Proporcionalidad - Romi Scuderi

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PROPORCIONALIDAD
Proporcionalidad numérica
1) RAZONES
Es la relación que se establece entre dos cantidades de la misma especie, considerando, al
compararlas, qué múltiplo, parte o partes, es una cantidad de la otra.
La razón de A a B se expresa usualmente como:
La razón de A a B se expresa usualmente como:
A : B o
A
B y se lee A es a B
Las cantidades A y B se llaman términos de la razón.
⬧ Al primer término (A) se lo llama antecedente y al
⬧ segundo término (B) se lo llama consecuente.
Para encontrar qué múltiplo o partes es A de B, dividimos a A por B; por consiguiente la razón
A : B puede ser medida por la fracción
A
B
, notación que es más conveniente usar en la ma
yoría de los casos. Para que dos cantidades se puedan comparar deben estar expresadas en la
misma unidad. Por ejemplo la razón de 2m es a 15 dm, se mide por la fracción
2 . 10
15; o sea
20
15=
43
2) PROPORCIONES.
Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe de la siguiente forma:
Los números A, B y C, D forman una proporción, si la razón entre A y B es la mis
ma que entre C y D.
Es decir:
A
B=
C
D o A : B :: C : D
se lee “A es a B como C es a D”
Los puntos A y D se llaman extremos y los puntos B y C se llamanmedios.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL
En toda proporción el producto de losmedios es igual al producto de los extremos.
A . D = B . C
Ejemplo:
��
��=
����
����
3 . 16 = 4 . 12 48 =
48
Para calcular un medio o un extremo desconocido
⬧ En toda proporción unMEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro
MEDIO.
B= A . D C
Ejemplo:
��
��=
����
������=
�� .����
����= 4
⬧ En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro
EXTREMO.
A= B . C
������=�� .
����
D
Ejemplo:
��
��=
���� ����=��
Práctica
1) Halla el valor de x en las
siguientes proporciones a) 58=
x20
b) x54=
242
c) 1234=
26x
d) x18=
255
e) x2,4=
0,5
36
2) Resuelve los problemas
f) 1,45
x=
30,9
g) 0,03
0,1=
x2,7
h) 0,6
12=
0,54
x
i) x1,8=
2,5 0,5
a) En una reunión la relación de hombres a mujeres es de 9 a 7. Si se cuentan 45 hombres
¿Cuántas mujeres hay?
b) En un teatro infantil, 5 de cada 40 personas son padres de familia. Si en total hay 760
personas. ¿Cuántos padres de familia hay en el teatro?
c) En un club, la relación de los varones que juegan al básquet es 9 a 15 con respecto a las
mujeres. Si son 45 mujeres que juegan al básquet, ¿cuántos varones practican ese de
porte?
d) En una bolsa de caramelos, hay 18 caramelos de limón; la relación del sabor frutilla a
limón es 6 a 9; la relación del sabor menta a frutilla es 5 a 3 y la relación del sabor na
ranja a menta es 12 a 5.
1) ¿Cuántos caramelos de cada gusto hay en la bolsa?
2) ¿Cuál es el total de caramelos?
e) En una escuela de 795 alumnos, los chicos utilizan distintos transporte para llegar a
ella. La relación de chicos que van en bici a los de auto es 8 a 18; la relación de los que
van en transporte escolar a los de auto es 24 a 8; el resto va caminando. Si los chicos
que van en bici son 72.
1) ¿Cuántos chicos van en auto? y ¿Cuántos en transporte escolar?
2) ¿Cuántos son los chicos que van caminando a la escuela?
3) PROPORCIONALIDAD DIRECTA
3) 1-Función de proporcionalidad directa
y =m.x
Es una función de proporcionalidad directa.
m =
��
��
La pendientem es una constante de
proporcionalidad directa, repre senta el
cociente entre las cantidades que se
corresponden; que es siempre el mismo.
Es muy fácil reconocer el gráfico de esta función sus puntos pertenecen a una recta que
pasa por el origen de coordenadas.
4) PROPORCIONALIDAD INVERSA
4) 1-Función de proporcionalidad directa
En las funciones de proporcionalidad inversa el producto entre valor de cada x
con el de su imagen y es siempre el mismo. Ese producto es la constante de pro
porcionalidad inversa (k).
