geometría - Romi Scuderi

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CAPÍTULO VI:Geometría
LIBRO: La Matemática y su didáctica en el primero y
el segundo ciclos de la E.G.B.
Un enfoque constructivista
AUTORA: Lucía Dallura
EDITORIAL:AIQUE
GEOMETRÍA
Consideraciones generales
Los seres humanos nos desarrollamos en un espacio físico de tres
dimensiones; no obstante, no debemos subestimar las dificultades que
surgen para concebir el espacio tridimensional.
La construcción personal del concepto de espacio requiere una
elaboración activa por parte de cada uno, tal como ha sido alcanzado
lentamente y con dificultad por la humanidad.
Herodoto, historiador griego del siglo V a. C., sostenía que la geometría
se había originado en Egipto a partir de la necesidad de marcar los
terrenos después de la crecida del río Nilo. Aristóteles, en el siglo IV a.C.,
suponía que se había desarrollado en dicho lugar por la existencia de
una clase sacerdotal que se dedicaba al estudio de las ciencias en
general.
Lo cierto es que ya los hombres del Neolítico revelaron conocimientos
geométricos en sus dibujos. No obstante esos dibujos y el arte primitivo
en general no ofrecen una representación tridimensional de los objetos.
El Papiro Ahmes o Papiro Rhind trata temas de geometría. Ese papiro
muestra el desarrollo de varios problemas geométricos importantes,
entre ellos el del cálculo de áreas de triángulos isósceles y trapecios
rectángulos.
En la geometría egipcia no existen teoremas ni demostraciones
formales, pero algunas propiedades geométricas egipcias están entre
las primeras de la historia; asimismo, la construcción de las pirámides
evidencia conocimientos geométricos relevantes. También los
Babilonios (1700 a. C.) conocían propiedades geométricas, entre ellas, el
Teorema de Pitágoras.
Alrededor del 600 a. C. aparecen los primeros geómetras helénicos
destacados: Tales de Mileto (624 – 548 a. C.) y Pitágoras de Samos (580
– 500 a. C.), que aprendieron geometría en Egipto y Babilonia. Se
consideró a Tales como el padre de la organización deductiva de la
geometría. Pitágoras creó una escuela que se dedicaba al estudio de la
Matemática; el conocido teorema que lleva su nombre procede de los
babilonios, pero fueron los pitagóricos los primeros en demostrarlo.
La geometría consistía en una serie de conocimientos dispersos
basados en la intuición hasta aproximadamente el año 306 a. C., cuando
el matemático griego Euclides escribió “Elementos”, uno de los textos
más importante de la matemática griega y que ejerció influencia en
todos los tiempos. Sobre esta obra se ha estructurado toda la geometría.
La geometría estudia los cuerpos, sus propiedades, las relaciones
existentes entre ellos, las propiedades y las características del espacio
que permanecen invariantes a través de posibles transformaciones de
las figuras; estudia también el espacio, los objetos que en él se
encuentran y sus movimientos.
El objetivo de la enseñanza de la geometría en la escuela es ayudar al
alumno a dominar sus relaciones con el espacio para que pueda
representar y describir en forma ordenada el mundo en que vivimos y
conocer los entes geométricos como modelizaciones de la realidad. El
punto de partida de ese conocimiento es el tratamiento intuitivo de las
nociones espaciales y geométricas. La construcción del significado de los
conceptos espaciales y geométricos se logrará a través de su utilidad
para resolver problemas.
La existencia de los objetos justifica la existencia del espacio. Los
procesos cognitivos comienzan a partir del conocimiento de esos
objetos; ese conocimiento tiene su raíz en el descubrimiento de la
existencia de algo: un objeto que se puede ver, tocar, mover, manipular;
es decir, que se puede accionar sobre él.
El niño llega a la geometría a través de una vinculación empírica con
su entorno físico. El espacio en el que se desplaza lo pone en contacto
con los cuerpos reales: sus formas, sus características, los elementos que
los constituyen, las semejanzas y las diferencias entre ellos, et. Por esto
la enseñanza de la geometría se inicia con los cuerpos reales físicos para
luego pasar a los cuerpos geométricos.
Los conceptos y las propiedades geométricas deben construirse a
partir de lo concreto, pero la simple observación no basta para lograr la
abstracción de conceptos; es necesario operar sobre los objetos,
producir transformaciones en ellos, explorarlos a través de los sentidos.
La exploración de cuerpos y figuras se inicia con elementos que
componen el mundo en que vivimos; allí hallaremos un material rico
Para observar, establecer semejanzas y diferencias, descubrir
elementos, comprobar propiedades, et.
Luego pasaremos a los cuerpos geométricos para poder conocerlos
integralmente. Ese conocimiento llevará paulatinamente al estudio de
entes y propiedades inherentes a la geometría euclidiana.
¿Para qué enseñar geometría?
La enseñanza de la geometría en la escuela primaria ayuda a los
alumnos a:
* Describir, entender e interpretar el mundo real y sus fenómenos.
* Resolver una amplia y rica variedad de problemas relacionados
con estimaciones, aproximaciones y mediciones.
* Acceder paulatinamente a un modelo de teoría axiomática.
* Formular conjeturas, preguntas, proponer pruebas y estrategias,
elaborar refutaciones, ejemplos y contraejemplos.
* Construir una herramienta de trabajo para otras áreas y ramas de
la matemática.
* Recuperar la capacidad de asombro y análisis de lo visual, de la
imagen, ya que nuestra sociedad enfatiza y propone actividades
relacionadas con el lenguaje, premiando la capacidad para
expresar ideas casi exclusivamente a través de la palabra.
* Construir esquemas básicos en respuestas a situaciones
cotidianas que involucran la conceptualización de lo espacial,
ejemplo estacionamiento de automóviles, la práctica de un
deporte, etc.
La construcción del espacio
La elaboración y la construcción del concepto de espacio lleva su
tiempo y se desarrolla en etapas.
Cuando un niño dibuja algo no copia lo que ve, sino que dibuja lo que
sabe, lo que tiene en su mente. Por eso, cuando dibuja una mesa vista
de arriba, dibuja sus cuatro patas a los lados. Sus ideas del espacio se
originan en situaciones personales y concretas; el espacio real, las
dimensiones, las distancias, serán construidas por el niño según su
criterio y sus vivencias.
La construcción del concepto de espacio se produce en tres etapas:
1. De exploración
2. De organización
3. De sistematización
Etapa de exploración
En la primera etapa de su vida el niño actúa en el espacio mediante la
locomoción. Necesita desplazarse por el espacio circundante para
conocer sus dimensiones y las formas que en él se encuentran; no
puede evocar objetos ausentes, pero sí accionar sobre los existentes.
La manera en que el niño se relaciona con su medio, la existencia de
objetos concretos que despiertan su interés, permitirá que descubra las
relaciones que existen entre ellos.
En esta etapa descubre las nociones espaciales básicas: en el propio
esquema corporal, entre él y los objetos, en los objetos entre sí, entre
las partes de un objeto.
