CAP 1 _CPM_2_Coord_Intrinsecas

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CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DEL PUNTO 
 
Parte 2 - COORD. INTRÍNSECAS. 
 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
El sistema de coordenadas naturales o intrínsecas fue impulsado por Jean Fréderic 
Frenet (7/FEB/1816 a 12/JUN/1900), a mediados del siglo XIX, quien dedicó gran parte de su 
vida al estudio de las curvas. 
 
II. DEFINICIÓN DE LA TERNA INTRÍNSECA. 
 
El origen de coordenadas, O1, en este caso está montado en el mismo punto de estudio 
o de interés. Le agregamos el subíndice 1 para indicar que se trata del origen de un sistema 
de referencia móvil. 
 
En otras palabras “O1” que es el origen de este sistema de referencia, coincide con el 
punto P todo el tiempo. Por lo tanto, se trata de un sistema de referencia móvil, con origen 
móvil, que está ubicado siempre sobre la trayectoria, que no permite una descripción analítica 
del vector posición, pero que sin embargo, sí permite una descripción de los vectores 
velocidad y aceleración. 
 
a) Ejes y versores de la terna intrínseca. 
 
Al igual que el sistema cartesiano, también utiliza tres vectores mutuamente 
perpendiculares entre sí, pero en lugar de tener orientaciones arbitrarias, tienen orientaciones 
definidas por la misma trayectoria. 
 
 Los tres ejes tienen asociados versores colineales con cada uno de ellos. Los versores 
se intersectan en el origen y reciben el nombre de versor tangente, versor normal y versor 
binormal respectivamente: 
 
• Versor tangente: �̌�, o �̌�𝑡 
• Versor normal: �̌�, o �̌�𝑛, y; 
• Versor binormal: �̌�, o bien, y �̌�𝑏. 
 
Dependiendo de la literatura que consultemos, los encontraremos escritos de una 
forma o de otra. 
 
Como la terna tiene que ser triortogonal y derecha, se cumple que: 
 
• �̌� ∧ �̌� = �̌�; 
• �̌� ∧ �̌� = �̌�, y; 
• �̌� ∧ �̌� = �̌� 
 
El primero de todos, y el más fácil de definir. Se llama versor tangente porque es 
tangente a la trayectoria. Es decir, tiene la dirección de la tangente a la curva en ese punto, y 
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sentido coincidente con el desplazamiento del punto a lo largo de la misma. O sea, el sentido 
de �̆�, coincide con el del movimiento del punto “P”. 
 
Si tomamos dos tangentes sucesivas (esto es, dos rectas tangentes infinitamente 
próximas entre sí), tienen la propiedad de ser coplanares. Es decir, se cortan en un punto. 
Luego definen un plano, que es el plano osculador o plano del movimiento. Este plano puede 
cambiar instante instante (si la curva es alabeada), pero en cada instante es el plano donde 
yacen el punto considerado, el vector velocidad y el vector aceleración. Por eso se dice que 
el plano osculador, es el plano donde en cada instante se desarrolla el movimiento. 
 
En el plano osculador están contenidos dos de los versores del sistema de referencia: 
el versor tangente y el versor normal. Luego, el versor binormal, tiene que ser perpendicular 
al plano osculador. 
 
El segundo vector que podemos definir en el versor normal, �̌�, que es el versor que 
tiene la dirección de la normal principal. Es decir, por el punto P, pasa la tangente a la 
trayectoria e infinitas normales. Luego �̌� es el que tiene la dirección de la normal principal. ¿Y 
cuál es la normal principal? La que contiene al radio de flexión (𝜌) y el centro de curvatura. 
Luego, para saber conocer �̌�, hay que determinar primero, hacia dónde se flexiona la 
trayectoria. El versor �̌�, el que tenga la dirección de la normal principal y sentido tal, que 
apunta hacia el centro de la circunferencia tangente a la trayectoria en el punto considerado. 
 
Una vez que hemos definido dos cualesquiera de los versores, el tercero queda 
automáticamente definido a través de la regla del producto vectorial y las condiciones que 
hemos impuesto al sistema de referencia: en cuanto a la ortogonalidad y que sea una terna 
derecha. Es decir: �̌� = �̌� ∧ �̌�. 
 
El versor �̌� también se podría haber definido de manera similar a �̌�, considerando la 
segunda normal principal, que es la que contiene el centro de torsión y el radio de torsión (𝜏), 
o de segunda curvatura. 
 
b) Planos coordenados: 
 
Al igual que en cartesianas, los versores tomados de a dos, definen los tres planos 
coordenados: 
 
• Plano osculador: Contiene a �̌� y a �̌�. Luego: �̌� ∙ (�̌� ∧ �̌�) = 0; 
• Plano tangente o rectificante: Contiene a �̌� y a �̌�. Luego: �̌� ∙ (�̌� ∧ �̌�) = 0; 
• Plano normal: Contiene a �̌� y a �̌�. Luego: �̌� ∙ (�̌� ∧ �̌�) = 0; 
 
III. ECUACIONES DE FRENET. 
 
Se puede demostrar que los versores de la terna intrínseca, están relacionados con 
cambios de dirección (derivadas) de los vectores que definen la posición y las propiedades 
fundamentales del movimiento, a lo largo de la trayectoria: 
 
�̆� =
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑠
⁄
|
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑠
⁄ |
 
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�̌� =
𝑑�̆�
𝑑𝑠⁄
|𝑑�̆� 𝑑𝑠⁄ |
 
 
�̆� =
𝑑�̆�
𝑑𝑠⁄
|𝑑�̆� 𝑑𝑠⁄ |
 
 
 Una explicación no muy formal se puede ver al final, en el apéndice. 
 
Intentemos ahora calcular algunas de estas derivadas respecto de s, pero 
comenzaremos primero, con la del versor �̌�: 
 
𝑑�̌�
𝑑𝑠
 
 
Recurrimos a la definición de derivada: 
 
𝑑�̌�
𝑑𝑠
= lim
Δ�̂�→0
�̆�(𝑡 + ∆𝑡) − �̆�(𝑡)
∆�̂�
= ? ? ? ? 
 
Consideremos dos versores �̌� sucesivos a lo largo del camino, o trayectoria, que 
delimitan un arco ∆�̂�. Los dibujamos sobre la trayectoria y los trasladamos a un origen común, 
a través de cuyos extremos podemos trazar una circunferencia: 
 
 
 
En esta circunferencia unitaria (figura de la derecha), tenemos que: 
 
�̆�(𝑡 + ∆𝑡) − �̆�(𝑡) = ∆𝑡̅̅ ̅ 
 
Y como estamos calculando la derivada respecto de s, entonces ∆�̂� → 0, y por lo tanto 
el arco comprendido entre los dos extremos de los dos versores sucesivos (que no es ∆�̂�, 
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porque ∆�̂� se mide sobre la trayectoria, y este arco del que estamos hablando se mide en la 
circunferencia de radio 1 de la derecha), se confunde con el segmento de la recta secante 
trazado por los extremos de los versores, que es el módulo del vector ∆𝑡̅̅ ̅. 
 