La tabla muestra los paquetes iguales de café que compran los lunes en una oficina,
en función de lo que pesa cada paquete.
x y
Cantidad que
trae el paquete
(en kg)
Cantidad d
paquetes
1 3
0,5 6
0,25 12
k = x . y x . y = 3 ��
=
����
1 . 3 = 3
0,5 . 6 = 3
Fórmula general de la función
de proporcionalidad inversa:
Práctica
0,25 . 12 = 3
Fórmula de la función
��=
����
1) Completa la tabla de proporcionalidad directa e indica el valor de la constantem=yx
Luego escribe la fórmula de la función.
x 1 5
y 7 28 77
x 2,4 12
y 4 5 3
2
x -2 1
y 14 -49 -1
2) Completa la tabla de proporcionalidad directa, escribe la fórmula de la función y grafícala.
Piensa si hay que unir o no los puntos.
Alfajores 5 3 4 Fórmula
Y =
Precio ($) 17,50 7
¿Qué significado tiene la pendiente?
3) Completa las tablas de proporcionalidad inversa y escribe la fórmula de cada función.
x x
0,5
1
2 3
1
x x
0,25
O,5
1 1
2
x x
0,1
1 20
10
4
a) b) c)
a) Representa los pares ordenados de las tablas a y b, y traza la rama de la hipérbola
que esos puntos.
4) Los compañeros de trabajo de Daniel van a comprarle un regalo de $ 300 para su cum
pleaños y deciden aportar dinero en partes iguales. La cantidad que deberá poner cada
uno dependerá de cuántos participen en la compra.
a) Completa la tabla y representa los puntos en un sistema de coordenadas cartesia
nas.
Participantes 2 4 6
Aporte de
cada uno ($)
100 25
b) ¿Es una función de proporcionalidad inversa? ¿Por qué?
c) ¿Cuál es la fórmula de la función?
d) Indica en cada caso si el punto pertenece al gráfico de la función:
a-(20; 15)
b-(10; 35)
c-(30; 10)
d-(50; 12)
e-(40; 7,50)
5) Indica si la tabla corresponde a una función de proporcionalidad o no. Cuando lo sea, indi
ca si es directa o inversa, escribí la constante y la fórmula de la función.
a) c)
x 1 2 3
y 4 8 9
b) d)
x 0,1 -5
y -75 1,5
x 2,5 -3 4,5
y -5 6 -9
x 0,5 -5 10
y 30 -3 1,5
6) En una empresa que vende productos
químicos envasan 100 litros de alcohol por
día. Tienen envases con dife rentes
capacidades, pero cada día usan un solo
tamaño de frasco.
a) Completa la tabla.
b) ¿Cuál es la variable independiente?
c) ¿Se trata de una función de
proporcionalidad? Si respondes que no,
explica por qué; en caso
contrario, indica qué tipo de
proporcionalidad
hay y cuáles son la constante y la fórmula de
la función.
Capacidad
de cada
Frascos que
llenan en el
envase
(L)
día
0,25
0,50
0,625
1
2
5
7) Indica si las siguientes tablas son de proporcionalidad directa. En caso afirmativo escribe
la constante y la fórmula de la función.
Nº de
pantalones
Costo
3 111
5 185
10 370
Edad Nº de
calzado
Nº de
cajas
Nº de
pañuelos
8) Indica si los siguientes gráficos corresponden a magnitudes directamente proporcionales.
En caso afirmativo escribe la constante y la fórmula de la función.
Precio $
10,5
9
7,5
6
4,5
3
1,5
1 2 3 4 5
6 7
8kg
90 80 70 60 50 40 30 20
10
Velocidad
1 2 3 4 5 6
Tiempo (min)
9) Ignacio llenó la pileta en 2 horas usando una manguera que arroja 300 litros de agua por
hora. Completa la tabla si la manguera arroja 600, 200, 150 litros por hora.
Capacidad de
la manguera
300 600 200 150 100
Tiempo (horas)
Confecciona el gráfico. Halla K. Escribe la fórmula de la función.