Esta etapa suele extenderse hasta los primeros años de la escuela
(primer ciclo), se construyen los siguientes conceptos:
● La orientación: arriba, encima de, sobre, abajo, debajo de, al
fondo, delate de, anterior a, antes de, posterior a, después de, la
izquierda, la derecha, el centro, etc.
● El lugar: frontera, borde, contorno, perímetro, interior, dentro de,
exterior, afuera, etc.
● La distancia: cerca, lejos, aquí, allí, más allá, etc.
● La longitud: largo, corto, ancho, alto, etc.
● Las formas geométricas: redondo, cuadrado, etc.
Estos conceptos espaciales – de uso cotidiano – son relativamente
sencillos para los niños; su tratamiento en la escuela es constante y en
situaciones diversas: los juegos, las clases de educación física, plástica,
música, etc.
Cuando se enseñan las nociones de distancia y longitud, el niño pasa
por distintas subetapas hasta construir el concepto matemático de la
conservación de la longitud. Estas subetapas son: la de comparacióndirecta y la de comparación indirecta.
- Comparación directa: la actividad se realiza cuando las dos
cantidades están presentes simultáneamente y pueden ser
manipuladas y comparadas superponiéndolas.
- Comparación indirecta: la actividad comparativa se realiza
utilizando un patrón de comparación.
Mediante las actividades que se realizan en esta etapa, el niño llegará
a comprender que la longitud de un objeto no cambia a pesar de que se
modifique su posición (fig. a) o la configuración de los tramos que
componen esa longitud (fig. b).
Luego se enseña la subdivisión de una longitud en partes
equivalentes: si una longitud es dividida en partes, la longitud total se
mantiene.
Paulatinamente, se interiorizarán relaciones de equivalencia, de
orden y transitividad.
Si la cinta azul es igual de larga que la cinta roja, la cinta roja es igual
de larga que la cinta verde, entonces la cinta azul es igual de larga que la
cinta verde. La transitividad es muy importante, pues permite, entre
otras cosa, seriar.
Cuando se realizan comparaciones indirectas, se utilizan al principio
patrones-unidades arbitrarias (no convencionales) para medir (un hilo,
el ancho de la mano, los dedos, un lápiz, etc.), hasta que se comprende
que, para unificar criterios de medición, es necesario utilizar unidades
de medidas comunes para todos (unidades de medida universal o
convencionales)
Para el conocimiento de las formas geométricas el niño utiliza sus
sentidos: la vista, el tacto, etc. es así que la observación, la manipulación
de los objetos, la comparación entre los mismos, sus semejanzas, sus
diferencias, le permitirá establecer relaciones del tipo: “es parecido a “,
“es distinto de “, “es más chico que”, “tiene tantos lados como”, etc.
Sugerencias didácticas para el primer ciclo
Proponemos una actividad para el aprendizaje de los siguientes
contenidos conceptuales: región interior, región exterior, frontera,
perímetro, adentro, afuera. Los conocimientos previos de los niños
serán seguramente las nociones espaciales básicas adentro y afuera y los
números del 1 al 6 (no indispensable).
Recursos didácticos:
Tizas blancas y de color, pizarrón, números en cartulina (1 al 6).
Expectativas de logros:
● Interpreten una información para resolver una situación
problemática.
● Establezcan relaciones espaciales fundamentales.
● Interpreten información oral para resolver situaciones varias.
● Desarrollen habilidades psicomotrices básicas.
● Identifiquen curvas abiertas y cerradas.
● Comiencen a construir las nociones de región interior, exterior,
frontera y perímetro.
Secuencia de actividades:
1- Formar grupo de 6 niños, se les repartirán los números del 1 al 6. Se
pedirá a los alumnos con los números del 1 al 5 inclusive que formen
una ronda, tomándose de las manos con los brazos extendidos. Se les
pedirá a los niños con el número 6 que se coloquen dentro de la ronda.
Se les mostrará que los niños con el número 6 están en el interior de la
rueda, se les pedirá a los niños con el número 6 que recorran la región
interior de la ronda. Se dibujará una curva cerrada en el piso y en el
pizarrón, indicando que es curva es el contorno de la rueda y se pintará
con una tiza de color la región interior de la curva.
2- Se le pedirá a los niños con número 6 que se incorporen a la ronda,
indicando que es la frontera o perímetro. Se les pedirá a los niños con el
número 5 que recorran la región exterior de la rueda, indicando que es
la región exterior, se pintará en el pizarrón y en el piso la región exterior
con otro color de tiza. Se repetirán estas actividades con otros alumnos.
3- Se entregarán a los niños dibujos con curvas cerradas y abiertas
para que identifiquen pintando de distintos colores la región interior, la
frontera y la región exterior.
Ejemplo:
Etapa de organización
En esta etapa el niño puede percibir las distancias sin necesidad de
recorrerla realmente. Utiliza principalmente sus sentidos
(especialmente la vista) y se le abren las posibilidades de conocer más
extensamente el espacio circundante. Esta etapa coincide con el segundo
ciclo de la escuela primaria.
Sugerencias didácticas para el segundo ciclo
Los alumnos muestran características muy variadas y poseen un
bagaje muy distinto de conocimientos previos, relacionados con su
entorno socio-cultural. Por ello el docente debe realizar actividades de
diagnóstico que le permitan determinar si los niños pueden moverse en
el espacio cumpliendo consignas y con las nociones espaciales básicas.
Se puede proponer actividades y juegos en los que usen estas
nociones y verificar su cumplimiento correcto; también se le pide que
verbalicen sus acciones: una actividad como “guía a tu pareja” es muy
útil: un niño con los ojos vendados es guiado por otro cuyas
instrucciones le permitirán salvar obstáculos y llegar a la meta. También
es útil la dramatización de canciones infantiles que en su letra contengan
las palabras que se refieren a las nociones espaciales básicas.
Realizado el diagnóstico, se iniciarán las actividades propias de la
organización del espacio basadas en el estudio de la topología; la
enseñanza de la geometría euclidiana; el reconocimiento y estudio de los
cuerpos y las formas geométricas, sus elementos, propiedades y las
relaciones existentes entre los entes geométricos.
Topología (topos. Lugar) es la rama de la geometría que estudia las
propiedades de las figuras que se mantienen invariantes ante
transformaciones (estiramientos, torsiones, deformaciones que no
lleguen a rasgar o destruir la figura), pero estas transformaciones sí
modifican el lugar de los objetos. (Ejemplo la clasificación de los
cuadriláteros).
El punto de partida de la enseñanza y el aprendizaje de la geometría
es la intuición: a partir del conocimiento intuitivo se realizan
comprobaciones, verificaciones experimentales; por último, pueden
utilizarse criterios de inferencias y deducciones. La geometría se ha
organizado sobre bases empíricas, intuitivas y lógicas. Los alumnos
participan en forma activa –concreta y mentalmente– en la construcción
de los conceptos con la guía del docente.
