Herramientas algenbra lineal (24)

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70 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Luego la solución del sistema es:
X =

0
a− 2b+ c
4
0
c− a
2
1
a
7a+ 2b− 5c
4a
 .
— — —
17. Discutir, según los diferentes valores de a, b ∈ R, el sistema(
1 a
1 b
)
X =
(
0 1 0
0 0 1
)
y resolverlo en los casos en que sea compatible.
Solución:
(
1 a | 0 1 0
1 b | 0 0 1
)
∼
(
1 a | 0 1 0
0 b− a | 0 −1 1
)
el sistema es compatible si b− a 6= 0.
Supongamos pues, b− a 6= 0.
∼
(
1 a | 0 1 0
0 1 | 0 −1
b−a
1
b−a
)
∼
(
1 0 | 0 b
b−a
−a
b−a
0 1 | 0 −1
b−a
1
b−a
)
Luego la solución es :
X =
0 bb− a −ab− a
0
−1
b− a
1
b− a
 .
— — —
71
18. Consideremos las matrices de M2(R) siguientes:
A =
(
1 0
1 1
)
, B =
(
4 4
4 6
)
, C =
(
1 2
3 0
)
, D =
(
−2 9
6 6
)
Resolver el sistema:
X + AY = B
X + CY = D
}
Solución:
X + AY = B
X + CY = D
}
⇒
X + AY = B
(C − A)Y = D −B
}
la matriz C − A =
(
0 2
2 −1
)
es inversible por lo que Y = (C − A)−1(D − B) y
X = B − AY = B − A(C − A)−1(D −B).
Calculemos pues (C − A)−1(
0 2 | 1 0
2 −1 | 0 1
)
∼
(
2 −1 | 0 1
0 2 | 1 0
)
∼
(
2 −1 | 0 1
0 1 | 1
2
0
)
∼(
2 0 | 1
2
1
0 1 | 1
2
0
)
∼
(
1 0 | 1
4
1
0 1 | 1
2
0
)
.
Luego
X =
 92 11415
2
9
4
 , Y =
−12 54
−3 5
4
 .
— — —
19. Determinar la dimensión de los subespacios vectoriales de R4 siguientes:
F1 = [(1,−1, 0, 2), (1, 1,−1, 1), (0, 2,−1,−1), (1, 1, 3,−1)]
F2 = [(1, 1, 2,−1), (0, 1,−1, 2), (1, 2, 1, 1), (1, 1,−1, 0)]
F3 = [(1,−1, 0, 1), (1, 1,−1, 1), (0, 2,−1, 0), (1, 3,−2, 1)]
F4 = [(1, 1, 0,−1), (−2,−2, 1, 1), (3, 1, 2,−2), (2, 0, 1, 1)].
72 CAPÍTULO 3. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
Solución:
A =

1 1 0 1
−1 1 2 1
0 −1 −1 3
2 1 −1 −1
 ∼

1 1 0 1
0 2 2 2
0 −1 −1 3
0 −1 −1 −3
 ∼

1 1 0 1
0 2 2 2
0 0 0 4
0 0 0 −3
 ∼
∼

1 1 0 1
0 2 2 2
0 0 0 4
0 0 0 0
 ,
el rango de la matriz A es 3, luego dimF1 = 3.
B =

1 0 1 1
1 1 2 1
2 −1 1 −1
−1 2 1 0
 ∼

1 0 1 1
0 1 1 0
0 −1 −1 −3
0 2 2 1
 ∼

1 0 1 1
0 1 1 0
0 0 0 −3
0 0 0 1
 ∼
∼

1 0 1 1
0 1 −1 0
0 0 0 3
0 0 0 0
 ,
el rango de la matriz B es 3, luego dimF2 = 3.
C =

1 1 0 1
−1 1 2 3
0 −1 −1 −2
1 1 0 1
 ∼

1 1 0 1
0 2 2 4
0 −1 −1 −2
0 0 0 0
 ∼

1 1 0 1
0 1 1 2
0 0 0 0
0 0 0 0
 ,
el rango de la matriz C es 2, luego dimF3 = 2.