10)Observa las tablas y di si corresponden a magnitudes inversamente proporcionales
Para embaldosar un patio
Superficie
de cada
baldosa
Nº de
baldosas
3 111
5 185
10 370
Ángulos suplementarios
Amplitud�� Amplitud
��
20º 160º
80º 100º
120º 80º
150º 30º
11)Recuadra las fórmulas de las funciones que relacionan dos magnitudes inversamente
proporcionales. Escribe la constante de cada una.
y = 15x y =
20
xy =
x
40 y =
60x
12)Eugenio leyó en un libro de medicina que una persona respira 45 veces cada 3 minutos.
Completa la tabla.
Tiempo 3 1 4 6
Respiración
¿El número de respiración es directamente proporcional?
13)Carolina dibujó rectángulos de 24 cm2de superficie pero de diferentes formas. Escribió
las medidas de la base y de la altura en una tabla, pero se borraron algunos números. ¿Po
drías escribirlos?
Base (cm) 1 2 3 4 6 8 24
Altura (cm) 12 4,8 2
Representa gráficamente. Calculak. Escribe la fórmula.
3) 2-Regla de tres simple directa (Proporcionalidad directa)
El cuarto término de una proporción directa entre dos magnitudes se puede calcular mediante
el procedimiento denominado “regla de tres”.
Ejemplo:
• Quince paquetes pesan 330 kg, ¿cuántos kg pesan 6 paquetes?
15���������������� 330����
6������������������
����=330 . 6 15= 132 kg
Rta: seis paquetes pesan 132 kg.
3) 3-Regla de tres compuesta directa (Proporcionalidad directa)
Una proporción en la que intervienen más de dos magnitudes se denomina proporción com
puesta.
Para calcular el valor desconocido de una de sus magnitudes se utiliza la “regla de tres com
puesta”.
Ejemplo:
• Nueve personas han gastado en transporte $ 8820 en 20 días. ¿Cuánto gastarán 24 perso
nas en 8 días realizando el mismo recorrido?
9���������������� $ 8820 20�����
24���������������� $�� 8�����
8820
��=
20
8=
9
24��=
8820 .24 .8
9 .20= $ 9408
Rta: las 24 personas gastarán $ 9408.
4) 2-Regla de tres simple inversa (proporcionalidad inversa)
Para averiguar el cuarto término entre dos magnitudes inversamente proporcionales aplica
mos la “regla de tres simple inversa”.
Ejemplo:
• Cuatro personas realizan un trabajo en 18 días. ¿Cuántas personas son necesarias para rea
lizar el mismo trabajo en 8 días?
• 18��í���� 4����������������
• 8��í������������������������=4 . 18
Rta: son necesarias 9 personas.
K = 4 . 18 = 8 . x
8= 9 personas
4) 3-Regla de tres compuesta inversa (proporcionalidad inversa)
En la “regla de tres compuesta inversa”, intervienen varias magnitudes inversamente pro
porcionales entre sí.
Ejemplo
Con una cantidad de alimento podemos dar de comer a 48 animales durante 30 días con una
ración de 1,2 kg cada uno. ¿Cuántos días podremos alimentar a 60 animales si la ración es de
800 gramos?
48���������������� 1,2
���� 30����� 60
���������������� 0,8����
�������
Las tres magnitudes son inversamente
proporcionales entre sí.
Por lo tanto K = 48 . 1,2 . 30 = 1728��=48 . 30 . 1,2
60 . 8= 36�����
Rta: a los 60 animales se los podrán alimentar durante 36 días.
Práctica
1) A las 6:00 un reloj recibe un golpe y debido a ello empieza a atrasarse 6 minutos cada
hora. ¿Qué hora marcará el reloj cuando sea la mima hora, pero del día siguiente? 2) El
sacristán de una iglesia, da 6 campanadas en 8 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en
24 segundos?
3) Una fotocopiadora saca un millar de hojas oficio en 7 minutos. ¿Cuántas horas demora
en sacar 20 millares de hojas oficio?
4) Para la preparación de una mermelada se necesitan 12 manzanas que cuestan en total
$1.60. ¿Cuánto costarán 72 manzanas?
5) Un grupo de obreros demora 6 días en hacer una obra. ¿Cuánto demora otro grupo de
doble rendimiento que el anterior?
6) En un cuartel 200 soldados tienen comida para 40 días, si se cuadriplicara el número
de soldados. ¿Cuánto tiempo les duraría la comida?