Para el aprendizaje de las formas geométricas –propias de esta etapa–
es preciso comenzar por el conocimiento de los cuerpos. Se accede a las
figuras a partir de los cuerpos. Se comienza con los cuerpos reales que
se encuentran a nuestro alrededor: el armario, la caja de tizas, una lata
de conservas, una naranja, etc. y luego se pasa a los cuerpos
geométricos.
Las características de los cuerpos es que ocupan un lugar en el
espacio; tienen tres dimensiones: largo, ancho y espesor. Los cuerpos
tienen por frontera sus caras, que son superficies planas o curvas.
Los cuerpos cuyas fronteras (caras) son planas se llaman poliedros y
los que tienen superficies curvas (al menos una) son los cuerpos
redondos.
Los cuerpos
Se puede distribuir a los alumnos diversos cuerpos: latas, cajas,
envases de plástico, etc. para que los observen, manipulen, reconozcan
sus contornos (mediante el tacto y la vista) y describan cómo son, es
decir, cuáles son sus características: color, forma, tamaño, consistencia,
etc.
Nos concentraremos luego en su forma, especialmente la forma de sus
caras, para agruparlos por sus semejanzas y separarlos por sus
diferencias. Así surgirá la clasificación de los cuerpos:
● Cuerpos con una base, con dos bases o sin bases.
● Cuerpos que ruedan con facilidad o que no ruedan fácilmente.
● Cuerpos redondos y cuerpos no redondos.
Esta clasificación según la superficie de sus caras se basa en los
siguientes principios matemáticos:
● Cuerpos con caras planas o cuerpos poliedros: prismas y
pirámides.
● Cuerpos con caras curvas (al menos una) o cuerpos redondos:
cilindros, conos, esferas.
Cuando se observan las caras de los cuerpos se advierten algunas
regularidades relacionadas con su forma y los elementos que las
constituyen:
Las caras de los cuerpos son figuras. Corresponden a superficies
planas o planos. Los planos no tienen borde o frontera, tienen dos
dimensiones y son continuos.Pueden extenderse tanto como se quiera.
El plano es para le geometría euclidiana un ente primitivo que no tiene
definición. Los planos suelen nombrarse con letras del alfabeto griego: α,
β, δ, σ, π, etc.
Los lados de los cuerpos se llaman aristas y son segmentos; si
prolongamos los extremos de los segmentos indefinidamente en ambas
direcciones, obtendremos la recta. La recta tiene una dimensión, divide
al plano en dos sectores y cada uno de ellos es un semiplano. Una recta
es un continuo lineal con una dirección y dos sentidos, que puede
prolongarse siempre que se desee. Es otro de los entes primitivos de la
geometría euclidiana; por ejemplo, la recta R (en la figura).
Si prolongamos en un solo sentido el segmento, obtendremos una
semirrecta. Es decir que una semirrecta tiene una frontera puntual. Una
recta y un punto perteneciente a ella determinan dos semirrectas
opuestas; la semirrecta determina a su vez un sentido. Por ejemplo, en la
figura: ae.
Un lado de un cuerpo (arista) es un segmento. El segmento es la
porción de la recta que tiene dos fronteras puntuales; los segmentos
pueden ser medidos. El segmento se nombra por los puntos de sus
extremos, por ejemplo: ab.
Un vértice de un cuerpo representa un punto; es el punto de
intersección de las tres dimensiones del espacio. El punto es otro ente
geométrico fundamental de la geometría euclidiana. El punto se nombra
generalmente con letra de imprenta minúscula.
En esta etapa se enseñan las nociones básicas de la geometría y se
accede a ella a partir de los cuerpos geométricos. El conocimiento de
estas nociones y conceptos básicos es importante, ya que sobre ellos se
construyen los conceptos más complejos, entre los que podemos
destacar: líneas curvas, rectas, poligonal, segmento, ángulo, figura,
polígono, etc.
No sólo es importante el conocimiento de estas nociones sino que
también lo es la posibilidad de describir la noción referida. En una
primera instancia esa descripción se hará con el lenguaje coloquial
propio del niño y, paulatinamente, se ajustará el vocabulario como paso
previo al uso del lenguaje simbólico matemático.
El lenguaje simbólico matemático tiene la particularidad de ser
universal: es inequívoco y permite la reconstrucción de los entes a los
que hace referencia, sin errores por interpretaciones incorrectas; se
refiere a los conceptos matemáticos. A su debido tiempo el alumno debe
poder interpretar y usar el lenguaje matemático simbólico.
Ejemplo de interpretación de lenguaje simbólico:
A ⁄ ⁄ B y B ⁄ ⁄ C ⇒ A ⁄ ⁄ C
Cuando alguien interpreta que la recta A es paralela a la recta B y que
la recta B es paralela a la recta C, implícitamente podrá deducir que la
recta A es paralela a la recta C y comprende, además, todo lo que
significa el paralelismo.
Dos rectas son paralelas cuando, siendo coplanares (es decir,
perteneciendo al mismo plano), tienen la misma dirección, jamás se
cortan; su intersección es vacía.
Esta expresión en lenguaje simbólico le permite construir el gráfico
correspondiente y también deducir la propiedad transitiva del
paralelismo.
Es importante que el docente utilice el lenguaje simbólico apropiado
para habituar al alumno a interpretarlo y, de esa manera, predisponerlo
para que lo use. También puede pedirle que exprese en lenguaje
simbólico una construcción o gráfico determinado.
Por ejemplo, expresar en lenguaje simbólico la siguiente construcción:
El niño observará la posición relativa de las dos rectas del plano y
notará que se cortan o cruzan entre sí formando cuatro ángulos
congruentes. Si conoce el concepto de rectas perpendiculares, lo
utilizará; si no lo conoce, lo aprenderá. El vocablo congruente se utiliza
en geometría en reemplazo de la palabra igual. Dos figuras planas son
congruentes cuando, al superponerlas, coinciden.
Dos rectas coplanares (pertenecientes al mismo plano) son
perpendiculares cuando al cortarse determinan cuatro regiones
congruentes. Simbólicamente:
A⏊ B ˄ B⏊ A
Las formas geométricas
Cuando el alumno inicia el estudio de las formas geométricas, realiza
actividades sensoriomotrices y perceptivas. El conocimiento de las
formas y su identificación es visual y táctil. Además, comienza a utilizar
un vocabulario cada vez más específico que le permitirá
–paulatinamente– expresar con precisión los conceptos.
Las formas geométricas son recepcionadas e identificadas de en el
siguiente orden:
● 4 a 6 años (aproximadamente): rectángulos y cuadrados.
● 5 a 8 años (aproximadamente): triángulos.
● 7 a 8 años (aproximadamente): rombos no cuadrados.
Cuando se estudian las formas geométricas es de fundamental
importancia la observación cuidados de sus características y
particularidades.
Suele ocurrir frecuentemente que al considerar los rectángulos se
ponga el acento en las dimensiones de sus lados, cuando, en realidad, la
característica que debe destacarse en este caso es que los ángulos son
rectos (rect-ángulos).
