LIMITE - CONTINUIDAD

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1 
 
 
Entorno 
En el plano: entorno de un punto 𝑃. En la recta numérica: entorno de un n° real 𝑎 
 
Puntos del círculo de radio ℎ (ℎ > 0 pequeño) 
 
 
Valores del intervalo de radio ℎ (ℎ > 0, pequeño) 
 
Entorno de un número real x=a 
Def. El intervalo abierto 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑅/ 𝑎 − ℎ < 𝑥 < 𝑎 + ℎ} se denomina entorno o vecindad de un 
número 𝑥 = 𝑎 ∈ 𝑅, con ℎ > 0, pequeño, llamado radio del intervalo. 
𝐸 = (𝑎 − ℎ, 𝑎 + ℎ) 
 
(Aplicando concepto de valor absoluto puede expresarse: |𝑥 − 𝑎| < ℎ) 
Entorno reducido de un número real 
Def. El entorno que excluye al n° 𝑥 = 𝑎; 𝐸∗ = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑎 − ℎ < 𝑥 < 𝑎 + ℎ  𝑥 ≠ 𝑎} se denomina 
entorno reducido. 
 
𝐸∗ = (𝑎 − ℎ, 𝑎) ∪ (𝑎, 𝑎 + ℎ) 
 
Límite de una función (Idea) 
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un entorno de un número 𝑥 = 𝑎. 
Si los valores, 𝑓(𝑥), de la función 𝑓 se aproximan a un valor final 𝐿 cuando la variable 
independiente, 𝑥, se aproxima en el entorno al número 𝑥 = 𝑎, se dice que el valor al cual tienden 
los valores 𝑓(𝑥) es el límite de 𝑓 . 
𝑓(𝑥) → 𝐿 cuando 𝑥 → 𝑎 
 
 Valores de 𝑓 tiende límite 
Simbólicamente se escribe: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
Aproximación gráfica y tabular 
Ejemplo1: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1, ¿Cuál es el límite de 𝑓 cuando 𝑥 → 1? 
Considerando un intervalo reducido (0.5, 1) ∪ (1, 1.5) siendo, en este caso, 𝑎 = 1 
Aproximación por valores inferiores a 1: valores del intervalo 0.5 < 𝑥 < 1 
𝑥 0.6 0.9 0.99 0.999 Por valores inferiores a 1, 𝑥 → 1 
𝑦 = 𝑥3 + 1 1.216 1.729 1.97 1.997 Se observa que los valores de 𝑦 → 2 
Límites y continuidad de una función. 
 
 
2 
En este caso se dice que, 𝑥 se aproxima por izquierda y se simboliza 𝑥 → 𝟏− 
Aproximación por valores superiores a 1: valores del intervalo 1 < 𝑥 < 1.5 
𝑥 1.4 1.1 1.01 1.001 Por valores superiores a 1, 𝑥 → 1 
𝑦 = 𝑥3 + 1 3.744 2.331 2.03 2.003 𝑦 → 2 
En este caso se dice que, 𝑥 se aproxima por derecha y se simboliza 𝑥 → 𝟏+ 
 
Gráficamente: 
 
 
 Límite 
𝐿 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑎 = 1 
 
Simbólicamente: lim
𝑥→1
(𝑥3 + 1) = 2 
Ejemplo2: Sea 𝑔(𝑥) =
𝑥+𝑥2
𝑥+1
, ¿Cuál es el límite de 𝑔 cuando 𝑥 → −1? 
Considerando un entorno reducido (0.5, 1) ∪ (1, 1.5) para 𝑎 = 1 
Aproximación por valores inferiores a -1: valores del intervalo −1.5 < 𝑥 < −1 
𝑥 -1.4 -1.1 -1.01 -1.001 𝑥 → −1 
𝑦 -1.4 -1.1 -1.01 -1.001 𝑦 → −1 
Cuando 𝑥 → −1−, los valores de 𝑔 se aproximan a −1 
Aproximación por valores superiores a -1: valores del intervalo −1 < 𝑥 < −0.5 
𝑥 -0.6 -0.9 -0.99 -0.999 𝑥 → −1 
𝑦 -0.6 -0.9 -0.99 -0.999 𝑦 → −1 
Cuando 𝑥 → −1+, los valores de 𝑔 se aproximan a −1 
 
Gráficamente: 
 
𝑎 
 
 
 
 
 
Límite 𝐿 
 
Simbólicamente: lim
𝑥→−1
(
𝑥+𝑥2
𝑥+1
) = −1 
 
 
3 
Observaciones 
1) La función puede estar o no definida en 𝑥 = 𝑎, (𝑎 ∈ 𝐷𝑓 o bien 𝑎𝐷𝑓) 
2) 𝐿 − 𝑓(𝑥) → 0 pero 𝐿 − 𝑓(𝑥) ≠ 0 cuando 𝑥 → 𝑎 (𝑥 ≠ 𝑎) 
 
Límite de una función 
Definición: Sea 𝑓 una función definida en un entorno del número 𝑥 = 𝑎, excepto posiblemente en 
𝑥 = 𝑎, entonces, se dice que el límite de 𝑓 cuando 𝑥 tiende al n° 𝑎 es 𝐿 y se escribe: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, 
si se puede hacer que los valores 𝑓(𝑥) estén arbitrariamente cercanos a 𝐿 cuando 𝑥 se aproxima al 
n° 𝑎, por valores inferiores y superiores a dicho número. 
 
