Problemas de calculo vectorial-20

Vista previa del material en texto

58 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial58 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial58 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
el origen. Fuera del origen la función admite derivadas parciales que son
continuas,
fx = 2x sen
1
x2 + y2
− 2x
x2 + y2
cos
1
x2 + y2
,
fy = 2y sen
1
x2 + y2
− 2y
x2 + y2
cos
1
x2 + y2
;
luego también es diferenciable.
2 2
REGLA DE LA CADENA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
� Verificar la regla de la cadena en cada caso para f ◦ c y c ◦ f :
387 f(x, y) = xy, c(t) = (et, cos t).
388 f(x, y) = exy, c(t) = (3t2, t3).
389 f(x, y) = xex
2+y2 , c(t) = (t,−t).
390 Sea f(x, y) = g(x+ 2y2) donde g es una función conocida de una variable.
Razonar si es correcta la siguiente igualdad:
∂f
∂y
− ∂f
∂x
= 0.
391 Dada la función f(x, y, z) =
∫ x2+y
x+z2
h(s) ds, donde h es una función
cualquiera de una variable, decidir y razonar si es cierto
2z
∂f
∂x
= 4xz
∂f
∂y
+
∂f
∂z
.
Solución 391:
Mediante la regla de la cadena y el teorema fundamental del Cálculo
encontramos que
∂f
∂x
= 2xh(x2 + y)− h(x+ z2),
∂f
∂y
= h(x2 + y),
∂f
∂z
= −2zh(x+ z2).
2.2 Regla de la cadena y derivadas de orden superior 59
Por lo tanto la expresión
2z
∂f
∂x
− 4xz ∂f
∂y
− ∂f
∂z
queda idénticamente igual a cero.
392 Sea f(x, t) = g(x− ct) + h(x+ ct) con c una constante y g y h funciones
de una variable. Probar que f satisface la ecuación de ondas:
∂2f
∂t2
= c2
∂2f
∂x2
.
393 Comprueba que la función
u(x, y) =
∫ x2y2
xy
g(t) dt
es solución de la ecuación xux − yuy = 0.
394 Sean las funciones:
f : R2 → R, f(x, y) = x
2y
x2 + y2
, f(0, 0) = 0,
g : R→ R, g(x) = x.
Se pide:
(a) Probar que existen
∂f
∂x
(0, 0) y
∂f
∂y
(0, 0) y valen cero.
(b) ¿Es f continua en (0, 0)?
(c) Se considera la función h : R → R, definida por h(x) = f(x, g(x)).
Calcular h′(0), directamente y mediante la regla de la cadena.
(d) Concluir del apartado anterior que f no es diferenciable en (0, 0).
Solución 394:
(a) Directamente de la definición se encuentra que
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= 0,
y lo mismo para la parcial respecto a y. Ambas son nulas.
60 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial60 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial60 Capı́tulo 2 Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
(b) La función f śı es continua en el origen pues
|xy| ≤ 1
2
(x2 + y2),
(véase el Ejercicio 275) y en consecuencia
0 ≤ |f(x, y)| ≤ 1
2
|x| → 0
si (x, y)→ (0, 0). El limite de f(x, y) cuando (x, y)→ (0, 0) es nulo,
y coincide con el valor de la función.
(c) Por sustitución directa encontramos que
h(x) =
x
2
,
de modo que h′(0) = 12 . Si usamos la regla de la cadena, tendremos
h′(x) =
∂f
∂x
(x, g(x)) +
∂f
∂y
(x, g(x))g′(x).
Cuando x = 0,
h′(0) =
∂f
∂x
(0, 0) +
∂f
∂y
(0, 0) = 0
por (a).
(d) La función f no puede ser diferenciable en el origen pues si lo fuera
los dos modos de calcular la derivada h′(0) del apartado anterior
debeŕıan haber coincidido.
395 Sea f : R3 → R diferenciable y g(ρ, θ, φ) = f(x, y, z), donde
x = ρ cos θ senφ, y = ρ sen θ senφ, z = ρ cosφ.
Calcular gρ, gθ y gφ y aplicarlo a la función f(x, y, z) = x
2 + y2 + z2.
� Escribir la regla de la cadena para cada caso
396 h(x, y) = f(x, u(x, y)), hx.
397 h(t) = f(t, u(t), v(t)), h′.
398 h(x, y, z) = f(u(x, y, z), v(x, y), w(x)), hx.
399 F(x, y) = (g1(h(x, xy, x
2), xy), g2(cos(x
2 + y2), sen(x2y))),
∂F1
∂x .
	Funciones de varias variables. Cálculo Diferencial
	Regla de la cadena y derivadas de orden superior