El niño puede confundir fácilmente las formas geométricas cuando
aparecen graficadas en una posición distinta de aquella en la que está
acostumbrado verlas.
Reconoce fácilmente el cuadrado en la posición 1, pero quizá no
reconozca el de la posición 2. El rombo de la posición 3 es reconocido
más prontamente que el de la posición 4.
Por ello es muy importante que las formas geométricas y las figuras
puedan ser manipuladas, movidas, tocadas, trasladadas; que se observen
en distintas posiciones; que se reconozcan claramente sus
características distintivas; que se establezcan las semejanzas y las
diferencias con otras figuras. Se recomienda entonces, que se elaboren
en papel o cartulina y se recorten para accionar con y sobre ellas. Las
actividades concretas en esta etapa están centradas en el manipuleo.
Las figuras planas aparecen al observar las caras de los cuerpos; luego,
los cuerpos pueden apoyarse en una de sus caras sobre un papel y
entonces esa cara será calcada y recortada para su estudio. Se
observarán sus características; se establecerán relaciones de semejanza
y diferencia con las otras caras de ese cuerpo; se contarán lados,
vértices, ángulos. Se descubrirán las trayectorias que determinan los
cuerpos cuando ruedan o se mueven sobre un plano, existiendo la
posibilidad de anticipar dichas trayectorias, dibujarlas y luego
verificarlas.
En el momento que conoce los ángulos, el niño utilizará varillas
móviles de cartón o madera. Estas varillas se apoyarán sobre un plano
(la mesa, el pizarrón, el suelo, etc.), observando atentamente las
diferentes clases de ángulos que puedan formar.
En esta primera aproximación al concepto de ángulo es conveniente
no mencionar sus medidas y definir los ángulos rectos de la siguiente
manera:
Dos rectas, al cortarse perpendicularmente, determinan cuatro
regiones congruentes; cada una de esas regiones se denomina ángulo
recto.
Se puede plegar un papel de modo que formen dos rectas
perpendiculares y verificar luego que las regiones en que queda dividido
el papel, después del plegado, son congruentes.
● Ángulo agudo: es el ángulo menor que un recto.
● Ángulo obtuso: es el ángulo mayor que un recto y menor que un
llano.
● Ángulo llano: es el que equivale a dos rectos consecutivos; se
llama también ángulo de medio giro.
● Ángulo cóncavo: es el ángulo mayor que un llano.
● Ángulo convexo: es el ángulo menor que el llano, (en este tipo de
ángulos se encuentran los agudos, rectos y obtusos).
Las varillas movibles (articuladas) son útiles también para elaborar
conceptos relacionados con segmentos consecutivos (colineales y no
colineales), poligonales, polígonos, etc.
Dos o más segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en
común.
Se llama poligonal a la unión de varios segmentos consecutivos no
alineados. Las poligonales pueden ser abiertas, cerradas, simples o
cruzadas.
El plegado del papel es un recurso muy eficaz y fácilmente se pueden
obtener ángulos, figuras, segmentos, et. Este recurso es indispensable
para elaborar con claridad el concepto de congruencia. El papel permite
plegar y superponer y, por lotanto, visualizar claramente las
congruencias.
El papel cuadriculado y milimetrado también son recursos muy
valiosos, pero no deben ser utilizados permanentemente. Su uso debe
alternarse con el papel liso para construcciones y/o mediciones, debido
a que el niño que se habitúa a emplear el papel cuadriculado o
milimetrado, utiliza como guía, las marcas en sus construcciones –lo que
es adecuado en un principio–, pero luego necesita desprenderse de esa
guía para aprender a manejarse con la regla y la escuadra y lograr
exactitud en sus dibujos y construcciones.
También se recomienda el uso de papel transparente y de calcar, ya
que permite obtener formas geométricas congruentes con la que es
objeto de estudio y operar y accionar sobre ellas.
El uso de los instrumentos de geometría –regla, escuadra, compás,
transportador–, como instrumento de medición y construcción, debe ser
precedido por su adecuado conocimiento: cómo están graduados, cómo
se usan, para qué sirven, etc. si el instrumento es conocido de manera
adecuada, seguramente será utilizado de manera correcta y eficaz.
Cuando el alumno investiga una situación geométrica, se formula una
hipótesis inicial, es decir, una respuesta provisoria. La exploración, la
verificación, la comprobación de la hipótesis y las actividades de sus
compañeros, la fundamentación de los procedimientos empleados, las
conclusiones que se puedan extraer, etc. permitirán que el aprendizaje
resulte significativo. Esa nueva información se incorpora e integra en los
saberes anteriores, es decir, se produce una asimilación cognitiva.
Los polígonos
Algunos de los contenidos centrales de la geometría son: polígonos en
general y triángulos y cuadriláteros en particular.
El conocimiento y estudio de los polígonos se inicia en la poligonal.
Para el tratamiento de la poligonal se sugirió el uso de varillas
articuladas movibles. Para los polígonos, esas poligonales serán
apoyadas en un plano (la mesa, el pizarrón, un franelógrafo, el piso, etc.).
El polígono es la unión de una poligonal cerrada simple y su región
interior.
El número de lados de un polígono es igual al número de sus ángulos y
de sus vértices.
Los triángulos
Las generalidades referidas a la enseñanza y el aprendizaje de las
formas geométricas en general y los polígonos en particular serán
también tenidas en cuenta para los triángulos.
Triángulo es la unión de un trilátero (poligonal de tres lados) y su
región interior.
El triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices.
Se llama también trígono y su frontera es un trilátero.
Cuando se estudian los triángulos es recomendable dibujarlos en
papel o cartulina y recortarlos; se abre así un campo muy propicio para
la experimentación. De esta manera el alumno podrá superponer
triángulos para comprobar o descartar congruencias, plegar el triángulo
para obtener el trazado de las alturas, calcar ángulos interiores para
compararlos, etc.
Una de las actividades más importante referidas a los triángulos es la
de su clasificación. Se clasifican los triángulos según dos criterios:
* Las relaciones entre sus lados: equiláteros, isósceles, escalenos.
* Las relaciones entre sus ángulos: acutángulos, rectángulos,
obtusángulos.
Al clasificar los triángulos, los agrupamos por sus semejanzas y los
separamos por sus diferencias. Es importante destacar, en esta actividad
de clasificación, las características y las condiciones determinantes que
debe reunir la figura para pertenecer a una determinada clase.
● Triángulo equilátero: tiene los tres lados congruentes.
● Triángulo isósceles: tiene al menos dos lados congruentes.
● Triángulo escaleno: tiene los tres lados no congruentes.
● Triángulo rectángulo: tiene un ángulo recto.
● Triángulo acutángulo: tiene los tres ángulos agudos.
● Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
En muchas ocasiones se suele definir al triángulo isósceles como aquel
que tiene dos lados congruentes y el tercero no congruente con los
anteriores. Esta definición –que se utilizaba en la Grecia antigua– no es
útil en nuestros días, ya que se considera al triángulo equilátero como
un caso particular del triángulo isósceles. En los años superiores el
alumno se presenta a preguntas semejantes a la siguiente: ¿Los
triángulos equiláteros son isósceles? Para responder correctamente se
tiene en cuenta la definición de triángulo isósceles.
La clasificación puede diagramarse empleando el lenguaje conjuntista
(diagramas de Venn). Teniendo en cuenta las relaciones entre los
distintos tipos de triángulos, se obtienen los siguientes gráficos:
El trazado de las alturas de un triángulo ofrece algunas dificultades
en los triángulos obtusángulos, pero se facilita cuando previamente se
han trazado por plegado. Las actividades gráficas y las construcciones
son posteriores a las que se realizan con material concreto.
Sugerencias didácticas (propiedades de los triángulos)
Las propiedades de los triángulos que se enseña en el Segundo Ciclo
son:
● Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo. La suma de los
ángulos interiores de un triángulo es igual a un ángulo llano.
● Propiedad triangular (es la condición que permite la existencia de
un triángulo): en todo triángulo un lado es menor que la suma de
los otros dos y mayor que su diferencia.
Para la enseñanza de las propiedades mencionadas sugerimos los
siguientes procedimientos:
- Para verificar la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo,
se construye un triángulo cualquiera: se calca el triángulo en papel
transparente para obtener otro triángulo congruente con el
primero; luego se recorta el triángulo de papel transparente de tal
forma que se obtengan sus ángulos interiores.
Es importante operar sobre un triángulo congruente con el primero y
no desarmar el original, pues sirve como patrón de comparación.
Obtenidos los ángulos 1, 2 y 3, se colocarán de tal forma que se
transformen en ángulos consecutivos. Así se podrá verificar que los tres
ángulos interiores del triángulo forman un ángulo llano.
Es decir: 1 + 2 + 3 = 1 llano
bac + acb + cba = 1 llano
Repetir la experiencia con triángulos de diferentes características
(rectángulos, equiláteros, isósceles, escalenos, obtusángulos y
acutángulos) llevará a confirmar la propiedad. En los años superiores se
puede demostrar:
Trazando la recta paralela al lado ac por el vértice b, se obtienen los
ángulos 4 y 5.
El 4 = 1 por ser ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por
una transversal.
El 5 = 2 por ser ángulos alternos internos entre paralelas cortadas por
una transversal.
4 + 3 + 5 = 1 llano
1 + 2 + 3 = 1 llano
Las situaciones problemáticas que se presenten deben ser variadas e
incluir la reversibilidad.
● Calcular la medida de uno de los ángulos de un triángulo,
conociendo los otros dos.
● Dada la medida de tres ángulos, investigar si pueden pertenecer
a un triángulo.
● Calcular la medida de los ángulos interiores de un triángulo
equilátero.
● Calcular de medida de los ángulos de un triángulo rectángulo
isósceles, etc.
La propiedad triangular es la condición de posibilidad de la
existencia de un triángulo. Tres segmentos cualesquiera pueden ser
lados de un triángulo, si cada uno es menor que la suma de los otros dos
y mayor que su diferencia. Se usarán varillas articuladas de diferentes
medidas y se podrá comprobar que si no se cumple la propiedad, el
triángulo no se forma. En el Segundo Ciclo no se realiza la demostración
de esta propiedad, sólo se verifica.
Se pueden usar las siguientes medidas de las varillas:
a) Varillas de 10 cm, 8 cm y 18 cm.
b) Varillas de 15 cm, 12 cm y 30 cm.
c) Varillas de 15 cm, 12 cm y 26 cm.
d) Varillas de 10 cm, 6 cm y 15 cm.
Con algunos tríos de segmentos se va a poder construir el triángulo y
con otros no. Así podrán verificar la propiedad triangular.
Hacia un sistema de coordenadas.
En esta etapa –organización del espacio, Segundo Ciclo– es muy
importante crear en el alumno la conciencia de la necesidad de poseer
un sistema de referencia para ubicar puntosen el espacio y/o plano.
Cuando asistimos a un espectáculo necesitamos conocer el número de
fila y el número de butaca para ubicar un determinado asiento; es decir
necesitamos dos datos.
Si jugamos a la batalla naval también necesitamos dos referencias
para hacerlo.
Estas actividades –y otras similares–, permiten introducir la noción de
las coordenadas cartesianas. El sistema de coordenadas es el referente
que permite un punto en el plano y/o en el espacio.
Las coordenadas cartesianas consisten en dos ejes perpendiculares x e
y graduados con una escala a convenir; (a;b) las coordenadas de un
punto p, permiten ubicar los puntos en el plano.
x es el eje de las abscisas; y el eje de ordenadas; (a; b) es un par
ordenado que representa la coordenada del punto p; a es la abscisa y b
es la ordenada. Cada una de las regiones en que queda dividido el plano
al trazar los ejes se llama cuadrante. Se numeran en sentido contrario al
de las agujas del reloj (I, II, III y IV cuadrante).
La idea de representar puntos usando un sistema de coordenadas
rectangulares se debe al matemático René Descarte, quién las utilizó a
partir de 1619.
Para justificar el uso de coordenadas ortogonales, recomendamos una
actividad grupal que también puede realizarse por parejas. Esta
actividad tiene como objetivo demostrar la necesidad de emplear un
sistema de referencia para ubicar con precisión los puntos y las figuras
en el plano.
En una ficha rectangular (o cartulina de 20 cm por 12 cm
aproximadamente), dibujamos una figura cualquiera.
El participante del grupo que posee la ficha con la figura será el
encargado de dar las consignas necesarias a los otros miembros del
grupo, para que reproduzcan la figura en fichas semejantes en tamaño
pero en papel transparente. Las consignas deberán ser verbales; la ficha
con la figura deberá mantenerse fuera de la vista de los otros integrantes
del equipo. Se utilizará exclusivamente elementos no convencionales
para medir (sogas, hilos, los dedos, etc.). Al terminar la actividad cada
miembro del grupo deberá verificar por superposición con la ficha
original, si la figura que ha trazado es congruente con aquella.
Al realizar la actividad; los alumnos tienen la dificultad de ubicar la
figura en la posición exacta y, por lo general, miden en forma oblicua con
los medios a su alcance; la inclinación utilizada suele surgir de una
estimación visual. Posteriormente comprenderán que si utilizan como
referencia los bordes de la ficha, a la manera de ejes cartesiano, podrán
construir fácilmente en sus fichas la figura, ubicando sus vértice.
Sugerencias didácticas (etapa de organización del espacio)
● Elaborar (fabricar) los instrumentos de geometría (regla,
escuadra, compás, transportador) con elementos de librería,
como, por ejemplo, papel, papel cuadriculado, papel milimetrado,
papel glacé, hilo, etc.)
● Con los elementos fabricados construir:
- Dos rectas perpendiculares.
- Dos rectas paralelas oblicuas.