Posibilidades 
 
∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 
∃ 𝑓(𝑎) ; ∃ 𝐿  𝑓(𝑎) = 𝐿 
 
∃ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 
∃ 𝐿  ∄𝑔(𝑎) 
 
∃ lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿 
∃ ℎ(𝑎) ; ∃ 𝐿  ℎ(𝑎) ≠ 𝐿 
 
Límites laterales 
Limite lateral izquierdo 
Def. El 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿𝑖, si se pueden aproximar 
los valores 𝑓(𝑥) a 𝐿𝑖 cuando 𝑥 tiende a 𝑥 = 𝑎 
por valores inferiores al n° 𝑎. 
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 + 1; 𝑥 → 1− 
𝐷𝑓 = (−∞, 1] 
(sólo es posible acercarse a 1 por valores inferiores 
a 1) 
lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 1 
Gráficamente: 
 
Limite lateral derecho 
Def. El 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿𝑑, si se pueden aproximar 
los valores 𝑓(𝑥) a 𝐿𝑑 cuando 𝑥 tiende a 𝑥 = 𝑎 
por valores superiores al n° 𝑎. 
 
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = { 𝑥
2 𝑠𝑖 𝑥 < 2
6 − 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥 → 2+ 
𝐷𝑓 = (−∞, 2) ∪ (2,∞) 
Para considerar valores superiores a 2, se debe 
analizar la expresión: 6 − 𝑥 
lim
𝑥→2+
(6 − 𝑥) = 4 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
4 
Teorema: Existe el límite de una función 𝑓 si sus límites laterales existen y son iguales. 
Simbólicamente: ∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿  lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) 
Ejemplo: Considere la gráfica de la función 𝑔 y analice si existe el límite cuando: a) 𝑥 → −2; 
b) 𝑥 → 0; c) 𝑥 → 2. 
 
a) 𝑥 → −2 
lim
𝑥→−2−
𝑔(𝑥) = −1  lim
𝑥→−2+
𝑔(𝑥) = −1 
 ∃ lim
𝑥→−2
𝑔(𝑥) = −1 
b) 𝑥 → 0 
lim
𝑥→0−
𝑔(𝑥) = 1  lim
𝑥→0+
𝑔(𝑥) = 1 
 ∃ lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = 1 
c) 𝑥 → 2 
lim
𝑥→2−
𝑔(𝑥) = 3  lim
𝑥→2+
𝑔(𝑥) = 2 
 ∄ lim
𝑥→2
𝑔(𝑥); porque 𝐿𝑖 ≠ 𝐿𝑑 
 
Cálculo de Límite 
Propiedades 
Considerando que existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥), siendo 𝑘 una constante. 
1) Límite de una constante 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 
 
Función 
 
𝑓(𝑥) = 𝑘 
𝑘 cte. 
Ilustración gráfica 
 
 
 
2) Límite de la función identidad 
 
lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥 
(función identidad) 
 
 
 
3) Límite de la suma de funciones 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
Ejemplo: lim
𝑥→−3
(𝑥 + 2) = lim
𝑥→−3
(𝑥) + lim
𝑥→−3
(2) (propiedad Límite de una suma de funciones) 
lim
𝑥→−3
(𝑥 + 2) = − 3 + 2 (propiedad 1 y propiedad 2) 
lim
𝑥→−3
(𝑥 + 2) = − 1 
4) Límite de una constante por una función 
lim
𝑥→𝑎
𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
 
5 
Ejemplo: lim
𝑥→
1
2
(4𝑥) = 4 lim
𝑥→
1
2
(𝑥) (propiedad: Límite de una constante por una función) 
lim
𝑥→
1
2
(4𝑥) = 4 . (
1
2
) (propiedad 2) 
lim
𝑥→
1
2
(4𝑥) = 2 
5) Límite de potencia de una función 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
; (en caso de 𝑛 < 0 , lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 0) 
Ejemplo: lim
𝑥→2
(𝑥3) = [lim
𝑥→2
(𝑥)]
3
 (propiedad Límite de potencia de una función) 
lim
𝑥→2
(𝑥3) = [2]3 (propiedad 2) 
lim
𝑥→2
(𝑥3) = 8 
6) Límite de una raíz 
 lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛 = √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 (en caso de 𝑛 par: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≥ 0) 
Ejemplo: lim
𝑥→−2
√𝑥2 + 5 = √ lim
𝑥→−2
(𝑥2 + 5) (propiedad 6: Límite de una raíz) 
lim
𝑥→−2
√𝑥2 + 5 = √( lim
𝑥→−2
𝑥)
2
+ lim
𝑥→−2
5 (propiedades 3 y 5) 
lim
𝑥→−2
√𝑥2 + 5 = √(−2)2 +5 (propiedades 1 y 2) 
lim
𝑥→−2
√𝑥2 + 5 = √9 
lim
𝑥→−2
√𝑥2 + 5 = 3 
7) Límite de un producto 
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
Ejemplo: lim
𝑥→−8
(
1
4
𝑥) . √𝑥
3
= lim
𝑥→−8
(
1
4
𝑥) . lim
𝑥→−8
√𝑥
3
 (propiedad de un producto) 
lim
𝑥→−8
(
1
4
𝑥) . √𝑥
3
=
1
4
lim
𝑥→−8
(𝑥) . √ lim
𝑥→−8
𝑥3 (propiedades 4 y 6) 
lim
𝑥→−8
(
1
4
𝑥) . √𝑥
3
=
1
4
. (−8). √−8
3
 (propiedad 1)  lim
𝑥→−8
(
1
4
𝑥) . √𝑥
3
= 4 
8) Límite de un cociente de funciones 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 siempre que lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
Ejemplo1: lim
𝑥→3
(
𝑥
𝑥+3
) =
lim
𝑥→3
(𝑥)
lim
𝑥→3
(𝑥+3)
 