El arco, se puede calcular como Radio por Ángulo. Pero el radio es uno, entonces: 
 
|∆𝑡̅̅ ̅| ≅ ∆𝑟𝑐�̂� = 1 × ∆𝜑, 𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑡𝑒 ∆𝜑 
 
Pero, en la figura de la izquierda (tramo de trayectoria), podemos ver que: ∆�̂� = 𝜌. ∆𝜆 
, donde ρ es el radio de curvatura de flexión. Comparando ambos gráficos vemos también 
que: ∆𝜆 = ∆𝜑, por lo tanto: 
 
∆�̂� = 𝜌. ∆𝜆 = 𝜌. ∆𝜑, 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: ∆𝜑 = ∆�̂�/𝜌 
 
Reemplazando en la expresión de la derivada y pasando a calcular el módulo 
tendremos: 
|
𝑑�̌�
𝑑𝑠
| = lim
Δ�̂�→0
|�̆�(𝑡 + ∆𝑡) − �̆�(𝑡)|
∆�̂�
= lim
Δ�̂�→0
|∆𝑡̅̅ ̅|
∆�̂�
= lim
Δ�̂�→0
∆𝜑. 1
∆𝜆. 𝜌
=
1
𝜌
 
 
La dirección y el sentido de la derivada 𝑑�̆� 𝑑𝑠⁄ la podemos gráficamente en el diagrama 
de la izquierda: Cuando Δ�̂� → 0, el versor �̆�(𝑡 + ∆𝑡) se acerca al versor �̆�(𝑡), y el vector ∆𝑡̅̅ ̅ pasa 
de secante a tangente, y por lo tanto a ser normal a �̆�(𝑡). En el apéndice se demuestra con un 
poco de más formalidad que �̆� y 
𝑑�̆�
𝑑𝑠
 son perpendiculares. 
 
En definitiva, la derivada que intentamos calcular se conoce con el nombre de primera 
ecuación de Frenet, tiene la dirección de la normal principal, �̌�, y por módulo 1/𝜌: 
. 
𝒅�̆�
𝒅𝒔
=
𝟏
𝝆
. �̆� (𝟏) 
 
De la misma manera, analizando la variación en el plano normal estaremos evaluando 
la torsión de la curva, y llegaremos a: 
 
𝒅�̆�
𝒅𝒔
= −
𝟏
𝝉
. �̆� (𝟐) 
 
Que se conoce como segunda fórmula de Frenet. Donde 𝝉 es el radio de curvatura de 
torsión. 
 
Finalmente, la variación de �̆� a lo largo de la curva, se conoce como tercera fórmula 
de Frenet, y se puede expresar en función de las otras dos derivadas, como: �̌� = �̌� ∧ �̌� 
 
𝒅�̆�
𝒅𝒔
= −
𝟏
𝝆
. �̆� +
𝟏
𝝉
. �̆� (𝟑) 
 
Luego, la inversa del radio de curvatura de flexión, será la curvatura de flexión,o 
primera curvatura: 
 
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𝑐1 = 1/𝜌 
 
La inversa del radio de curvatura de torsión, será la curvatura de torsión, o segunda 
curvatura: 
 
𝑐2 = 1/Ʈ 
 
Y se puede definir como curvatura compuesta a: 
 
𝑐𝑐 = √𝑐1
2 + 𝑐2
2 
 
Donde, 1
√(
1
𝜌
)
2
+ (
1
𝜏
)
2⁄
 sería el radio de curvatura compuesta (rcc). 
 
 
IV. POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN: 
 
 
a) Vector Posición: 
 
Como el origen de coordenadas de este sistema está posicionado sobre el mismo 
punto cuyo movimiento se está intentando describir, no habrá vector posición. Es decir, �̅� es 
el vector nulo: 
 
�̅�(𝒕) = (𝑷 − 𝑶𝟏) = �̅� 
 
 
b) Vector velocidad: 
 
Con el versor tangente (�̆�,) basta por sí solo para expresar la velocidad, ya que como 
vimos, la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y tiene el sentido del movimiento. 
Luego a la velocidad, la podemos expresar como (ya vimos cómo podemos calcular su 
módulo): 
�̆� = 𝑣(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ /𝑣(𝑡) 
 
𝑣(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑣(𝑡). �̆� =
𝑑𝑠(𝑡)̂
𝑑𝑡
. �̆� 
 
�̅�(𝒕) = �̇�(𝒕). �̆� (𝟒) 
 
Vemos que el vector velocidad en coordenadas intrínsecas tiene una sola componente, 
que es justamente en la dirección del versor tangente. 
 
 
c) Vector aceleración: 
 
Para hallar la aceleración, debemos hallar la derivada temporal del vector velocidad. 
Y la velocidad, en coordenadas intrínsecas ya vimos que se escribe como el producto de un 
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escalar por un versor: �̅�(𝑡) = �̇�(𝑡). �̆�. Donde este último, en el caso más general, varía su 
dirección y sentido con el tiempo. Entonces: 
 
�̅�(𝑡) =
𝑑�̅�(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑[�̇�(𝑡). �̆�]
𝑑𝑡
 
 
�̅�(𝑡) =
𝑑�̇�(𝑡)
𝑑𝑡
. �̆� + �̇�(𝑡).
𝑑�̆�
𝑑𝑡
 
 
Por Poisson: 
𝑑�̆�
𝑑𝑡
= �̅�𝑇 ∧ �̌�, pero: �̅�𝑇 =? ? ? ? ? ? 
 
La primera derivada 𝑑�̇�(𝑡)/𝑑𝑡 es simplemente la derivada segunda del arco respecto 
del tiempo, o simplemente la derivada temporal de la rapidez o, lo que es lo mismo, la derivada 
temporal del módulo del vector velocidad instantánea. El término 𝑑𝑠/𝑑𝑡 ya vimos que es �́�(𝑡), 
o módulo del vector velocidad. Entonces: 
 
�̅�(𝑡) = �̈�(𝑡). �̆� + �̇�(𝑡).
𝑑�̆�
𝑑𝑡
 (5) 
 
La segunda derivada es la derivada temporal del versor tangente y podemos recurrir a 
la regla de la cadena: 
 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
=
𝑑�̌�
𝑑𝑠
.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
 
 
La primera derivada del segundo miembro coincide con la primera ecuación de Frenet 
y la segunda es simplemente �̇�(𝑡), que es de nuevo el módulo del vector velocidad. 
Reemplazando en (5): 
 
𝑑�̌�
𝑑𝑡
=
𝑑�̌�
𝑑𝑠
.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
�̌�
𝜌
. �̇�(𝑡) =
�̇�(𝑡)
𝜌
. �̌� 
 
�̅�(𝒕) = �̈�(𝒕). �̆� +
�̇�𝟐(𝒕)
𝝆
. �̆� (𝟔) 
 
O sea, en el sistema de coordenadas intrínsecas la aceleración tiene únicamente dos 
componentes: una en la dirección del versor tangente, y otra en la dirección del versor normal 
a la trayectoria, trazado por “P”. Dichas componentes reciben los nombres de componente 
tangencial y normal de la aceleración. 
 