- Una circunferencia, un ángulo de 60°.
- La bisectriz del ángulo anterior.
Cuando los alumnos realizan estas actividades ponen en juego toda su
creatividad y sus conocimientos intuitivos, que no son pocos.
Asimismo, en la construcción de los elementos de geometría
seguramente se tendrá en cuenta los principios matemáticos que los
fundamentan. Por ejemplo: al construir la regla no sólo debe tener en
cuenta su rectitud, sino también que permita medir; por lo tanto deberá
estar graduada.
En el caso del compás, si bien algunos alumnos lo fabrican semejante
al comprado con alfileres, maderas, etc., lo realmente importante es que
el compás elaborado sirva para mantener una distancia fija (radio o
diámetro de la circunferencia); entonces suele bastar un hilo, uno de
cuyos extremos esté fijado al plano de la hoja (con alfiler por ejemplo).
Para construir la escuadra es imprescindible verificar que los bordes
de la hoja que se use mantengan la perpendicularidad. El procedimiento
más seguro es plegar un papel en cuartos, desplegarlo, luego construir la
escuadra y recortar.
La construcción del transportador suele poner en juego toda la
creatividad de los niños. Lo más frecuente es que dibujen un semicírculo
(utilizando el compás construido anteriormente) y plieguen. Se obtiene
así la graduación 45°, 90°, 135° y 180°. Al plegar en tercios obtienen el
ángulo de 60° y luego su mitad 30° y la mitad de éste 15°.
Para realizar las construcciones se deberán aplicar todos los recursos
y los conocimientos y es frecuente que los niños resuelvan las
situaciones planteadas apelando al ingenio. En el caso del ángulo de 60°
puede ocurrir que construyan un triángulo equilátero (cuyos ángulos
interiores miden 60° cada uno, por la propiedad de los ángulos
interiores de un triángulo) y utilicen uno de esos ángulos para
calcularlo. Para trazar su bisectriz bastará con doblar el ángulo por la
mitad de su amplitud.
Etapa de sistematización
Al finalizar el Segundo Ciclo (aproximadamente), comienza una etapa
de transición entre la organización del espacio y su sistematización. Las
formas reales pueden ser reemplazadas por gráficos, construcciones y/o
figuras de análisis.
La construcción del concepto de proporcionalidad y el reconocimiento
de la perspectiva determinan el comienzo de la sistematización del
espacio. Esta etapa empieza en el Tercer Ciclo y se extiende durante toda
la escolaridad posterior.
A partir de los 11 a los 12 años el individuo está en condiciones de
interpretar un espacio matemático, un espacio abstracto; un espacio
donde una figura o una forma pueda ser pensada y analizada aún en
ausencia de ella. En esta etapa se intenta la generalización y la
abstracción de los conceptos geométricos y se realizan (en algunos
casos) demostraciones por estrictos criterios de inferencias y aplicando
el pensamiento deductivo (teoremas).
En este período el lenguaje matemático alcanzará progresivamente la
precisión que lo caracteriza y se integrarán contenidos conceptuales y
procedimentales. También se logrará la interrelación de los entes
geométricos y sus propiedades, imprescindibles en la resolución de
situaciones problemáticas.
Los cuadriláteros
Los polígonos cuyas fronteras son poligonales de cuatro lados,
comúnmente llamados cuadriláteros, son los cuadrángulos o tetrágonos.
Los elementos son cuatro vértices, cuatro lados, cuatro lados y dos
diagonales.
En lenguaje simbólico:
Vértices: a, b, c, d
Lados: ab, bc, cd, da
Ángulos: dab, abc, bcd, cda
Diagonales: ac, bd (son segmentos que tienen por extremos dos
vértices no consecutivos).
Los lados no consecutivos del cuadrángulo son lados opuestos.
Clasificación
Los cuadriláteros se clasifican según las características de sus lados
opuestos en cuadriláteros: paralelogramos, semiparalelogramos y no
paralelogramos.
Cuadriláteros paralelogramos son los cuadrángulos cuyos lados
opuestos son paralelos, el rectángulo, el rombo y el cuadrado, llamados
paralelogramos especiales y el paralelogramo propiamente dicho.
Propiedades:
● En todo paralelogramo los lados opuestos son congruentes.
● En todo paralelogramo, los ángulos opuestos son congruentes.
● En todo paralelogramo, las diagonales se cortan en su punto
medio.
● El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría de
la figura.
Cuadriláteros semiparalelogramos son los cuadrángulos que tienen
al menos un par de lados paralelos – dentro de ellos consideramos a los
trapecios.
Cuadriláteros no paralelogramos son los cuadrángulos que no
tienen lados opuestos paralelos, como el romboide y el trapezoide.
Si usamos un diagrama de Venn para graficar la clasificación de los
cuadriláteros resulta:
Paralelogramos especiales
Se llaman paralelogramos especiales aquellos cuyos lados o ángulos
cumplen propiedades particulares: ellos son el rectángulo, el rombo y el
cuadrado.
Rectángulo: es el cuadrilátero que tiene los cuatro ángulos interiores
rectos.
Es suficiente que un cuadrángulo paralelogramo tenga un ángulo recto
para que sea rectángulo. Por ser paralelogramo tiene las siguientespropiedades:
● Los lados opuestos son congruentes.
● Los ángulos opuestos son congruentes.
● El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría de
la figura.
● Las diagonales se cortan en su punto medio.
● Las diagonales son congruentes.
Se llama base media del rectángulo al segmento determinado por los
puntos medios de sus lados opuestos. Un rectángulo tiene dos bases
medias. Las bases medias del rectángulo son ejes de simetría de la
figura.
Rombo: es el paralelogramo que tiene sus cuatro lados congruentes.
Tiene las siguientes propiedades comunes a los paralelogramos:
● Los lados opuestos son congruentes (ya que sus 4 lados lo son).
● Los ángulos opuestos son congruentes.
● Las diagonales se cortan en su punto medio.
● El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría de
la figura.
Cuadrado: es el paralelogramo que tiene sus lados congruentes y sus
ángulos interiores rectos. El cuadrado es un rectángulo y un rombo a la
vez, por ello tiene las propiedades de ambos:
● Los lados opuestos son congruentes.
● Los ángulos opuestos son congruentes.
● Las diagonales son congruentes.
● El punto de intersección de las diagonales es centro de simetría de
la figura.
● Las bases medias son ejes de simetría de la figura
● Las diagonales son perpendiculares, se cortan en su punto medio y
son bisectrices de los ángulos opuestos.
Paralelogramo propiamente dicho: es un cuadrilátero
paralelogramo que tiene los lados opuestos congruentes.
Tiene las propiedades comunes a los paralelogramos.
Cuadriláteros semiparalelogramos
Trapecio: es el cuadrángulo que tiene al menos un par de lados
paralelos.
La altura del trapecio es la distancia comprendida entre los lados
paralelos.