Cálculo de límite del denominador. 
lim
𝑥→3
(𝑥 + 3) = lim
𝑥→3
(𝑥) + lim
𝑥→3
(3) 
lim
𝑥→3
(𝑥 + 3) = 6 
 
 
6 
lim
𝑥→3
(
𝑥
𝑥 + 3
) =
3
6
 
lim
𝑥→3
(
𝑥
𝑥 + 3
) =
1
2
 
 
Se aplica propiedad de cociente. 
Ejemplo2: lim
𝑥→1
5
𝑥−1
 
 ∄ lim
𝑥→1
5
𝑥−1
 
Cálculo de límite del denominador. 
lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) = lim
𝑥→1
(𝑥) − lim
𝑥→3
(1) 
lim
𝑥→1
(𝑥 − 1) = 0 
NO se puede aplicar propiedad de cociente. 
Cálculo de límite del numerador. 
lim
𝑥→1
(5) = 5 ; (≠ 0)  ∄ 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
Ejemplo3: Calcular si existe lim
𝑥→−
3
2
𝑓(𝑥) siendo 
𝑓(𝑥) = {
6
𝑥
 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −
3
2
2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > −
3
2
 
 
𝐿𝑖 = −4  𝐿𝑑 = −3  ∄ lim𝑥→−
3
2
𝑓(𝑥) 
Límite lateral izquierdo. 
lim
𝑥→−
3
2
− (
6
𝑥
) = −4 
(límite denominador: lim
𝑥→−
3
2
− 𝑥 = −
3
2
) 
Límite lateral derecho. 
lim
𝑥→−
3
2
+
(2𝑥) = 2 lim
𝑥→−
3
2
+
(𝑥) 
 
lim
𝑥→−
3
2
+
(2𝑥) = −3 
Límites infinitos 
Si los valores de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) crecen o decrecen sin límite cuando la variable 
independiente se aproxima a un número 𝑥 = 𝑎, se dice limite infinito. 
Cuando 𝑥 → 𝑎  𝑓(𝑥) → ±∞. 
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 . Analizar cuando 𝑥 → 0. 
Considerando el intervalo: (−0.5, 0) ∪ (0, 0.5) 
Aproximación numérica 
𝑥 -0.4 -0.1 -0.01 -0.001 𝑥 → 0− 
𝑦 =
1
𝑥2
 6.25 100 10000 100000000 𝑦 → ∞ 
 
𝑥 0.4 0.1 0.01 0.001 𝑥 → 0+ 
𝑦 =
1
𝑥2
 6.25 100 10000 100000000 𝑦 → ∞ 
 
 ∄𝐿  lim
𝑥→0
(
1
𝑥2
) = ∞ 
Gráfica 
 
(el gráfico ilustra la situación analizada) 
 
Teorema: Si 𝑛 ∈ 𝑁  𝑘 > 0 se cumple: 
lim
𝑥→0+
(
𝑘
𝑥𝑛
) = ∞  lim
𝑥→0−
(
𝑘
𝑥𝑛
) = {
+∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
−∞ 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
 
 
7 
Ejemplos: 
lim
𝑥→0
(
5
𝑥4
) = ∞ ; lim
𝑥→0
(
1
𝑥3
) = ±∞ 
¿Qué sucede si 𝑘 < 0? 
 
Ejemplo: lim
𝑥→0
(−
3
𝑥2
) = −3 lim
𝑥→0
(
1
𝑥2
) ( Por propiedad: lim
𝑥→𝑎
𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)) 
lim
𝑥→0
(−
3
𝑥2
) = −∞ 
Propiedades 
Sean 𝑎 y 𝐿 números reales con 𝐿 ≠ 0; lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = ∞ 
1) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = ∞ 
2) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = {
∞ 𝑠𝑖 𝐿 > 0
−∞ 𝑠𝑖 𝐿 < 0
 
3) lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] = 0 
 
Ejemplo: Calcular, si existe, lim
𝑥→2
1−3𝑥
4−2𝑥
. 
lim
𝑥→2
1 − 3𝑥
4 − 2𝑥
= ±∞ 
 2 
 
Cuando x→2 por valores inferiores; (4-2x) →0 por valores positivos 
(límite de numerador negativo  
1−3𝑥
4−2𝑥
 tiende a −∞) 
Cuando x→2 por valores superiores; (4-2x) →0 por valores negativos 
(límite de numerador negativo  
1−3𝑥
4−2𝑥
 tiende a +∞) 
Cálculo de límite del denominador. 
lim
𝑥→2
(4 − 2𝑥) = lim
𝑥→2
(4) − 2lim
𝑥→2
(𝑥) 
lim
𝑥→2
(4 − 2𝑥) = 0 
 
Cálculo de límite del numerador. 
lim
𝑥→2
(1 − 3𝑥) = lim
𝑥→2
(1) − 3lim
𝑥→2
(𝑥) 
lim
𝑥→2
(1 − 3𝑥) = −5 
 ∄ 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 
 
Indeterminación de tipo 
0
0
. 
Si una función está definida como un cociente, para determinar si existe el límite se procede del 
siguiente modo: 
Sea 𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
 
Cálculo del límite del 
denominador. 
lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) 
 
Si lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) ≠ 0(se aplica propiedad de cociente) y∃𝐿 
Si lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 0 
 
Cálculo del límite del numerador 
Si lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0  ∄ 𝐿 
Si lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 0  indeterminación 
0
0
. 
En caso de indeterminación de funciones racionales se factoriza numerador y/o denominador para 
determinar si existe o no el límite de la función. 
 