La velocidad una sola componente; la aceleración, como mucho dos, y; el vector 
posición, ninguna. 
 
Si el módulo de la velocidad se incrementa, la aceleración total se inclina hacia 
“adelante” en el sentido del avance de la partícula “P”. En cambio, si el módulo de la velocidad 
disminuye a medida que se incrementa t, el movimiento es retardado y el vector aceleración 
se inclina hacia atrás. 
 
V. VELOCIDAD ANGULAR DE LA TERNA INTRÍNSECA: 
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En el caso más general, la terna rotará. Su velocidad angular, 𝝎𝑻̅̅ ̅̅ , se puede calcular, 
forzando a que las derivadas temporales de los versores de la terna, cumplan con la ley de 
Poisson. Es decir: 
 
𝑑�̆�
𝑑𝑡
=
𝑑�̆�
𝑑𝑠
.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝜔𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̌� 
 
Aplicando la primera ecuación de Frenet: 
 
𝑑�̆�
𝑑𝑡
=
𝑑�̆�
𝑑𝑠
.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
1
𝜌
. �̆�.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝜔𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̌� (7) 
 
Lo mismo con las otras dos derivadas: 
 
𝑑�̆�
𝑑𝑡
=
𝑑�̆�
𝑑𝑠
.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −
1
𝜏
. �̆�.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝜔𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̌� (8) 
 
𝑑�̆�
𝑑𝑡
=
𝑑�̆�
𝑑𝑠
.
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= (−
1
𝜌
. �̆� +
1
𝜏
. �̆�) .
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝜔𝑇̅̅ ̅̅ ∧ �̌� (9) 
 
De la ecuación (9) es fácil deducir intuitivamente que las componentes de la velocidad 
angular tienen que ser: 
 
�̅�𝑻 =
�̇�
𝝉
. �̌� +
�̇�
𝝆
. �̌� (𝟏𝟎) 
 
 Se puede comprobar fácilmente que ecuación (10) permite calcular las derivadas 
temporales de los versores con las ecuaciones de Poisson. 
 
Luego el módulo de la velocidad angular, será: 
 
𝝎𝑻 = √(
𝒔
𝝉
̇
)
𝟐
+ (
𝒔
𝝆
)
̇ 𝟐
= �̇�.√(
𝟏
𝝉
)
𝟐
+ (
𝟏
𝝆
)
𝟐
= �̇�. 𝑪𝒄 (𝟏𝟏) 
 
Esto es, el módulo de la velocidad instantánea (en dicho instante) por la curvatura 
compuesta (o también dividido el radio de curvatura compuesta). 
 
VI. RESUMEN. 
 
En coordenadas intrínsecas tendremos: 
 
Ecuaciones de Frenet: 
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{
 
 
 
 
𝒅�̆�
𝒅𝒔
=
𝟏
𝝆
. �̆� 
𝒅�̆�
𝒅𝒔
= −
𝟏
𝝉
. �̆� 
𝒅�̆�
𝒅𝒔
= −
𝟏
𝝆
. �̆� +
𝟏
𝝉
. �̆�
 
 
Vectores posición, velocidad y aceleración: 
 
{
 
 
 
 �̅�(𝒕) = (𝑷 −𝑶𝟏) = �̅� 
�̅�(𝒕) = �̇�(𝒕). �̆� 
�̅�(𝒕) = �̈�(𝒕). �̆� +
�̇�𝟐(𝒕)
𝝆
. 𝒏 ̆ 
 
 
Velocidad angular de la terna: 
 
{
�̅�𝑻 =
�̇�
𝝉
. �̌� +
�̇�
𝝆
. �̌� 
𝒘𝑻 = �̇�. 𝑪𝒄 = �̇�. √(𝟏/𝝆)
𝟐 + (𝟏/𝝉)𝟐
 
 
 
VII. EJERCICIOS RESUELTOS 
 
 
Primero que nada vamos a ver una relación entre las coordenadas de la velocidad y 
de la aceleración en coordenadas intrínsecas, y los vectores velocidad y aceleración: 
 
Si se dispone de las expresiones analíticas de los vectores velocidad y aceleración en 
cualquier sistema de coordenadas, siempre se podrán hallar las componentes intrínsecas de 
los vectores velocidad y aceleración, a través de las siguientes operaciones: 
 
�̇�(𝑡) = �̅� = 𝑉 
 
𝑎𝑡𝑔 =
�̅�. �̅�
𝑉
 
 
𝑎𝑛 =
|�̅� ∧ �̅�|
𝑉
 
 
 Luego: 
�̅�𝐼𝑛𝑡𝑟í𝑛𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠 = �̇�(𝑡). �̌� 
 
�̅�𝐼𝑛𝑡𝑟í𝑛𝑠𝑒𝑐𝑎𝑠 = 𝑎𝑡𝑔. �̌� + 𝑎𝑛. �̌� 
 
 Asimismo, 
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�̅� ∧ �̅� = |
|
�̌� �̌� �̌�
�̇�(𝑡) 0 0
�̈�(𝑡)
�̇�2(𝑡)
𝜌
0
|
| = �̇�(𝑡).
�̇�2(𝑡)
𝜌
. �̌� 
 
|�̅� ∧ �̅�| = |�̇�(𝑡).
�̇�2(𝑡)
𝜌
. �̌�| = �̇�(𝑡).
�̇�2(𝑡)
𝜌
=
�̇�3
𝜌
 
 
𝜌 =
�̇�3
|�̅� ∧ �̅�|
 
 
 La demostración no ofrece mayor dificultad. Basta plantear las expresiones genéricas 
de �̅� y de �̅� en el sistema de coordenadas en que se dispongan, y realizar las operaciones 
propuestas. Dejamos la verificación al alumno. 
 
 
Ejemplo N° 1. 
 
