CAP 8 _DCR

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CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
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DINÁMICA DEL CUERPO RÍGIDO. 
 
 
I. ECUACIONES UNIVERSALES. 
 
Las ecuaciones universales (también denominadas cardinales) para el Cuerpo Rígido 
(CR) son prácticamente las mismas que utilizamos para sistemas de partículas. Lo que 
tenemos que tener presente es que ahora nuestro sistema es un Cuerpo Rígido, por lo tanto 
lo que cambiará son las expresiones de cálculo de las magnitudes dinámicas derivadas que 
intervienen en las mismas: Cantidad de Movimiento; Cantidad de Movimiento Angular (o 
Momento Cinético, o Momento de la Cantidad de Movimiento), y Energía Cinética. Asimismo, 
por tratarse de un Sólido Rígido, donde todos los puntos que lo componen, cumplen la 
condición de rigidez, el trabajo de las fuerzas interiores es nulo. 
 
Entonces las expresiones de las ecuaciones universales o cardinales de la dinámica 
del cuerpo rígido, quedarán de la siguiente forma: 
 
• Para sistemas de referencia inerciales: 
 
{
 
 
 
 ∑�̅�𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 =
𝒅𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅
𝒅𝒕
+ 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ 
𝜹𝝉𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒅𝑻 
 
 
• Para ternas NO inerciales, las derivadas temporales de las dos primeras cambian, y 
nos queda: 
 
{
 
 
 
 ∑�̅�𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
+𝝎𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ 
∑�̅�𝑭𝒆𝒙𝒕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑶𝟏 =
𝒅𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅
𝒅𝒕
|
𝒓𝒆𝒍
+𝝎𝑻𝑴̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑲𝑪𝑹
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ ∧ 𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ 
𝜹𝝉𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒅𝑻 
 
 
 Dónde las dos derivadas que aparecen en las dos primeras ecuaciones se hacen en 
forma relativa (es decir, sin derivar los versores de la Terna de referencia (como si estuviera 
quieta), y en su lugar se agrega el término que sigue, que incluye el producto vectorial entre 
la velocidad angular de la terna móvil 𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ , y la magnitud cinemática que intento derivar. 
 
II. MAGNITUDES DINÁMICAS DERIVADAS PARA UN CR. 
 
a. Cantidad de Movimiento. 
 
 
Para un sistema de partículas, la cantidad de movimiento total del sistema era: 
 
𝑄𝑆̅̅̅̅ = ∑𝑚𝑖. 𝑣�̅� = 𝑀.𝑉𝐺̅̅ ̅
𝑖
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
 
En un Cuerpo Rígido (CR), tendremos tres cambios: 
 
• Suponemos un CR homogéneo, para simplificar, entonces la masa se puede 
calcular como el producto de la densidad ρ y el Volumen; 
• Podemos pasar de la sumatoria a la integral, extendida a todo el volumen: 𝑸𝑺̅̅ ̅̅ =
∫ 𝜌. 𝑣�̅�. 𝑑𝑉𝑜𝑙𝑉𝑜𝑙 
• Reemplazamos la 𝑣�̅� por su valor, conforme al Estado de Movimiento de un CR: 
𝑣�̅� = 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
Entonces, para un sólido rígido (o cuerpo rígido [CR]): 
 
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ 𝜌. [𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
Que se puede desdoblar en dos: 
 
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ 𝜌. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫ 𝜌. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑉𝑜𝑙
 
 
 
En la primera, 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ sale fuera de la integral y la integral extendida a todo el volumen del 
producto de la densidad por el diferencial de volumen, es la masa del cuerpo. En la segunda, 
con 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, que es la velocidad angular del Cuerpo Rígido, sucede lo mismo, y; la integral 
extendida a todo el volumen del cuerpo, del producto del diferencial de masa (densidad por 
diferencial de volumen) por el vector posición relativa de cada punto Pi del cuerpo hasta el 
punto O1, no es nada más y nada menos que igual a M.(G-O1). Entonces la anterior queda: 
 
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑀.𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ + 𝑀.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1) 
 
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑀. [𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1)] 
 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴.𝑽𝑮̅̅̅̅ 
 
Luego, la primera ecuación cardinal de la mecánica, la podemos escribir exactamente 
igual que para sistemas de partículas, con la diferencia que el vector cantidad de movimiento, 
ahora tiene una sola expresión de cálculo, que es la anterior. 
 
b. Momento Cinético: 
 
Para un Sistema de Partículas, 
 
𝐾𝑆
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ =∑(𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ 𝑚𝑖 . 𝑣�̅�
𝑖
 
Si tenemos en cuenta las tres consideraciones que ya hicimos para CR en el caso de 
Cantidad de Movimiento, y pasamos de la sumatoria a la integral extendida a todo el volumen: 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ [𝜌. (𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ 𝑣�̅�]. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
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Y reemplazamos 𝑣�̅�, por la expresión del Estado de Movimiento de un Cuerpo Rígido 
(𝑣�̅� = 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)), queda: 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = ∫ {𝜌. (𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ [𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]}. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
Volvemos a las sumatorias para facilitar el análisis, pero tenemos que tener presente 
que en realidad se tratan de integrales extendidas a todo el volumen del cuerpo: 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = ∑{(𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ 𝑚𝑖 . [𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]}
𝑖
 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ =∑{𝑚𝑖 . (𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅} +∑{𝑚𝑖 . (𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]}
𝑖𝑖
 
 
En la primer sumatoria 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ no depende de i, entonces la sumatoria se reduce a M.(G-
O1). La segunda se parece mucho a las sumatorias que habíamos analizado al estudiar los 
momentos de segundo orden en sistemas de partículas, excepto que ahora se incorpora 
también la velocidad angular. 
 
Para salvar esta situación, el camino más largo, pero más simple de “ver” es el de 
reemplazar los vectores (Pi-O1) y 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, por sus expresiones cartesianas: 
 
(𝑃𝑖 − 𝑂1) = 𝑥𝑖. 𝑖1̌ + 𝑦𝑖. 𝑗1̌ + 𝑧𝑖. �̌�1 
 
𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤𝑥. 𝑖1̌ +𝑤𝑦. 𝑗1̌ +𝑤𝑧. �̌�1 
 
Ahora resolvemos primero, el último producto vectorial (el que estaba entre corchetes: 
[𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]): 
 
𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1) = |
𝑖1̌ 𝑗1̌ �̌�1
𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝑤𝑧
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖
| 
 
𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1) = (𝑤𝑦. 𝑧𝑖 − 𝑤𝑧. 𝑦𝑖). 𝑖1̌ + (𝑤𝑧. 𝑥𝑖 − 𝑤𝑥. 𝑧𝑖). 𝑗1̌ + (𝑤𝑥. 𝑦𝑖 − 𝑤𝑦. 𝑥𝑖). �̌�1 
 
 Y ahora hacemos el segundo producto vectorial: 
 
(𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)] = 
 
(𝑥𝑖. 𝑖1̌ + 𝑦𝑖. 𝑗1̌ + 𝑧𝑖. �̌�1) ∧ [(𝑤𝑦. 𝑧𝑖 − 𝑤𝑧. 𝑦𝑖). 𝑖1̌ + (𝑤𝑧. 𝑥𝑖 − 𝑤𝑥. 𝑧𝑖). 𝑗1̌ + (𝑤𝑥. 𝑦𝑖 − 𝑤𝑦. 𝑥𝑖). �̌�1] 
 
= |
𝑖1̌ 𝑗1̌ �̌�1
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖
𝑤𝑦. 𝑧𝑖 − 𝑤𝑧. 𝑦𝑖 𝑤𝑧. 𝑥𝑖 − 𝑤𝑥. 𝑧𝑖 𝑤𝑥. 𝑦𝑖 − 𝑤𝑦. 𝑥𝑖
| = 
 
 
= [𝑦𝑖. (𝑤𝑥. 𝑦𝑖 − 𝑤𝑦. 𝑥𝑖) − 𝑧𝑖. (𝑤𝑧. 𝑥𝑖 − 𝑤𝑥. 𝑧𝑖)]. 𝑖1̌ + 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
+[𝑧𝑖. (𝑤𝑦. 𝑧𝑖 − 𝑤𝑧. 𝑦𝑖) − 𝑥𝑖. (𝑤𝑥. 𝑦𝑖 − 𝑤𝑦. 𝑥𝑖)]. 𝑗1̌ + 
+[𝑥𝑖. (𝑤𝑧. 𝑥𝑖 − 𝑤𝑥. 𝑧𝑖) − 𝑦𝑖. (𝑤𝑦. 𝑧𝑖 − 𝑤𝑧. 𝑦𝑖)]. �̌�1 = 
 
= (𝑦𝑖2. 𝑤𝑥 − 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦 − 𝑥𝑖. 𝑧𝑖𝑖𝑤𝑧 + 𝑧12. 𝑤𝑥). 𝑖1̌ + 
+(𝑧𝑖2. 𝑤𝑦 − 𝑦𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧 − 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑥 + 𝑥𝑖2. 𝑤𝑦). 𝑗1̌ + 
+(𝑥𝑖2. 𝑤𝑧 − 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑥 − 𝑦𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑦 + 𝑦𝑖2. 𝑤𝑧). �̌�1 = 
 
 = ((𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2). 𝑤𝑥 − 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦 − 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧). 𝑖1̌ + 
+(−𝑥𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑥 + [𝑥𝑖2 + 𝑧𝑖2]. 𝑤𝑦 − 𝑦𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧). 𝑗1̌ + 
+(−𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑥 − 𝑦𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑦 + [𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2]. 𝑤𝑧). �̌�1 = 
 
 Queda multiplicar por la masa y hacer la sumatoria. Si lo hacemos, vemos que nos 
quedan expresiones como: 
 
 ∑𝑚𝑖. (𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2)
𝑖
. 𝑤𝑥 = 𝐽𝑥𝑥. 𝑤𝑥 
 −∑𝑚𝑖. 𝑥𝑖. 𝑦𝑖
𝑖
. 𝑤𝑦 = 𝐽𝑥𝑦. 𝑤𝑦 
 −∑𝑚𝑖. 𝑥𝑖. 𝑧𝑖
𝑖
. 𝑤𝑧 = 𝐽𝑥𝑧. 𝑤𝑧 
 
Si volvemos a reemplazar las sumatorias por integrales, extendidas a todo el volumen 
del cuerpo y la masa por el producto de la densidad por el diferencial de volumen (ρ.dVol), 
tendremos la situación real para un cuerpo rígido: 
 
∫ [𝜌. (𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2). 𝑤𝑥]. 𝑑𝑉𝑜𝑙 = 𝐽𝑥𝑥 . 𝑤𝑥
𝑉𝑜𝑙
 
−∫ [𝜌. 𝑥𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦]. 𝑑𝑉𝑜𝑙 = 𝐽𝑥𝑦. 𝑤𝑦
𝑉𝑜𝑙
 
−∫ [𝜌. 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧]. 𝑑𝑉𝑜𝑙 = 𝐽𝑥𝑧. 𝑤𝑧
𝑉𝑜𝑙
 
 
Luego, esta componente del momento cinético se puede expresar como el producto 
de una matriz (matriz de inercia, por un vector, que es el vectorvelocidad angular. 
 