 
8 
Ejemplo1: lim
𝑥→2
𝑥2−2𝑥
𝑥−2
 
Cálculo de límite del denominador. 
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2) = lim
𝑥→2
(𝑥) − lim
𝑥→2
(2) 
lim
𝑥→2
(𝑥 − 2) = 0 
Cálculo de límite del numerador. 
lim
𝑥→2
(𝑥2 − 2𝑥)=(lim
𝑥→2
𝑥)
2
− 2 lim
𝑥→2
𝑥 
lim
𝑥→2
(𝑥2 − 2𝑥) = 0 
indeterminación 0/0 
 
 
 lim
𝑥→2
𝑥2−2𝑥
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(
𝑥(𝑥−2)
𝑥−2
)(factorizar y 
simplificar) 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 2𝑥
𝑥 − 2
= lim
𝑥→2
(𝑥) 
lim
𝑥→2
𝑥2 − 2𝑥
𝑥 − 2
= 2 
 𝐿 = 2 
 
 
 
Ejemplo2: lim
𝑥→−1
𝑥2−1
(𝑥+1)2
 
Cálculo de límite del denominador. 
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)2 = ( lim
𝑥→−1
𝑥 + lim
𝑥→−1
1)
2
 
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1)2 = 0 
Cálculo de límite del numerador. 
lim
𝑥→−1
(𝑥2 − 1)=( lim
𝑥→−1
𝑥)
2
− lim
𝑥→−1
1 
lim
𝑥→−1
(𝑥2 − 1) = 0 
 indeterminación 0/0 
Cálculo de límite del denominador. 
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 1) = 0 
Cálculo de límite del numerador. 
lim
𝑥→−1
(𝑥 − 1)=-2 
 lim
𝑥→−1
𝑥2−1
(𝑥+1)2
= lim
𝑥→−1
[
(𝑥−1).(𝑥+1)
(𝑥+1)2
] 
lim
𝑥→−1
𝑥2 − 1
(𝑥 + 1)2
= lim
𝑥→−1
[
𝑥 − 1
𝑥 + 1
] 
(límite de un cociente) 
 
 
 
 
 
 
  ∄ lim
𝑥→−1
[
𝑥−1
𝑥+1
]  lim
𝑥→−1
𝑥2−1
(𝑥+1)2
= ±∞ 
 
 
 
Asíntotas verticales 
Cuando se estudia el comportamiento de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) puede suceder que los valores de 
la misma aumenten o disminuyan sin límite, cuando la variable independiente se aproxima a un 
determinado número 𝑥 = 𝑎. La recta vertical a la cual la gráfica de la función se aproxima se 
denomina asíntota vertical. 
Las siguientes gráficas ilustran algunas posibilidades: 
 
−=
−→
)(xflím
ax
y =
+→
)(xflím
ax
 
(No existen los limites laterales) 
 
=
−→
)(xflím
ax
y kxflím
ax
=
+→
)( 
 (en este caso, existe el límite lateral derecho) 
 
 
9 
 
Asíntotas verticales: 𝑥 = 𝑛𝜋 +
𝜋
2
 con 𝑛 ∈ 𝑍
 =−






+→
)(
2
xflím
nx


 y −=
+






+→
)(
2
xflím
nx


 
(No existen los limites laterales y la gráfica tiene infinitas asíntotas verticales) 
 
Def. La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical (AV) de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si se 
cumple alguna de las siguientes condiciones: =
−→
)(xflím
ax
 y/o =
+→
)(xflím
ax
 
Ejemplo1: Estudiar si la gráfica de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥+3
tiene asíntotas verticales. 
1) Dominio de la función. 
Condición: 3x03x0den −+  3RD −−= 
2) Límite cuando 𝑥 → −3. 
 Se calculan los límites laterales cuando 3x −→ 
a) Lateral izquierdo: 





+−−→ 33 x
x
lím
x
 
El límite del denominador es 0 y el límite del numerador es ≠ 0entonces, no existe el límite de la 
función. Es decir, en la cercanía a −3 por izquierda, se observa que los valores de la función 
aumentan sin límite de modo que: +=





+−−→ 33 x
x
lím
x
 
b) Lateral derecho: 





++−→ 33 x
x
lím
x
 
 
Nuevamente, no existe el límite de la función. 
Cuando los valores de 𝑥 se aproximan a −3 por derecha, los valores de la función disminuyen sin 
límite de modo que: −=





++−→ 33 x
x
lím
x
 
Conclusión: la recta 3x −= es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑓. 
 
 
10 
La gráfica que representa la función estudiada es: 
 
𝑥 = −3 (A.V) 
Ejemplo 2: En caso de existir, obtener las asíntotas verticales de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥2−4
. 
a) Dominio de la función. 
𝑑𝑒𝑛 ≠ 0𝑥2 − 4 ≠ 0factorizando resulta: (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) ≠ 0 
Luego 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠ 2  2,2RD −−= 
b) Se estudiará si las rectas 𝑥 = −2y𝑥 = 2 son asíntotas verticales. 
Límite lateral izquierdo cuando 𝑥 → −2: 
lim
𝑥→−2−
(
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
) 
Al calcular el límite del denominador y numerador se produce una indeterminación de tipo 
0
0
. 
Para salvar la indeterminación se factoriza, en este caso, el denominador: 
Entonces, lim
𝑥→−2−
(
𝑥+2
(𝑥+2)(𝑥−2)
) = lim
𝑥→−2−
(
1
𝑥−2
) ; así 𝐿𝑖 −
1
4
 
Límite lateral derecho cuando 𝑥 → −2: 
lim
𝑥→−2+
(
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
) 
Nuevamente el límite del denominador y el límite del numerador es cero entonces se produce 
una indeterminación de tipo 
0
0
. 
Luego, de salvar la indeterminación, se obtiene que 𝐿𝑑 −
1
4
. 
Conclusión: Los límites laterales son iguales, existe el límite y es 𝐿 = −
1
4
, entonces se puede 
afirmar que la recta 𝑥 = −2 NO es una asíntota vertical. 
 