Como primer ejemplo, retomamos el primer ejemplo que vimos en coordenadas 
cartesianas, donde el movimiento de un punto está definido por las ecuaciones paramétricas: 
 
{
𝑥 = 3. 𝑡3; 
𝑦 = 𝑡2 − 10;
𝑧 = 𝑡3 + 2 
 (𝒊) 
 
Y le agregamos lo siguiente, 
 
Determinar: 
 
a) Las expresiones de los vectores de la terna intrínseca; 
b) La componente tangencial de la velocidad; 
c) Las componentes tangencial y normal de la aceleración; 
d) Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas intrínsecas; 
e) Los radios de curvatura de flexión y de torsión; 
f) Las curvaturas de flexión, de torsión y compuesta; 
 
Solución: 
 
Reescribimos los resultados de las coordenadas cartesianas: 
 
�̅� = (𝑃 − 𝑂) = 3. 𝑡3. 𝑖̌ + (𝑡2 − 10). 𝑗̌ + (𝑡3 + 2). �̌� 
 
�̅� = 9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡. 𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌� 
 
�̅� = 18. 𝑡. 𝑖̌ + 2. 𝑗̌ + 6. 𝑡. �̌� 
 
𝑎 = 2.√90. 𝑡2 + 1 
 
a) Versores de la terna intrínseca: 
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�̌� =
�̅�(𝑡)
𝑉
=
9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡. 𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌�
√81. 𝑡4 + 4. 𝑡2 + 9. 𝑡4
 
 
�̌� =
𝟗. 𝒕𝟐. �̌� + 𝟐. 𝒕. 𝒋̌ + 𝟑. 𝒕𝟐. �̌�
√𝟗𝟎. 𝒕𝟒 + 𝟒. 𝒕𝟐
 
 
�̌� =
�̅� ∧ �̅�
|�̅� ∧ �̅�|
=
(9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡. 𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌�) ∧ (18. 𝑡. 𝑖̌ + 2. 𝑗̌ + 6. 𝑡. �̌�)
|(9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡.𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌�) ∧ (18. 𝑡. 𝑖̌ + 2. 𝑗̌ + 6. 𝑡. �̌�)|
 
 
�̅� ∧ �̅� = |
 𝑖 ̌ 𝑗̌ �̌� 
9. 𝑡2 2. 𝑡 3. 𝑡2
18. 𝑡 2 6. 𝑡 
| 
 
�̅� ∧ �̅� = (12. 𝑡2 − 6. 𝑡2). 𝑖̌ − (36. 𝑡3 − 54. 𝑡3). 𝑗̌ + (18. 𝑡2 − 36. 𝑡2). �̌� 
 
�̅� ∧ �̅� = 6. 𝑡2. 𝑖̌ + 18. 𝑡3. 𝑗̌ − 18. 𝑡2. �̌� 
 
|�̅� ∧ �̅�| = √36. 𝑡4 + 324. 𝑡6 − 324. 𝑡4 = √324. 𝑡6 − 288. 𝑡4 
 
|�̅� ∧ �̅�| = √36. 𝑡2. (9. 𝑡4 − 8. 𝑡2) = 6. 𝑡. √(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2) 
 
�̌� =
�̅� ∧ �̅�
|�̅� ∧ �̅�|
=
6. 𝑡2. 𝑖̌ + 18. 𝑡3. 𝑗̌ − 18. 𝑡2. �̌�
6. 𝑡. √(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
 
 
�̌� =
𝒕. �̌� + 𝟑. 𝒕𝟐. 𝒋̌ − 𝟑. 𝒕. �̌�
√(𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)
 
 
�̌� = �̌� ∧ �̌� = (
𝑡. 𝑖̌ + 3. 𝑡2. 𝑗̌ − 3. 𝑡. �̌�
√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
) ∧ (
9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡. 𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌�
√90. 𝑡4 + 4. 𝑡2
) 
 
�̌� ∧ �̌� =
1
√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
.
1
√90. 𝑡4 + 4. 𝑡2
. |
 𝑖 ̌ 𝑗̌ �̌� 
𝑡 3. 𝑡2 − 3. 𝑡
9. 𝑡2 2. 𝑡 3. 𝑡2 
| 
 
�̌� =
1
√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2). (90. 𝑡4 + 4. 𝑡2)
. |
 𝑖̌ 𝑗̌ �̌� 
𝑡 3. 𝑡2 − 3. 𝑡
9. 𝑡2 2. 𝑡 3. 𝑡2 
| 
 
�̌� =
1
√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2). (90. 𝑡4 + 4. 𝑡2)
. [(9. 𝑡4 + 6. 𝑡2). 𝑖̌ − (3. 𝑡3 + 27. 𝑡3). 𝑗̌ + (2. 𝑡2 − 27. 𝑡4). �̌�] 
 
�̌� =
1
√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2). (90. 𝑡4 + 4. 𝑡2)
. [(9. 𝑡4 + 6. 𝑡2). 𝑖̌ − 30. 𝑡3. 𝑗̌ + (2. 𝑡2 − 27. 𝑡4). �̌�] 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
�̌� =
(9. 𝑡2 + 6). 𝑖̌ − 30. 𝑡. 𝑗̌ + (2 − 27. 𝑡2). �̌�
√(9. 𝑡2 − 8). (90. 𝑡2 + 4)
 
 
�̌� =
(𝟗. 𝒕𝟐 + 𝟔). �̌� − 𝟑𝟎. 𝒕. 𝒋̌ + (𝟐 − 𝟐𝟕. 𝒕𝟐). �̌�
√(𝟖𝟏𝟎. 𝒕𝟒 − 𝟔𝟖𝟒. 𝒕𝟐 − 𝟑𝟐)
 
 
b) Componente tangencial de la velocidad: 
 
𝑉(𝑡) = |�̅�(𝑡)| = 𝑉 = �̇�(𝑡) = �̇� = 
 
�̇� = √81. 𝑡4 + 4. 𝑡2 + 9. 𝑡4 = √𝑡2. (90. 𝑡2 + 4) 
 
�̇� = 𝒕.√(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒) 
 
c) Componentes tangencial y normal de la aceleración: 
 
𝑎𝑛 =
|�̅� ∧ �̅�|
𝑉
=
6. 𝑡. √(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
𝑡. √(90. 𝑡2 + 4)
 
 
𝒂𝒏 = 𝟔.√
(𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)
(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
 
 
𝑎𝑡𝑔 =
�̅�. �̅�
𝑉
=
(9. 𝑡2. 𝑖̌ + 2. 𝑡. 𝑗̌ + 3. 𝑡2. �̌�). (18. 𝑡. 𝑖̌ + 2. 𝑗̌ + 6. 𝑡. �̌�)
𝑡. √(90. 𝑡2 + 4)
 
 
𝑎𝑡𝑔 =
�̅�. �̅�
𝑉
=
162. 𝑡3 + 4. 𝑡 + 18. 𝑡3
𝑡. √(90. 𝑡2 + 4)
 
 
𝒂𝒕𝒈 =
𝟏𝟔𝟐. 𝒕𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟖. 𝒕𝟐
√(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
 
 
d) Expresiones de la velocidad y aceleración en coordenadas intrínsecas: 
 