∑{𝑚𝑖 . (𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ [𝜔𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]}
𝑖
= 
 
= ∫ {𝜌. (𝑃𝑖 − 𝑂1) ∧ [𝜔𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃𝑖 − 𝑂1)]}. 𝑑𝑉𝑜𝑙 = 
𝑉𝑜𝑙
 
 
[
𝐽𝑥𝑥 −𝐽𝑥𝑦 −𝐽𝑥𝑧
−𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦𝑦 −𝐽𝑦𝑧
−𝐽𝑧𝑥 −𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧𝑧
] . {
𝜔𝑥
𝜔𝑦
𝜔𝑧
} 
 
Y el momento cinético total, será la suma de los dos términos: 
 
𝑲𝑺
𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. (𝑮 − 𝑶𝟏) ∧ 𝑽𝑶𝟏
̅̅ ̅̅ ̅ + [𝑱]. {
𝝎𝒙
𝝎𝒚
𝝎𝒛
} 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
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Hacemos hincapié en que el último término, en la expresión del momento cinético del 
CR, es un producto de una matriz (matriz de inercia del CR), por un vector columna que está 
formado por las componentes cartesianas del vector velocidad angular. No hay que incluir los 
versores a los términos del vector velocidad angular, porque si los incluimos, no da el resultado 
esperado. La forma matricial es sólo un arreglo conveniente para poder presentarlo de una 
manera más sencilla. 
 
En la expresión del momento cinético se distinguen claramente dos términos, el 
primero se conoce con el nombre de Momento Cinético de traslación, y; el segundo como 
momento cinético debido a la rotación. 
 
El de traslación, es fácil de ver que se anula cuando: 
 
• Se elige como como centro de momentos un punto fijo: (𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0) ; 
• G coincide con O1; o sea, se toma come como centro de momentos el Centro de 
Masa, y; 
• (G-O1) y el vector 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅, son paralelos. 
 
El segundo también es interesante y muestra que existe una relación lineal entre el 
momento cinético y la velocidad angular del cuerpo rígido. Esa constante de proporcionalidad 
es J, la matriz de inercia del cuerpo. 
 
Al final, en la parte de ejemplos, se pueden ver dos casos sencillos de aplicación para 
las dos primeras ecuaciones universales. 
 
 
c. Energía Cinética: 
 
Nuevamente, y para no discriminar, volvemos a partir de la Energía Cinética para los 
sistemas de partículas: 
 
𝑇𝑆 =∑
1
2
.𝑚𝑖. 𝑣�̅�
2
𝑖
 
 
Del teorema de König prescindimos, porque sólo es válido para los Sistemas de 
partículas, no tiene sentido en un cuerpo rígido, dado que las mismas condiciones 
geométricas de rigidez del sólido, plantean la inconsistencia de las velocidades relativas. 
 
Entonces, para pasar a la energía de un CR, aplicamos las tres o cuatro 
consideraciones que ya habíamos analizado cuando calculamos la cantidad de movimiento: 
a) Pasamos de las sumatorias a la integral extendida a todo el volumen; b) Reemplazamos la 
mi por un elemento de masa diferencial, expresado en términos de volumen (densidad por 
diferencial de volumen); Suponemos que el cuerpo es homogéneo para que la densidad no 
varíe con la posición en el cálculo de la integral, y; Reemplazamos la vi por el Estado de 
Velocidades del Sólido Rígido. 
 
Si cumplimos lo que decimos, queda: 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
𝑇𝐶𝑅 = ∫ {
1
2
. [𝑉𝑜1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
𝑇𝐶𝑅 = ∫
1
2
. 𝜌. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
2
. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
+∫ {
1
2
. 2. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫ {
1
2
. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙𝑉𝑜𝑙
 
 
 
 El primer término del segundo miembro es: 
 
∫
1
2
. 𝜌. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
2
. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
=
1
2
. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
2
. ∫ 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
∫
1
2
. 𝜌. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅
2
. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
=
𝟏
𝟐
.𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
= 𝑇 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 
 
En el segundo, se simplifican los “2” y luego: 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ ∫ {(𝑃 − 𝑂1). 𝜌}. 𝑑𝑉𝑜𝑙𝑉𝑜𝑙 ], 
donde la integral es el momento estático o de primero orden de la masa respecto del punto 
O1, y que sabemos que equivale a M.(G-O1). Entonces, el segundo término queda: 
 
 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑴. (𝑮 − 𝑶𝟏)] = 𝑇 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 
 
 Que representa la Energía cinética complementaria o compuesta, o también: Fuerza 
Viva Compuesta. 
 
 Este término de la energía se anula si la velocidad de traslación del punto elegido como 
centro de reducción, es nula; Se anula si la velocidad angular del sólido es nula; Si G coincide 
con O1, y; si la velocidad angular, o (G-O1) son paralelos al vector 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅. Ya que, en ese 
caso, 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1) es ┴ a 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅.y el producto escalar es nulo. 
 
 Y vamos con el último término, 
 
∫ {
1
2
. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
 Hacemos el primer producto vectorial: 
 
𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1) = |
𝑖1̌ 𝑗1̌ �̌�1
𝑤𝑥 𝑤𝑦 𝑤𝑧
𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑧𝑖
| = 
 
𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1) = (𝑧𝑖. 𝑤𝑦 − 𝑦𝑖. 𝑤𝑧). 𝑖1̌ + (𝑥𝑖.𝑤𝑧 − 𝑧𝑖.𝑤𝑥). 𝑗1̌ + (𝑦𝑖. 𝑤𝑥 − 𝑥𝑖. 𝑤𝑦). �̌�1 
 
 Y elevando al cuadrado: 
 
[𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2 = (𝑧𝑖2. 𝑤𝑦2 + 𝑦𝑖2. 𝑤𝑧2 − 2. 𝑧𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦. 𝑤𝑧) + 
 +(𝑥𝑖2. 𝑤𝑧2 + 𝑧𝑖2. 𝑤𝑥2 − 2. 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧.𝑤𝑥) + 
 +(𝑦𝑖2. 𝑤𝑥2 + 𝑥𝑖2. 𝑤𝑦2 − 2. 𝑦𝑖. 𝑥𝑖. 𝑤𝑥. 𝑤𝑦) 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
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 Y al introducir estos términos dentro de la integral extendida a todo el volumen, vemos 
que van a ir apareciendo los momentos de segundo orden respecto de los ejes X1, Y1, Z1: 
 
∫ {
1
2
. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
= ∫ {
1
2
[(𝑧𝑖2. 𝑤𝑦2 + 𝑦𝑖2. 𝑤𝑧2 − 2. 𝑧𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦. 𝑤𝑧)
𝑉𝑜𝑙
+ (𝑥𝑖2. 𝑤𝑧2 + 𝑧𝑖2. 𝑤𝑥2 − 2. 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧.𝑤𝑥) + (𝑦𝑖2. 𝑤𝑥2 + 𝑥𝑖2. 𝑤𝑦2
− 2. 𝑦𝑖. 𝑥𝑖. 𝑤𝑥. 𝑤𝑦)]. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙 
 
= ∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑧𝑖2. 𝑤𝑦2). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑦𝑖2. 𝑤𝑧2). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2
(−2. 𝑧𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦.𝑤𝑧). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
+ 
+∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑥𝑖2. 𝑤𝑧2). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑧𝑖2. 𝑤𝑥2). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2
(−2. 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧.𝑤𝑥). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
+ 
+∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑦𝑖2. 𝑤𝑥2). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑥𝑖2. 𝑤𝑦2). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2
(−2. 𝑦𝑖. 𝑥𝑖. 𝑤𝑥.𝑤𝑦). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
= 
 
 
 En total son 9 integrales, todas muy parecidas, y agrupándolas convenientemente 
conforme los colores que se han utilizado (las dos de rojo, que corresponden a la 5ta. y a la 
8va en orden consecutivo [previendo que no salgan los colores…]; los dos términos en verde 
entre sí, y; los dos azules), tendremos: 
 
= ∫
𝟏
𝟐𝑽𝒐𝒍
(𝒚𝒊𝟐 + 𝒛𝒊𝟐). 𝒘𝒙𝟐. 𝝆. 𝒅𝑽𝒐𝒍 + ∫
1
2
. (𝑥𝑖2 + 𝑧𝑖2). 𝑤𝑦2
𝑉𝑜𝑙
. 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2𝑉𝑜𝑙
(𝑥𝑖2
+ 𝑦𝑖2). 𝑤𝑧2. 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙 + ∫
1
2
(−2. 𝑧𝑖. 𝑦𝑖. 𝑤𝑦.𝑤𝑧). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
+∫
1
2
(−2. 𝑥𝑖. 𝑧𝑖. 𝑤𝑧. 𝑤𝑥). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
+∫
1
2
(−2. 𝑦𝑖. 𝑥𝑖. 𝑤𝑥.𝑤𝑦). 𝜌. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
= 
 
 Y esas integrales encierran dentro de sí a los momentos de segundo orden, tanto de 
inercia como centrífugos: 
 
= 
1
2
. 𝐽𝑥𝑥.𝑤𝑥
2 +
1
2
. 𝐽𝑦𝑦. 𝑤𝑦
2 +
1
2
. 𝐽𝑧𝑧. 𝑤𝑧
2 + 𝐽𝑥𝑦. 𝑤𝑥 .𝑤𝑦 + 𝐽𝑥𝑧.𝑤𝑥. 𝑤𝑧 + 𝐽𝑦𝑧.𝑤𝑦. 𝑤𝑧 
 
 Que se puede escribir de manera más sintética de varias maneras. Anotamos tres: 
 
∫ {
1
2
. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
=∑∑(
1
2
. 𝐽𝑖𝑗. 𝑤𝑖 . 𝑤𝑗)
𝑖𝑗
 
 =
1
2
. {�̅�𝐶𝑅}. [𝐽]. {�̅�𝐶𝑅} =
1
2
. {𝜔. �̌�}. [𝐽]. {𝜔. �̌�} 
 
 =
1
2
. �̅�𝐶𝑅
2 . 𝐽�̌�𝐶𝑅,�̌�𝐶𝑅 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
Hay que elegir una, y elegimos la última que es la más demostrativa desde el punto de 
vista físico. 
 
