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LABORATORIO Nº3
TEMA: Diseño de Controladores en Variable de Estado
Logro General:
· Diseñar y simulación de Sistemas en Variables de Estado
Logros específicos	
· Familiarizarse con la simulación en MATLAB de sistemas en Variables de Estado
Materiales	
· 1 Computadora con Matlab u Octave instalado.
Instrucciones Procedimentales	
Fundamentos Teóricos:
CREACIÓN DE MODELOS CON MATLAB.
Al igual que sucede con lo s sistemas continuos, el toolbox de control de Matlab (Control System
Toolbox) incluye diversas funciones para el tratamiento de sistemas discretos.
Creación del modelo de un sistema discreto en el espacio de estados:
El sistema discreto:
Por ejemplo, si quisiéramos definir el siguiente sistema discreto en Matlab, con un periodo de muestreo de 0.1s:
Los comandos necesarios en Matlab serían:
Con esto se ha creado un objeto llamado sysd, correspondiente al sistema anterior. La variable sysd creada es una estructura de datos específica del model o que permite manipular el sistema como una única entidad. Si quisiéramos extraer los datos asociados al sistema creado existen dos opciones:
Opción 1: Utilizar la función ssdata:
Opción 2: Acceder directamente al miembro de la estructura que nos interese, poniendo el nombre de la variable, un punto y el nombre del elemento al que queremos acceder, por ejemplo, si hacemos:
Con esto estamos creando tres variables llamadas matriz1, matriz2 y periodo que contendrán la matriz del sistema (G), la matriz de entradas (H) y el periodo de muestreo.
Además de utilizar la representación interna, es posible definir un modelo mediante representación externa (función de transferencia). Si queremos representar un sistema con función de transferencia:
debemos utilizar la función tf, especificando el periodo de muestreo:
donde num y den son vectores que especifican los coeficientes del numerador y el denominador, en potencias decrecientes de z. Por ejemplo, si quisiéramos definir el sistema con la siguiente función de transferencia, y con periodo de muestreo T=0.1s:
tendríamos que utilizar el siguiente comando:
Al ejecutar este comando, se ha creado una variable sist, correspondiente al sistema discreto con esa función de transferencia. Para poder utilizar la función tf, la función de transferencia debe estar expresada en potencias positivas de z. Si la función está expresada en potencias de z-1, la convertimos a potencias de z (multiplicando y dividiendo por la z de mayor grado)
Conversión de modelos:
Para realizar la conversión de un sistema entre diferentes representaciones se utilizan las mismas funciones que se usan para crear los modelos. Por ejemplo, para obtener el modelo del sistema en representación externa (función de transferencia) a partir de su modelo en representación interna (modelo de estado), podríamos ejecutar
» sysdtf = tf(sysd)
donde sysd es el sistema modelado en representación interna y sysdtf es el sistema modelado en representación externa (función de transferencia).
Para obtener el modelo del sistem a en representación interna a part ir de su modelo en representación
externa se ejecutaría:
» sysd=ss(sysdtf)
donde sysdtf es el sistema modelado en representación externa y sysd es el sistema modelado en representación interna.
DISCRETIZACIÓN DE SISTEMAS CONTINUOS.
Las funciones c2d, d2c y d2d realizan conversiones de continuo a discreto, de discreto a continuo y de discreto a discreto (con un nuevo periodo de muestreo), respectivamente:
Pasamos a describir ahora con mayor detalle la función c2d para discretización de sistemas continuos.La discretización de un sistema continuo se realiza añadiendo a la entrada del sistema un bloqueador y a su salida un muestreador de periodo T. Considerando el sistema continuo:
El sistema discreto que se obtiene al añadir un bloqueador de orden cero y muestreador de periodo T es:
donde las matrices del sistema discretizado se pueden calcular a partir de las matrices del sistema continuo mediante las expresiones:
Gráficamente, al realizar la discretización, hemos pasado del sistema continuo
Sistema continuo con un bloqueador de orden cero a la entrada y un muestreador a la salida.
Al sistema discreto equivalente:
Sistema discreto equivalente al sistema de la figura
Como se ha comentado anteriormente, para discretizar un sistema continuo en representación interna,
puede utilizarse la función de Matlab c2d. Dicha función puede utilizarse de dos formas:
Con la primera sentencia, se obtienen como resultado las matrices G y H del sistema discretizado,
pasando como parámetro a la función c2d las matrices A y B del sistema continuo y el periodo de
muestreo. Por su parte, con la segunda secuencia, obtenemos el sistema discreto como un objeto,
partiendo del sistema continuo (que habrá sido definido previamente mediante la función ss).
CÁLCULO DE LA RESPUESTA DEL SISTEMA CON MATLAB
Para calcular la respuesta de un sistema discreto ante diferentes entradas y/o condiciones iniciales,
disponemos de las mismas funciones que vimos para sistemas continuas. A continuación se resumen
dichas funciones:
- Función step. Representa gráficamente la respuesta del sistema ante entrada escalón unitario,
asumiendo que las condiciones iniciales son nulas. Este co mando puede ejecutarse de dos
modos:
»step(sysd)
En este caso muestra una gráfica con la respuesta del sistema sysd, pero no permite observar
la trayectoria de los estados
En lugar de representarse la respuesta del sistema se obtiene un vector y con la respuesta del sistema, un vector t con el tiempo usado para la simulación, y una matriz x con la trayectoria de los estados. Para representar la evolución de las variables de estado tendríamos que utilizar la función plot. Es recomendable incluir como último parámetro a dicha función el valor ‘o’, para que sólo se muestren los valores en los instantes de muestreo.