Límite lateral izquierdo cuando 𝑥 → 2: 
lim
𝑥→2−
(
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
) 
Analizando numerador y denominador, surge que el primero tiende a 4 y el segundo a cero por 
valores negativos, entonces no existe el límite y: 
lim
𝑥→2−
(
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
) = −∞ 
 
 
11 
Límite lateral derecho cuando 𝑥 → 2: 
lim
𝑥→2+
(
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
) 
Luego del análisis correspondiente, se tiene que: 
lim
𝑥→2+
(
𝑥 + 2
𝑥2 − 4
) = ∞ 
Conclusión: La recta 2x = es una asíntota vertical de la gráfica de la función. 
 
La gráfica que representa a la función 𝑓 es: 
 
Observación: En x = 2 y x = - 2, existen discontinuidades en la gráfica de la función, tema que se estudiará más 
adelante. 
Ejemplo 3: Analice si la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = {
2
𝑥−1
𝑠𝑖𝑥 < 1
2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑥≥ 1
 tiene asíntotas verticales. 
1) Dominio. 
La función está definida ∀𝑥 ∈ 𝑅entonces, 𝐷𝑔 = 𝑅, observándose que en 𝑥 = 1 cambia la 
expresión de la función por lo tanto allí se debe estudiar si presenta asíntota. 
2) Cálculo del límite cuando 𝑥 → 1. 
Límite lateral izquierdo: 
lim
𝑥→1−
(
2
𝑥 − 1
) 
El límite del denominador tiende a cero por valores negativos y el numerador a 2 entonces, se 
puede afirmar que el límite lateral izquierdo: 
lim
𝑥→1−
(
2
𝑥 − 1
) = −∞ 
Límite lateral derecho: 
lim
𝑥→1+
(2𝑥 + 1) = 3 
Conclusión: La recta 𝑥 = 1 es una asíntota vertical, el límite lateral izquierdo tiende a−∞. (Por 
definición: por lo menos uno de los limites laterales no existe) 
 
Tarea 
 
Con GeoGebra, trace la gráfica y confirme los resultados obtenidos en el estudio 
realizado. 
 
 
12 
Límites en el infinito 
Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando la variable independiente tiende a valores muy pequeños o muy 
grandes, puede tener o no límite. 
Cuando 𝑥 → ∞ puede suceder que: ∃ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 ó ∄ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥). 
Def. Sea 𝑓 una función definida en 𝐼 = (𝑎,∞) entonces el 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 si los valores 𝑓(𝑥) se 
aproximan a 𝐿 cuando 𝑥 tiende al infinito. 
Funciones de expresiones 
𝑓(𝑥) =
𝑘
𝑥𝑛
; 𝑘 ∈ 𝑅𝑘 ≠ 0; 𝑛 ∈ 𝑁 
Ejemplos: lim
𝑥→∞
1
𝑥
= 0; lim
𝑥→∞
3
𝑥4
= 0 ; lim
𝑥→∞
−2
𝑥3
= 0 … 
Teorema: 
Sea 𝑘 ≠ 0𝑛 ∈ 𝑁 lim
𝑥→∞
𝑘
𝑥𝑛
= 0 
 
 
Ejemplo: Analizar si existen los siguientes límites: a) lim
𝑥→∞
𝑥3y b) lim
𝑥→−∞
𝑥3 
a) lim
𝑥→∞
𝑥3 = ∞ 
b) lim
𝑥→−∞
𝑥3 (cambio de variable 𝑥 = −𝑢 de modo que cuando 𝑥 → −∞; 𝑢 → ∞) 
 lim
𝑥→−∞
𝑥3 = lim
𝑢→∞
(−𝑢)3 
 lim
𝑥→−∞
𝑥3 = lim
𝑢→∞
(−𝑢3) 
 lim
𝑥→−∞
𝑥3 = − lim
𝑢→∞
(𝑢)3 
 lim
𝑥→−∞
𝑥3 = −∞ 
Funciones de expresiones 
𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 con 𝑏 ∈ 𝑅/ 𝑏 > 0𝑏 ≠ 1 
Ejemplos: lim
𝑥→∞
2𝑥 = ∞; lim
𝑥→−∞
(
2
3
)
𝑥
= 0 … 
Regla: 
Sea 𝑏 ∈ 𝑅/ 𝑏 > 0𝑏 ≠ 1 
lim
𝑥→∞
𝑏𝑥 = {
∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 1
0 𝑠𝑖 0 < 𝑏 < 1
 
 
Ejemplo: Calcular: lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥 
lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥 = lim
𝑢→∞
(𝑒)−𝑢 (nueva variable 𝑥 = −𝑢) 
 lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥 = lim
𝑢→∞
(
1
𝑒
)
𝑢
0 <
1
𝑒
< 1 
 lim
𝑥→−∞
𝑒𝑥 = 0 
Indeterminaciones de tipo 
∞
∞
. 
Ejemplo1: 𝑓(𝑥) =
3𝑥3
2𝑥+𝑥3
 
lim
𝑥→∞
(
3𝑥3
2𝑥 + 𝑥3
) = lim
𝑥→∞
(
3𝑥3
𝑥3
2𝑥+𝑥3
𝑥3
) 
Calculando el límite del denominador y numerador: 
lim
𝑥→∞
(2𝑥 + 𝑥3) = ∞ lim
𝑥→∞
(𝑥3) = ∞ 
 
 
13 
lim
𝑥→∞
(
3𝑥3
2𝑥 + 𝑥3
) = lim
𝑥→∞
(
3
2
𝑥2
+ 1
) 
lim
𝑥→∞
(
3𝑥3
2𝑥 + 𝑥3
) =3 
Ver gráfica. 
 indeterminación 
∞
∞
 
Si la función es racional se divide numerador y denominador 
por la variable de mayor exponente. 
En la expresión equivalente, el límite del denominador: 
lim
𝑥→∞
(
2
𝑥2
+ 1) = 1  aplicar prop. de límite de un cociente. 
 