∫ {
1
2
. [𝜔𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝑃 − 𝑂1)]
2. 𝜌} . 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
=
𝟏
𝟐
.𝝎𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 Este tercer término representa claramente la Energía Cinética debida exclusivamente 
a la rotación del sólido rígido. Fíjense que aparece el cuadrado de la velocidad angular y el 
momento de inercia del cuerpo en la dirección del eje de rotación, 𝜔𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅. 
 
 La energía cinética total del Cuero Rígido, tiene en total, como máximo tres términos. 
La existencia de ellos dependerá del Estado de Movimiento del sólido(podemos verlo 
también, como que dependerá de si el cuerpo rota, se traslada, o si rototraslada) y del punto 
que se elija como Centro de Reducción para el cálculo de la Energía Cinética. 
 
𝑻𝑪𝑹 =
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏
̅̅ ̅̅ ̅𝟐 +𝑴. 𝑽𝑶𝟏
̅̅ ̅̅ ̅. [𝝎𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] +
𝟏
𝟐
.𝝎𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 El primero de ellos: 
1
2
. 𝑀. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
2
, representa como ya dijimos, la Energía Cinética de 
Traslación, y tendrá entidad siempre que el cuerpo: a) Se traslade, o; b) Se elija como centro 
de reducción, un punto ubicado fuera del eje central. 
 
 El segundo: 𝑀.𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1)], es la Energía Cinética Complementaria o Fuerza 
Viva Compuesta y es un término de energía que hay que adicionar cuando no se esté 
considerando la traslación desde el centro de masas y siempre que no se cumplan las dos 
restantes condiciones de nulidad: a) Que 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ u 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ sean nulas, o que; b) Alguno de los dos 
vectores: 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ o (G-O1) sean paralelos a 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅, porque entonces su producto vectorial será 
perpendicular a VO1 y el producto escalar nulo. La existencia de este término depende 
fundamentalmente del punto que se elija como centro de reducción. Si se elige G, desaparece. 
 
 El tercer y último término: 
1
2
. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌�, es la Energía Cinética de Rotación, y existirá 
siempre que el cuerpo rote. O sea, tanto en rotación pura, como en rototraslación, porque el 
vector 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, caracteriza al movimiento del cuerpo de manera única, por ser el Invariante 
Vectorial. Recordemos que de los cuatro parámetros que componen el Estado de Movimiento 
de un CR, �̅� es el Invariante Vectorial, y no depende del punto elegido como centro de 
reducción. 
 
 En la parte de ejemplos, los casos N° 3 y 4, están dedicados al cómputo de la energía 
cinética de un sólido rígido. 
 
 
III. EJEMPLOS 
 
 
Ejemplo N° 1: 
 
Retomamos el ejemplo utilizado para sistemas de partículas, con las dos masas 
concentradas y dispuestas en escuadra, que giran alrededor del vértice central de la escuadra, 
a velocidad angular w constante, sobre un plano horizontal liso (sin fricción). 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
9/31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordamos que el sistema, compuesto por las dos barras y las dos masas, estaba 
dispuesto en forma horizontal, apoyado sobre un plano liso (sin fricción) y que las dos barras 
(AB y AC), tienen longitudes l1 y l2 respectivamente, son infinitamente rígidas, pero 
(paradójicamente) las considerábamos desprovistas de masa. 
 
 Elegimos una terna móvil con origen O1 coincidente con A. La terna rota con velocidad 
angular w, por lo que queda anclada a la escuadra. Eje X1 coincidente con la barra AC; Eje 
Y1, coincidente y solidario a la barra AB. Eje Z1 perpendicular al plano de apoyo, saliente, y tal 
que �̌�1 = 𝑖1̌ ∧ 𝑗1̌ 
 
 El Estado de Movimiento de la Terna Móvil (EMTM) será: 
 
𝐸𝑀𝑇𝑀: {
𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅; 𝑎𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅
𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑤. �̌�1; 𝜀𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅ 
 
 
 El Estado de Velocidades de la Terna Móvil (EVTM): 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
 Y el Estado de Aceleraciones de la Terna Móvil (EATM): 
 
 
𝑎𝑃̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ [𝑤. �̌�1 ∧ (𝑃 − 𝑂1)] 
 
Primero explicitamos los vectores posición de cada partícula, expresados en función 
de nuestro sistema de referencia móvil: 
 
𝑟1̅̅ ̅ = (𝐵 − 𝑂1) = 𝑙1. 𝑗1̌, entonces, 𝑃1 = (0; 𝑙1; 0), y; 
 
𝑟2̅̅ ̅ = (𝐶 − 𝑂1) = 𝑙2. 𝑖1̌, entonces, 𝑃2 = (𝑙2 ; 0; 0) 
 
Vectores velocidad de cada partícula. Aprovechando que los Estado de Movimiento y 
de Velocidades del cuerpo (formado por dos masas puntuales, rígidamente vinculadas a 
través de la escuadra), es el mismo que el de la terna de referencia móvil, calculamos la 
velocidad de cada partícula a partir de la ecuación de Estado de Velocidades de la Terna Móvil 
(EVTM) ya explicitado: 
 
𝑉𝑃̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (𝑃 − 𝑂1) 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
𝑉𝑃1
̅̅ ̅̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (𝑃1 − 𝑂1) = 𝑤. �̌�1 ∧ 𝑙1. 𝑗1̌ = −𝑤. 𝑙1. 𝑖1̌ 
 
𝑉𝑃2
̅̅ ̅̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (𝑃2 − 𝑂1) = 𝑤. �̌�1 ∧ 𝑙2. 𝑖1̌ = 𝑤. 𝑙2. 𝑗1̌ 
 
Luego, la Cantidad de Movimiento, 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅, será: 
 
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑀.𝑉𝐺̅̅ ̅ 
 
Donde precisamos 𝑉𝐺̅̅ ̅, y para ello, la posición del centro de masas: 𝑟�̅�, y éste último 
será: 
 
𝑟�̅� = (𝐺 − 𝑂1) =
∑ 𝑚𝑖. 𝑟�̅�𝑖
∑ 𝑚𝑖𝑖
=
𝑚1. 𝑙1. 𝑗1̌ +𝑚2. 𝑙2. 𝑖1̌
𝑚1 +𝑚2
 
 
𝑟�̅� =
𝑚2. 𝑙2. 𝑖1̌ +𝑚1. 𝑙1. 𝑗1̌
𝑀
 
 
Y 𝑉𝐺̅̅ ̅ la encontramos como antes, a partir del conocimiento del Estado de Velocidades 
(𝑉𝑃̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (𝑃 − 𝑂1)), reemplazando las coordenadas del punto genérico “P”, por las de “G”: 
 
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (𝐺 − 𝑂1) 
 
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ (
𝑚2. 𝑙2. 𝑖1̌ +𝑚1. 𝑙1. 𝑗1̌
𝑀
) 
 
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝑤.
𝑚2. 𝑙2
𝑀
. 𝑗1̌ −𝑤.
𝑚1. 𝑙1
𝑀
. 𝑖1̌ 
Finalmente: 
𝑸𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑴. 𝑽𝑮̅̅̅̅ = 𝒘. (−𝒎𝟏. 𝒍𝟏. �̌�𝟏 +.𝒎𝟐. 𝒍𝟐. 𝒋�̌�) 
 
Calculamos la matriz de inercia respecto de la TR Móvil fija al cuerpo (O1; X1; Y1; Z1): 
 
[𝐽] =
[
 
 
 
 
 
 ∑(𝑦𝑖
2 + 𝑧𝑖
2).𝑚𝑖
𝑖
−∑𝑥𝑖 . 𝑦𝑖. 𝑚𝑖
𝑖
−∑𝑥𝑖 . 𝑧𝑖. 𝑚𝑖
𝑖
−∑𝑦𝑖. 𝑥𝑖 . 𝑚𝑖
𝑖
∑(𝑥𝑖
2 + 𝑧𝑖
2).𝑚𝑖
𝑖
−∑𝑦𝑖 . 𝑧𝑖. 𝑚𝑖
𝑖
−∑𝑧𝑖. 𝑥𝑖 . 𝑚𝑖
𝑖
−∑𝑧𝑖. 𝑦𝑖 . 𝑚𝑖
𝑖
∑(𝑥𝑖
2 + 𝑦𝑖
2).𝑚𝑖
𝑖 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reemplazando los valores de masa y posición para cada partícula: 
 
[𝐽]
= [
(𝑙1
2 + 02). 𝑚1 + (0
2 + 02).𝑚2 −(0. 𝑙1. 𝑚2 + 𝑙2. 0. 𝑚2) −(0.0.𝑚1 + 𝑙2. 0. 𝑚2)
−(𝑙1. 0. 𝑚2 + 0. 𝑙2. 𝑚2) (0
2 + 02). 𝑚1 + (𝑙2
2 + 02). 𝑚2 −(𝑙1. 0. 𝑚1 + 0.0.𝑚2)
−(0.0.𝑚1 + 0. 𝑙2. 𝑚2) −(0. 𝑙1. 𝑚1 + 0.0.𝑚2) (0
2 + 𝑙1
2).𝑚1 + (𝑙2
2 + 02).𝑚2
] 
 
En definitiva: 
[𝐽] = [
𝑙1
2. 𝑚1 0 0
0 𝑙2
2. 𝑚2 0
0 0 𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2
] 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
11/31 
 
 
 Y el Momento Cinético será: 
 
𝐾𝐶𝑅
𝐴̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑀. (𝐺 − 𝐴) ∧ 𝑉𝐴̅̅ ̅ + [𝐽]. {
𝑤𝑥
𝑤𝑦
𝑤𝑧
} 
 
 Si tomamos momentos respecto al punto A, que coincide con O1, su velocidad es nula, 
luego: 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑀. (𝐺 − 𝑂1) ∧ 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + [𝐽]. {
𝑤𝑥
𝑤𝑦
𝑤𝑧
} = 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑀. [(
𝑚2. 𝑙2
𝑀
. 𝑖1̌ +
𝑚1. 𝑙1
𝑀
. 𝑗1̌ + 0. �̌�1) − (0̅)] ∧ 0̅ + [
𝑙1
2. 𝑚1 0 0
0 𝑙2
2. 𝑚2 0
0 0 𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2
] . {
0
0
𝑤
} 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅ + (𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2). 𝑤. �̌�1 
 
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2). 𝑤. �̌�1 = (𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2). 𝑤. �̌�1 
 
 O sea, el término de traslación es nulo, y el de rotación tiene una sola componente (en 
la dirección de Z1), y es paralelo al vector �̅�. 
 
