problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (641)

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Caṕıtulo 16. Polinomios en una variable
la conjugada y f(x) seŕıa de grado 8. Concluimos que la única posible ráız
cuádruple de f(x) es x = 1. Entonces:
f(1) = 0
f ′(1) = 0
f ′′(1) = 0
f ′′′(1) = 0
⇔

1 +m+ 10 + n+ p = 0
6 + 4m+ 30 + n = 0
5 + 2m+ 10 = 0
10 + 2m+ 5 = 0.
Resolviendo el sistema anterior, obtenemos m = −15/2, n = −6, p = 5/2.
16.7. Polinomio de interpolación de Lagrange
1. Sean x0, x1, . . . , xn elementos distintos dos a dos de un cuerpo K. Sean
λ0, λ1, . . . , λn elementos de K. Demostrar que existe un único polinomio
p ∈ K[x] de grado ≤ n tal que
p(x0) = λ0, p(x1) = λ1, . . . , p(xn) = λn.
Al polinomio p se le llama polinomio de interpolación de Lagrange para los
puntos (xi, λi), i = 0,1, . . . , n.
2. Encontrar en R[x] el polinomio de interpolación de Lagrange para los
puntos (1, 3), (−1, 9), (3, 13).
3. Se considera la función f(x) = cos
πx
4
. Hallar el polinomio de menor grado
que toma los mismos valores que f en los puntos −2, −4/3, 0, 4/3, 2.
Solución. 1. Unicidad. Si existieran dos polinomios p, q ∈ K[x] de grado
≤ n cumpliendo p(xi) = λi y q(xi) = λi para todo i = 0,1, . . . , n, entonces
(p − q)(xi) = 0 para todo i = 0,1, . . . , n. Esto implicaŕıa que el polinomio
p− q que es de grado ≤ n tendŕıa más de n ráıces y esto sólo puede ocurrir
cuando p− q = 0, luego p = q.
Existencia. El polinomio
p(x) =
n∑
i=0
λi
(x− x0) . . . (x− xi−1)(x− xi+1) . . . (x− xn)
(xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)
es claramente de grado ≤ n y satisface p(xi) = λi para todo i = 0,1, . . . , n.
2. El polinomio de interpolación de Lagrange es en este caso
p(x) = λ0
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
+λ1
(x− x0)(x− x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
+λ2
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
	Polinomios en una variable
	Polinomio de interpolación de Lagrange