Los trapecios se clasifican en:
Cuadriláteros no paralelogramos
Romboide: es el cuadrángulo que tiene dos lados consecutivos
congruentes y los otros dos lados consecutivos también congruentes.
Se llama diagonal principal del romboide a la que une los dos vértices
a los que concurren los lados congruentes. La diagonal principal puede
no ser la mayor.
Las diagonales del romboide son perpendiculares entre sí. La diagonal
principal corta a la otra en su punto medio. Esta propiedad permite la
fácil construcción de la figura.
Trapezoide: es el cuadrángulo que tiene cuatro lados no congruentes
y ningunos paralelos.
La didáctica de los cuadriláteros
Hemos dicho que los cuadriláteros se clasifican en familias o clase,
teniendo en cuenta las características de sus lados. A medida que los
alumnos se familiaricen con ellos, descubrirán las propiedades que
poseen, cuyo estudio sistemático corresponde al Tercer Ciclo.
Las varillas articuladas, sugeridas para la enseñanza de los triángulos
y convenientemente adaptadas con un segmento más, podrán ser
utilizadas para enseñar los cuadriláteros.
Las fronteras de los cuadriláteros pueden visualizarse también
utilizando el geoplano y las bandas elásticas o los hilos. Estos materiales
permiten actividades de transformaciones de unos cuadriláteros en
otros que facilitan la comparación.
La construcción de cuadriláteros con papel (recortados), permitirá la
manipulación de las figuras para verificar congruencias por plegado y la
observación de sus características en varias posiciones.
También se podrán presentar las piezas sueltas (rompecabezas) que
forman una figura para su armado.
La transformación de algunos cuadriláteros en otros haciendo los
recortes adecuados con actividades introductorias para enseñar la
equivalencia de figuras. En la figura se muestra la transformación de un
rectángulo en un paralelogramo propiamente dicho.
Medida de las formas geométricas planas
Las figuras tienen una extensión que se pueden medir.
La medida de la frontera o contorno se llama perímetro.
El perímetro es la suma de los lados (segmentos) consecutivos
alineados, de la frontera del polígono.
En el siguiente cuadrilátero el perímetro es:
Unidad de medida: cm
Medida del perímetro: 10 cm
Perímetro de las figuras
En lenguaje simbólico el lado se designa L y el perímetro P.
Polígono: P = L1 + L2 + L3 +… + Ln
Triángulo escaleno: P = L1 + L2 + L3
Triángulo isósceles: P = L1 x 2 + L2
Triángulo equilátero: P = L x 3
Cuadrado y rombo: P= L x 4
Rectángulo y paralelogramo propiamente dicho:
P = L1 + L2 + L3 + L4 ó P = L1 x 2 + L2 x 2 ó P= (L1 + L2) x 2
Romboide: P = L1 x 2 + L2 x 2 ó P= (L1 + L2) x 2
Trapezoide: P = L1 + L2 + L3 + L4
Medida de la superficie. Área.
La medida de la superficie de una figura plana se llama área.
En el ejemplo, el área es de 18 unidades. Si la medida del lado del
cuadrado chico fuese de 2 cm, la superficie sería de 72 cm2.
Dos figuras que tiene la misma superficie son equivalentes.
La superficie del rectángulo es el punto de partida para obtener las
otras, empleando la equivalencia de figuras.
Para ello se realizan transformaciones en un rectángulo hasta obtener
otra figura, teniendo en cuenta los siguientes principios:
1. La equivalencia de las superficies.
2. La conservación de la superficie, aunque se realicen cambios en la
configuración de las partes.
3. La suma de polígonos para obtener superficies equivalentes.
4. El movimiento de las figuras para obtener otras (transformaciones
como desplazamientos, rotaciones, giros, etc.).
Superficie del rectángulo
Considerando un rectángulo abcd, el producto de ad x ab es la
superficie del rectángulo.
Sup. abcd = ad x ab
Sup. rect. = base x altura
Sup. rect. = b x h
Superficie del paralelogramo
Un rectángulo puede transformarse en un paralelogramo propiamente
dicho equivalente, como indica la figura:
Por lo tanto:
Sup. paralelogramo = b x h
Superficie del cuadrado
Teniendo en cuanta que el cuadrado es un rectángulo de lados
congruentes, resulta que:
Sup. cuadrado = b x h
Sup. cuadrado = L x L
Sup. cuadrado = L2
Superficie del triángulo
A partir de un paralelogramo, trazando una diagonal se obtienen dos
triángulos. Luego,
Sup. triángulo = 𝑏 𝑥 ℎ2
Superficie del rombo
Para deducir la superficie del rombo se parte de un rectángulo. Al
trazar sus bases medias y unir el punto de intersección de ellas con los
lados del rectángulo, queda determinado un cuadrilátero.
Es evidente que ese cuadrilátero es un rombo, ya que sus cuatro lados
son congruentes, lo que se puede verificar fácilmente plegando la figura
en papel o bien midiendo los lados utilizando el compás.
Los cuatro triángulos que quedan mbp, pcn, qdn, maq son
congruentes entre sí y al unirlos convenientemente forma otro rombo
equivalente al mpnq.
Es decir, a partir de un rectángulo se obtiene dos rombos. La
superficie del rectángulo es equivalente a la superficie de los dos
rombos.
Las bases medias del rectángulo son las diagonales del rombo.
Teniendo en cuanta que cada base media es paralela a la base
respectiva, y congruente con ella, reemplazando segmentos congruentes
se deduce la superficie del rombo de la siguiente forma:
Sup. rectángulo = b x h
2 sup. rombo = b x h (por equivalencia de figuras)
2 sup. rombo = diag1 x diag 2 (reemplazando segmentos congruentes).
Sup. rombo =
𝑑𝑖𝑎𝑔
1
 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑔
2
2
Superficie del trapecio
Para deducir la superficie del trapecio es necesario realizar una
construcción auxiliar.
A partir del trapecio abcd y a continuación del punto d, se prolonga la
semirrecta ad y se construye un segmento db’ = bc. Luego la semirrecta
bc se prolonga y se construye cd’ = ad; así queda determinado el
cuadrilátero abd’b’ que es un paralelogramo ya que sus lados opuestos
son paralelos y congruentes.
Superficie abd’b’ = b x h
Superficie abd’b’ = ab’ x h
Superficie abd’b’ = (ad + db’) x h
Superficie abd’b’ = (ad + bc) x h
Recordando los cuadriláteros abcd y dcd’b’, y por superposición, se
comprueba que son dos trapecios congruentes, luego:
2 Superficie abcd = (ad + bc) x h
Superficie trapecio abcd = (base1 + base2) x h
2
Superficie del romboide
En forma similar a la del rombo, se deduce la superficie del romboide.
El segmento mn es una de las bases medias; el segmento pq es
paralelo a los lados aby cd.
Se obtiene dos romboides ya que los triángulos mbp, pcn, ndq y
qam forma otro romboide congruente con mpnq.