Ahora que conocemos las magnitudes dinámicas derivadas, los vectores: 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ y 𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅, 
intentaremos aplicar las Ecuaciones Universales para ternas no inerciales (ya que nuestro 
sistema de referencia es No Inercial). 
 
Primera Ecuación Universal para S.R.N.I.: 
 
∑�̅�𝑒𝑥𝑡 =
𝑑𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑡
|
𝑟𝑒𝑙
+𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Donde: 
 
{
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤. (−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +.𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌), 𝑦;
𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 
 
 
Luego: 
 
𝑑𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑡
|
𝑟𝑒𝑙
= 0̅ 
y 
 
𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1 ∧ [𝑤. (−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +.𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌)] 
 
𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = −𝑤
2. 𝑙2. 𝑚2. 𝑖1 −𝑤
2. 𝑙1. 𝑚1. 𝑗1 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
 En el primer término de la Ec. Universal, tenemos la sumatoria de las Fuerzas 
Exteriores. Si esbozamos un diagrama de cuerpo libre y ponemos en evidencia las reacciones, 
veremos que sobre cada partícula aparecen tres fuerzas: El Peso, la Normal (o reacción de la 
superficie de apoyo) y la tracción que pueda ejercer la barra. Pero esta última es una fuerza 
interior, porque también actúa del lado de los cojinetes. Por último el cojinete también ejerce 
una fuerza que es exterior para el sistema de las dos partículas más escuadra, que es la 
reacción de vínculo. Por lo tanto:∑�̅�𝑒𝑥𝑡 = 𝑃1̅̅̅̅ + 𝑁1̅̅ ̅̅ + 𝑃2̅̅̅̅ + 𝑁2̅̅ ̅̅ + �̅� 
 
 Y juntando los dos miembros: 
 
𝑃1̅̅̅̅ + 𝑁1̅̅ ̅̅ + 𝑃2̅̅̅̅ + 𝑁2̅̅ ̅̅ + �̅� = 0̅ + (−𝑤2. 𝑙2. 𝑚2. 𝑖1 − 𝑤
2. 𝑙1. 𝑚1. 𝑗1) 
 
 Proyectando las fuerzas en los ejes de la Terna Móvil: 
 
−𝑚1. 𝑔. �̌�1 +𝑁1. �̌�1 −𝑚2. 𝑔. �̌�1 +𝑁2. �̌�1 + 𝑅𝑥. 𝑖1̌ + 𝑅𝑦. 𝑗1̌ = −𝑤
2. 𝑙2. 𝑚2. 𝑖1̌ −𝑤
2. 𝑙1. 𝑚1. 𝑗1̌ 
 
 Y desacoplando en tres ecuaciones de proyección: 
 
{
𝐸𝑛 𝑖1̌) ∶ 𝑅𝑥 = −𝑤
2. 𝑙2. 𝑚2 (1) 
𝐸𝑛 𝑗1̌): 𝑅𝑦 = −𝑤
2. 𝑙1. 𝑚1 (2) 
𝐸𝑛 �̌�1) : − 𝑚1. 𝑔 + 𝑁1 −𝑚2. 𝑔 + 𝑁2 = 0 (3) 
 
 
Tenemos 3 ecuaciones con 4 incógnitas: Rx; Ry; N1, y; N2. 
 
Recurrimos a la segunda ecuación universal: 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑂1 =
𝑑𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑡
|
𝑟𝑒𝑙
+ 𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ 𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ ∧ 𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ 
 
Donde: 
 
{
𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2). 𝑤. �̌�1 ; 𝑤𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑤. �̌�1 
𝑄𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤. (−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +.𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌), 𝑦 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅ 
 
 
 Por su parte la derivada relativa del momento cinético, será: 
 
𝑑𝐾𝐶𝑅
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑡
|
𝑟𝑒𝑙
= 0̅ 
 
 Y en el primer miembro, del lado de los momentos de las Fuerzas exteriores, tomando 
momentos respecto de O1 (el centro de la escuadra y Origen de las ternas de referencia, tanto 
fija como móvil), tendremos: 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑂1 = 𝑀𝑃1
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑀𝑁1
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑀𝑃2
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑀𝑁2
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑀𝑅𝑥
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑀𝑅𝑦
𝑂1̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑂1 = 𝑚1. �̅� ∧ (𝑃1 − 𝑂1) + 𝑁1̅̅ ̅̅ ∧ (𝑃1 − 𝑂1) +𝑚2. �̅� ∧ (𝑃2 − 𝑂1) +⋯ 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
13/31 
 
 
 La reacción de vínculo, además (�̅�), no produce momento respeto de O1, porque pasa 
por él, entonces nos queda: 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝑂1 = −𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +𝑁1. 𝑙1. 𝑖1̌ +𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌ −𝑁2. 𝑙2. 𝑗1̌ 
 
Y reemplazando todo en la 2da. ECU para SRNI, queda: 
 
−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +𝑁1. 𝑙1. 𝑖1 + 𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌ −𝑁2. 𝑙2. 𝑗1̌
= 0̅ + 𝑤. �̌�1 ∧ [(𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2). 𝑤. �̌�1] + 0̅ ∧ [𝑤. (−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +.𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌)] 
 
O sea: 
 
−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ + 𝑁1. 𝑙1. �̌�1 +𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌ −𝑁2. 𝑙2. 𝑗1̌ = 𝑤. �̌�1 ∧ [(𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2). 𝑤. �̌�1] 
 
Y como el último producto vectorial es entre dos vectores paralelos, es nulo: 
 
−𝑚1. 𝑙1. 𝑖1̌ +𝑁1. 𝑙1. 𝑖1̌ +𝑚2. 𝑙2. 𝑗1̌ −𝑁2. 𝑙2. 𝑗1̌ = 0̅ 
 
Desacoplando la ecuación en tres ecuaciones escalares, según las direcciones de los 
versores de la terna móvil: 
 
{
𝐸𝑛 𝑖1̌) : − 𝑚1. 𝑔. 𝑙1 + 𝑁1. 𝑙1 (4) 
𝐸𝑛 𝑗1̌) : + 𝑚2. 𝑔. 𝑙2 − 𝑁2. 𝑙2 (5) 
𝐸𝑛 �̌�1): 0 = 0 (6) 
 
 
 Estas nuevas ecuaciones, junto a las ya vistas (1), (2), y (3), nos permiten, ahora sí, 
resolver el problema, que queda reducido a un sistema de 5 x 4 (5 ecuaciones con 4 
incógnitas. Nos sobra una ecuación). 
 
De (1), 𝑅𝑥 = −𝑤2. 𝑙2. 𝑚2; 
 
De (2), 𝑅𝑦 = −𝑤2. 𝑙1. 𝑚1; 
 
De (4), N1 = m1.g ; 
 
 De (5), N2 = m2.g 
 
 Incluso la (3), queda como para validar el resultado de la (4) y de la (5). 
 
 Los signos menos en las proyecciones de la reacción dinámica, indican que los 
sentidos asumidos durante el planteo del problema, que fueron todos positivos, son contrarios 
a los reales. 
 
Ejemplo N° 2. 
 
Un disco de masa M y radio R, dispuesto como se muestra en la figura, que gira con 
w1 constante, alrededor del eje AC, y; que a su vez rota con un w2, también constante, 
alrededor de su eje propio BG. El plano del disco es perpendicular a la barra BG. 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
Datos: 
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐿1, 
𝐵𝐺 = 𝐿2, 
 𝜔1 = 𝑐𝑡𝑒, 
𝑅 (𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜), 
𝑀 (𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜), 
𝐸𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑏𝑎𝑙𝑎𝑟: �̅�𝐸 = 0̅ 
𝐺 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜, 
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝐵𝐺. 
 
 
Adoptamos: 
{
 
 
 
 
 
 
𝑈𝑛𝑎 𝑇𝑀, 𝑐𝑜𝑛:
𝑂𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑓𝑖𝑗𝑜,
𝐺𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝜔1 
𝑂1 ≡ 𝐵; 
�̌�1 ≡ 𝐵𝐺; 
�̌�1 ≡ 𝐵𝐶; 
𝑗1̌ = �̌�1 ∧ �̌�1 
 
 
 
 
En la figura 1 vemos el planteo general del problema y en la figura 2, los sistemas de 
referencia adoptados. En azul, tenemos la Terna Fija (TF), o Sistema de Referencia Inercial 
(SRI), y; en rojo la Terna Móvil (TM ), o Sistema de Referencia No Inercial (SRNI). 
 
 La TF es un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal (O,X,Y,Z), con Origen “O” 
coincidente con B; eje X coincidente con la barra BG en el instante inicial (to); eje Z coincide 
con la dirección de la barra AC (con origen en O y apuntando a C), y; el eje Y, que queda 
determinado por el producto vectorial de los versores asociados a los otros dos ejes que han 
sido definidos previamente, y la regla de la mano derecha. 
 
