CAP 1 _CPM_1_Coord_Cartesianas

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CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DEL PUNTO 
 
Parte 1 - COORD. CARTESIANAS. 
 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
En este capítulo vamos a iniciarnos en el estudio de la cinemática de los cuerpos 
puntuales. Es decir, de aquellos cuerpos que por el motivo que fuere, no nos interesa la forma 
ni la distribución de su masa en el espacio, ni el motivo o las causas del movimiento. 
 
El modelo de cuerpo puntual es el más sencillo de todos y las ecuaciones que se 
deducen, son evidentemente las más sencillas también. En la práctica, sin embargo, existen 
innumerables situaciones en que el estudio del movimiento de un cuerpo se puede asimilar al 
estudio que aquí iniciamos. 
 
Este modelo aplica perfectamente cuando las distancias que recorre el móvil (o punto 
bajo estudio) son mucho mayores que las dimensiones del cuerpo. Pero, ¿cuál es alcance de 
la expresión “mucho mayores”?. 
 
Bien cuando, en física decimos que despreciamos algo (salvo mejor opinión del lector), 
en general es porque estamos frente a magnitudes que difieren en el orden de 100 veces 
unas de otras. 
 
En búsqueda de un criterio un poco más riguroso, podríamos decir que una medida es 
mucho menor que otra (de la misma naturaleza), y que por lo tanto la podemos despreciar, 
cuando la más pequeña es del orden de magnitud del error con el que se midió la mayor. 
 
Pero aunque no se den con rigurosidad absoluta todos los criterios para poder aplicar 
el modelo, siempre que se den las circunstancias apropiadas, podremos hacer una primera 
aproximación al estudio del movimiento de un cuerpo utilizando modelos simplificados que 
luego podremos ir perfeccionando hacia esquemas de mayor complejidad. 
 
La cinemática, como ya lo hemos escuchado en los cursos de física, es la rama de la 
mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos materiales, sin tener en cuenta las causas 
que lo producen. O sea, podríamos decir que es meramente una descripción geométrica del 
movimiento, procurando, por supuesto valorizar los parámetros que lo caracterizan, que 
indudablemente escapan a la geometría y que son propios de la cinemática. 
 
Los parámetros exclusivamente geométricos son el vector posición y la trayectoria. A 
partir de éstos, la cinemática tratará de determinar la velocidad y de la aceleración. Para 
determinar la posición, precisaremos de un sistema de referencia, o sistema de coordenadas. 
 
En esta unidad estudiaremos cuatro sistemas de referencia diferentes: Cartesianas, 
Intrínsecas, Cilíndricas y Esféricas. Lo que tienen en común todos ellos, es que todos serán 
ternas (tres ejes), triortogonales y derechas o dextrógiras. Esto último quiere decir que el 
producto vectorial, cumple con la regla de la mano derecha. 
 
 
 
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II. SISTEMAS DE REFERENCIA INERCIALES Y NO INERCIALES. 
 
Para determinar la posición de un punto, resulta indispensable entonces, definir un 
origen y un sistema de referencia (SR) que nos permita la ubicación de dicho punto en el 
espacio, de manera unívoca. 
 
Lo ideal, sería contar con un SR Fijo (SRF), cuyo origen y la dirección de sus ejes, no 
se modifique nunca con el tiempo. Sin embargo, sabemos que los sistemas así no existen 
porque el estado natural de todos los cuerpos del universo es el de movimiento. La tierra, se 
rototraslada alrededor del sol. El sol, este se mueve dentro de una galaxia, y así… 
 
Pero no importa, como vamos a estudiar el movimiento de cuerpos en un sector 
relativamente pequeño sobre (o en las cercanías) de la superficie terrestre, a los fines 
prácticos un sistema de referencia fijo a la tierra se comportará para nosotros como un sistema 
de referencia fijo. 
 
Un sistema inercial es un sistema de referencia que está en reposo, o que si se mueve 
lo hace sin aceleración de ningún tipo. En otras palabras, se si mueve solo puede hacerlo con 
un Movimiento Rectilíneo y Uniforme (MRU). 
 
Un sistema que gire, aunque lo haga a régimen constante, es de por sí un sistema de 
referencia no inercial, ya que el giro, aunque sea a régimen constante, implica un cambio de 
dirección, o sea, una aceleración. 
 
Por lógica, un sistema de referencia fijo, que no experimenta ningún movimiento es 
siempre un sistema inercial. 
 
III. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS FIJO. 
 
El primer sistema que vamos a estudiar es el sistema de coordenadas cartesianas. 
Como ya sabemos este sistema consiste en tres ejes (X;Y;Z), mutuamente perpendiculares 
entre sí , que se intersectan en un punto fijo que vamos a llamar origen ( O ). La orientación 
de los ejes, lógicamente, también debe permaneces fija. 
 
Para poder escribir los vectores con una forma 
analítica simple, asociamos a cada eje coordenado un 
versor. Cada versor es un vector de módulo unitario, 
que tiene la misma dirección que el eje correspondiente. 
Al eje X le asociamos el versor 𝑖,̌ al eje Y el versor 𝑗̌ y al 
leje Z el versor �̌�. 
 
Como dijimos que la terna tiene que ser 
triortogonal y derecha, entonces se cumple que: 
 
{
𝑖̌ ∧ 𝑗̌ = �̌�; 
𝑗̌ ∧ �̌� = 𝑖;̌
�̌� ∧ 𝑖̌ = 𝑗̌ 
 
 
 
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. Si los productos vectoriales fuesen al revés (por ejemplo 𝑗̌ ∧ 𝑖̌ = �̌�, entonces la terna 
sería izquierda. 
 
a) Vector posición: 
 
El vector posición se define siempre como el vector que 
va desde el origen de coordenadas hasta el punto “P” en estudio. 
 
Ese vector, lo representamos con la “r” minúscula, con 
raya superior para denotar que se trata de un vector: �̅�(𝑡). 
 
Al vector posición se lo puede escribir también en función 
de las coordenadas de sus puntos extremos como (P-O). 
 
Es decir, siempre se cumple que �̅�(𝑡) = (𝑃 − 𝑂), o sea, 
que es igual a la diferencia de coordenadas de los extremos del 
vector (punto o coordenada final, menos coordenada inicial). 
 
En función de los versores y de las 
coordenadas del punto P en nuestro sistema de 
referencia, el vector posición, en coordenadas 
cartesianas, se puede escribir como: 
 
�̅�(𝑡) = (𝑃 − 𝑂) = 𝑥(𝑡). 𝑖̌ + 𝑦(𝑡). 𝑗̌ + 𝑧(𝑡). �̌� 
 
Que a veces, por economía, vamos a denotar 
simplemente: 
 
�̅� = (𝑷 − 𝑶) = 𝒙. �̌� + 𝒚. 𝒋̌ + 𝒛. �̌� 
 
O sea, podemos prescindir de indicar la 
dependencia temporal. 
 
b) Vector Desplazamiento: 
 
El vector desplazamiento ∆𝑟̅̅ ̅(𝑡) es el 
vector que va desde el extremo del vector 
posición en instante cualquiera t y el extremo del 
vector posición en un instante posterior t +Δt. O 
sea, va desde �̅�(𝑡) hasta �̅�(𝑡 + ∆𝑡). En otras 
palabras, es la diferencia vectorial entre dichos 
vectores. 
 
