TP4 Sistemas Lineales Homogéneos [7-12]

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TP4 Sistemas Lineales Homogéneos [7-12] 
 
Eigenvalores reales múltiples 
 Hallar la solución general de los siguientes SLH’s 
7) 
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3𝑥 − 𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 9𝑥 − 3𝑦
 
 La matriz del SLH es (
3 −1
9 −3
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 3 1
−9 𝜆 + 3
) = 0 ⇔ (𝜆 − 3)(𝜆 + 3) + 9 = 0 ⇔ 𝜆2 = 0 
 El eigenvalor es 0 (doble). 
 Eigenvectores asociados a 0: 
(
−3 1
−9 3
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
3 −1
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 3𝑘1 − 𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a 0 es (
1
3
). 
 Una solución particular del SHL asociada al eigenpar (0, (
1
3
)) es 
(
1
3
) 𝑒0𝑡 = (
1
3
) 
 Otra solución particular del SLH, linealmente independiente de esta, 
se obtiene usando el teorema 2 con 𝜆0 = 0, 𝐾0 = (
1
3
). 
 Hallamos 𝑃 = (
𝑝1
𝑝2
) que satisfaga 
(𝜆0𝐼 − 𝐴)𝑃 = −𝐾0 
(
−3 1
−9 3
) (
𝑝1
𝑝2
) = −(
1
3
) ⇔ (
−3 1
 0 0
) (
𝑝1
𝑝2
) = (
−1
 0
) 
 −3𝑝1 + 𝑝2 = −1 
 Una solución particular de la ecuación matricial es 𝑃 = (
1
2
). 
 La otra solución particular del SLH, linealmente independiente de la 
anterior, es 
(𝐾0𝑡 + 𝑃)𝑒
𝜆0𝑡 = [(
1
3
) 𝑡 + (
1
2
)] 𝑒0𝑡 = [(
1
3
) 𝑡 + (
1
2
)] 
 
 Luego, por el teorema 2, la solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
1
3
) + 𝑐2 [(
1
3
) 𝑡 + (
1
2
)] 
 
8) 
{
 
 
 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3𝑥 − 𝑦 − 𝑧
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
= 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 
 
 La matriz del SLH es (
3 −1 −1
1 1 −1
1 −1 1
). 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 3 1 1
−1 𝜆 − 1 1
−1 1 𝜆 − 1
) = 0 ⇔ 𝜆3 − 5𝜆2 + 8𝜆 − 4 = 0 
 Los eigenvalores son 2 (doble) y 1. 
 Eigenvectores asociados a 2: 
(
−1 1 1
−1 1 1
−1 1 1
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
−1 1 1
 0 0 0
 0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 −𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 = 0 
 Hay dos eigenvectores LI’s asociados a 2, e.g., (
1
1
0
) y (
1
0
1
). 
 Eigenvectores asociados a 1: 
 (
−2 1 1
−1 0 1
−1 1 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
2 −1 −1
0 1 −1
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 2𝑘1 − 𝑘2 − 𝑘3 = 0, 𝑘2 − 𝑘3 = 0 
 Un eigenvector asociado a 1 es (
1
1
1
). 
 Luego, por el teorema 1, la solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
1
1
0
)𝑒2𝑡 + 𝑐2 (
1
0
1
)𝑒2𝑡 + 𝑐3 (
1
1
1
)𝑒𝑡 
 
9) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
−1 3
−3 5
)𝑋 
 Eigenvalores: 
det (
𝜆 + 1 −3
3 𝜆 − 5
) = 0 ⇔ (𝜆 + 1)(𝜆 − 5) + 9 = 0 
 ⇔ 𝜆2 − 4𝜆 + 4 = 0 
 ⇔ (𝜆 − 2)2 = 0 
 Sólo un eigenvalor, 2 (doble). 
 Eigenvectores asociados a 2: 
(
3 −3
3 −3
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
1 −1
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 𝑘1 − 𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a 2 es (
1
1
). 
 Una solución particular del SLH asociada al eigenpar (2, (
1
1
)) es 
(
1
1
) 𝑒2𝑡 
 Otra solución particular del SLH, linealmente independiente de esta, 
se obtiene usando el teorema 2 con 𝜆0 = 2, 𝐾0 = (
1
1
). 
 Hallamos 𝑃 = (
𝑝1
𝑝2
) que satisfaga 
(𝜆0𝐼 − 𝐴)𝑃 = −𝐾0 
(
3 −3
3 −3
) (
𝑝1
𝑝2
) = −(
1
1
) ⇔ (
1 −1
0 0
) (
𝑝1
𝑝2
) = (
−1 3⁄
 0
) 
 ⇔ 𝑝1 − 𝑝2 = −1 3⁄ 
 Una solución particular de la ecuación matricial es 𝑃 = (
1 3⁄
2 3⁄
). 
 La otra solución particular del SLH, linealmente independiente de la 
anterior, es 
(𝐾0𝑡 + 𝑃)𝑒
𝜆0𝑡 = [(
1
1
) 𝑡 + (
1 3⁄
2 3⁄
)] 𝑒2𝑡 
 Luego, por el teorema 2, la solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
1
1
) 𝑒2𝑡 + 𝑐2 [(
1
1
) 𝑡 + (
1 3⁄
2 3⁄
)] 𝑒2𝑡 
 
10) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
5 −4 0
1 0 2
0 2 5
)𝑋 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 5 4 0
−1 𝜆 −2
 0 −2 λ − 5
) = 0 ⇔ 𝜆3 − 10𝜆2 + 25𝜆 = 0 
 ⇔ (𝜆2 − 10𝜆 + 25)𝜆 = 0 ⇔ (𝜆 − 5)2𝜆 = 0 
 Los eigenvalores son 5 (doble) y 0 (simple). 
 Eigenvectores asociados a 5: 
 (
 0 4 0
−1 5 −2
 0 −2 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 −5 2
0 1 0
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 − 5𝑘2 + 2𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a 5 es (
 2
 0
−1
). 
 Una solución particular del SLH asociada al eigenpar (5, (
 2
 0
−1
)) es 
(
 2
 0
−1
)𝑒5𝑡 
 Otra solución particular del SLH, linealmente independiente de esta, 
se obtiene usando el teorema 2 con 𝜆0 = 5, 𝐾0 = (
 2
 0
−1
). 
 Hallamos 𝑃 = (
𝑝1
𝑝2
𝑝3
) tal que 
(𝜆0𝐼 − 𝐴)𝑃 = −𝐾0 
(
 0 4 0
−1 5 −2
 0 −2 0
)(
𝑝1
𝑝2
𝑝3
) = −(
 2
 0
−1
) ⇔ (
1 −5 2
0 2 0
0 0 0
)(
𝑝1
𝑝2
𝑝3
) = (
 0
−1
 0
) 
 𝑝1 − 5𝑝2 + 2𝑝3 = 0, 2𝑝2 = −1 
 Una solución particular de la ecuación matricial es 𝑃 = (
 3/2
−1/2
−2
). 
 La otra solución particular del SLH, linealmente independiente de la 
anterior, es 
(𝐾0𝑡 + 𝑃)𝑒
𝜆0𝑡 = [(
 2
 0
−1
) 𝑡 + (
 3/2
−1/2
−2
)] 𝑒5𝑡 
 
 Eigenvectores asociados a 0: 
(
−5 4 0
−1 0 −2
 0 −2 −5
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
5 −4 0
0 2 5
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 5𝑘1 − 4𝑘2 = 0, 2𝑘2 + 5𝑘3 = 0 
 Un eigenvector asociado a 0 es (
 4
 5
−2
). 
 Una solución particular del SLH asociada al eigenpar (0, (
 4
 5
−2
)) es 
(
 4
 5
−2
)𝑒0𝑡 = (
 4
 5
−2
) 
 Luego, por el teorema 2, la solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
 2
 0
−1
) 𝑒5𝑡 + 𝑐2 [(
 2
 0
−1
) 𝑡 + (
 3/2
−1/2
−2
)] 𝑒5𝑡 + 𝑐3 (
 4
 5
−2
) 
 