Recordar: Si nN y 𝑘 ≠ 0 lim
𝑥→∞
(
𝑘
𝑥𝑛
) = 0 
 
 
Gráfica 
 
Ejemplo2: Calcular: lim
𝑥→∞
√𝑥2+1
𝑥+1
 y lim
𝑥→−∞
√𝑥2+1
𝑥+1
 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
√𝑥2+1
𝑥
𝑥+1
𝑥
) 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
 
√
𝑥2+1
𝑥2
1 +
1
𝑥
)
 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
 
√1 +
1
𝑥2
1 +
1
𝑥
)
 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) =1 
Ver gráfica. 
Calculando el límite del denominador y numerador: 
lim
𝑥→∞
(𝑥 + 1) = ∞ lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1) = ∞ 
 indeterminación 
∞
∞
 
Se divide por la variable de mayor exponente que no está en el 
radicando y luego se aplica propiedad:
√𝑎
𝑛
𝑏
= √
𝑎
𝑏𝑛
𝑛
 , 𝑏 ≠ 0 para 
introducir la variable en el radicando. 
En la expresión equivalente, el límite del denominador: 
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
) = 1 
 se aplica propiedad de límite de un cociente. 
 
lim
𝑥→−∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = lim
𝑢→∞
(
√(−𝑢)2 + 1
−𝑢 + 1
) 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = lim
𝑢→∞
(
√𝑢2 + 1
1 − 𝑢
) 
Cambio de variable y cálculo de límites correspondientes: 
lim
𝑢→∞
(1 − 𝑢) = −∞ lim
𝑢→∞
(√𝑢2 + 1) = ∞ 
 indeterminación 
∞
∞
 
Se divide por la variable de mayor exponente que no está 
en el radicando y luego se aplica propiedad de radicación 
para introducir la variable en el radicando. 
 
 
14 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
 
√1 +
1
𝑢2
1
𝑢
− 1
)
 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥2 + 1
𝑥 + 1
) = − 1 
Ver gráfica. 
En la expresión equivalente, el límite del denominador: 
lim
𝑥→∞
(
1
𝑢
− 1) = −1 
 se aplica propiedad de límite de un cociente. 
 
Gráfica 
 
Aplicación: Una cierta especie de árbol, se trasplanta y crece hasta alcanzar, aproximadamente, 
una cierta altura, en metros. Un modelo matemático que permite estimar dicha altura en el 
tiempo, en años, es: ℎ(𝑡) =
9
1+24𝑒−0.4𝑡
 . 
a) ¿Cuál es la altura del árbol al ser trasplantado? 
b) ¿Qué altura máxima podría alcanzar en el tiempo? 
c) ¿Cuántos años transcurrieron para que la altura sea la mitad de la máxima? 
Desarrollo 
a) ¿Cuál es la altura del árbol al ser trasplantado? 
Tiempo: 𝑡 = 0  ℎ(0) =
9
25
≅ 0.36 metros. 
Rta. La planta tenía 36 cm. 
b) ¿Qué altura máxima podría alcanzar en el tiempo? 
Para estimar la altura se calcula el límite cuando 𝑡 tiende a infinito. 
lim
𝑡→∞
9
1 + 24𝑒−0.4𝑡
 
lim
𝑡→∞
9
1+24(
1
𝑒
)
0.4𝑡 = 9; por propiedad es, lim
𝑡→∞
(
1
𝑒
)
0.4𝑡
= 0 
Rta. La altura máxima que podría alcanzar esa especie de árbol sería de 9 metros. 
c) ¿Cuántos años transcurrieron para que la 
altura sea la mitad de la máxima? 
 
9
1+24𝑒−0.4𝑡
=
9
2
  
1
1+24𝑒−0.4𝑡
=
1
2
  
1
𝑒0.4𝑡
=
1
24
 
 𝑙𝑛𝑒0.4𝑡 = 𝑙𝑛24 
 0.4𝑡 ∙ 𝑙𝑛𝑒 = 𝑙𝑛24  𝑡 =
5
2
𝑙𝑛24 ≅ 7.95 
Rta. Aproximadamente, 7 años, 11 meses y 12 días. 
 
 
15 
Asíntota horizontal 
Cuando la variable independiente tiende a infinito o a menos infinito (𝑥 → ∞ o 𝑥 → −∞) y se 
produce un acercamiento de la gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), hacia una recta horizontal𝑦 = 𝑘, 
dicha recta se denomina asíntota horizontal. 
Las siguientes gráficas ilustran algunas posibilidades: 
 
kxflím
x
=
−→
)( y kxflím
x
=
→
)( 
 
 
=
−→
)(xflím
x
y kxflím
x
=
→
)( 
 
 
2
)( kxflím
x
=
−→
 y 
1
)( kxflím
x
=
→
 
(dos asíntotas horizontales) 
Def. La recta 𝑦 = 𝑘 es una asíntota horizontal (AH) de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si se 
cumple alguna de las siguientes condiciones:
1
)( kxflím
x
=
→
 y / o
2
)( kxflím
x
=
−→
 