∆𝒓̅̅̅̅ (𝒕) = �̅�(𝒕 + ∆𝒕) − �̅�(𝒕) 
 
= (𝑷(𝒕+∆𝒕) −𝑶) − (𝑷(𝒕) −𝑶) = (𝑷(𝒕+∆𝒕) − 𝑷(𝒕)) 
 
 
c) Vector velocidad media: 
 
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La velocidad media es simplemente el cociente entre el vector desplazamiento y el 
intervalo de tiempo considerado: 
 
�̅�𝑚(𝑡) =
∆𝑟̅̅ ̅(𝑡)
∆𝑡
=
∆𝑟̅̅ ̅
∆𝑡
 
 
No profundizaremos porque ya se estudió en Física I. 
 
d) Velocidad instantánea 
 
La velocidad instantánea es una característica mucho más interesante que la velocidad 
media. Se calcula como el límite de la velocidad media, cuando el intervalo de tiempo 
considerado tiende a cero: 
 
 �̅�(𝑡) = �̅�𝑚(𝑡) = lím
∆𝑡⟶0
∆𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
∆𝑡
=
𝑑�̅�(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
En coordenadas cartesianas: 
 
�̅�(𝒕) =
𝒅�̅�(𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅𝒙
𝒅𝒕
. �̆� +
𝒅𝒚
𝒅𝒕
. 𝒋̆ +
𝒅𝒛
𝒅𝒕
. �̌� 
 
O sea, cada componente del vector velocidad, es la derivada temporal de la 
componente homóloga, del vector posición. 
 
Notación de Newton: La notación convencional de una derivada con un apóstrofe es: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦´ esa notación corresponde a Leibniz 𝒚´ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 . En mecánica, para indicar las derivadas 
respecto del tiempo, por convención se sigue la notación de Newton: 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= �̇�. 
 
Luego, utilizando esta notación, el vector velocidad quedaría: 
 
�̅�(𝒕) =
𝒅�̅�(𝒕)
𝒅𝒕
= �̅� ̇ (𝒕) = �̇�. �̆�+ �̇�. 𝒋̆ + �̇�. �̌� 
 
Pero también se puede calcular el módulo de la velocidad instantánea midiendo la 
longitud del camino recorrido directamente sobre la trayectoria ( s, o también s(t)), y calculando 
la variación temporal de esta medida: 
 
|�̅�(𝑡)| =
𝑑𝑠(𝑡)̂
𝑑𝑡
 
 
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En la figura de arriba: 
 
• �̅�𝑜 Es el vector posición inicial (en el instante to); 
• �̅�(𝑡) Vector posición en un instante t arbitrario posterior a to; 
• 𝑠𝑜 Punto de arranque del movimiento sobre la trayectoria (largada); 
• 𝑐 Trayectoria; 
• 𝑃(𝑡) Es el punto en estudio en el instante t; 
• 𝑠(𝑡) Longitud de camino recorrido desde to hasta el instante de tiempo t 
considerado. 
 
Entonces utilizando la longitud de camino, y la notación de Newton: 
 
|�̅�(𝑡)| = 𝑣(𝑡) = �̇�(𝑡) 
 
Lo que es importante destacar, es el uso de la raya superior para denotar los vectores. 
Fíjense que, al no escribir la raya de vector, significa que estamos indicando el módulo del 
vector. O sea: |�̅�(𝑡)| = 𝑣(𝑡) son dos formas equivalentes de indicar el módulo del vector 
velocidad. Luego: 
 
𝒗(𝒕) = �̇�(𝑡) = √�̇�2 + �̇�2 + �̇�2 
 
�̇�(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
→ 𝑑𝑠 = �̇�(𝑡). 𝑑𝑡 → 
 
Si integramos �̇�(𝑡), tendremos s(t): 
 
∫ 𝑑𝑠(𝑡)̂
𝑠(𝑡)
𝑠𝑜
= 𝑠(𝑡) − 𝑠0 = ∫ �̇�(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
= ∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 +∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
Expresión que denominaremos “ley horaria”. 
 
e) Aceleración instantánea: 
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La aceleración instantánea se define como el límite del cociente incremental de 
Δ𝑣(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
Δ𝑡
, 
cuando el incremento del denominador tiende a cero. 
 
 
 
En coordenadas cartesianas: 
 
𝒂(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅ =
𝒅𝒗(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅
𝒅𝒕
= 𝒗(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅̇ =
𝒅𝟐𝒓(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅
𝒅𝒕𝟐
= 𝒙.̈ �̆� + �̈�. 𝒋̆ + �̈�. �̆� 
 
En el gráfico que sigue hemos tratado de 
representar esquemáticamente los vectores 
posición, velocidad y aceleración en un instante 
cualquiera t. Su expresión en coordenadas 
cartesianas no es más que la proyección de esos 
vectores en los ejes de la terna. 
 
A pesar de las imperfecciones del dibujo, se 
puede anticipar que el vector velocidad instantánea 
es tangente a la trayectoria en el punto de interés; 
que el sentido coincide con el sentido del 
movimiento de la partícula (en este caso hacia la 
derecha), y; que el vector aceleración apunta hacia 
el lado cóncavo de la curva trayectoria. 
 
f) Resumen: 
 
En coordenadas cartesianas fijas, tendremos: 
 
• Vector posición: �̅� = (𝑷 − 𝑶) = 𝒙. �̌� + 𝒚. 𝒋̌ + 𝒛. �̌� 
• Vector velocidad instantánea: �̅�(𝒕) = �̅� ̇ (𝒕) = �̇�. �̆� + �̇�. 𝒋̆ + �̇�. �̌� 
• Vector aceleración instantáneas: 𝒂(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝒗(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅̇ = 𝒓(𝒕)̅̅ ̅̅ ̅̅ =̈ �̈��̆� + �̈�𝒋̆ + �̈��̆� 
• Módulo del vector velocidad instantánea: 𝑣(𝑡) = �̇�(𝑡) = √�̇�2 + �̇�2 + �̇�2 
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• Ley horaria: 𝑠(𝑡) = 𝑠0 + ∫ √�̇�
2 + �̇�2 + �̇�2. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
IV. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS MÓVIL, QUE SÓLO GIRA, 
CON EJE DE ROTACIÓN FIJO, COINCIDENTE CON UNO DE SUS EJES: 
 
 
Este tipo de ternas resulta muy útil para resolver gran cantidad de problemas de 
mecánica, que involucran mecanismos que están ligados por bielas o sistemas rotantes. 
 
Para que realmente sean simples de utilizar, vamos a limitar el giro únicamente 
alrededor de uno de sus propios ejes. 
 