La TM es un sistema de coordenadas cartesianas ortogonal móvil (O1, X1, Y1, Z1), con 
Origen “O1” coincidente con O (el origen de la TF, y con B, que está anclada al sistema de 
barras A,B,C, G, por lo que gira con velocidad constante 𝜔1 alrededor de la barra AC. La 
dirección y sentido del eje Z1 coincide con la dirección de Z todo el tiempo, y; las direcciones 
y orientaciones de sus ejes coincide con los de la terna fija, pero sólo en el instante inicial, ya 
que la TM está anclada al sistema de barras y esta gira con velocidad angular w1. Por lo tanto, 
en un instante de tiempo t cualquiera, los ejes X1,Y1 de la TM habrán girado con respecto a 
los ejes X, Y de la fija, un ángulo Ø que viene dado por la ley: 
 
𝜔1 =
𝑑∅
𝑑𝑡
⇒ 𝑑∅ = 𝜔1. 𝑑𝑡 ⇒ ∫ 𝑑∅
∅(𝑡)
∅𝑜=0
= ∫ 𝜔1. 𝑑𝑡 ⇒ ∅(𝑡) = 𝜔1. 𝑡
𝑡
𝑡𝑜=0
 
 
 Como el sistema de referencia que vamos a utilizar para expresar las magnitudes 
físicas que vayamos calculando, es el móvil, tenemos que definir su estado de movimiento, 
su estado de velocidades y su estado de aceleraciones: 
 
 Luego: 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
15/31 
 
𝐸𝑀𝑇𝑀: {
𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ = 0̅; 𝑎𝑂1̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅
𝜔𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝜔1. �̌�1; 𝜀𝑇𝑀̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅
 
 
a) Explicite para el disco el estado de movimiento, estado de velocidades y 
estado de aceleraciones; 
 
𝐸𝑀𝐷: {
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌; 𝑎𝐺̅̅ ̅ = −𝜔1
2. 𝐿2. �̌�1
𝜔𝐷̅̅ ̅̅ = 𝜔1. �̌�1 − 𝜔2. �̌�1; 𝜀𝐷̅̅ ̅ = −𝜔1. 𝜔2. 𝑗1̌
 
 
𝐸𝑉𝐷: �̅�𝑃 = 𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ + (𝜔1. �̌�1 − 𝜔2. �̌�1) ∧ (𝑃 − 𝐺) 
 
𝐸𝐴𝐷: �̅�𝑃 = −𝜔1
2. 𝐿2. 𝑖1̌ + (𝜔1. �̌�1 −𝜔2. �̌�1) ∧ [(𝜔1. �̌�1 −𝜔2. �̌�1) ∧ (𝑃 − 𝐺)] − 𝜔1. 𝜔2. 𝑗1̌
∧ (𝑃 − 𝐺) 
 
 
b) Sabiendo que no hay resbalamiento en E, encuentre 𝝎𝟐 a partir de 𝝎𝟏. 
 
Condición de no resbalamiento: �̅�𝐸 = 0̅ 
 
�̅�𝐸 = 𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ + (𝜔1. �̌�1 −𝜔2. �̌�1) ∧ (𝐸 − 𝐺) = 0̅ 
 
𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ + (𝜔1. �̌�1 −𝜔2. �̌�1) ∧ (−𝑅. �̌�1) = 0̅ 
 
𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ + (−𝜔2. �̌�1) ∧ (−𝑅. �̌�1) = 0̅ 
 
𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ −𝜔2. 𝑅. 𝑗1̌ = 0̅ 
 
𝜔1. 𝐿2 = 𝜔2. 𝑅 
 
𝝎𝟐 = 𝝎𝟏. 𝑳𝟐/𝑹 
Luego: 
 
�̅�𝑃 = 𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ + (𝜔1. �̌�1 −𝜔1.
𝐿2
𝑅
. �̌�1) ∧ (𝑃 − 𝐺) 
 
�̅�𝑃 = −𝜔1
2. 𝐿2. �̌�1 + (𝜔1. �̌�1 − 𝜔1.
𝐿2
𝑅
. �̌�1) ∧ [(𝜔1. �̌�1 −𝜔1.
𝐿2
𝑅
. �̌�1) ∧ (𝑃 − 𝐺)] − 𝜔1
2.
𝐿2
𝑅
. 𝑗1̌
∧ (𝑃 − 𝐺) 
 
 
c) Cantidad de Movimiento y Momento de la cantidad de movimiento del 
disco. 
 
�̅�𝐷 = 𝑀. �̅�𝐺 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
𝑉𝐺̅̅ ̅ = 𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌ 
Luego: 
 �̅�𝑫 = 𝑴.𝝎𝟏. 𝑳𝟐. �̌�𝟏 
 
 Para el momento cinético, o momento de la cantidad de movimiento: 
 
 𝐾𝑂1 = (𝐺 − 𝑂1) ∧ 𝑀. �̅�𝑂1 + (𝐼). {�̅�𝐶𝑅} 
 
 Si tomamos momentos respecto de G, el momento cinético de traslación se 
anulará: 
 
𝐾𝐺 = (𝐺 − 𝐺) ∧ 𝑀. �̅�𝐺 + (𝐼). �̅�𝐷 
 
𝐾𝐺 = 0̅ ∧ 𝑀. �̅�𝐺 +
(
 
 
 
1
2
.𝑀. 𝑅2 0 0
0
1
4
.𝑀. 𝑅2 0
0 0
1
4
.𝑀. 𝑅2)
 
 
 
.(
−𝜔1.
𝐿2
𝑅
𝑜
𝜔1
) 
 
Finalmente: 
�̅�𝑮 = −
𝟏
𝟐
.𝝎𝟏.𝑳𝟐. 𝑹.𝑴. �̌�𝟏 +
𝟏
𝟒
.𝑴.𝝎𝟏. 𝑹
𝟐. �̌�𝟏 
 
d) Reacciones de vínculo: 
 
 Nuestro sistema es el Disco con su sistema de 
barras, a las que consideramos rígidas pero 
desprovistas de masa. Hacemos entonces, un 
Diagrama de Cuerpo Libre (DCL), y ponemos en 
evidencia todas las fuerzas que actúan sobre el 
sistema, incluyendo las reacciones de vínculo de los 
cojinetes (ver figura 3). 
 
 En el diagrama se pueden ver las tres fuerzas 
que reemplazan al cojinete en A (cojinete de tercera 
especie) y las dos que reemplazan al de B (que era de 
segunda especie). También aparece la reacción en E. 
En total tenemos seis reacciones de vínculo, más la 
fuerza peso. 
 
 Luego: 
 
 
∑�̅�𝑒𝑥𝑡 = �̅�𝐴 + �̅�𝐵 + �̅� + 𝑁 
 
∑�̅�𝑒𝑥𝑡 = 𝑅𝐴𝑥. �̌�1 + 𝑅𝐴𝑦 . 𝑗1̌ + 𝑅𝐴𝑧. �̌�1 + 𝑅𝐵𝑥. �̌�1 + 𝑅𝐵𝑦. 𝑗1̌ −𝑀.𝑔. �̌�1 +𝑁. �̌�1 (𝑎) 
 
 Planteamos la primera ecuación universal para cuerpo rígido con terna móvil: 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
17/31 
 
 
∑�̅�𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�̅�𝐶𝑅
𝑑𝑡
⌋
𝑅𝑒𝑙
+ �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝐶𝑅 
 
Reemplazamos todo lo que ya hemos calculado: 
 
𝑅𝐴𝑥. �̌�1 + 𝑅𝐴𝑦 . 𝑗1̌ + 𝑅𝐴𝑧. �̌�1 + 𝑅𝐶𝑥. �̌�1 + 𝑅𝐶𝑦 . 𝑗1̌ −𝑀. 𝑔. �̌�1 +𝑁. �̌�1
=
𝑑(𝑀.𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌)
𝑑𝑡
⌋
𝑅𝑒𝑙
+ 𝜔1. �̌�1 ∧ (𝑀.𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌) 
 
Operamos: 
 
𝑅𝐴𝑥 . �̌�1 + 𝑅𝐴𝑦 . 𝑗1̌ + 𝑅𝐴𝑧. �̌�1 + 𝑅𝐶𝑥. �̌�1 + 𝑅𝐶𝑦. 𝑗1̌ −𝑀.𝑔. �̌�1 +𝑁. �̌�1 = 0̅ −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑖1̌ 
 
Descomponemos en tres ecuaciones escalares: 
 
{
�̌�1) 𝑅𝐴𝑥 +𝑅𝐶𝑥 = −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 (𝟏)
�̌�
1
) 𝑅𝐴𝑦 +𝑅𝐶𝑦 = 0 (𝟐)
�̌�1) 𝑅𝐴𝑧 −𝑀.𝑔 +𝑁 = 0 (𝟑)
 
 
 Las ecuaciones no son concluyentes ya que nos queda un sistema de 3 ecuaciones 
con 6 incógnitas. 
 
 Recurrimos entonces a la segunda ecuación universal para CR con TM: 
 
∑�̅��̅�𝑒𝑥𝑡
𝑂1 =
𝑑𝐾𝐶𝑅
𝑂1
𝑑𝑡
⌋
𝑅𝑒𝑙
+ �̅�𝑇𝑀 ∧ 𝐾𝐶𝑅
𝑂1 + �̅�𝑂1 ∧ �̅�𝐶𝑅 
 
Si tomamos momentos respecto de G, para el primer miembro, los momentos de las 
fuerzas exteriores, tendremos: 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐺 = �̅��̅�𝐴
𝐺 + �̅��̅�𝐶
𝐺 + �̅��̅�
𝐺 + �̅��̅�
𝐺 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐺 = (𝐴 − 𝐺) ∧ �̅�𝐴 +⋯+ (𝐺 − 𝐺) ∧ �̅� 
 
∑�̅�𝐹𝑒𝑥𝑡̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐵 = −𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐴𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐴𝑦 . �̌�1 + 𝐿2. 𝑅𝐴𝑧 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥. 𝑗1̌ − 𝐿1. 𝑅𝐶𝑦 . 𝑖1̌
− 𝐿2. 𝑅𝐶𝑦 . �̌�1 
 
 Reemplazamos todo en la segunda EU: 
 
−𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐴𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐴𝑦 . �̌�1 + 𝐿2. 𝑅𝐴𝑧 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 . 𝑗1̌ − 𝐿1. 𝑅𝐶𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐶𝑦 . �̌�1
=
𝑑�̅�𝐶𝑅
𝐺
𝑑𝑡
⌋
𝑅𝑒𝑙
+ �̅�𝑇𝑀 ∧ �̅�𝐶𝑅
𝐺
+ �̅�𝐺 ∧ �̅�𝐶𝑅 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
 
−𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐴𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐴𝑦 . �̌�1 + 𝐿2. 𝑅𝐴𝑧 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 . 𝑗1̌ − 𝐿1. 𝑅𝐶𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐶𝑦 . �̌�1
=
𝑑 (−
1
2 .𝜔1. 𝐿2. 𝑅.𝑀. �̌�1 +
1
4 .𝑀.𝜔1. 𝑅
2. �̌�1)
𝑑𝑡
⌋
𝑅𝑒𝑙
+𝜔1. �̌�1
∧ (−
1
2
.𝜔1. 𝐿2. 𝑅.𝑀. �̌�1 +
1
4
.𝑀.𝜔1. 𝑅
2. �̌�1)+𝜔1. 𝐿2. �̌�1 ∧𝑀.𝜔1. 𝐿2. �̌�1 
 
 Derivando y operando: 
 
−𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐴𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐴𝑦 . �̌�1 + 𝐿2. 𝑅𝐴𝑧 . 𝑗1̌ + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 . 𝑗1̌ − 𝐿1. 𝑅𝐶𝑦 . 𝑖1̌ − 𝐿2. 𝑅𝐶𝑦 . �̌�1
= 0̅ −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀. �̌�1 + 0̅ 
 
 Y separando en tres ecuaciones escalares: 
 
{
 
 
 
 �̌�1) 𝐿1. 𝑅𝐴𝑦 − 𝐿1. 𝑅𝐶𝑦 = 0 
�̌�
1
) − 𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 + 𝐿2. 𝑅𝐴𝑧 + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 = −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀 
�̌�1) 𝐿2. 𝑅𝐴𝑦 − 𝐿2. 𝑅𝐶𝑦 = 0 
 
 
{
 
 
 
 �̌�1) 𝑅𝐴𝑦 − 𝑅𝐶𝑦 = 0 (𝟒)
�̌�
1
) − 𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 + 𝐿2. 𝑅𝐴𝑧 + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 = −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀 (𝟓)
�̌�1) 𝑅𝐴𝑦 − 𝑅𝐶𝑦 = 0 (𝟔)
 
 
 Juntando las ecuaciones (4) y (6), son equivalentes, o sea redundantes, por lo que 
consideramos una sola de las dos. 
 
 De la (3) y la (5), vamos a descartar la 𝑅𝐴𝑧 ya que necesariamente debe ser nula porque 
el peso del disco está equilibrado por la normal. Considerar 𝑅𝐴𝑧 sólo nos incrementa el número 
de incógnitas en forma innecesaria. 
 
 Teniendo en cuenta lo anterior, nos queda: 
 
{
 
 
 
 
𝑅𝐴𝑥 +𝑅𝐶𝑥 = −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 (𝒂)
𝑅𝐴𝑦 +𝑅𝐶𝑦 = 0 (𝒃)
𝑅𝐴𝑦 − 𝑅𝐶𝑦 = 0 (𝒄)
−𝐿1. 𝑅𝐴𝑥 + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 = −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀 (𝒅)
 
 
 La (b) y la (c), nos dicen que: 
 
𝑅𝐴𝑦 = 𝑅𝐶𝑦 = 0 
 
 De (a); 
 
𝑅𝐴𝑥 = −𝑅𝐶𝑥 −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
19/31 
 
 Reemplazando en (d): 
−𝐿1. (−𝑅𝐶𝑥 −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2) + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 = −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀 
 
𝐿1.𝑅𝐶𝑥 +𝑀.𝜔1
2. 𝐿1. 𝐿2 + 𝐿1. 𝑅𝐶𝑥 = −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀 
 
2. 𝐿1.𝑅𝐶𝑥 = −
1
2
.𝜔1
2. 𝐿2. 𝑅.𝑀 −𝑀.𝜔1
2.𝐿1. 𝐿2 
 
 𝑹𝑪𝒙 = −
𝟏
𝟒
.𝝎𝟏
𝟐.
𝑳𝟐
𝑳𝟏
. 𝑹.𝑴 −
𝟏
𝟐
.𝑴.𝝎𝟏
𝟐. 𝑳𝟐 
 
Y luego: 
 
𝑅𝐴𝑥 = −(−
1
4
.𝜔1
2.
𝐿2
𝐿1
. 𝑅.𝑀 −
1
2
.𝑀. 𝜔1
2. 𝐿2) −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 
 
𝑅𝐴𝑥 =
1
4
.𝜔1
2.
𝐿2
𝐿1
. 𝑅.𝑀 +
1
2
.𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 −𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 
 
 𝑹𝑨𝒙 =
𝟏
𝟒
.𝝎𝟏
𝟐.
𝑳𝟐
𝑳𝟏
. 𝑹.𝑴 −
𝟏
𝟐
.𝑴.𝝎𝟏
𝟐. 𝑳𝟐 
 
Interpretación física: 
 
 Vemos que las reacciones son únicamente en x. El término −
1
2
. 𝑀.𝜔1
2. 𝐿2 es el 
mismo en ambos vínculos, y evidentemente está equilibrando a la pseudofuerza 
centrífuga que genera la masa M del disco girando con 𝜔1, alrededor de la barra AC. 
El primer término, 
1
4
. 𝜔1
2.
𝐿2
𝐿1
. 𝑅.𝑀 es negativo en x para el apoyo en C y positivo para 
A. Evidentemente constituye un par: (
1
4
. 𝜔1
2.
𝐿2
𝐿1
. 𝑅.𝑀) . (2. 𝐿1), equivalente al que 
genera la variación del momento de la cantidad de movimiento, que se conoce con el 
nombre de par de precesión. 
 
e) Energía cinética del disco. 
 
La expresión general de la EC de un CR es: 
 
𝑻𝑪𝑹−𝑶𝟏 =
𝟏
𝟐
.𝑴. 𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅
𝟐
+𝑴.𝑽𝑶𝟏̅̅ ̅̅ ̅. [𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅ ∧ (𝑮 − 𝑶𝟏)] +
𝟏
𝟐
. 𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� 
 
 
i. Si tomamos como referencia el punto G, tendremos: 
 
𝑇𝐶𝑅 =
1
2
.𝑀. 𝑉𝐺̅̅ ̅
2
+𝑀. 𝑉𝐺̅̅ ̅. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝐺)] +
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
 
𝑇𝐶𝑅 =
1
2
.𝑀. 𝑉𝐺̅̅ ̅
2
+ 0̅ +
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� 
 
 El último término, EC de rotación, se puede calcular como 
 
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� =
1
2
. (𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅). (𝐽). (𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅) 
 
 Donde el primer vector 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ se escribe como vector fila y el último como vector 
columna: 
 
1
2
. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� =
1
2
. (−𝜔1.
𝐿2
𝑅
, 0, 𝜔1) .
(
 
 
 
1
2
.𝑀. 𝑅2 0 0
0
1
4
.𝑀. 𝑅2 0
0 0
1
4
.𝑀. 𝑅2)
 
 
 
.(
−𝜔1.
𝐿2
𝑅
𝑜
𝜔1
) 
 
1
2
. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� =
1
2
. (−𝜔1.
𝐿2
𝑅
, 0, 𝜔1) .
(
 
 
−
1
2
.𝜔1. 𝐿2. 𝑅. 𝑀
0
1
4
.𝜔1. 𝑅
2. 𝑀
)
 
 
=
1
4
.𝜔1
2. 𝐿2
2. 𝑀 +
1
8
. 𝜔1
2. 𝑅2. 𝑀 
 
 
 Por su parte, la EC de traslación será: 
 
𝑇𝐶𝑅,𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
1
2
.𝑀. 𝑉𝐺̅̅ ̅
2
=
1
2
.𝑀. (𝜔1. 𝐿2. 𝑗1̌)
2 =
1
2
.𝑀.𝜔1
2. 𝐿2
2 
 
 Sumando las dos: 
 
𝑇𝐶𝑅 =
1
2
.𝑀.𝜔1
2. 𝐿2
2 +
1
4
.𝜔1
2. 𝐿2
2. 𝑀 +
1
8
.𝜔1
2. 𝑅2. 𝑀 
 
 𝑻𝑪𝑹,𝑮 =
𝟑
𝟒
.𝝎𝟏
𝟐. 𝑳𝟐
𝟐.𝑴 +
𝟏
𝟖
.𝝎𝟏
𝟐. 𝑹𝟐.𝑴 
 
 
ii. Si tomamos como referencia el punto O1, tendremos: 
 
𝑇𝐶𝑅−𝑂1 =
1
2
.𝑀. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅
2
+𝑀. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1)] +
1
2
. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� 
 
 
 Como 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅ = 0̅, entonces: 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
21/31 
 
 
𝑇𝐶𝑅 = 0̅ + 0̅ +
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� 
 
 El último término, EC de rotación, se puede calcular como 
 
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� =
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅. (𝐽). 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 Donde el primer vector 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ se escribe como vector fila y el último como vector 
columna, yla matriz de inercia hay que trasladarla o reducirla al punto O1: 
 
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌�
=
1
2
. (−𝜔1.
𝐿2
𝑅
; 0; 𝜔1) .
(
 
 
 
1
2
.𝑀. 𝑅2 0 0
0
1
4
.𝑀. 𝑅2 +𝑀. 𝐿2
2 0
0 0
1
4
.𝑀. 𝑅2 +𝑀. 𝐿2
2
)
 
 
 
.(
−𝜔1.
𝐿2
𝑅
𝑜
𝜔1
) 
 
1
2
. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� =
1
2
. (−𝜔1.
𝐿2
𝑅
, 0, 𝜔1) .
(
 
 
−
1
2
.𝜔1. 𝐿2. 𝑅. 𝑀
0
1
4
. 𝜔1. 𝑅
2. 𝑀 + 𝑀. 𝐿2
2 . 𝜔1)
 
 
 
 
1
2
.𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� =
1
4
.𝜔1
2. 𝐿2
2. 𝑀 +
1
8
.𝜔1
2. 𝑅2. 𝑀 +
1
2
. 𝜔1
2. 𝐿2
2. 𝑀 
 
 Entonces: 
𝑻𝑪𝑹,𝑶𝟏 =
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� =
𝟑
𝟒
.𝝎𝟏
𝟐. 𝑳𝟐
𝟐.𝑴 +
𝟏
𝟖
.𝝎𝟏
𝟐. 𝑹𝟐.𝑴 
 
[𝑇] = 𝐽 = (
1
𝑠𝑒𝑔
)
2
. 𝑚2. 𝑘𝑔 = 𝑚.𝑁 = 𝐽 
 
 
Ejemplo N° 3: 
 
Vamos a calcular la Energía Cinética (Ec) del problema que resolvimos en Sistemas 
de partículas de la escuadra, pero aprovecharemos el hecho de que las dos masas estaban 
rígidamente vinculadas, para resolverlo como si fuera un fuera un sólido rígido. 
 
