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Carlos Rafael Mascorro Gonzalez
Prepa en Línea SEP
19/01/2019
Concentración de CO2 en una función
1. Lee con detenimiento la siguiente situación:
El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera.
El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.
A continuación, se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.
Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último, se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:
Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:
f(t)=339.08e0.006t
2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1985.
Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 5:
Tenemos los siguientes valores designados:
T = 0 Este dato es nuestro valor para x1
Para x2 consideramos el tiempo transcurrido de 5 años.
Para obtener los valores en cuanto al cambio de concentración de CO2 en los mares de las fechas mencionadas utilizamos la siguiente formula:
Sabemos que:
f(x+x) = el resultado del dióxido de carbono de los 5 años transcurridos.
F (x) =339.08e0.006(t)
f’(x) dx es la derivada de la función.
Dx es el diferencial de los años (x2 – x1)
El resultado del diferencial de los años se obtiene sustituyendo los valores con los escritos con anterioridad esto queda de la siguiente manera:
Dx = X2 – x1
Dx = 5 – 0 
Dx = 5
Una vez obtenido estos datos procedo a sacar la derivada de la función original utilizando la siguiente formula:
F (x) = 339.08 e0.006t
F (x) = 339.08 (0.006) e 0.006t
F (x) = 2.0344 e 0.006 t
Posteriormente se aplica y desarrolla la unción para calcular el dióxido de carbono e 1980 a 1985 esto quedaría de la siguiente manera:
f(x+x) = 339.08 e0.006t + (2.0344 e0.006t)(5)
f(x+x) = 339.08 e0.006t + 10.172 e 0.006t
= 339.08 e0.006(0) + 10.172 e 0.006(0)
=339.08 (1) + 10.172 (1)
f(x+x) =349.252
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=339.08e0.006t, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 5.
y – y1 = f’(x1) (x – x1) y1 = f(x1)
1.b) Sustituimos x=0 para determinar y1 y en f(x)
F (x) = 339.08 e 0.006t
F (0) = 339.08 e 0.006(0)
 y1 = 339.08
F`(x) = 2.0344 e 0.006t
F`(x) = 2.0344 e 0.006 (0) = 2.0344
X1 = 0 y1 = 339.08 f`(x1) = 2.0344
Y – 339.08 = 2.0344 (x – 0)
Y – 339.08 = 2.0344 – 0 
Y = 2.0344x + 339.08
Y = 2.0344(5) + 339.08
Y = 349.252
c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?
Al comparar los resultados que se obtuvieron se encuentra que la derivada utilizada para la aproximación
del cambio CO 2 es correspondiente al valor de la pendiente de una recta. Por consiguiente, la pendiente
una recta es igual a la derivada.