7) Camila tiene 21 conejos y raciones de alimento para 45 días. Como su amiga Paula le
regala algunos conejos más, las raciones le alcanzarán solo para 35 días. ¿Cuántos co
nejos le regaló Paula a Camila?
8) Un grupo de cinco cocineros iban a preparar un banquete en 6 horas. ¿Qué tiempo de
moran 3 cocineros en preparar dicho banquete?
9) Si 20 litros de agua contienen 15% de sal, ¿Qué cantidad de agua se debe evaporar para
que la nueva solución contenga 20% de sal?
10)Un grifo que arroja 0,6 litros de agua por segundo, llena un estanque en 21 horas.
¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo otro grifo que arroja 0,9 litros por segundo? 11)Entre
dos personas pintan una casa en 36 horas, si dicha labor la llevaran a cabo 3 per sonas,
¿cuánto tiempo demorarán en pintar la casa?
12)Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua
por valor de $ 200. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas du
rante los mismos días.
13)5 obreros trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4
obreros trabajando 7 horas diarias?
14)Una estufa de 4 quemadores ha consumido $50.00 de gas al estar encendidos 2 de ellos
durante 3 horas. ¿Cuál es el precio del gas consumido si se encienden los 4 quemadores
durante el mismo tiempo?
15) 4 autos llevan a 16 personas en un recorrido de 120 km en 90 minutos. ¿Cuántos autos
se necesitan para transportar a 58 personas en el mismo recorrido y en el mismo
tiempo?
16) 6 elefantes consumen 345 kilos de heno en una semana, ¿Cuál es el consumo de 8 ele
fantes en 10 días?
17)5 robots construyen 9 piezas en 4 horas. ¿Cuántas piezas serán fabricadas por 7 robots
trabajando 3 horas?
18)Dos bombas de agua trabajando 3 horas diarias llenan un tinaco en 2 días. ¿En cuánto
tiempo se llenará el tinaco con 3 bombas trabajando 2 horas diarias?
19) 15 campesinos labran un terreno de 100 m de largo por 40 de ancho en 2 días ¿Cuán
tos campesinos se necesitan para labrar un terreno de 250 metros de largo por 70 de
ancho en 3 días?
20)3 mangueras llenan un depósito de 350 m3 en 16 horas. ¿Cuántas horas son necesarias
para llenar un depósito de 1000 m3 con 5 mangueras?
21)5 personas lavan 7 automóviles en 4 horas, ¿Cuántos automóviles lavarán 7 personas
en 6 horas?
22)Si 16 operarios hacen 64 pares de zapatos cada 5 días, ¿cuántos días emplearon 20
operarios en hacer 128 pares de zapatos?
Escalas
En planos y mapas encontramos en su parte inferior la escala a la que están
dibujados. La escala es la proporción entre las medidas del dibujo y las medidas de la
realidad. Ejemplo:
Se expresa de la forma 1 : 20000 que significa que 1 cm del plano corresponde
a 20000 cm = 200 m de la realidad.
Las escalas también se representan en forma gráfica, mediante una barra dividida en segmen
tos de 1 cm de longitud.
Ejemplo:
0 20 40 60 80 100 m
Esta escala identifica cada centímetro del mapa con 20 metros en la realidad, es decir
1 : 20000.
Práctica
1) La distancia real entre dos pueblos es 18,5 km. Si en el mapa están a 10 cm de distan
cia, ¿a qué escala está dibujado?
2) ¿Qué altura tiene un edificio si su maqueta construida a escala 1 : 300 presenta una al
tura de 12 cm?
3) Dibuja la escala gráfica correspondiente a 1 : 60000.
4) Las dimensiones de una superficie rectangular en el plano son 6 cm y 14 cm. Si está di
bujado a escala 1 : 40, calcula sus medidas reales.
5) Calcula la escala del plano sabiendo que el largo real de una mesa es de 1,5 m y que su
representación en el dibujo es de 15 cm.
6) Calcula la altura real de un edificio de cinco plantas sabiendo que la escala del plano es
1:500 y que su representación en el dibujo es de 3 cm.
7) La altura de una farola es de 8 m, si quiero dibujarla a escala 1:100, ¿cuántos centíme
tros tendré que trazar en el plano?