 
Como Sistema de Partículas: 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
Calculamos la velocidad de cada partícula y luego la energía cinética como suma de 
las energías de cada partícula: 
 
Entonces, la Energía Cinética del sistema era: 
 
𝑇𝑆 =
1
2
𝑚𝑖. 𝑉�̅�
2
=
1
2
.𝑚1. 𝑉1̅
2
+
1
2
.𝑚2. 𝑉2̅̅ ̅
2
 
 
𝑇𝑠 =
1
2
.𝑚1. (𝑤. 𝑙1)2 +
1
2
.𝑚2. (𝑤. 𝑙2)2 
 
𝑇𝑠 =
1
2
. 𝑤2. (𝑚1. 𝑙12 +𝑚2. 𝑙22) 
 
Dejamos como inquietud encontrar el centro de masas, su velocidad, las velocidades 
relativas de las dos partículas respecto al centro de masas y verificar el teorema de König… 
 
Como Cuerpo Rígido: 
 
 El Estado de Movimiento del Cuerpo Rígido (EMCR), el Estado de Velocidades y el 
Estad de Aceleraciones, coinciden todos con los respectivos estados de la Terna Móvil, por lo 
que no los repetimos. 
 
 La Energía Cinética en un CR se calcula como: 
 
𝑇𝐶𝑅 =
1
2
.𝑀. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅
2
+𝑀. 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅ ̅. [𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐺 − 𝑂1)] +
1
2
. 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅
2. 𝐽�̌�,�̌� 
 
 Elegimos como centro de reducción el punto A, que coincide con el origen de la móvil, 
por lo tanto VO1 = 0 , y no tenemos Ec de traslación ni complementaria. Sólo nos queda la de 
rotación, por lo que tenemos que calcular el momento de inercia en la dirección del eje w: 
 
𝐽�̌�,�̌� = 𝐽𝑥𝑥. 𝑛𝑥
2 + 𝐽𝑦𝑦 . 𝑛𝑥
2 + 𝐽𝑧𝑧. 𝑛𝑥
2 + 2𝐽𝑥𝑦. 𝑛𝑥. 𝑛𝑦 + 2𝐽𝑥𝑧. 𝑛𝑥 . 𝑛𝑧 + 2. 𝐽𝑦𝑧. 𝑛𝑦. 𝑛𝑧 
 
La posición de cada partícula, expresada en nuestro sistema de referencia móvil, es: 
 
𝑟1̅̅ ̅ = (𝐵 − 𝑂1) = 𝑙1. 𝑗1̌, entonces, 𝑃1 = (0; 𝑙1; 0), y; 
 
𝑟2̅̅ ̅ = (𝐶 − 𝑂1) = 𝑙2. 𝑖1̌, entonces, 𝑃2 = (𝑙2 ; 0; 0) 
 
Luego: 
 
𝐽𝑥𝑥 =∑(𝑦𝑖2 + 𝑧𝑖2). 𝑚𝑖
𝑖
= 𝑙1
2. 𝑚1 
𝐽𝑦𝑦 =∑(𝑥𝑖2 + 𝑧𝑖2).𝑚𝑖
𝑖
= 𝑙2
2. 𝑚2 
𝐽𝑧𝑧 =∑(𝑥𝑖2 + 𝑦𝑖2).𝑚𝑖
𝑖
= 𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2 
 
 Y todos los centrífugos son nulos. 
 
 Luego, los cosenos directores serán: 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
23/31 
 
𝑛𝑥 =
𝑤𝑥
𝑤
; 𝑛𝑦 =
𝑤𝑦
𝑤
; 𝑛𝑧 =
𝑤𝑧
𝑤
 
 
Y como el vector 𝑤𝐶𝑅̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑤. �̌�1, entonces: nx = 0; ny = 0, y; nz = 1 
 
 Por lo que: 
 
𝐽𝑤,𝑤 = (1)
2. 𝐽𝑧𝑧 = 𝐽𝑧𝑧 = 𝑙1
2. 𝑚1 + 𝑙2
2. 𝑚2 
 
 Evidentemente no hacía falta dar tantas vueltas porque se trataba de un sistema 
plano… Sólo lo estamos mostrando. 
 
Luego la energía cinética, en este caso se reduce exclusivamente a la de rotación y 
será: 
 
𝑻𝑪𝑹 =
𝟏
𝟐
.𝒘𝑪𝑹̅̅ ̅̅ ̅̅
𝟐. 𝑱�̌�,�̌� =
𝟏
𝟐
.𝒘𝟐. (𝒍𝟏
𝟐.𝒎𝟏 + 𝒍𝟐
𝟐. 𝒎𝟐) 
 
Que es exactamente la misma expresión a la que habíamos llegada con sistema de 
partículas. 
 
 
 
 
IV. BIBLIOGRAFÍA. 
 
- Mecánica de Angel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN); 
- Mecánica de Marsicano, Tomo II, edición previa, UBA; 
- Mecánica de Luis Roque Argüello, editado por Answer Just in Time; 
- Mecánica analítica de Enrique Yépez Mulia y Mizli Yépez Martinez, editado por UNAM 
(Universidad Autónoma de México). 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
APÉNDICE 1: MATRIZ DE INERCIA. 
 
 
a. Matriz de inercia: 
 
Llamamos matriz de inercia de un cuerpo rígido a un arreglo en forma de matriz 
de todos los momentos de segundo orden de masas, que se pueden generar con el 
sistema de referencia utilizado. Como base se suele utilizar un sistema de 
coordenadas cartesianas fijo, o bien un sistema de referencia ligado al cuerpo para 
mayor conveniencia. 
 
La matriz de inercia es siempre una matriz regular (o no singular) y simétrica, 
donde los elementos fuera de la diagonal principal son opuestos. 
 
b. Rotación de la matriz de inercia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
𝑥1 = 𝑥. cos(∝) + 𝑦. 𝑠𝑒𝑛(∝) 
𝑦1 = −𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑦. cos (𝛼) 
 
Las coordenadas de los vectores de la nueva base en la base canónica original, 
quedarán: 
 
{
𝑖1 = 1. cos(∝) + 1. 𝑠𝑒𝑛(∝) 
𝑗1 = −1. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 1. cos (𝛼)
 
 
Para hallar la matriz de transformación debido a esta rotación, basta tomar las 
componentes de versor de la nueva base rotada, y colocarlos en una matriz en forma 
de vectores columna: 
 
𝑃𝐶𝑅 = [
cos (∝) −𝑠𝑒𝑛(∝)
𝑠𝑒𝑛(𝛼) cos (∝)
] 
 
Si tenemos en cuenta también la coordenada z, queda: 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
25/31 
 
𝑃𝐶𝑅 = [
cos (∝) −𝑠𝑒𝑛(∝) 0
𝑠𝑒𝑛(∝) cos (∝) 0
0 0 1
] 
 
La matriz de pasaje simple es ortogonal (su determinante siempre es ±1 y su 
inversa es igual a su traspuesta, por lo tanto [A].[At]=[I] ): 
 
c. Diagonalización de la Matriz de Inercia 
 
En los casos en que la matriz no sea diagonal, siempre será posible 
diagonalizarla, a través de una sucesión de rotaciones apropiada. 
 
El método se puede sistematizar, utilizando los valores propios o autovalores 
de la matriz. 
𝜆𝑖 → |(𝐴 − 𝜆. 𝐼)| = 0 
 
La matriz formada por lo autovalores es una matriz diagonal. O sea, los 
elementos de esa matriz (𝜆𝑖), son los momentos principales de inercia del cuerpo 
rígido: 
 
𝐴´ = (
𝜆1 0 0
0 𝜆2 0
0 0 𝜆3
) 
 
La dirección asociada a cada autovalor (𝜆𝑖), es el autovector (�̌�𝑖), y cada �̌�𝑖 ≠
0̅ será un eje principal de inercia del cuerpo rígido. 
 
Recordemos que los ejes principales de inercia son aquellos respecto de los 
cuales, los momentos centrífugos son nulos. 
 
d. Traslación de la matriz de inercia 
 
La matriz A, también se puede trasladar, aplicando la transformación de 
Steiner: Ver ejemplo en punto f. 
 
e. Tensor de inercia. 
 
Cada momento de masa de segundo orden representa físicamente la 
resistencia que ofrece el cuerpo al cambio en la velocidad de rotación en una dirección 
determinada. Es decir, la inercia tiene propiedades direccionales, por lo tanto 
corresponde definirla como un tensor de orden 2. Para facilitar la nomenclatura y las 
operaciones, lo representamos como una matriz de 3x3. 
 
f. Ejemplo de cálculo de los momentos y de la matriz de inercia. 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
Cálculo de la matriz de inercia de un prisma recto de base rectangular, macizo 
y homogéneo, con respecto a una terna con origen en uno de sus vértices y ejes 
coincidentes con las aristas del paralelepípedo: 
Los lados del paralelepípedo los denominamos a, b y c, respectivamente. 
 