�̅�(𝑡) = �̇�(𝑡). �̌� = �̇�. �̌� 
 
�̅�(𝒕) = 𝒕.√(𝟗𝟎. 𝒕
𝟐 + 𝟒). �̌� 
 
�̅�(𝑡) = 𝑎𝑡𝑔. �̌� + 𝑎𝑛. �̌� 
 
�̅�(𝒕) =
𝟏𝟔𝟐. 𝒕𝟐 + 𝟒 + 𝟏𝟖. 𝒕𝟐
√(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
. �̌� + 𝟔.√
(𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)
(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
. �̌� 
 
e) Radios de curvatura. 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
De flexión: 
𝜌 =
�̇�3
|�̅� ∧ �̅�|
 
 
𝜌 =
[𝑡. √(90. 𝑡2 + 4)]
3
6. 𝑡. √(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
 
 
𝝆 =
𝒕𝟐
𝟔
.√
(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)𝟑
(𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)
 
 
De torsión: 
 
|
𝑑�̌�
𝑑𝑡
| = |−
�̇�
𝜏
. �̌�| 
 
𝜏 =
�̇�
|
𝑑�̌�
𝑑𝑡
|
 
 
|
𝑑�̌�
𝑑𝑡
| =
|
|
𝑑 (
𝑡. 𝑖̌ + 3. 𝑡2. 𝑗̌ − 3. 𝑡. �̌�
√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
)
𝑑𝑡 |
|
 
 
|
𝑑�̌�
𝑑𝑡
| = |
|
(𝑖̌ + 6. 𝑡. 𝑗̌ − 3. �̌�). (√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)) − (𝑡. 𝑖̌ + 3. 𝑡2. 𝑗̌ − 3. 𝑡. �̌�). (
36. 𝑡3 − 16. 𝑡
2.√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
)
(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2) |
|
 
 
|
𝑑�̌�
𝑑𝑡
| = |
(𝑖̌ + 6. 𝑡. 𝑗̌ − 3. �̌�). (√(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2))
(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
−
(𝑡. 𝑖̌ + 3. 𝑡2. 𝑗̌ − 3. 𝑡. �̌�)
(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
.
36. 𝑡3 − 16. 𝑡
2. √(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
| 
 
|
𝑑�̌�
𝑑𝑡
| = |
(𝑖̌ + 6. 𝑡. 𝑗̌ − 3. �̌�).
√9. 𝑡4 − 8. 𝑡2
−
(𝑡. 𝑖̌ + 3. 𝑡2. 𝑗̌ − 3. 𝑡. �̌�)
2. (9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)3/2
. (36. 𝑡3 − 16. 𝑡)| 
 
𝝉 =
�̇�
|
𝒅�̌�
𝒅𝒕
|
=
𝒕. √(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
|
(�̌� + 𝟔. 𝒕. 𝒋̌ − 𝟑. �̌�).
√𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐
−
(𝒕. �̌� + 𝟑. 𝒕𝟐. 𝒋̌ − 𝟑. 𝒕. �̌�)
𝟐. (𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)𝟑/𝟐
. (𝟑𝟔. 𝒕𝟑 − 𝟏𝟔. 𝒕)|
 
 
 
f) Curvaturas. 
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
Curvatura de flexión o primera curvatura: 
 
𝑐1 =
1
𝜌
=
1
𝑡2
6 .
√
(90. 𝑡2 + 4)3
(9. 𝑡4 − 8. 𝑡2)
 
 
𝒄𝟏 =
𝟔
𝒕𝟐
. √
(𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)
(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)𝟑
 
 
 Curvatura de torsión o segunda curvatura: 
 
𝒄𝟐 =
𝟏
𝝉
=
|
(�̌� + 𝟔. 𝒕. 𝒋̌ − 𝟑. �̌�).
√𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐
−
(𝒕. �̌� + 𝟑. 𝒕𝟐. 𝒋̌ − 𝟑. 𝒕. �̌�)
𝟐. (𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)𝟑/𝟐
. (𝟑𝟔. 𝒕𝟑 − 𝟏𝟔. 𝒕)|
𝒕. √(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
 
 
Curvatura compuesta: 
 
𝐶𝑐 = √𝑐1
2 + 𝑐2
2 = √(
1
𝜏
)
2
+ (
1
𝜌
)
2
 
 
𝑪𝒄 =
√
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 |
(�̌� + 𝟔. 𝒕. 𝒋̌ − 𝟑. �̌�).
√𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐
−
(𝒕. �̌� + 𝟑. 𝒕𝟐. 𝒋̌ − 𝟑. 𝒕. �̌�)
𝟐. (𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)𝟑/𝟐
. (𝟑𝟔. 𝒕𝟑 − 𝟏𝟔. 𝒕)|
𝒕. √(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)
]
 
 
 
 
𝟐
+ [
𝟔
𝒕𝟐
. √
(𝟗. 𝒕𝟒 − 𝟖. 𝒕𝟐)
(𝟗𝟎. 𝒕𝟐 + 𝟒)𝟑
]
𝟐
 
 
La dejamos planteada. 
 
Ejemplo N° 2. 
 
 
Las ecuaciones paramétricas del movimiento de un punto son: 
 
{
𝑥 = 𝑅. cos𝜑
𝑦 = 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑧 =
𝑝
2. 𝜋
. 𝜑 
 (𝑖) 
 
Donde R recibe el nombre del cilindro sostén y p, el de paso de la hélice. 
 
Se pide hallar: 
 
a) Las expresiones de los versores de la terna intrínseca en la base cartesiana; 
b) Intente calcular el radio de curvatura de flexión. Compare R con 𝜌. Explicar las 
diferencias numéricas. 
Si la ley horaria del ángulo 𝜑 fuera: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
𝜑 =
1
2
. 𝛾. 𝑡2 (𝑖𝑖) 
 
Entonces calcular: 
 
c) Expresión intrínseca de la velocidad; 
d) Componentes intrínsecas de la aceleración; 
e) Radio de curvatura de flexión; 
 
Solución: 
 
a) Versores de la terna intrínseca en la base cartesiana. 
Bien, en la primera parte, como no conocemos la ley horaria de 𝜑, e incluso no 
sabemos siquiera si 𝜑 es función del tiempo, no podemos derivar respecto del tiempo, y por 
lo tanto no podemos calcular la velocidad y la aceleración. 
 
No obstante, si consideramos a 𝜑 como un parámetro cualquiera, aún podemos 
asegurar que: 
�̌� =
𝑑�̅�(𝜑)/𝑑𝜑
|𝑑�̅�(𝜑)/𝑑𝜑|
 
 
Y que 
 
�̌� =
�̌� ∧ 𝑑�̌�/𝑑𝜑
|�̌� ∧ 𝑑�̌�/𝑑𝜑|
=
(𝑑�̅�(𝜑)/𝑑𝜑) ∧ (𝑑2�̅�(𝜑)/𝑑𝜑2)
|(𝑑�̅�(𝜑)/𝑑𝜑) ∧ 𝑑2�̅�(𝜑)/𝑑𝜑2|
 
 
Ver Mecánica de Alessio. 
 