8) El ancho total real de una autovía es de 24 metros. Si el plano en el que se encuentra
dibujada está a escala 1:200, ¿cuántos milímetros tendrá en el dibujo?
9) A qué escala estará dibujado el plano del Instituto, si sabemos que la puerta principal
de entrada tiene de ancho 3,40 m, y en el plano hemos medido con la regla 68 mm.
10)En un plano se ve dibujado un río que mide de ancho 1 cm. Si la escala del plano es
1:25000, ¿cuánto mide en la realidad?
11)Queremos dibujar a una escala de ampliación la aguja de un reloj que mide 1 cm. Si ele
gimos una escala 5:1, ¿cuánto medirá su representación en el dibujo?
12)En un plano de carreteras realizado a escala 1:50.000, la distancia entre dos ciudades,
medida con una regla graduada es de 45 mm. ¿Cuál será la distancia en la realidad?
13)Una pieza que realmente tiene una longitud de 100 cm está representada en un dibujo
por un segmento de 4 cm. ¿A qué escala está dibujado el plano?
Porcentajes
El porcentaje o tanto por ciento es la razón de proporcionalidad de mayor uso en la vida coti
diana.
El tanto por ciento es una razón con consecuente 100. Ejemplo: 24 % = 24
100
Los porcentajes son proporciones directas en las que se puede aplicar la regla de tres.
Ejemplo:
En un bosque, la población de Robles era en 2013 de 5680 unidades. En 2014 se ha incremen
tado enun 5 %. ¿Cuál es su población al final de 2014?
El 5 % de 5680 = 5 .5680
100= 284 robles. La población se ha incrementado en 284 unidades, luego
al final de 2014 será de: 5680 + 284 = 5964 robles.
Incremento porcentual
El ejemplo anterior puede resolverse mediante incremento porcentual 100 + 5 = 105 %
El 105 % de 5680 = 105 .5680
100= 5964 robles.
Descuento porcentual
Ejemplo:
En las rebajas a todos los artículos a la venta les aplican un 20 % de descuento. Calcula el pre
cio de los que aparece en la tabla:
Precio
sin
descuen
to
$ 1230 $ 930 $ 638 $ 125 $ 250 $ 743
Precio
con
rebaja
Ya que nos descuentan el 20 %, pagaremos el 80 %. Por lo tanto, 80
100= 0,8 es la razón directa
de proporcionalidad que aplicaremos a los precios sin descuento para averiguar el precio
rebajado.
Práctica
1) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos
ha ido de viaje?
2) Una moto cuyo precio era de $ 15.000, cuesta en la actualidad $ 2.500 más. ¿Cuál es el
porcentaje de aumento?
3) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $ 180.000, nos hacen un descuento del 7,5%.
¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?
4) Al comprar un monitor que cuesta $ 850 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto te
nemos que pagar?
5) Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha com
prado en $ 870. ¿Cuál es el precio de venta?
6) ¿Qué precio de venta se debe poner a un artículo comprado a $ 1.580, para perder el
12% sobre el precio de venta?
7) Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de
venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de $ 12.150.
8) El prensado de 1.500 kg de aceituna produjo el 36% de su peso en aceite. Calcula la
cantidad de aceite obtenida.
9) Si hoy han faltado a clase por enfermedad el 20% de los 30 alumnos, ¿cuántos alum
nos han asistido? ¿Cuántos alumnos han faltado?
10)En una población de 7.000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el núme
ro de personas menores de esa edad.
11)De 500 mujeres encuestadas, 370 afirman que les gusta el fútbol. Expresa es cantidad
mediante un porcentaje.
12)Si el 35 % de una cantidad es 25, ¿cuál es esa cantidad?
13)Tres personas se reparten una herencia de la siguiente manera: el primero hereda el
45%; el segundo, el equivalente al 60% del primero; el tercero, el equivalente a 1/3 del
segundo. Si quedó un saldo de $ 38 000. ¿Cuál es el monto total de la herencia?
14)Un pasaje de avión a Paris costaba el verano pasado € 460. Si este año ha subido un
20 %, ¿cuánto cuesta el pasaje?