Es decir, las ternas que nosotros vamos a estudiar vas a girar manteniendo su eje de 
rotación fijo, y que por conveniencia lo vamos a hacer coincidir con uno de sus tres ejes. 
 
 
a. Definición de la terna móvil (TM): 
 
Vamos a suponer que la terna gira alrededor, únicamente alrededor del eje Z. Luego 
tendremos la siguiente situación: 
 
 
 
En el dibujo, se pueden ver las dos ternas. La cartesiana fija, que oficia como referencia 
absoluta y que sirve además para medir el ángulo α que ha girado la móvil. 
 
Ambas tienen un origen común O, y dicho punto es un punto fijo. 
 
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Observar que se han usado letras de imprenta mayúscula para los ejes y minúscula 
para las coordenadas. 
 
Por convención, y para distinguirlos de los de la terna fija, a los ejes y al origen de la 
terna móvil se les ha agregado el subíndice uno. Lo mismo acontece con sus coordenadas y 
con los sus versores, aunque estos últimos no se ha dibujado para no complicar el esquema. 
 
El vector posición asociado al punto P, expresado en la terna fija (TF) queda: 
 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑥. 𝑖̌ + 𝑦. 𝑗̌ + 𝑧. �̌� (𝑇. 𝐹) 
 
 Y en la terna móvil: 
 
(𝑃 − 𝑂1) = 𝑥1. 𝑖1̌ + 𝑦1. 𝑗1̌ + 𝑧1. �̌�1 (𝑇.𝑀) 
 
 
b. Cambio de coordenadas: 
 
Para transformar las coordenadas del sistema móvil al fijo, habrá que realizar las 
siguientes operaciones: 
 
{
𝑥 = 𝑥1. 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦1. 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑦 = 𝑥1. 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝑦1. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑧 = 𝑧1 
 
En forma matricial: 
 
{
𝑥
𝑦
𝑧
} = [
𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 0
𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 0
 0 0 1
] . {
𝑥1
𝑦1
𝑧1
} → 𝑋 = 𝐴. 𝑋1 
 
𝐴−1. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐴. 𝑋1 
Al revés: 
{
𝑥1
𝑦1
𝑧1
} = [
 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 0
−𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 0
 0 0 1
] . {
𝑥
𝑦
𝑧
} → 𝑋1 = 𝐴
−1. 𝑋 
 
Si la rotación hubiera sido en otro eje coordenada, el “1”, estaría ubicado en esa fila y 
columna. 
 
Se ve que la matriz de transformación es antisimétrica y que su inversa es igual a su 
traspuesta, lo que implica que se trata de una transformación ortogonal. 
 
c. Velocidad angular de la terna: 
 
La velocidad de rotación de la terna la denominaremos: �̅�𝑇 (o a veces �̅�𝑇𝑀), donde el 
subíndice “T” (o “TM”), simplemente hace referencia a que se trata de la velocidad de la terna 
móvil. 
 
Su intensidad está relacionada con la rapidez de cambio del ángulo que es este caso 
hemos llamado α. Pero le podríamos haber dado cualquier nombre, por ejemplo φ, como el 
que acostumbramos a usar en intrínsecas. 
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Luego el vector velocidad angular, referido a los ejes de la TM, se puede escribir así: 
 
�̅�𝑇 = 𝜔𝑇 . �̌�1 
 
Donde: 
|�̅�𝑇| = 𝜔𝑇 =
𝑑𝛼
𝑑𝑡
 
 
Si fuera necesario transformar los resultados, como vimos antes, a los ejes de la fija, 
precisaremos evaluar el ángulo α, para lo cual resulta necesario establecer condiciones 
iniciales apropiadas, como por ejemplo, hacer coincidir los dos ejes X e X1 en el instante 
inicial. 
 
Si para t = to = 0; X1 ≡ X. Entonces α0 = 0, y luego: 
 
𝑑𝛼 = 𝜔𝑇 . 𝑑𝑡 
 
∫ 𝑑𝛼
𝛼
𝛼𝑜
= ∫ 𝜔𝑇 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
, 𝑦 
 
𝛼(𝑡) = ∫ 𝜔𝑇 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
En el caso particular, que la velocidad angular de la terna móvil (𝜔𝑇̅̅ ̅̅ ) sea constante, 
cosa bastante habitual en la técnica, tendremos: 
 
𝛼(𝑡) = 𝜔𝑇 . 𝑡 
 
Si no, para poder resolver la integral, habrá que conocer la ley de variación de 𝜔𝑇. 
 
d. Velocidad y aceleración del punto P: 
 
Al intentar calcular la velocidad, será cuando nos enfrentemos a la primera dificultad, 
ya que ahora hay versores de esta terna el 𝑖1̌ y el 𝑗̌1, en este caso particular, ya no están 
“quietos”, o mejor dicho fijos en el espacio. Ahora están rotando alrededor del eje Z. Por lo 
tanto, cambian permanentemente de dirección… 
 
Entonces habrá que reconsiderar cómo realizar las derivadas de los mismos. 
 
Para calcular la velocidad, como ya vimos con terna fija, debemos derivar el vector 
posición respecto del tiempo: 
 
�̅�𝑃 =
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑥1. 𝑖1̌ + 𝑦1. 𝑗1̌ + 𝑧1. �̌�1)
𝑑𝑡
 
 
�̅�𝑃 =
𝑑(𝑃 − 𝑂1)
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑥1. 𝑖1̌)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝑦1. 𝑗1̌)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝑧1. �̌�1)
𝑑𝑡
 
 
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�̅�𝑃 =
𝑑𝑥1
𝑑𝑡
. 𝑖1̌ + 𝑥1.
𝑑𝑖1̌
𝑑𝑡
+
𝑑𝑦1
𝑑𝑡
. 𝑗1̌ + 𝑦1.
𝑑𝑗1̌
𝑑𝑡
+
𝑑𝑧1
𝑑𝑡
. �̌�1 + 𝑧1.
𝑑�̌�1
𝑑𝑡
 
 
Las derivadas del primero, tercer yquinto término del segundo miembro, son las 
derivadas temporales de las coordenadas del punto, medidas desde la terna móvil. Esas 
derivadas ya sabemos calcularlas y, si las denotamos utilizando la notación de Newton, la 
ecuación anterior nos queda así: 
 
�̅�𝑃 = �̇�1. 𝑖1̌ + 𝑥1.
𝑑𝑖1̌
𝑑𝑡
+ �̇�1. 𝑗1̌ + 𝑦1.
𝑑𝑗1̌
𝑑𝑡
+ �̇�1. �̌�1 + 𝑧1.
𝑑�̌�1
𝑑𝑡
 
 
Como la rotación la hemos definido de eje fijo, dirección constante, y además 
coincidente con el eje Z1, entonces su versor asociado, �̌�1 no rota. 
 
Su módulo tampoco cambia y vale 1 para todo t, puesto que se trata de un versor, 
entonces su derivada es el vector nulo: 
𝑑�̌�1
𝑑𝑡
= 0̅. Pero no va a pasar lo mismo con los otros 
dos. Porque ellos si rotan. 
 
Cuando los versores rotan, su módulo tampoco cambia, pero su dirección sí. 
 
Luego la derivada mide ese cambio de dirección. 
 