 La fórmula general de momento de inercia o de segundo orden respecto a un 
mismo eje, para un cuerpo homogéneo, es: 
𝐽𝑥𝑥 = ∫ 𝜌. (𝑦
2 + 𝑧2). 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
La fórmula para los momentos centrífugos, respecto de los eje X-Y: 
 
𝐽𝑥𝑦 = −∫ 𝜌. 𝑥. 𝑦. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
 
 
Cálculo de los momentos de segundo orden y matriz de inercia respecto de ejes 
no baricéntricos: 
 
Expresando la integral de volumen como una integral triple en coordenadas 
cartesianas, queda: 
𝐽𝑥𝑥 = ∭ 𝜌. (𝑦
2 + 𝑧2). 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧
𝑐;𝑏;𝑎
0;0;0
 
 
Integro primero en “x”, luego en “y”, y por último en “z”: 
 
𝐽𝑥𝑥 = ∬ {(𝜌. (𝑦
2 + 𝑧2). 𝑥)|0
𝑎}. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧
𝑐;𝑏
0;0
=∬ 𝜌. (𝑦2 + 𝑧2). 𝑎. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧
𝑐;𝑏
0;0
 
 
𝐽𝑥𝑥 = ∫ {𝜌. 𝑎. (
𝑦3
3+ 𝑧2. 𝑦)|
0
𝑏
}
𝑐
0
. 𝑑𝑧 = ∫ 𝜌. 𝑎. (
𝑏3
3
+ 𝑧2. 𝑏) . 𝑑𝑧
𝑐
0
 
 
𝐽𝑥𝑥 = {𝜌. 𝑎. (
𝑏3
3
. 𝑧 +
𝑧3
3
. 𝑏)}|
0
𝑐
= 𝜌. 𝑎. (
𝑏3
3
. 𝑐 +
𝑐3
3
. 𝑏) =
𝜌. 𝑎. 𝑏. 𝑐.
3
(𝑏2 + 𝑐2) 
 
Pero: 𝜌. 𝑎. 𝑏. 𝑐 = 𝜌. 𝑉𝑜𝑙 = 𝑀, que es la Masa del cuerpo rígido (del 
paralelepípedo en este caso). Entonces: 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
27/31 
 
𝐽𝑥𝑥 = 
𝑀
3
. (𝑏2 + 𝑐2) (1) 
 
Que es el momento de inercia del paralelepípedo respecto al eje x, medido 
desde una terna ortogonal, con origen en un vértice y ejes X, Y, Z coincidentes con 
las aristas y como se mostraba en la figura de arriba. 
 
El momento centrífugo respecto a los ejes X e Y, será: 
 
𝐽𝑥𝑦 = −∫ 𝜌. 𝑥. 𝑦. 𝑑𝑉𝑜𝑙
𝑉𝑜𝑙
= −∭ 𝜌. 𝑥. 𝑦. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧
𝑎;𝑏;𝑐
0;0;0
 
 
𝐽𝑥𝑦 = −∬ {(𝜌. 𝑦.
𝑥2
2
)|
0
𝑎
} . 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = −∬ 𝜌. 𝑦.
𝑎2
2
. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧
𝑏;𝑐
0;0
𝑏;𝑐
0;0
 
 
𝐽𝑥𝑦 = −∫ {(𝜌.
𝑦2
2
.
𝑎2
2
)|
0
𝑏
} . 𝑑𝑧
𝑐
0
= −∫ {𝜌.
𝑏2
2
.
𝑎2
2
}
𝑐
0
. 𝑑𝑧 = −𝜌.
𝑏2
2
.
𝑎2
2
. 𝑧|
0
𝑐
 
 
𝐽𝑥𝑦 = −𝜌.
𝑏2
2
.
𝑎2
2
. 𝑐 = −𝜌. 𝑏. 𝑎. 𝑐.
𝑏. 𝑎
4
= −𝜌. 𝑉𝑜𝑙.
𝑏. 𝑎
4
 
 
𝐽𝑥𝑦 = −𝑀.
𝑎. 𝑏
4
 (2) 
 
Observando las ecuaciones (1) y (2), podemos rápidamente deducir el resto, lo 
que nos da el siguiente juego de momentos de segundo orden respecto de los ejes 
coordenados de la terna ya definida: 
 
𝐽𝑥𝑥 =
𝑀
3
. (𝑏2 + 𝑐2) 
 
𝐽𝑦𝑦 =
𝑀
3
. (𝑎2 + 𝑐2) 
 
𝐽𝑧𝑧 =
𝑀
3
. (𝑎2 + 𝑏2) 
 
𝐽𝑥𝑦 = −𝑀.
𝑎. 𝑏
4
 
 
𝐽𝑥𝑧 = −𝑀.
𝑎. 𝑐
4
 
 
𝐽𝑦𝑧 = −𝑀.
𝑎. 𝑏
4
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
 
 Disponiendo los valores hallados en forma de matriz, tendremos la matriz de 
inercia completa del bloque o paralelepípedo: 
 
𝐽 =
(
 
 
 
𝑀
3
. (𝑏2 + 𝑐2) −𝑀.
𝑎. 𝑏
4
−𝑀.
𝑎. 𝑐
4
−𝑀.
𝑎. 𝑏
4
𝑀
3
. (𝑎2 + 𝑐2) −𝑀.
𝑎. 𝑏
4
−𝑀.
𝑎. 𝑐
4
−𝑀.
𝑎. 𝑏
4
𝑀
3
. (𝑏2 + 𝑐2))
 
 
 
 
 
Cálculo de los momentos de segundo orden y matriz de inercia respecto a ejes 
baricéntricos: 
 
Aplicamos el teorema de Steiner: 
 
𝐽𝑋𝑋 = 𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 +𝑀. (𝑦𝐺
2 + 𝑧𝐺
2) 
 
De donde: 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = 𝐽𝑋𝑋 −𝑀. (𝑦𝐺
2 + 𝑧𝐺
2) 
 
Para el caso de los momentos centrífugos (tenga presente que se definen 
negativos): 
 
𝐽𝑋𝐺𝑌𝐺 = 𝐽𝑋𝑌 +𝑀. 𝑥𝐺 . 𝑦𝐺 
 
Como el bloque es homogéneo, las coordenadas del baricentro son: 
 
(𝐺 − 𝑂) = (
𝑎
2
; 
𝑏
2
; 
𝑐
2
) 
Entonces: 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = 𝐽𝑋𝑋 −𝑀. (𝑦𝐺
2 + 𝑧𝐺
2) =
𝑀
3
. (𝑏2 + 𝑐2) − 𝑀. [(
𝑏
2
)
2
+ (
𝑐
2
)
2
] =
𝑀
12
. (𝑏2 + 𝑐2) 
 
𝐽𝑋𝐺𝑌𝐺 = 𝐽𝑋𝑌 +𝑀. 𝑥𝐺 . 𝑦𝐺 = −𝑀.
𝑎. 𝑏
4
+ 𝑀.
𝑎
2
.
𝑏
2
= 0 
 
De la misma manera, con los otros ejes. Finalmente: 
 
𝐽𝐺 =
(
 
 
 
𝑀
12
. (𝑏2 + 𝑐2) 0 0
0
𝑀
12
. (𝑎2 + 𝑐2) 0
0 0
𝑀
12
. (𝑎2 + 𝑏2))
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
29/31 
 
Queda diagonalizada. Lo que quiere decir que estos ejes baricéntricos (con las 
direcciones paralelas a los lados), son ejes principales de inercia. 
 
Placa: Si una dimensión es mucho más pequeña que las otras dos (10 veces 
digamos). Por ejemplo, c es muy pequeña frente a “a” y a “b” tendremos: 
 
𝑐 ≅ 𝑎/10 ≅ 𝑏/10 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 =
𝑀
12
. (𝑏2 + (
𝑏
10
)
2
) =
𝑀
12
. (𝑏2 +
𝑏2
100
) =
𝑀
12
.
101. 𝑏2
100
≅
𝑀
12
. 𝑏2 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 =
𝑀
12
. (𝑎2 + (
𝑎
10
)
2
) ≅
𝑀
12
. 𝑎2 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 =
𝑀
12
. (𝑎2 + 𝑏2) 
 
𝐽𝐺 =
(
 
 
 
𝑀
12
. 𝑏2 0 0
0
𝑀
12
. 𝑎2 0
0 0
𝑀
12
. (𝑎2 + 𝑏2))
 
 
 
 
 
 
Varilla delgada: Si dos dimensiones, son más pequeñas que una tercera, 
entonces (supongamos a y c 10 veces menor que c): 
 
𝑎 ≅ 𝑏 ≅ 𝑐/10 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 ≅
𝑀
12
.
101. 𝑐2
100
≅
𝑀
12
. 𝑐2 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 ≅
𝑀
12
. 𝑐2 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 ≅
𝑀
12
.
2. 𝑐2
100
 
 
 
𝐽𝐺 =
(
 
 
𝑀
12
. 𝑐2 0 0
0
𝑀
12
. 𝑐2 0
0 0 0)
 
 
 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
 
Donde c sería el largo de la varilla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8 Dinámica del Cuerpo Rígido 
 
31/31 
 
APÉNDICE 2. TABLA DE MOMENTOS DE INERCIA BARICÉNTRICOS 
 
Cilindro macizo, 
homogéneo, de eje z, 
radio R y longitud L. 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 =
𝑀
12
. (3. 𝑅2 + 𝐿2) 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 =
𝑀
12
. (3. 𝑅2 + 𝐿2) 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 =
𝑀
2
. 𝑅2 
Disco delgado, 
macizo, homogéneo 
de radio R. 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = (𝑀/4). 𝑅
2 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 = (𝑀/4). 𝑅
2 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 = (𝑀/2). 𝑅
2 
Esfera maciza, 
homogénea de radio 
R. 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = (2/5).𝑀. 𝑅
2 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 = (2/5).𝑀. 𝑅
2 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 = (2/5).𝑀. 𝑅
2 
Paralelepípedo recto, 
macizo, homogéneo. 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = (𝑀/12). (𝑏
2 + 𝑐2) 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 = (𝑀/12). (𝑎
2 + 𝑐2) 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 = (𝑀/12). (𝑎
2 + 𝑏2) 
Placa delgada, maciza 
y homogénea, de 
espesor a, en la 
dirección del eje X, 
despreciable. 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = (𝑀/12). (𝑏
2 + 𝑐2) 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 = (𝑀/12). 𝑐
2 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 = (𝑀/12). 𝑏
2 
Varilla esbelta, 
homogénea de 
longitud L, medida en 
la dirección del eje Z. 
Radio despreciable 
frente a L. 
 
 
𝐽𝑋𝐺𝑋𝐺 = (𝑀/12). 𝐿
2 
 
𝐽𝑌𝐺𝑌𝐺 = (𝑀/12). 𝐿
2 
 
𝐽𝑍𝐺𝑍𝐺 = 0