Luego,
Superficie del romboide = diagonal mayor x diagonal menor
2
Superficie de un polígono cualquiera
Para deducir la superficie de un polígono cualquiera, basta con
descomponerlo en triángulos o cuadriláteros, calcular las superficies
parciales y sumarlas.
Superficie del polígono abcdef = sup.T1+sup.T2+sup.T3+sup.T4
La circunferencia y el círculo
Desde que se inventó la rueda, aproximadamente 4000 años antes de
Cristo, la circunferencia y el círculo han sido considerados en forma
especial, quizá por la armonía de sus formas.
El círculo puede definirse como un polígono de infinitos lados y la
circunferencia es su frontera.
El círculo es la circunferencia y sus puntos interiores.
Una varilla (segmento) que gira sobre un plano de tal forma que uno
de sus extremos lo hace sobre sí mismo, origina un círculo. El punto que
gira sobre sí mismo es el centro de rotación.
Los elementos del círculo son los siguientes:
Centro o
Radio r
Diámetro d
Cuerda ab
Arco ab
mop es un ángulo central
La relación entre el perímetro del círculo (longitud de la
circunferencia) y su diámetro es una constante que se conoce como pi
(π), nombre de una letra griega.
El número pi (π) es un número irracional con infinitas cifras decimales
no periódicas que representa la relación (constante) entre una
circunferencia y su propio diámetro.
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 3, 14159… = 3, 14 = π
Longitud de la circunferencia = xdiámetroπ
La superficie del círculo se enseña en el tercer ciclo de la escuela
primaria y es:
Superficie del círculo = π. 𝑟2
Sugerencias didácticas
Perímetros
Para la enseñanza de los perímetros es muy frecuente utilizar una
cinta, un hilo o lana para contornear las fronteras de las figuras.
Para obtener figuras distintas entre sí, con perímetros iguales
(isoperimétricas), se utilizará un hilo unido a los extremos y un
geoplano. Se podrán originar así formas geométricas, comprobando que
es posible que el perímetro permanezca constante aunque varíen las
formas.
Las varillas articuladas se pueden apoyar sobre una cartulina, recortar
el polígono y las varillas (frontera) se transformarán, mediante un
estiramiento, en segmentos alineados y de esta forma medir el
perímetro.
Áreas
En la primera etapa de elaboración del concepto de área, se pueden
utilizar unidades de papel cuadradas, rectangulares, etc. para realizar
actividades de tipo embaldosado.
Puede suceder que al cubrir la superficie, queden espacios libres que
impliquen la necesidad de partir la unidad de superficie y se deba
utilizar ½ unidad de superficie. De esta forma se integrará la actividad
con las fracciones y los números con coma.
El papel cuadriculado y milimetrado es un recurso adecuado para
calcular las áreas de polígonos (la unidad corresponde al cuadriculado
del papel).
Se impulsarán actividades de investigación relacionadas con la
posibilidad de analizar cómo varían las áreas de las figuras, los
rectángulos, por ejemplo, cuando se mantiene la medida de la base y se
modifica la altura.
En la última etapa se mide en centímetros para expresar la superficie
en cm2 (centímetros cuadrados).
Ejemplos de actividades para proponer a los alumnos
* Con distintas unidades de papel a modo de baldosas armar figuras
equivalentes (áreas iguales).
* Cubrir superficie con unidades congruentes de papel para medir
áreas.
* Dibujar figuras isoperimétricas y de áreas distintas entre sí.
* Dibujar figuras equivalentes de perímetros distintos.
* Calcular perímetros y superficies de figuras. Resolver situaciones
problemáticas coloquiales.
* Calcular perímetros y superficies en situaciones de la vida
cotidiana.
* Transformar figuras en otras equivalentes, etc.
A partir de piezas sueltas convenientemente elegidas (ver figuras),
armar determinados cuadriláteros (por ejemplo un cuadrado),
utilizando todas las piezas rompecabezas).
NOTAS
1. Los cuadriláteros que tienen al menos un par de lados paralelos
se llaman trapecios. La clase de los trapecios incluye a los
paralelogramos. Esto lleva a afirmar que todos los
paralelogramos son trapecios. No todos los trapecios son
paralelogramos. caracterizaremos los trapecios no
paralelogramos; es decir, aquellos cuadriláteros que tienen un
solo para de lados paralelos.
2. Los rombos pueden ser cuadrados o no cuadrados. El rombo no
cuadrado tiene dos ángulos opuestos congruentes obtusos y dos
lados opuestos congruentes agudos.
3. La construcción del rombo conociendo sus diagonales se realiza
aplicando la propiedad mencionada. Se trazan dos segmentos
perpendiculares y, a partir de la intersección de ellas, se mide la
mitad de cada diagonal respectiva. Así se determinan los vértices
del rombo.
4. El rombo puede considerarse como un caso particular del
romboide; que tiene dos lados consecutivos congruentes y los
otros dos también son congruentes entre sí.
5. En forma similar a la construcción del rombo, se construye el
romboide. La diagonal principal (la mayor) corta a la otra en su
punto medio, pero el punto de intersección de la diagonal
principal no es su punto medio.
6. Las varillas articuladas sugeridas para los cuadriláteros deberán
cumplir ciertas condiciones: varillas de cuatro segmentos
congruentes para determinar cuadrados y rombos; varillas de
segmentos congruentes dos a dos alternados, para determinar
rectángulos y paralelogramos en general; varillas de segmentos
congruentes dos a dos no alternados, para determinar el
romboide; varillas de segmentos no congruentes para determinar
el trapecio y el trapezoide.
7. A partir de un rectángulo pueden generarse todos los
cuadriláteros. Lo ejemplificaremos en la deducción de las
superficies de los cuadrángulos. Las transformaciones son
operaciones métricas (movimientos) que transforma la figura
dada en otra congruente; estos movimientos son la traslación y
la rotación.
La traslación es el movimiento que tiene como operador un
vector constante, de tal forma que cualquier segmento
determinado por dos puntos cualesquiera de la figura se
mantiene paralelo a sí mismo a lo largo de toda su trayectoria. El
vector es un segmento orientado que tiene dirección, sentido y
módulo (extensión, medida).
La rotación es el movimiento que tiene como operador un
ángulo constante, con una amplitud y un sentido (positivo o
negativo) de giro. El sentido positivo es el contrario a las agujas
del reloj. Se llama rotación plana en torno de un punto fijo (o
centro de rotación), al movimiento que hace corresponder a todo
punto p otro punto p’, tal que op = op’; el punto p ha rotado
(girado) hacia la posición p’, según la amplitud y el sentido del
ángulo de rotación. El centro de rotación puede pertenecer a la
región interior, a la región exterior o a la frontera de la figura.
8. Números irracionales son los números con infinitas cifras
decimales no periódicas, que no pueden expresarse como razón
(cociente) entre dos números. Ejemplo: el número π, , número2
e (el número de Euler), φ (número phi o número de oro.
9. El centímetro cuadrado (cm2) es una unidad de medida que
corresponde a la superficie de un cuadrado cuyo lado mide 1cm.