¿Cómo calcularla? Lo primero 
que hacemos es hacernos es dibujar un 
esquema de dos versores separados en 
el tiempo, un intervalo tiempo Δt, y aplicar 
la definición de derivada. En el dibujo, 
que es básicamente una vista en planta 
del plano X-Y, supusimos que la terna 
móvil se mueve en el sentido contrario a 
las agujas del reloj, a la velocidad wT. 
Evitamos al versor 𝑗̌1, para no recargar 
con tanto detalle. 
 
𝑑𝑖1̌
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆𝑖1̅̅ ̅̅
∆𝑡
 
 
Las sucesivas posiciones que 
pueda ocupar el versor 𝑖1̌, estarán todas 
circunscriptas dentro de una 
circunferencia unitaria, con centro en O1. 
 
En el numerador del límite aparece la magnitud ∆�̅�, que tiene carácter vectorial. ∆�̅� 
representa el vector desplazamiento del versor 𝑖 ̌entre los instantes t y t+Δt. El denominador 
es la variación del tiempo (Δt), que es un escalar. El límite de una magnitud vectorial es otro 
vector. Su módulo vemos de la figura, que se puede asimilar al arco comprendido entre las 
dos posiciones sucesivas del versor que estamos analizando. 
 
∆𝑠 = ∆𝛼. 1 1 es el radio de la circunferencia 
 
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y como ∆𝛼 = 𝜔𝑇 . ∆𝑡 
Nos queda: 
 
|
𝑑𝑖1̌
𝑑𝑡
| = lim
∆𝑡→0
|∆�̅�|
∆𝑡
= lim
1
𝜔𝑇 . ∆𝑡. 1
∆𝑡
= 𝜔𝑇 
 
Pero nos falta la dirección… Habíamos dicho que como el numerador era un vector, 
el resultado tenía que ser un vector. Sacamos módulo para analizar simplemente su valor o 
intensidad, nos falta la dirección. 
 
Si volvemos al esquema, vemos que ∆𝑖1̅̅ ̅̅ es un el segmento de recta que va desde el 
extremo del versor 𝑖1̌ en el instante t, hasta el extremo de 𝑖1̌ en el instante t + Δt. 
 
Ese vector es secante a la circunferencia y define el ángulo ∆𝛼. 
 
En el límite, cuando Δt tiende a cero, ese vector secante, se hace cada vez más 
pequeño en módulo, pero se alinea con la tangente a la circunferencia una dirección 
perpendicular a 𝑖1̌. 
 
O sea, en el límite ∆𝑖1̅̅ ̅̅ , tendrá la dirección de 𝑗1̌. Entonces: 
 
𝒅�̌�𝟏
𝒅𝒕
= 𝝎𝑻. 𝒋̌𝟏 
 
Otra forma de “verlo”, es como si tuviéramos un punto en el extremo del versor �̌�𝟏, al 
que llamamos P. Su vector posición en la TF será: 
 
(𝑃 − 𝑂) = 1. 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑖̌ + 1. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑗̌ 
Y su velocidad: 
 
�̅�𝑃 = −�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑖̌ + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑗̌ = 𝑉𝑃,𝑥 . 𝑖̌ + 𝑉𝑃,𝑥 . 𝑗̌ 
 
Y si volvemos a proyectar este vector en la TM (aplicamos la matriz que vimos antes, 
queda: 
{
𝑉𝑃,𝑥1
𝑉𝑃,𝑦1
𝑉𝑃,𝑧1
} = [
 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 0
−𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 0
 0 0 1
] . {
𝑉𝑃,𝑥
𝑉𝑃,𝑦
𝑉𝑃,𝑧
} 
 
{
𝑉𝑃,𝑥1
𝑉𝑃,𝑦1
𝑉𝑃,𝑧1
} = [
 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼 0
−𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 0
 0 0 1
] . {
−�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝛼
�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼
0
} 
 
{
𝑉𝑃,𝑥1 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. (−�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝛼) + 𝑠𝑒𝑛𝛼. (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼) + 0.0 
𝑉𝑃,𝑦1 = −𝑠𝑒𝑛𝛼. (−�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝛼). +𝑐𝑜𝑠𝛼𝛼. (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼) + 0.0
𝑉𝑃,𝑧1 = 0. (−�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝛼) + 0. (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼) + 1.0 
} 
 
{
𝑉𝑃,𝑥1 = −�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛼 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝑉𝑃,𝑦1 = +�̇�. 𝑠𝑒𝑛
2 + �̇�. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 
𝑉𝑃,𝑧1 = 0. (−�̇�. 𝑠𝑒𝑛𝛼) + 0. (�̇�. 𝑐𝑜𝑠𝛼) + 1.0
} 
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{
𝑉𝑃,𝑥1 = 0 
𝑉𝑃,𝑦1 = �̇�
𝑉𝑃,𝑧1 = 0
} 
 
En definitiva, nos queda un vector columna: 
 
{
0
�̇�
0
} 
 
Por lo tanto, en los ejes de la móvil, 
 
�̅�𝑃 = �̇�. 𝑗1̌ = 𝜔𝑇 . 𝑗1̌ 
 
Porque ya habíamos visto, cuando analizamos la velocidad angular de la terna, que 
�̇� = 𝑤𝑇. Vemos que los dos caminos con condujeron a lo mismo. 
 
Es más, si hacemos el siguiente producto vectorial: �̅�𝑇 ∧ 𝑖1̌, veremos que nos da el 
mismo resultado que ambas deducciones que nos costó tanto trabajo desarrollar. Es decir: 
 
 
𝑑 𝑖1̌
𝑑𝑡
= �̅�𝑇 ∧ 𝑖1̌ = (𝜔𝑇 . �̌�1) ∧ 𝑖1̌ = 𝜔𝑇 . (�̌�1 ∧ 𝑖1̌) = 𝜔𝑇 . 𝑗1̌ 
 
De la misma manera, se podríamos verificar que: 
 
𝑑𝑗1̌
𝑑𝑡
= �̅�𝑇 ∧ 𝑗1̌ = −𝜔𝑇 . 𝑖1̌ 
 
𝑑�̌�1
𝑑𝑡
= �̅�𝑇 ∧ �̌�1 = 𝜔𝑇 . �̌�1 ∧ �̌�1 = 0̅ 
 
Solo hay que tener presente que en este ejemplo habíamos supuesto que la terna 
solo giraba alrededor de j1. 
 