Si uno de los límites existe o si existen y son iguales (𝑘1 = 𝑘2) la gráfica tiene una AH y su ecuación es 𝑦 = 𝑘 
Si 𝑘1 ≠ 𝑘2 la gráfica tiene dos asíntotas horizontales y sus ecuaciones son: 𝑦 = 𝑘1 e 𝑦 = 𝑘2 
Ejemplo1: Determine si la función 
1
4
)(
+
+
=
x
x
xf tiene asíntotas horizontales. 
a) Dominio 
 Raíz de índice par:𝑟𝑎𝑑 ≥ 0; fracción: 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 ≠ 0 
𝑥 + 4 ≥ 0𝑥 + 1 ≠ 0; luego, 𝑥 ≥ −4  𝑥 ≠ −1 
 
 
16 
El dominio de la función es: 𝐷𝑓 = [−4,−1) (−1,∞) 
b) Cálculo del límite cuando 𝑥 → ∞. 
(El dominio no permite calcular el límite cuando la variable independiente tiende a menos infinito) 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥 + 4
𝑥 + 1
) 
En este caso, se salva la indeterminación 
∞
∞
, dividiendo numerador y denominador por “𝑥” 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥 + 4
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
√𝑥+4
𝑥
𝑥+1
𝑥
) 
 
Recordar: propiedad de radicación: n
n
n
b
a
b
a
= siendo 𝑏 ≠ 0 
Aplicando, en el numerador, la propiedad enunciada: 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥 + 4
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
 
√
𝑥+4
𝑥2
𝑥
𝑥
+
1
𝑥
)
 
Operando en el numerador y denominador: 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥 + 4
𝑥 + 1
) = lim
𝑥→∞
(
 
√
1
𝑥
+
4
𝑥2
1 +
1
𝑥
)
 
Aplicando propiedades de limite cuando la variable tiende a ∞. 
lim
𝑥→∞
(
√𝑥 + 4
𝑥 + 1
) = 0 
Conclusión: La recta 𝑦 = 0 es asíntota horizontal de la gráfica de la función. 
La siguiente gráfica representa la función estudiada precedentemente: 
 
 
 
 
17 
Ejemplo 2: La recta 𝑦 =
12
 ¿es asíntota horizontal de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
2+2𝑥
? 
a) Dominio 
Fracción: 1x0x220den −+ ;  1RD −−= 
b) Por definición de asíntota horizontal 
Se estudia: 
lim
𝑥→+∞
(
𝑥
2 + 2𝑥
) 
Indeterminación de tipo 
∞
∞
, salvando la indeterminación se obtiene. 
lim
𝑥→+∞
(
𝑥
2 + 2𝑥
) =
1
2
 
Para estudiar el límite cuando 𝑥 → −∞ se realiza el cambio de variable 𝑥 = −𝑢: 
De modo que: 
lim
𝑥→−∞
(
𝑥
2 + 2𝑥
) = lim
𝑢→∞
(
−𝑢
2 − 2𝑢
) 
Nuevamente se produce una indeterminación de tipo 
∞
∞
 y salvando la indeterminación resulta: 
lim
𝑥→−∞
(
𝑥
2 + 2𝑥
) =
1
2
 
Conclusión: La recta 
2
1
y = es una asíntota horizontal de la gráfica de la función. 
La gráfica que representa la función estudiada es: 
 
Ejemplo 3: Una población disminuye según la expresión 1202000)( 1.0 += − tetP 
a) ¿Cuál es la población inicial? 
b) ¿Qué sucedería con la población en un tiempo prolongado? 
c) ¿Qué significa matemáticamente el resultado? 
Desarrollo: 
a) La población inicial se calcula haciendo 𝑡 = 0  𝑃(0) = 2000. 𝑒−0.1(0) + 120 
Luego: 𝑃(0) = 2000.1 + 120  𝑃(0) = 2120 
Rta. La población inicial es 2120 individuos. 
 
 
18 
b) Calcular: lim
𝑡→∞
(2000. 𝑒−0.1𝑡 + 120) = 2000. lim
𝑡→∞
(
1
𝑒0.1
)
𝑡
+ lim
𝑡→∞
120 
lim
𝑡→∞
(2000. 𝑒−0.1𝑡 + 120) = 2000. (0) + 120 
lim
𝑡→∞
(2000. 𝑒−0.1𝑡 + 120) = 120 
Rta. La población a través del tiempo se estabiliza en 120 animales, se podría afirmar que la 
población no se extinguiría. 
c) Al calcular el límite, cuando la variable independiente tiende a 
infinito, se obtiene la asíntota horizontal de la función población. 
La gráfica que describe, la situación modelada es: 
 
 
Ejemplo 4: Velocidad y dinámica del crecimiento de las plantas de híbridos de tomate 
(Consulta en: http://www.bdigital.unal.edu.co/11126/1/gustavohernanardilaroa.2011.pdf ) 
Un estudio, realizado en la Facultad de Agronomía de la Universidad Nacional de Colombia, sobre 
el crecimiento del fruto de tres híbridos de tomate larga vida, en tiempo fisiológico bajo cubierta 
plástica, determinó que es posible describir y predecir la dinámica de crecimiento de los frutos de 
las plantas. Una de las plantas de los híbridos de tomate, consideradas para el análisis, fue Beverly 
en tiempo fisiológico. Considerando como Tiempo Fisiológico a la acumulación de grados calor día 
(GDC=m) que requieren para pasar de un estado en su ciclo de vida a otro. En base a los valores 
experimentales y deducciones correspondientes para analizar el crecimiento del diámetro (en cm) 
de los frutos del tomate Beverly se obtuvo el siguiente modelo matemático: 
𝐷 =
7.027
1 + 1.1432𝑒−0.0008751m
 
a) La gráfica de la función muestra la dinámica de crecimiento del diámetro de los frutos de la 
planta y se observa que la gráfica se aproxima a una recta horizontal. 
 