 Resolver los siguientes PVI’s 
11) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
 2 4
−1 6
)𝑋, 𝑋(𝑡) = (
−1
 6
) 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
 𝜆 − 2 −4
1 𝜆 − 6
) = 0 ⇔ 𝜆2 − 8𝜆 + 16 = 0 
 El eigenvalor es 4 (doble). 
 Eigenvectores asociados a 4: 
(
2 −4
1 −2
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) ⇔ (
1 −2
0 0
) (
𝑘1
𝑘2
) = (
0
0
) 
 𝑘1 − 2𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a 4 es (
2
1
). 
 De acuerdo con el teorema 2, tomamos 𝜆0 = 4, 𝐾0 = (
2
1
) y hallamos 
𝑃 = (
𝑝1
𝑝2
) tal que 
(𝜆0𝐼 − 𝐴)𝑃 = −𝐾0 
(
2 −4
1 −2
) (
𝑝1
𝑝2
) = −(
2
1
) ⇔ (
1 −2
0 0
) (
𝑝1
𝑝2
) = (
−1
 0
) 
 ⇔ 𝑝1 − 2𝑝2 = −1 
 Una solución particular de la ecuación matricial es 𝑃 = (
1
1
). 
 Por lo tanto, de acuerdo al teorema 2, la solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
2
1
) 𝑒4𝑡 + 𝑐2 [(
2
1
) 𝑡 + (
1
1
)] 𝑒4𝑡 
 La solución del PVI es la solución particular del SLH que satisface 
condición inicial 𝑋(0) = (
−1
 6
), sus coeficientes 𝑐1, 𝑐2 están dados por 
𝑐1 (
2
1
) 𝑒4∙0 + 𝑐2 [(
2
1
) 0 + (
1
1
)] 𝑒4∙0 = (
−1
 6
) 
𝑐1 (
2
1
) + 𝑐2 (
1
1
) = (
−1
 6
) 
2𝑐1 + 𝑐2 = −1, 𝑐1 + 𝑐2 = 6 
 Luego, la solución del PVI es 
𝑋(𝑡) = −7(
2
1
) 𝑒4𝑡 + 13 [(
2
1
) 𝑡 + (
1
1
)] 𝑒4𝑡 
 
12) 
𝑑𝑋
𝑑𝑡
= (
0 0 1
0 1 0
1 0 0
)𝑋, 𝑋(0) = (
1
2
5
) 
 Eigenvalores: 
𝑑𝑒𝑡 (
 𝜆 0 −1
 0 𝜆 − 1 0
−1 0 𝜆
) = 0 
𝜆𝑑𝑒𝑡 (
𝜆 − 1 0
0 𝜆
) + (−1)𝑑𝑒𝑡 (
0 −1
𝜆 − 1 0
) = 0 
𝜆(𝜆 − 1)𝜆 − (𝜆 − 1) = 0 ⇔ (𝜆2 − 1)(𝜆 − 1) = 0 
 ⇔ (𝜆 − 1)2(𝜆 + 1) = 0 
 Los eigenvalores son 1 (doble) y −1 (simple). 
 Eigenvectores asociados a 1: 
(
 1 0 −1
 0 0 0
−1 0 1
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 0 −1
0 00
0 0 1
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
 𝑘1 − 𝑘3 = 0 
 Dos eigenvectores LI asociados a 1 son (
0
1
0
) , (
1
0
1
). 
 Eigenvectores a −1: 
(
−1 0 −1
 0 −2 0
−1 0 −1
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) ⇔ (
1 0 1
0 1 0
0 0 0
)(
𝑘1
𝑘2
𝑘3
) = (
0
0
0
) 
𝑘1 + 𝑘3 = 0, 𝑘2 = 0 
 Un eigenvector asociado a −1 es (
 1
 0
−1
). 
 Luego, por el teorema 1, la solución general del SLH es 
𝑋(𝑡) = 𝑐1 (
0
1
0
)𝑒𝑡 + 𝑐2 (
1
0
1
)𝑒𝑡 + 𝑐3 (
 1
 0
−1
)𝑒−𝑡 
 Obtenemos la solución del PVI. 
𝑐1 (
0
1
0
)𝑒0 + 𝑐2 (
1
0
1
)𝑒0 + 𝑐3 (
 1
 0
−1
)𝑒−0 = (
1
2
5
) 
𝑐1 (
0
1
0
) + 𝑐2 (
1
0
1
) + 𝑐3 (
 1
 0
−1
) = (
1
2
5
) 
(
0 1 1
1 0 0
0 1 −1
)(
𝑐1
𝑐2
𝑐3
) = (
1
2
5
) ⇔ (
1 0 0
0 1 1
0 0 1
)(
𝑐1
𝑐2
𝑐3
) = (
 2
 1
−2
) 
 𝑐1 = 2, 𝑐2 + 𝑐3 = 1, 𝑐3 = −2 ⇒ 𝑐1 = 2, 𝑐2 = 3, 𝑐3 = −2 
 Luego, la solución del PVI es 
𝑋(𝑡) = 2(
0
1
0
) 𝑒𝑡 + 3(
1
0
1
)𝑒𝑡 − 2(
 1
 0
−1
)𝑒−𝑡