En un caso más general tendremos: 
 
𝒅�̌�𝟏
𝒅𝒕
= �̅�𝑻 ∧ �̌�𝟏 
 
𝒅𝒋̌𝟏
𝒅𝒕
= �̅�𝑻 ∧ 𝒋̌𝟏 
 
𝒅�̌�𝟏
𝒅𝒕
= �̅�𝑻 ∧ �̌�𝟏 
 
Las tres últimas se conocen con el nombre de ecuaciones de Poisson, y son 
expresiones que nos permiten calcular la derivada temporal de los versores de ternas móviles, 
cualquiera sea la orientación de �̅�𝑇. Por supuesto que hay que conocerla. Ya veremos la 
dificultad que conlleva en cada caso 
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Volviendo al vector velocidad, que estábamos tratando de calcular, habíamos llegado 
a: 
 
�̅�𝑃 = �̇�1. 𝑖1̌ + 𝑥1.
𝑑𝑖1̌
𝑑𝑡
+ �̇�1. 𝑗1̌ + 𝑦1.
𝑑𝑗1̌
𝑑𝑡
+ �̇�1. �̌�1 + 𝑧1.
𝑑�̌�1
𝑑𝑡
 
 
La última derivada (
𝑑𝑘1̌
𝑑𝑡
), era cero, porque en este caso 𝑘1̌ no giraba. Para calcular 
las otras dos, aplicamos Poisson. Luego nos queda: 
 
�̅�𝑃 = �̇�1. 𝑖1̌ + 𝑥1. (�̅�𝑇 ∧ 𝑖1̌) + �̇�1. 𝑗1̌ + 𝑦1. (�̅�𝑇 ∧ 𝑗1̌) + �̇�1. �̌�1 + 𝑧1. 0̅ 
 
Reordenamos: 
�̅�𝑃 = (�̇�1 −𝜔𝑇 . 𝑦1). 𝑖1̌ + (�̇�1 + 𝑥1. 𝜔𝑇). 𝑗1̌ + �̇�1. �̌�1 
 
Para la aceleración, tendríamos que volver a derivar, y cuando aparezca la derivada 
de un versor, volver a aplicar Poisson. Recordemos que estamos frente a un caso particular, 
con una terna rotando con un vector �̅�𝑻, que tiene componentes solo en la dirección del eje 
Z1 positivo. Además, habrá que considerar, si ese giro es con velocidad angular constante, o 
con aceleración angular. Porque ya vemos que en las expresiones anteriores apareció la 
velocidad angular…. Habíamos dicho al comienzo que no, porque muchos mecanismos giran 
a velocidad constante. Bueno, si es el caso mejor, sino habrá que calcular también las 
variaciones temporales de wT. 
 
Si wT es constante: 
 
�̅�𝑃 = (�̈�1 − 2. �̇�1. 𝜔𝑇 − 𝑥1. 𝜔𝑇
2). 𝑖1̌ + (�̈�1 + 2. �̇�1. 𝜔𝑇 − 𝑦1. 𝜔𝑇
2). 𝑗1̌ + �̈�1. �̌�1 
 
En cambio, si la velocidad angular tiene la dirección fija e Z1, pero puede cambiar de 
intensidad, tendremos aceleración angular (ε): 
 
𝑑�̅�𝑇
𝑑𝑡
=
𝑑(𝜔𝑇 . �̌�1)
𝑑𝑡
=
𝑑𝜔𝑇
𝑑𝑡
. �̌�1 +𝑤𝑇 .
𝑑�̌�1
𝑑𝑡
 
 
𝑑�̅�𝑇
𝑑𝑡
= 𝜀�̅� =
𝑑𝜔𝑇
𝑑𝑡
. �̌�1 +𝜔𝑇 . 0̅ = 𝜀𝑇 . �̌�1 
 
Donde hemos llamado εT, al módulo de la aceleración angular de la terna móvil. 
Finalmente: 
 
�̅�𝑃 = (�̈�1 − 2. �̇�1. 𝜔𝑇 − 𝑥1. 𝜔𝑇
2 − 𝜀𝑇 . 𝑦1). 𝑖1̌ + (�̈�1 + 2. �̇�1. 𝜔𝑇 −𝜔𝑇
2. 𝑦1 + 𝜀𝑇 . 𝑥1). 𝑗1̌ + �̈�1. �̌�1 
 
Vemos como se complicó la expresión…, y esa que la rotación es con eje fijo. 
 
Recordamos por último que las anteriores son solo válidas para rotación alrededor de 
Z1, y que todas las derivadas que aparecen son respecto del tiempo. Los primados no implican 
ninguna derivada, sino que tal coordenada está medida desde la TM. 
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
V. EJEMPLOS 
 
 
Ejemplo N° 1. 
 
El movimiento de un punto está definido por las ecuaciones paramétricas: 
 
{
𝑥 = 3. 𝑡3; 
𝑦 = 𝑡2 − 10;
𝑧 = 𝑡3 + 2 
 (𝒊)Con t medido en segundos, y las coordenadas en metros. 
 
Se pide determinar: 
 
a) El vector posición; 
b) Los vectores velocidad y aceleración; 
c) La norma del vector aceleración; 
d) Hallar la ley horaria. 
 
a) Vector posición: 
 
Bien, primero que nada, aclaramos que las ecuaciones que nos dieron en (i), son las 
ecuaciones paramétricas de la trayectoria, y el parámetro en t (el tiempo). 
 
 El vector posición en coordenadas cartesianas en simplemente: 
 
�̅� = �̅�(𝑡) = (𝑃 − 𝑂) = 𝑥. 𝑖̌ + 𝑦. 𝑗̌ + 𝑧. �̌� 
 
�̅� = 3. 𝑡3. 𝑖̌ + (𝑡2 − 10). 𝑗̌ + (𝑡3 + 2). �̌� (𝑖𝑖) 
 
b) Vectores velocidad y aceleración: 
 
�̅�(𝑡) = �̅� =
𝑑�̅�(𝑡)
𝑑𝑡
= 9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡. 𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌� (𝑖𝑖𝑖) 
 
�̅�(𝑡) = �̅� =
𝑑�̅�(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑2�̅�(𝑡)
𝑑𝑡2
= 18. 𝑡. 𝑖̌ + 2. 𝑗̌ + 6. 𝑡. �̌� (𝑖𝑣) 
 
c) Norma del vector aceleración: 
 
|�̅�(𝑡)| = 𝑎(𝑡) = 𝑎 = √(18. 𝑡)
2 + 22 + (6. 𝑡)2 
 
𝑎 = √324. 𝑡2 + 4 + 36. 𝑡2 = 2.√90. 𝑡2 + 1 (𝑣) 
 
d) Ley horaria: 
 
�̇� = √81. 𝑡4 + 4. 𝑡2 + 9. 𝑡4 = 𝑡.√(90. 𝑡2 + 4) =
𝑑𝑠(𝑡)
𝑑𝑡
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 
𝑠(𝑡) − 𝑠0 = ∫ �̇�(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
= ∫ 𝑡.√(90. 𝑡2 + 4). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
 
𝑠(𝑡) = 𝑠0 +
(90. 𝑡2 + 4)3/2
3. √90
|
𝑡𝑜
𝑡
 
 
Si para to = 0, s0 = 0, entonces, 
 
𝑠(𝑡) =
(90. 𝑡2 + 4)3/2
3. √90
−
(4)
3
2
3. √90
=
(90. 𝑡2 + 4)1,5 − 8
9. √10
 
 
𝑠(𝑡) =
(90. 𝑡2 + 4)1,5 − 8
9. √10
 (𝑥𝑣) 
Ejemplo N° 2. 
 