Entonces, 
 
Armando el vector �̅� parametrizado respecto de 𝜑: 
 
�̅� = 𝑥. 𝑖̌ + 𝑦. 𝑗̌ + 𝑧. �̌� (𝑖𝑖𝑖) 
 
Y reemplazando las ecuaciones (i) en (iii): 
�̅� = 𝑅. cos𝜑 . 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. 𝜑. �̌� (𝑖𝑣) 
 
Derivando: 
 
𝑑�̅�(𝜑)
𝑑𝜑
= 𝑘1. �̌� = −𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. �̌� 
 
𝑑(𝑘1. �̌�)/𝑑𝜑
𝑑𝜑
=
𝑑2�̅�(𝜑)
𝑑𝜑2
= −𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ 
 
Luego: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
�̌� =
−𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋 . �̌�
√𝑅2 + (
𝑝
2. 𝜋)
2
=
−2. 𝜋. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 2. 𝜋. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑝. �̌�
√4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
 (𝑣) 
 
(
𝑑�̅�(𝜑)
𝑑𝜑
) ∧ (
𝑑2�̅�(𝜑)
𝑑𝜑2
) = (−𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. �̌�) ∧ (−𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌) 
 
(
𝑑�̅�(𝜑)
𝑑𝜑
) ∧ (
𝑑2�̅�(𝜑)
𝑑𝜑2
) = 𝑅2. 𝑠𝑒𝑛2𝜑. �̌� + 𝑅2. 𝑐𝑜𝑠2𝜑. �̌� −
𝑝. 𝑅
2. 𝜋
. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ +
𝑝. 𝑅
2. 𝜋
. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖 ̌
 
(
𝑑�̅�(𝜑)
𝑑𝜑
) ∧ (
𝑑2�̅�(𝜑)
𝑑𝜑2
) =
𝑝. 𝑅
2. 𝜋
. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ −
𝑝. 𝑅
2. 𝜋
. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑅2. �̌� 
 
|(
𝑑�̅�(𝜑)
𝑑𝜑
) ∧ (
𝑑2�̅�(𝜑)
𝑑𝜑2
)| = √(
𝑝. 𝑅
2. 𝜋
)
2
+ (𝑅2)2 
 
�̌� =
𝑝. 𝑅
2. 𝜋 . 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ −
𝑝. 𝑅
2. 𝜋 . 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑅
2. �̌�
√(
𝑝. 𝑅
2. 𝜋
)
2
+ 𝑅4
 =
𝑝. 𝑅
2. 𝜋 . 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ −
𝑝. 𝑅
2. 𝜋 . 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑅
2. �̌�
𝑅
2. 𝜋
. √𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2
 
 
�̌� =
𝑝. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ − 𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 2. 𝜋. 𝑅. �̌�
√𝑝2 + 2. 𝜋2. 𝑅2
 (𝑣𝑖) 
 
Por último, �̌� = �̌� ∧ �̌� = (𝑣𝑖) ∧ (𝑣): 
 
�̌� =
𝑝. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ − 𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 2. 𝜋. 𝑅. �̌�
√𝑝2 + 2. 𝜋2. 𝑅2
∧
−2. 𝜋. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 2. 𝜋. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑝. �̌�
√4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
 
 
�̌� = [𝑝. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 2. 𝜋. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. �̌� − 𝑝. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑝. 𝑗̌ − 𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 2. 𝜋. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. �̌� − 𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑝. 𝑖̌
− 2. 𝜋. 𝑅. 2.𝜋. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ − 2. 𝜋. 𝑅. 2. 𝜋. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌]/(4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2) 
 
�̌� =
−(𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2). 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − (𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2). 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌
4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
 
 
Entonces: 
 
{
 
 
 
 
 
 �̌� =
𝑝. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ − 𝑝. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 2. 𝜋. 𝑅. �̌�
√𝑝2 + 2. 𝜋2. 𝑅2
 
�̌� =
−(𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2). 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖̌ − (𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2). 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌
4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
�̌� =
−2. 𝜋. 𝑅. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 2. 𝜋. 𝑅. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑝. �̌�
√4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
 
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
Si desarrollamos el movimiento del punto P a lo largo de una vuelta completa, 
tendremos que: 
 
 
Donde A en un punto cualquiera de la trayectoria, a partir de la cual dejamos que 
𝜑 recorra 360°. Cuando esto ocurra, P habrá alcanzado el punto C, o sea estará un paso p, 
por encima de A. 
 
En el esquema anterior, 𝛽 es el ángulo de paso de la hélice y en el caso que 𝜔 fuera 
constante, este ángulo también lo será. En eses caso (hélice de paso constante), tendría 
sentido definir: 
{
 
 
 
 𝑡𝑔(𝛽) =
𝑝
2. 𝜋. 𝑅
 
𝑠𝑒𝑛(𝛽) =
𝑝
√𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2
𝑐𝑜𝑠(𝛽) =
2. 𝜋. 𝑅
√𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2
 (𝑣𝑖𝑖) 
 
Si reemplazamos las (vii) en la (v) y en la (vi), quedan: 
 
�̌� = −𝒄𝒐𝒔𝜷. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� + 𝒄𝒐𝒔𝜷. 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋̌ + 𝒔𝒆𝒏𝜷. �̌� 
 
�̌� = 𝒔𝒆𝒏𝜷. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� − 𝒔𝒆𝒏𝜷. 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋̌ + 𝒄𝒐𝒔𝜷. �̌� 
 
Finalmente, 
 
�̌� = �̌� ∧ �̌� = (𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ − 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑐𝑜𝑠𝛽. �̌�)
∧ (−𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑖̌ + 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑗̌ + 𝑠𝑒𝑛𝛽. �̌�) 
 
�̌� = �̌� ∧ �̌� = 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜑. �̌� − 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑗̌ − 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑒𝑛𝜑. �̌�
− 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑒𝑛𝛽. 𝑖̌ − 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑠𝑒𝑛𝜑. 𝑗̌ − 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝛽. 𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑖 ̌
 
�̌� = �̌� ∧ �̌� = −𝒄𝒐𝒔𝝋. �̌� − 𝒔𝒆𝒏𝝋. 𝒋̌ 
 
Si 𝜔 es constante, en tonces: 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
{
�̌� = −𝒄𝒐𝒔𝜷. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� + 𝒄𝒐𝒔𝜷. 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋̌ + 𝒔𝒆𝒏𝜷. �̌�
�̌� = 𝒔𝒆𝒏𝜷. 𝒔𝒆𝒏𝝋. �̌� − 𝒔𝒆𝒏𝜷. 𝒄𝒐𝒔𝝋. 𝒋̌ + 𝒄𝒐𝒔𝜷. �̌� 
�̌� = −𝒄𝒐𝒔𝝋. �̌� − 𝒔𝒆𝒏𝝋. 𝒋̌ 
 
 
b) Radio de curvatura de flexión: 
 
Si tuviéramos los vectores velocidad y aceleración, podríamos hacer: 
 
𝜌 =
�̇�3
|�̅� ∧ �̅�|
 
 
Como no los tenemos, la alternativa es hacer: 
 
