbol tienen un
porcentaje de grasa mayor de 19, sabiendo que la media es de 16 con una
desviación estándar de 3.6?
X= 19, σ = 3.6, μ = 16, obtenemos: z= (19-16)/3.6, z= 0.8333
buscamos en la tabla y encontramos que el porcentaje de atletas con 
grasa corporal arriba de 19 es del 20.33%
La calificaciones de los 500 aspirantes presentados a un examen para
contratación laboral, se distribuye normalmente con media 7 y varianza de 4.
Encuentre:
a. La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más
b. El porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos
c. Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 8 puntos
Solución:
a) La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más P (X ≥ 8)
P ( X ≥ 8 ) = 1 - P ( X ≤ 8 ) = 1 – P ( Z ≤ 0.5) = 1 – 0.6915 = 0.3085
Tipificando :
5.0
2
78


z
Ver tabla y comprobar con 
Mega Stat.
7 8 ( X )
0 0.5 ( Z )
N ( 7; 2)
La probabilidad de que un aspirante obtenga 8 puntos o más es de 0.3085. 
b) El porcentaje de aspirantes con calificaciones inferiores o iguales a 5 puntos.
P ( X ≤ 5) = P ( Z ≤ -1) = 0.1587
Tipificando 
1
2
75


z
Ver tabla y comprobar con 
Mega Stat.
El porcentaje de aspirantes con
calificaciones inferiores o iguales a 5
puntos es de 15.87%
N ( 7; 2)
5 7 ( X)
-1 0 ( Z )
Solución:
1
2
75


z
Ver tabla y comprobar con 
Mega Stat.
5 7 8 ( X)
-1 0 0.5 ( Z )
c) Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre 5 y 8 puntos
P ( 5 ≤ X ≤ 8 ) = P ( X ≤ 8 ) - P ( X ≤ 5 ) = P ( Z ≤ 0.5 ) - P ( Z ≤ -1 ) = 
Tipificando 
5.0
2
78


z
P ( Z ≤ 0.5) - P ( Z ≤ -1) = 0.6914 – 0.1587
P ( Z ≤ 0.5) - P ( Z ≤ -1) =0.5328
N ( 7; 2)
Luego como nos piden cuantos aspirantes se encuentran en éste intervalo multiplicamos la
probabilidad por el total de aspirantes: 500 * 0.5328=266.40 aprox 267 aspirantes
Solución:
¿QUÉ HEMOS VISTO?
No existe la suerte. Sólo hay preparación adecuada o
inadecuada para hacer frente a una estadística.
Robert Heinlein
• Cómo calcular e interpretar las variables aleatorias 
continuas.
• Como calcular la función de densidad de una V.A. 
Continua.
• Como calcular e interpretar la función de 
distribución.
• Distribución de probabilidad continua: Normal y 
Normal Estandar.
• Características.
• Uso de tabla.
• Desarrollo de Ejercicios utilizando el Complemento 
de Excel Megastat.
1. Moya C. Rufino. Teoría de Probabilidad e inferencia 
estadística 519.5 MOYA
2. Milton, Susan. Probabilidad y estadística 519 MILT
Bibliografía
Ms. C. Juan Carlos Oruna Lara 33
Dr. Juan Carlos Oruna Lara