Como segundo ejemplo elegimos un 
problema en 3D. Se trata de un disco en 
voladizo sometido a dos velocidades angulares 
constantes. Veremos la complejidad que ofrece 
su planteo con las técnicas de cinemática del 
punto, sobre todo con terna fija. La resolución se 
encara con terna fija y con terna móvil y más 
adelante veremos cómo se simplifica al aplicar 
las formulaciones de cuerpo rígido. 
 
PROBLEMA: Para el disco de radio R de la 
figura se pide determinar la velocidad y la 
aceleración de un punto genérico E, ubicado en 
la periferia del disco utilizando a) Un sistema de 
referencia de coordenadas cartesianas fijas, y; 
b) Un sistema de referencia cartesiano móvil, 
que solo rote con la velocidad angular 𝜔1. 
 
Esquema de vistas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 
Datos: L1 = L2; L3; R = Radio del disco; w1=cte; w2=cte; A y C vínculos que permiten el giro 
de la barra AC; D, vínculo de 5ta. especie que permite el giro del disco alrededor de BD. 
 
a) Resolución utilizando coordenadas cartesianas con terna fija (SRI). 
 
• Origen de la terna O, coincidente con el punto B; 
• Eje X en la dirección de la BD, pero solo en el instante inicial, Ya que el eje X no 
rota y la barra BD sí- Tiene asociado el versor 𝑖;̌ 
• Eje Z en la dirección de la barra BC. Tiene asociado el versor �̌�; 
• Eje Y en la dirección del versor 𝑗̌, tal que: 𝑗̌ = �̌� ∧ 𝑖̌ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vemos que las direcciones de los ejes coordenados de la terna fija, coinciden con las 
direcciones de las barras y/o con su perpendicular en to. Pero a medida que el tiempo 
progresa, la barra BD se separa del eje X un ángulo 𝜑1(𝑡), que se puede calcular como 
𝜑1(𝑡) = 𝜔1. 𝑡, ya que: 𝜔1 = 𝑐𝑡𝑒 = 𝑑𝜑1(𝑡)/𝑑𝑡, de donde 𝑑𝜑1(𝑡) = 𝜔1. 𝑑𝑡, e integrando entre los 
límites de integración apropiados: ∫ 𝑑𝜑1(𝑡)
𝜑1(𝑡)
𝜑1𝑜
= ∫ 𝜔1. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
, queda la expresión 𝜑1 = 𝜔1. 𝑡. 
 
Bien, aquí nos requieren obtener la velocidad y aceleración del punto E (punto genérico 
cualquiera de la periferia del disco), utilizando coordenadas cartesianas referidas a la terna 
fija que acabamos de definir. 
 
La dificultad fundamental de la Cinemática del Punto, es la descripción del vector 
posición en el sistema de referencia que estemos utilizando, que en este caso es el SRI o fijo. 
 
El vector posición del punto E, será: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
�̅�𝐸 = (𝐸 − 𝑂) 
 
Que en este caso, lo podemos descomponer en dos tramos: 
 
�̅�𝐸 = (𝐸 − 𝑂) = (𝐷 − 𝑂) + (𝐸 − 𝐷) 
 
El problema o la dificultad es que los ejes de la terna están todos fijos, mientras que 
(D-O) se separa del eje X, por el efecto de w1, y a su vez (E-D) se aleja del eje en dos 
direcciones…, hacia la dirección de Z debido a w2 y en el plano X-Y, hacia -X, debido a w1. 
 
Todo esto se puede poner de manifiesto de la siguiente manera: 
 
(𝐷 − 𝑂) = 𝐿3. cos(𝜔1. 𝑡). 𝑖̌ + 𝐿3. sen(𝜔1. 𝑡). 𝑗̌ 
 
(𝐸 − 𝐷) = −𝑅. 𝑐𝑜𝑠(𝜔2. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡). 𝑖̌ + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠(𝜔2. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(𝜔1. 𝑡). 𝑗̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔2. 𝑡). �̌� 
 
 Finalmente (juntando los dos anteriores): 
 
(𝑬 − 𝑶) = [𝑳𝟑. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕) − 𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕)]. �̌�
+ [𝑳𝟑. 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝟏. 𝒕) + 𝑹. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕)]. 𝒋̌ + 𝑹. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟐. 𝒕). �̌� 
 
 Una vez que hemos logrado explicitar el vector posición, el resto parece sistemático. 
La velocidad es la derivada primera del vector posición, respecto del tiempo t, y; la aceleración 
la derivada segunda. 
 
𝑽𝑬̅̅̅̅ = [−𝝎𝟏. 𝑳𝟑. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕) + 𝑹.𝝎𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕) − 𝑹.𝝎𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕)]�̌�
+ [𝑳𝟑.𝒘𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟏. 𝒕) − 𝑹.𝝎𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕)
− 𝑹.𝝎𝟏. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕)]. 𝒋̌ + 𝑹.𝝎𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). �̌� 
 
 Vemos que el número de términos está creciendo en forma alarmante… Finalmente la 
aceleración será: 
 
𝑎𝐸̅̅ ̅ = [−𝜔1
2. 𝐿3. 𝑐𝑜𝑠(𝜔1. 𝑡) + 𝑅.𝜔2
2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔2. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡) + 𝑅.𝜔2. 𝜔1. 𝑠𝑒𝑛(𝜔2. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(𝜔1. 𝑡)
+ 𝑅.𝜔1. 𝜔2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔2. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(𝜔1. 𝑡) + 𝑅.𝜔1
2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔2. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡)]𝑖̌
+ [−𝐿3.𝜔1
2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡) − 𝑅.𝜔2
2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔2. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(𝜔1. 𝑡)
+ 𝑅.𝜔2. 𝜔1. 𝑠𝑒𝑛(𝜔2. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡) + 𝑅.𝜔1. 𝜔2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔2. 𝑡). 𝑠𝑒𝑛(𝜔1. 𝑡)
− 𝑅.𝜔1
2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔2. 𝑡). 𝑐𝑜𝑠(𝜔1. 𝑡)]. 𝑗̌ − 𝑅.𝜔2
2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔2. 𝑡). �̌� 
 
𝒂𝑬̅̅̅̅ = [−𝝎𝟏
𝟐. 𝑳𝟑. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕) + 𝑹. (𝝎𝟏
𝟐 +𝝎𝟐
𝟐). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕)
+ 𝟐. 𝑹.𝝎𝟏. 𝝎𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕)]�̌�
+ [−𝑳𝟑.𝝎𝟏
𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕) − 𝑹. (𝝎𝟏
𝟐 +𝝎𝟐
𝟐). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟏. 𝒕)
+ 𝟐. 𝑹.𝝎𝟏. 𝝎𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟐. 𝒕). 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟏. 𝒕)]. 𝒋̌ − 𝑹.𝝎𝟐
𝟐. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟐. 𝒕). �̌� 
 
 Los términos se han vuelto a incrementar y no podemos sacar muchas conclusiones 
de utilidad, salvo que la resolución es posible, aunque excesivamente larga para hacerlo en 
forma manual (sin la ayuda de un software apropiado). 
 
b) Resolución utilizando coordenadas cartesianas desde la terna de referencia que rota 
con el sistema de barras (sistema de referencia no inercial). 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 
Definimos una terna auxiliar 
móvil, también cartesiana, pero que rota. 
El origen de la terna móvil (O1) 
permanecerá fijo u coincidente con el 
punto B (y se quiere, también, con el 
origen de la terna fija). A pesar de que su 
origen permanece fijo, por el hecho de 
rotar, sabemos que se trata de una terna 
no inercial. La rotación que le 
permitiremos es la que produce 𝜔1. Es 
decir, el eje Z1 permanece fijo, en la 
dirección de la barra BC, pero los ejes X1 
e Y1, rotan con 𝜔1, siguiendo (o 
acompañando) el movimiento del disco. 
 