𝜌 =
|𝑑�̅�(𝜑)/𝑑𝜑|3
|(𝑑�̅�(𝜑)/𝑑𝜑) ∧ 𝑑2�̅�(𝜑)/𝑑𝜑2|
 
Reemplazando: 
 
𝜌 =
√𝑅2 + (
𝑝
2. 𝜋)
2
3
√(
𝑝. 𝑅
2. 𝜋)
2
+ (𝑅2)2
=
(
1
2. 𝜋)
3
. √4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
𝑅
2. 𝜋
. √𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2
3
=
4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
4. 𝜋2. 𝑅
 
 
𝜌 =
4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
4. 𝜋2. 𝑅
.
𝑅
𝑅
= (
4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
4. 𝜋2. 𝑅2
) . 𝑅 
 
Si el ángulo de la hélice es constante, reemplazando el paréntesis por la última de las 
ecuaciones de (vii), queda: 
 
𝝆 =
𝑹
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷
 
 
• Si 𝛽 = 60°, entonces 𝜌 ≅ 2,894 × 𝑅 
• Si 𝛽 = 30°, entonces 𝜌 ≅ 1,26 × 𝑅 
• Si 𝛽 = 0°, entonces 𝜌 = 𝑅. 
 
A medida que achica el paso de la hélice, el ángulo 𝛽 se hace más pequeño y 𝜌 se 
achica. Y en el límite, para 𝛽 = 0, tendremos una circunferencia (un movimiento circular, por 
lo que 𝜌 = 𝑅. 
 
Intuitivamente parece concordar… repetiremos las cuentas cuando tengamos los 
vectores velocidad y la aceleración. 
 
c) Expresión intrínseca de la velocidad. 
 
Lamentablemente no tenemos una ecuación que nos permita un cálculo directo en 
coordenadas intrínsecas. Tenemos que calcular primero la velocidad en cartesianas, y luego 
aplicar la ecuación de transformación. Así que comenzamos armando el vector posición, 
introduciendo (ii) en (i): 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
 
 
(𝑃 − 𝑂) = 𝑅. cos (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ + 𝑅. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
.
1
2
. 𝛾. 𝑡2. �̌� (𝑣𝑖𝑖𝑖) 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. =
𝑑(𝑃 − 𝑂)
𝑑𝑡
= −𝑅. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ + 𝑅. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . �̌� 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. = −𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ + 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). �̌� 
 
𝑉𝐶𝑎𝑟𝑡. = √[−𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)]
2
+ [𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)]
2
+ [
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡)]
2
 
 
𝑉𝐶𝑎𝑟𝑡. = √𝑅
2. 𝛾2. 𝑡2 +
𝑝2
4. 𝜋2
. 𝛾2. 𝑡2 
 
𝑉𝐶𝑎𝑟𝑡. =
𝛾. 𝑡
2. 𝜋
. √4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2 (𝑖𝑥) 
 
 Luego: 
 
�̅�𝐼𝑛𝑡 = �̇�. �̌� 
 
�̅�𝑰𝒏𝒕. = (
𝜸. 𝒕
𝟐.𝝅
.√𝟒. 𝝅𝟐. 𝑹𝟐 + 𝒑𝟐) . �̌� 
 
d) Vector aceleración en cilíndricas. 
 
Primero calculamos la aceleración en cartesianas: 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡 = −𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ + 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). �̌� 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡 = −[𝑅. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) + 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)] . 𝑖̌
+ [𝑅. 𝛾. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) − 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)] . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. 𝛾. �̌� 
 
 Buscamos el producto escalar y el vectorial entre �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. y �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡.: 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡.. �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. = 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . [𝑅. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) + 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)]
+ 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . [𝑅. 𝛾. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) − 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)]
+
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡).
𝑝
2. 𝜋
. 𝛾 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡.. �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. = 𝑅
2. 𝛾2. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛2 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) + 𝑅2. 𝛾3. 𝑡3. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)
+ 𝑅2. 𝛾2. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠2 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) − 𝑅2. 𝛾3. 𝑡3. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) +
𝑝2. 𝛾2. 𝑡
4. 𝜋2
 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡.. �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. = 𝑅
2. 𝛾2. 𝑡. +
𝑝2. 𝛾2. 𝑡
4. 𝜋2
=
𝛾2. 𝑡
4. 𝜋2
. (4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2) (𝑥) 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. ∧ �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. = [−𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ + 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). �̌�]
∧ {− [𝑅. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) + 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)] . 𝑖̌
+ [𝑅. 𝛾. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) − 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)] . 𝑗̌ +
𝑝
2. 𝜋
. 𝛾. �̌�} 
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. ∧ �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. = −𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑅. 𝛾. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . �̌�
+ 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . �̌� + 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) .
𝑝
2. 𝜋
. 𝛾. 𝑗̌
+ 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑅. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . �̌�
+ 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . �̌� + 𝑅. 𝛾. 𝑡. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) .
𝑝
2. 𝜋
. 𝛾. 𝑖̌
−
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). 𝑅. 𝛾. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌ −
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌
−
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). 𝑅. 𝛾. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ +
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖 ̌
 
�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. ∧ �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. =
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑖̌ −
𝑝
2. 𝜋
. (𝛾. 𝑡). 𝑅. 𝛾2. 𝑡2. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2) . 𝑗̌
+ 𝑅2. 𝛾3. 𝑡3. �̌� 
 
|�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. ∧ �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡.| = √[
𝑝. 𝑅. 𝛾3. 𝑡3
2. 𝜋
. 𝑠𝑒𝑛 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)]
2
+ [
𝑝. 𝑅. 𝛾3. 𝑡3
2. 𝜋
. 𝑐𝑜𝑠 (
1
2
. 𝛾. 𝑡2)]
2
+ [𝑅2. 𝛾3. 𝑡3]2 
 
|�̅�𝐶𝑎𝑟𝑡. ∧ �̅�𝐶𝑎𝑟𝑡.| =
𝑅. 𝛾3. 𝑡3
2. 𝜋
. √𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2 (𝑥𝑖) 
 
Luego: 
 
�̅�𝑖𝑛𝑡 = 𝑎𝑡𝑔. �̌� + 𝑎𝑛. �̌� 
 
Donde, 
𝑎𝑡𝑔 =
�̅�. �̅�
𝑉
 
 
𝑎𝑛 =
|�̅� ∧ �̅�|
𝑉
 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
Que usando (ix), (x) y (xi), quedan: 
 
𝑎𝑡𝑔 =
�̅�. �̅�
𝑉
=
(𝑥)
(𝑖𝑥)
=
𝛾2. 𝑡
4. 𝜋2
. (4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2)
𝛾. 𝑡
2. 𝜋
. √4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
 
 
𝒂𝒕𝒈 =
𝜸
𝟐.𝝅
.√𝟒. 𝝅𝟐. 𝑹𝟐 + 𝒑𝟐 (𝒙𝒊𝒊) 
 
