problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (28)

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1.11 Unión e intersección generalizadas
la unión respecto de la intersección).
5. Demostrar que para cualquier clase de conjuntos {Ai} y para cualquier
conjunto B se verifica B ∩ (∪iAi) = ∪i(B ∩ Ai) (propiedad distributiva de
la intersección respecto de la unión).
6. Demostrar que para cualquier clase de subconjuntos {Ai} de un universal
U , se verifica la ley de Morgan: (∪iAi)c = ∩iAci .
7. Demostrar que para cualquier clase de subconjuntos {Ai} de un universal
U se verifica la ley de Morgan: (∩iAi)c = ∪iAci .
Solución. 1. Los conjuntos que forman la familia indexada son Aa, Ae, Ai,
Ao y Au. Podemos escribir
∪jAj = Aa ∪Ae ∪Ai ∪Ao ∪Au ∩j Aj = Aa ∩Ae ∩Ai ∩Ao ∩Au.
2. Tenemos A1/3 = [0, 1/3] y A2/3 = [0, 2/3], por tanto
A1/3 ∪A2/3 = [0, 2/3] = A2/3 , A1/3 ∩A2/3 = [0, 1/3] = A1/3.
3. (i) Como 4 < 9, se verifica 1/9 < 1/4 y por tanto (0, 1/9) ⊂ (0, 1/4).
Esto implica por la definición de los Bn que B9 ⊂ B4, en consecuencia
B4 ∪B9 = B4.
(ii) Como 5 < 8, se verifica 1/8 < 1/5 y por tanto (0, 1/8) ⊂ (0, 1/5).
Esto implica por la definición de los Bn que B8 ⊂ B5, en consecuencia
B5 ∩B8 = B8.
(iii) Llamemos m = mı́n{s, t}. Entonces, 1/s ≤ 1/m y 1/t ≤ 1/m, lo cual
implica que Bs ⊂ Bm y Bt ⊂ Bm. Además, o bien s = m o bien t = m, es
decir Bs = Bm o Bt = Bm. En consecuencia, Bs ∪Bt = Bm.
(iv) Llamemos M = máx{s, t}. Entonces, 1/M ≤ 1/s y 1/M ≤ 1/t lo cual
implica que BM ⊂ Bs y BM ⊂ Bt. Además, o bien s = M o bien t = M , es
decir Bs = BM o Bt = BM . En consecuencia, Bs ∩Bt = BM .
(v) Llamemos a = mı́n{i : i ∈ A}. Entonces, 1/i ≤ 1/a y 1/i ≤ 1/a para
todo i ∈ A lo cual implica que Bi ⊂ Ba para todo i ∈ A. Además, Aa es uno
de los Ai. En consecuencia,
⋃
i∈A⊂N∗ Bi = Aa.
(vi) Si x ∈
⋂
i∈N∗ Bi, entonces x ∈ Bi para todo i ∈ N∗, es decir 0 < x < 1/i
para todo i ∈ N∗. Ahora bien, ĺımi→∞ 1/i = 0 con lo cual existe i0 ∈ N∗