 Entonces: 
• Origen O1 en B, coincidente con 
el origen ( O ) de la terna fija; 
• Eje Z1 en la dirección de la barra BC, en todo t, y tiene asociado el versor �̌�1; 
• Eje X1 tiene la dirección de la barra BD, en todo t. Gira con velocidad angular 𝜔1, igual 
que la barra BD, y tiene asociado el versor 𝑖1̌; 
• Eje Y1 también gira con velocidad angular 𝜔1, por lo tanto, se mantiene todo el tiempo 
perpendicular a X1 (y a Z1). Tiene asociado el versor 𝑗1̌. Además, par cualquier instante 
de tiempo t que se considere, se cumple que: 𝑗1̌ = �̌�1 ∧ 𝑖1̌. 
• Se puede destacar que para cualquier instante de tiempo t que se considere, el ángulo 
de separación entre los versores 𝑖 ̌𝑒𝑖1̌, es exactamente el mismo que el de separación 
entre los versores 𝑗̌ − 𝑗1̌. Esto es 𝜑1(𝑡) = 𝜔1. 𝑡 (ya se dedujo su expresión cuando 
analizamos la terna fija). 
 
Los cuatro parámetros que definen cómo se mueve este sistema de referencia, podrían 
ser los siguientes: 
 
{
 
 
 
 
�̅�𝑂1 = 0̅; 
�̅�𝑂1 = 0̅; 
�̅�𝑇𝑀 = �̅�1 = 𝜔1. �̌�1;
𝜀�̅�𝑀 = 0̅ 
 
 
 Bien, como los ejes de la TM se mueven junto con el sistema de barras, la descripción 
del vector posición se ve muy simplificada: 
 
�̅�𝐸 = (𝐸 − 𝑂1) = (𝐷 − 𝑂1) + (𝐸 − 𝐷) 
 
 Donde: 
 
(𝐷 − 𝑂1) = 𝐿3. 𝑖1̌ 
 
 Y, 
(𝐸 − 𝐷) = 𝑅. cos(𝜔2. 𝑡) . 𝑗1̌ + 𝑅. sen(𝜔2. 𝑡) . �̌�1 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 Entonces: 
(𝑬 − 𝑶𝟏) = 𝑳𝟑. �̌�𝟏 + 𝑹. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐. 𝒕) . 𝒋̌𝟏 + 𝑹. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕) . �̌�𝟏 
 
 La velocidad (cuidado porque ahora hay versores que están rotando, y su derivada no 
será nula…): 
 
�̅�𝐸 = 𝐿3.
𝑑𝑖1̌
𝑑𝑡
+ 𝑅.
𝑑 cos(𝜔2. 𝑡)
𝑑𝑡
. 𝑗1̌ + 𝑅. cos(𝜔2. 𝑡) .
𝑑𝑗1̌
𝑑𝑡
+ 𝑅.
𝑑 sen(𝜔2. 𝑡)
𝑑𝑡
. �̌�1 
 
�̅�𝐸 = 𝐿3. 𝜔1. 𝑗1̌ − 𝑅.𝜔2. sen(𝜔2. 𝑡) . 𝑗1̌ − R.𝜔1. cos(𝜔2. 𝑡) . 𝑖1̌ + 𝑅.𝜔2. cos(𝜔2. 𝑡) . �̌�1 
 
Ordenando un poco: 
 
�̅�𝑬 = −𝐑.𝝎𝟏. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐. 𝒕) . �̌�𝟏 + [𝑳𝟑. 𝝎𝟏 − 𝑹.𝝎𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕)]. 𝒋̌𝟏 +𝑹.𝝎𝟐. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐. 𝒕) . �̌�𝟏 
 
 Y la aceleración será: 
 
 �̅�𝑬 = +𝐑.𝝎𝟏. 𝝎𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕) . �̌�𝟏 − 𝐑.𝝎𝟏
𝟐. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐. 𝒕) . 𝒋̌𝟏 + [−𝑹.𝝎𝟐
𝟐. 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐. 𝒕)]. 𝒋̌𝟏 +
[𝑳𝟑. 𝝎𝟏 − 𝑹.𝝎𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕)]. 𝝎𝟏. (−�̌�𝟏) − 𝑹.𝝎𝟐
𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕) . �̌�𝟏 
 
 Ordenando de nuevo: 
 
�̅�𝑬 = [𝟐.𝐑.𝝎𝟏. 𝝎𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕) − 𝑳𝟑. 𝝎𝟏
𝟐]�̌�𝟏 − 𝐑. (𝝎𝟏
𝟐 +𝝎𝟐
𝟐). 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝟐. 𝒕) . 𝒋̌𝟏 − 𝑹.𝝎𝟐
𝟐. 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝟐. 𝒕) . �̌�𝟏 
 
 Expresión mucho más sencilla que la anterior (aceleración del punto E en la terna fija 
o inercial), pero que tampoco aporta mucho desde lo físico. Es un resultado difícil de 
interpretar. 
 
 Difiere lógicamente del resultado anterior, puesto que las dos ternas están rotadas una 
respecto de la otra. Habría que hallar la matriz de transformación del sistema rotado al sin 
rotar, o viceversa, para poder transformar los vectores posición, velocidad y aceleración de 
un sistema al otro y recién ahí, analizar las coincidencias, que por supuesto, salvo errores 
involuntarios a la hora de derivar, deberían coincidir plenamente. Dejamos esto para el lector 
interesado. 
 
Ejemplo N° 3. 
 
Como último ejemplo hemos elegido una aplicación al campo de los mecanismos. Se 
trata de un mecanismo de retracción rápida que tiene un sinnúmero de aplicaciones. Es el 
problema N° 32 de la guía del libreo Mecánica Racional del ingeniero Alessio. 
 
Enunciado: Dado el mecanismo de retracción rápido indicado en la figura (ver más 
abajo, donde se responde el punto a), determinar: 
 
a) La expresión de la elongación x(t); 
b) La velocidad del muñón en; 
c) Las condiciones cinemáticas y geométricas para que la elongación se máxima; 
d) Justificar el nombre del mecanismo; 
e) Graficar v(t) y v(x). 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
Datos: 
 
L = 1,25 m; 
BC = R = 0,25 m; 
AB = 0,75 m; 
𝜔 = 500 𝑟𝑝𝑚 
 
Utilizamos un SR cartesiano fijo, 
con origen O, coincidente con el punto A, 
como se muestra en la figura de más abajo. 
 
a) Expresión de la elongación: 
 
 Condiciones iniciales: Para t=to=0, 
suponemos que x = 0, y por lo tanto, el 
punto C está en el extremo superior de la 
circunferencia (BH coincide con el radio), y 
el ángulo inicial que forma la biela BC con 
BG, es nulo. De allí, resulta que ese 
ángulo, que podemos denominar 𝜑, y que 
medimos desde la referencia absoluta vertical que constituye el eje Y, en sentido horario, 
vale: 𝜑 = 𝜔. 𝑡. 
 