𝑎𝑛 =
|�̅� ∧ �̅�|
𝑉
 
 
𝑎𝑛 =
𝑥𝑖
𝑖𝑥
=
𝑅. 𝛾3. 𝑡3
2. 𝜋
. √𝑝2 + 4. 𝜋2. 𝑅2
𝛾. 𝑡
2. 𝜋 . √4. 𝜋
2. 𝑅2 + 𝑝2
= 𝑅. 𝛾2. 𝑡2𝒂𝒏 = 𝑹. 𝜸
𝟐. 𝒕𝟐 (𝒙𝒊𝒊𝒊) 
 
Y finalmente, 
 
�̅�𝑰𝒏𝒕. =
𝜸
𝟐.𝝅
.√𝟒. 𝝅𝟐. 𝑹𝟐 + 𝒑𝟐. �̌� + 𝑹. 𝜸𝟐. 𝒕𝟐. �̌� (𝒙𝒊𝒗) 
 
Se puede verificar que dimensionalmente es correcto, da unidades de aceleración. 
 
e) Radio de curvatura de flexión. 
 
Aplicamos la ecuación: 
𝜌 =
𝑉3
|�̅� ∧ �̅�|
 
 
Donde �̅� y �̅� pueden estar expresados en cualquier base (aunque obviamente en la 
misma). Vamos a usar las expresiones de cartesianas, porque ya habíamos calculado el 
producto vectorial y los módulos. 
 
𝜌 =
𝑉3
|�̅� ∧ �̅�|
=
(
𝛾. 𝑡
2. 𝜋 . √4. 𝜋
2. 𝑅2 + 𝑝2)
3
𝑅. 𝛾3. 𝑡3
2. 𝜋 . √𝑝
2 + 4. 𝜋2. 𝑅2
=
4. 𝜋2. 𝑅2 + 𝑝2
𝑅. 4. 𝜋2
.
𝑅
𝑅
 
 
𝝆 =
𝑹
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷
 
 
Vemos que es el mismo resultado que habíamos obtenido en b). Es evidente que si 
𝛽 ≠ 0, entonces 𝜌 > 𝑅, básicamente porque actúan en distintos planos: R se mide en el plano 
horizontal, o plano X-Y, donde está la circunferencia base del cilindro sostén de la hélice; 𝜌 
en cambio, se mide en el plano osculador, y sería el radio de la circunferencia tangente a la 
hélice en el punto en estudio. Otra cosa interesante de notar es que 𝜌 = 𝑓(𝛽), y 𝛽 depende 
del paso, y este a su vez de la velocidad. 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
𝑡𝑔(𝛽) =
𝑝
2. 𝜋. 𝑅
 
 
Si 𝛾 = 𝑜, entonces 𝜔 = 𝑐𝑡𝑒. En este caso podemos podríamos llamar T (período) al 
tiempo que tarda en dar una vuelta: 
 
𝑇 =
𝜔
2. 𝜋
 
 
𝜔 = 2. 𝜋. 𝑓 =
2. 𝜋
𝑇
 
 
Pero si 𝜔 no es constante, como en este caso, no corresponde hablar de período. 
 
 
VIII. BIBLIOGRAFÍA 
 
 
1. Mecánica de Ángel Rodolfo Alessio, editado por el CEIT (UTN), Buenos Aires, 2007; 
2. Mecánica de Luis Roque Argüello, Answer Just in Time, Buenos Aires, 2003; 
3. Mecánica Teórica de Hertig, editorial El Ateneo. 
 
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CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
APÉNDICE AL CAP, 1: VERSORES DE LA TERNA INTRÍNSECA 
 
Versores de la terna intrínseca: 
 
 En este sistema de referencia, los versores están relacionados con los cambios de 
dirección (derivadas) de los vectores que definen la posición y las propiedades fundamentales 
del movimiento, a lo largo de la trayectoria: 
 
Veamos. Como sabemos, la velocidad mide los cambios con el tiempo, del vector 
posición: 𝑣(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑑(𝑟(𝑡))
̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅/𝑑𝑡. Como el versor tangente es colineal con el vector velocidad 
/ambos tienen la misma dirección y sentido), el vector velocidad se podría expresar así =
𝑣(𝑡). �̆�. Luego, es lícito pensar que el versor �̆� debe estar relacionado con los cambios de 
dirección del vector posición �̅�(𝑡) (vector posición absoluta, medida desde una terna 
cartesiana), a lo largo de la trayectoria. 
 
O sea: 
�̆� =
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑠
⁄
|
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑠
⁄ |
 
 
Fijémonos qué pasa, considerando sólo el numerador de la expresión anterior: 
 
𝑑𝑟(̅𝑡)
𝑑𝑠
=
𝑑𝑟(̅𝑡)
𝑑𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑠
=
�̅�(𝑡)
�̇�(𝑡)
=
�̅�(𝑡)
𝑣(𝑡)
= �̆� ≡ �̆� 
 
Luego el denominador tiene que ser uno (1): 
 
|
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅
𝑑𝑠
⁄ | = 1 
 
En definitiva, tanto 
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅
𝑑𝑠
⁄
|
𝑑𝑟(𝑡)̅̅ ̅̅ ̅̅
𝑑𝑠
⁄ |
, como su numerador (no siquiera hace falta dividir por la 
norma), nos dan un versor en la dirección del vector velocidad (�̅�). 
 
El versor �̆� en cambio, mide los cambios en la dirección del versor �̆� a lo largo del 
camino: 
�̌� =
𝑑�̆�
𝑑𝑠⁄
|𝑑�̆� 𝑑𝑠⁄ |
 
 
Para analizar el numerador, podemos partir del producto escalar del versor tangente 
por sí mismo: 
 
|�̆�| = 1 
 
�̆�. �̆� = 1 
 
CAPÍTULO 1 Coordenadas Intrínsecas 
 
 
 
𝑑(�̆�. �̆�)
𝑑𝑠
=
𝑑𝑡�̆�
𝑑𝑠
. �̆� + �̆�.
𝑑�̆�
𝑑𝑠
= 2. �̆�.
𝑑�̆�
𝑑𝑠
= 0 
 
 
Y si el producto escalar de �̆�.
𝑑�̆�
𝑑𝑠
= 0, significa que �̆� 𝑒𝑠 ⊥ 𝑎 
𝑑�̆�
𝑑𝑠
 (de la misma manera se 
podría haber demostrado que �̆� 𝑒𝑠 ⊥ 𝑎 
𝑑�̆�
𝑑𝑡
 ). 
 
Finalmente �̆� mide los cambios en la dirección de la normal principal, �̆�, a lo largo del 
camino: 
 
�̆� =
𝑑�̆�
𝑑𝑠⁄
|𝑑�̆� 𝑑𝑠⁄ |
 
 
 
 
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