15) Una casa de electrodomésticos pone una oferta con una rebaja del 15 %. Si un televi
sor está marcado en $ 5.900. ¿Qué rebaja me harán? ¿Cuánto voy a pagar por el televi
sor?
16) El gasto de electricidad de este mes es de $ 1390. Al recibir la factura tengo que pagar
además el 21,5 % de IVA. ¿Cuál es el coste total de la factura?
17)He comprado una bicicleta por $ 3.250. Si quiero ganarme un 32 %. ¿A cuánto tengo
que venderla?
18) Unas zapatillas que tienen un 30 % de rebaja me han costado $942. ¿Cuánto costaban
antes de la rebaja?
19)Un pueblo tenía el año pasado 3.000 habitantes y este año tiene 3.150. ¿Qué porcenta
je ha aumentado la población?
20)En un teatro con 540 localidades se han vendido el 65 %. Si cada entrada cuesta $ 250.
¿Cuál ha sido la recaudación?
21)He comprado directamente a la fábrica placas de maderas para hacer un revestimien
to. Su precio está marcado en $ 3.850. Como compro directamente en la fábrica me
rebajan el 40 %, y cuando ya tengo el precio rebajado al hacerme la factura tengo que
pagar el 18 % de IVA. ¿Cuánto me cuestan al final las placas?
22) Una persona gasta el 20% del dinero que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por
último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo $ 33600 ¿Cuánto dinero
tenía al principio?
Repartos proporcionales
Cuando se realiza un reparto en partes desiguales se debe establecer previamente si se trata
de un reparto proporcional directo o inverso.
Reparto proporcional directo
En un reparto proporcional directo le corresponderá más a quien más partes tiene.
Ejemplo:
Tres amigos deben repartirse los $ 30.000 que han ganado en una competencia de acuerdo a
la cantidad de puntos que ha obtenido cada uno. El primero obtuvo 7 puntos, el segundo 5 y el
tercero 3 puntos.
El reparto proporcional se comienza sumando los puntos obtenidos: 7 + 5 + 3 = 15 puntos.
Calculamos el premio por punto: 30.000 : 15 = $2.000
El primero obtendrá $ 2.000 x 7 = $ 14.000
El segundo obtendrá $ 2.000 x 5 = $ 10.000
El tercero obtendrá $ 2.000 x 3 = $ 6.000
La suma de las tres cantidades es $ 30.000 (el premio a repartir).
Reparto proporcional inverso
En un reparto proporcional inverso recibe más quien menos partes tiene.
Ejemplo:
Repartir $6.000 de forma inversamente proporcional a 12 y 20.
Calculamos el total de las partes: 112+
1
20=
5+3
$ 6.000 : 8 = $ 750 cada
parte.
60=
860
$ 750 x 5 = $ 3.750 es lo que va a recibir el que tiene 12
$ 750 x 3 = $ 2.250 es lo que va a recibir el que tiene 20
Práctica
1) Cinco personas comparten el premio de la lotería, con 10, 12, 6, 7 y 5 participaciones res
pectivamente. Si el premio es de $ 1.800.000; ¿cuánto le corresponderá a cada uno? 2) En un
concurso se acumula puntuación de forma inversamente proporcional al número de errores.
Los cuatro finalistas con 6, 5, 2 y 1 error, deben repartirse los 1.400 puntos en jue go. ¿Cuántos
puntos recibirá cada uno?
3) En el testamento, el abuelo establece que quiere repartir entre sus nietos $ 222.000, de
manera proporcional a sus edades que son 12, 15 y 18 años; cuidando que la mayor canti
dad sea para los nietos menores. ¿Cuánto recibirá cada uno?
4) Tres socios han invertido $ 20.000, $ 34.000 y $ 51.000 este año en su empresa. Si las ga
nancias a repartir a fin de año es de $ 315.000, ¿cuánto le corresponde a cada uno? 5) Tres
hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente $ 59.000. si sus edades
son 20, 24 y 32 años; y los aportes son inversamente proporcionales a las edades; ¿cuánto
aporta cada uno?
6) Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 4, 6 y
7. Sabiendo que a la segunda le corresponde $ 846. Hallar lo que le corresponde a la pri
mera y tercera; y la cantidad total a repartir.
7) Inventa dos problemas, uno de reparto directamente proporcional y otro de reparto inver
samente proporcional.