Agregando algunos puntos más al esquema, que resultan de la intersección de 
líneas de referencia, vemos que se forman dos triángulos semejantes. El AGD y el AHC. 
Para ellos vale: 
 
𝐺𝐷
𝐴𝐺
=
𝐻𝐶
𝐴𝐻
 
 
 Pero, GD = x; AG = L; HC = R.sen(wt), y; AH =AB+R.cos(wt). 
 
Entonces: 
 
𝑥
𝐿
=
𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡)
𝐴𝐵 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)
 
 
 Y también, 
 
𝑥 =
𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡)
𝐴𝐵 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)
. 𝐿 
 
 Como 𝐴𝐵 =
2
3
. 𝐿, quedará: 
 
𝒙(𝒕) =
𝑹. 𝒔𝒆𝒏(𝝎. 𝒕)
𝟐
𝟑 . 𝑳 + 𝑹. 𝐜𝐨𝐬 (𝝎. 𝒕)
. 𝑳 
 
El vector posición carece un poco de interés, pero si queremos explicitarlo será 
simplemente: 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 
(𝐷 − 𝑂) =
𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡)
2
3
. 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)
. 𝐿. 𝑖̌ + 𝐿. 𝑗 ̌
 
b) Velocidad de la corredera en “D” 
 
 Volviendo al dato de interés, 
 
𝑉𝐷𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝜔. 𝑅. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡). [
2
3
. 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)] − 𝐿. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡). [−𝜔. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛 (𝜔. 𝑡)]
[
2
3 . 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 
 
𝑉𝐷𝑥 =
[
2
3
. 𝐿. 𝜔. 𝑅. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) + 𝑅. cos(𝜔. 𝑡) . 𝜔. 𝑅. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡)] − 𝐿. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡). [−𝜔. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛 (𝜔. 𝑡)]
[
2
3
. 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 
 
𝑉𝐷𝑥 =
2
3 . 𝐿. 𝜔. 𝑅. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠
(𝜔. 𝑡) + 𝑅. cos(𝜔. 𝑡) . 𝜔. 𝑅. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) + 𝐿. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡). 𝜔. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛 (𝜔. 𝑡)
[
2
3 . 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 
 
𝑉𝐷𝑥 =
2
3 .𝜔. 𝑅. 𝐿
2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) + 𝜔. 𝑅2. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠2(𝜔. 𝑡) + 𝜔. 𝑅2. 𝐿. 𝑠𝑒𝑛2 (𝜔. 𝑡)
[
2
3
. 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 
 
𝑉𝐷𝑥 =
2
3 .𝜔. 𝑅. 𝐿
2. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) + 𝜔. 𝑅2. 𝐿
[
2
3
. 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 
 
𝑉𝐷𝑥 = 𝜔.𝑅. 𝐿.
[
2
3 . 𝐿. 𝑐𝑜𝑠
(𝜔. 𝑡) + 𝑅]
[
2
3 . 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 
 
c) Condiciones cinemáticas y geométricas para la elongación máxima: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
La condición geométrica para tener la elongación máxima, es que D coincida con F, y 
por lo tanto, que AD sea tangente a la circunferencia de radio BC. En esta situación, el 
triángulo ABC es rectángulo en C, entonces: 
 
 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
(
 
𝑅
√(
2
3
. 𝐿)
2
− (𝑅)2)
 (1) 
Y 
𝝋𝒎á𝒙 =
𝝅
𝟐
+ 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
(
 
𝑹
√(
𝟐
𝟑 . 𝑳)
𝟐
− (𝑹)𝟐)
 (𝟐) 
 
 La condición cinemática es que la velocidad se 
anule, para que haya una reversión del sentido de 
avance. 
 
 Si se anula la velocidad, entonces: 
 
𝑉𝐷𝑥 = 𝜔.𝑅. 𝐿.
[
2
3 . 𝐿. 𝑐𝑜𝑠
(𝜔. 𝑡) + 𝑅]
[
2
3
. 𝐿 + 𝑅. cos (𝜔. 𝑡)]
2 = 0 
 
2
3
. 𝐿. 𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) + 𝑅 = 0 
𝑐𝑜𝑠(𝜔. 𝑡) = −
3
2
.
𝑅
𝐿
 
 
𝝎. 𝒕 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 (−
𝟑
𝟐
.
𝑹
𝑳
) (𝟑) 
 
 Las expresiones de (2) y (3), deben coincidir. 
 
 En este caso, reemplazando los valores del enunciado se llega aproximadamente a 
unos 108,21° con ambas ecuaciones. 
 
d) Justificación del nombre del mecanismo: 
 
 Cuando la corredera D, va desde “E” hacia “F” (hacia la izquierda), la biela BC, que gira 
con velocidad angular 𝜔 constante, recorre un ángulo de 𝜋 radianes más dos veces 𝛼. En 
cambio, cuando “vuelve” (viaja de “F” hacia “E”), la biela barre un ángulo menor: 𝜋 − 2. 𝛼. 
Como la velocidad angular es constante, viajar de E hacia F lleva más tiempo que hacerlo en 
sentido contrario. La diferencia de tiempo es en total 2. 𝛼/𝜔. Donde 𝛼 viene dado por la 
expresión (a). 
 
 En este ejemplo, 𝛼 ≅ 18,21°, y 𝜔 =
(2.𝜋.𝑛)
60
=
2.𝜋.300
60
= 10. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔⁄ 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Cartesianas 
 
 
 
 La diferencia angular es de 2. 𝛼 = 36,42°. O sea, 216,42° para ir de E hacia F, y 143,58 
para el retorno. 
 
f) Gráficos. 
 
 Damos por concluida nuestra labor y se los dejamos para el alumno. 
 
Para mayor detalle, los invitamos a revisar nuestra guía de problemas resueltos de 
mecánica clásica. 
 
 
VI. BIBLIOGRAFÍA 
 
1. Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN), Buenos Aires, 2007; 
2. Mecánica de Luis Roque Argüello, Answer Just in Time, Buenos Aires, 2003; 
3. Mecánica Racional de Ércoli y Azurmendi, Edutecne, UTN, Buenos Aires, 2014: 
4. Mecánica Clásica de H. Goldstein, editorial Reverté, Barcelona 1987; 
5. Mecánica Vectorial para Ingenieros, tomo II,Mecánica, de Beer-Johnston, Editorial Mc. 
Graw Hill; 
6. Dinámica de R.C: Hibbeler, editorial Pearson, Prentice Hall; 
7. Dinámica de W. Riley y L. Sturges, editorial Reverté. 
8. Mecánica Teórica de Hertig, editorial El Ateneo. 
 
 
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