- Función initial. Respuesta del sistema a las condiciones iniciales considerando que la entrada es nula. Al igual que en el caso anterior, este comando puede ejecutarse de dos maneras. En primer lugar:
Muestra una gráfica con la respuesta del sistema sysd a las condiciones iniciales expresadas en el vector columna x 0. En segundo lugar:
Obtiene un vector y con la respuesta del sistema a las condiciones iniciales expresadas en el vector columna x 0, un vector t con el tiempo usado para la simulación, y una matriz x con la trayectoria de los estados.
- Función lsim. Respuesta ante una entrada arbitraria. Este comando, al igual que en los casos anteriores, puede ejecutarse de dos modos:
En este caso muestra una gráfic a con la respuesta del sistema sysd, pero no permite observar la trayectoria de los estados. El vector t indica el tiempo de la señal de entrada, que se expresa en el vector u. Las condiciones iniciales se expresan en el vector columna x 0. Si se consideran condiciones iniciales nulas, no es necesario incluir este parámetro
En este caso en lugar de representarse la respuesta del sistema se obtiene un vector y con la respuesta del sistema, un vector ts con el tiempo usado para la simulación, y una matriz x con la evolución de los estados.
TRANSFORMACIÓN ENTRE MODELOS DE ESTADO.
Función ss2ss. Permite realizar transformaciones lineales de estado. El funcionamiento es idéntico al indicado para sistemas continuos en la práctica 1.
Función c2dm. Permite obtener la función de transferencia del sistema discreto a partir de la función de transferencia del sistema continuo. La orden:
Convierte la función de transferencia continua
a la discreta equivalente
tomando como periodo de muestreo Ts segundos. Si se desea considerar un bloqueador de orden cero a la entrada del sistema, el parámetro ‘metodo’ debe ser ‘zoh’.Una vez que se tiene la función de transferencia discreta, se puede calc ular el modelo de estado discreto mediante la función tf2ss
Función tf2ss. Permite obtener un modelo de estado del sistema discreto a partir de su función de transferencia (en z). El comando:calcula la representación en el espacio de estados:
del sistema
Obtención de la función de transferencia a partir del modelo en variables de estado. La función de transferencia también se puede obtener mediante la fórmula estudiada en clase:
Por ejemplo, para calcular la función de transferencia del sistema
haríamos:
Es decir, la función de transferencia obtenida es:
Actividades a realizar:
1. Definir los tipos de formas canónicas para representar los sistemas discretos (Teorico)
2. Considérese el siguiente sistema continuo definido en representación interna:
deben realizarse los siguientes apartados:
a. Representar el sistema continuo como un objeto LTI (Linear-Time invariant) mediante el comando ss.
b. Obtener el sistema discreto equivalente cuando utilizamos el mantenedor de orden cero y un muestreador de periodo 0.1s.
c. Obtener en Matlab la salida, la evolución de las variables de estado y la trayectoria de
los estados, considerando una entrada en escalón unitario y condiciones iniciales nulas, para el sistema continuo y para el sistema discretizado. Comparar los resultados
obtenidos para ambos sistemas.
d. Obtener en Matlab la salida, la evolución de las variables de estado y la trayectoria de
los estados, considerando condiciones iniciales x0 = [2, 5, -1] T y entrada nula, para el
sistema continuo y para el sistema discretizado. Comparar los resultados obtenidos.
e. Obtener en Matlab la salida, la evolución de las variables de estado y la trayectoria de
los estados, considerando condiciones iniciales x0 = [2, 5, -1] T y entrada escalón unitario,
para el sistema continuo y para el sistema discretizado. Comparar los resultados
obtenidos.
f. Obtener la función de transferencia del sistema discretizado (el obtenido en el apartado b) y obtener la salida de dicha f unción de transferencia mediante Matlab cuando la entrada es un escalón unitario. Comprobar como el resultado es idéntico al obtenido en el apartado c.
g. Obtener la función de transferencia del sistema discretizado partiendo de la función de transferencia del sistema continuo. Comprobar como el resultado es idéntico al obtenido en el apartado f.
h. Obtener la representación en el espacio de estados a partir de la función de transferencia discreta obtenida en el apartado g, y calcular la salida ante escalón unitario
y condiciones iniciales nulas. Comprobar como el resultado es idéntico al obtenido en el apartado c.
Bibliografía
1. Fraile, J., García, P. y Fraile, J. (2018). Ingeniería de control: aplicaciones con Matlab. Madrid: Ibergarceta Publicaciones. [629.8312 F81]
2. Salt, J. J., Cuenca, Á., Casanova, V. y Correcher, A. (2015). Control automático: tiempo continuo y tiempo discreto. Valencia: Reverté. [629.8312 S17]
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Desarrollo del Laboratorio
Describa las evidencias, cálculos, comparaciones realizadas durante el laboratorio.
Observaciones 
Describa cuáles han sido las particularidades que se ha tenido en la experiencia, por ejemplo, manejo de resistencias, señales de frecuencia detectadas por el analizador de espectro, etc.
Conclusiones
Precisar la relación encontrada entre el conocimiento teórico y la experiencia práctica, cómo fue la experiencia del trabajo en equipo, los tiempos fueron adecuados o no, cómo fue la interacción con el equipamiento especializado, entre otros.
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