b) Para calcular algebraicamente el diámetro máximo que puede alcanzar cada fruto se plantea: 
 
 
19 
lim
𝑚→∞
(
7.027
1 + 1.1432𝑒−0.0008751m
) = 7.027 
Valor que representa geométricamente la asíntota horizontal de la función D=7.027 cm. 
Función continua en un valor x= a 
Una función f es continua en un valor 𝑥 = 𝑎 si se cumple que: )a(f)x(flím
ax
=
→
 
Es decir, una función f es continua en 𝑥 = 𝑎 si se cumple: 
1) )x(flím
ax→
 
2) )a(f (es decir, a𝐷𝑓) 
3) )a(f)x(flím
ax
=
→
 
 
Ejemplo 1: Muestre que la función 





−+
−+
=
21
23
2
1
)(
3
xsix
xsix
xf es continua, en x = - 2 
1) Dominio de la función. 
𝐷𝑓 = 𝑅  existe el valor de la función en 𝑥 = −2 y es: 𝑓(−2) =
1
2
(−2)3 + 3  𝑓(−2) = −1 
2) Límite cuando x→-2 
En este caso, la función se define por partes o tramos. Es necesario calcular los límites laterales 
para determinar si existe el límite. 
𝐿𝑖 = lim
𝑥→−2−
(
1
2
𝑥3 + 3) =
1
2
( lim
𝑥→−2−
𝑥)
3
+ lim
𝑥→−2−
3 =
1
2
(−8) + 3 = −4 + 3 = −1 
𝐿𝑑 = lim
𝑥→−2+
(𝑥 + 1) = lim
𝑥→−2+
𝑥 + lim
𝑥→−2+
1 = −2 + 1 = − 1 
Los límites laterales son iguales entonces: lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = −1 
3) Al comparar los resultados obtenidos, resultan iguales. 
lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = 𝑓(−2) 
Ejemplo 2: Analice si la función h presenta alguna discontinuidad, 
1x
1x
)x(h
2
+
−
= 
1.- Dominio 
1x01x0den −+ 
 1RD f −−= 
2.- Aplicar definición de continuidad 
ℎ(−1) no está definido, −1𝐷𝑓 
Conclusión: La función es 
continua en 𝑥 = − 2 
 
Si alguna de estas condiciones no se cumple 
se dirá que la función f presenta una 
discontinuidad en el valor 𝑥 = 𝑎. 
 
 
 
20 
Cálculo del límite: 
lim
𝑥→−1
(
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
) 
Analizando límite del denominador y numerador se concluye que es necesario salvar una 
indeterminación de tipo 
0
0
. 
Factorizando el numerador: )1x)(1x(1x2 +−=− y simplificando: 
lim
𝑥→−1
(
𝑥2−1
𝑥+1
) = lim
𝑥→−1
(
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥+1
); luego, lim
𝑥→−1
(
𝑥2−1
𝑥+1
) = lim
𝑥→−1
(𝑥 − 1)  𝐿 = −2 
 
Rta. La función h es discontinua en x = -1 
Clasificación de discontinuidades 
Cuando una función f presenta una discontinuidad en un valor determinado se puede clasificar 
dicha discontinuidad en: 
Discontinuidad evitable 
Def. Si el dominio de una función 𝑓 contiene un intervalo (𝑎 − ℎ, 𝑎 + ℎ) con ℎ > 0 y pequeño, 
dejará de ser continua en 𝑥 = 𝑎 y presentará una discontinuidad evitable si existe Lxflím
ax
=
→
)( y 
en caso de existir 𝑓(𝑎) deberá ser distinto de 𝐿. 
Las gráficas ilustran las dos posibilidades. 
 
∄𝑓(𝑎) y Lxflím
ax
=
→
)( 
 
𝑓(𝑎) = 𝑏 , Lxflím
ax
=
→
)( y 𝑓(𝑎) ≠ 𝐿 
De modo que: Una función f presenta una discontinuidad evitable en un valor 𝑥 = 𝑎 cuando existe el 
límite de la función y no es igual al valor de la función o bien la función no está definida en x = a 
Ejemplo1: Estudiar la discontinuidad de la función 𝑓(𝑥) = {4 − 𝑥
2 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
Dominio 
𝐷𝑓 = 𝑅 − {1} 
1𝐷𝑓 por lo que 𝑓(1) no está definido. 
Para determinar si existe límite se calculan los límites laterales 𝐿𝑖 y 𝐿𝑑: 
𝐿𝑖 = lim
𝑥→1−
(4 − 𝑥2) = 3 
𝐿𝑑 = lim
𝑥→1+
(𝑥 + 2) = 3 
𝐿𝑖 = 𝐿𝑑 
 
 
21 
Por lo tanto: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 3 
Conclusión: la función presenta una discontinuidad evitable en 𝑥 = 1, existe el límite, pero la 
función no está definida en 𝑥 = 1. 
 
Redefinición de: 𝑓(𝑥) = {4 − 𝑥
2 𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
Se asigna a 𝑓 el valor del límite para 𝑥 = 𝑎, en este caso 
para 𝑥 = 1  𝑓(𝑥) = {
4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 1
3 𝑠𝑖 𝑥 = 1
𝑥 + 2 𝑠𝑖 𝑥 > 1
 
Ejemplo2: Estudiar la discontinuidad de la función 𝑓(𝑥) = {
2𝑥2
𝑥2+1
 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −2
2 𝑠𝑖 𝑥 = −2
; Dominio: 𝐷𝑓 = 𝑅 
−2 ∈ 𝐷𝑓 por lo que se obtiene 𝑓(−2) = 2 
El límite: 
lim
𝑥→−2
(
2𝑥2
𝑥2 + 1
) =
2 ( lim
𝑥→−2
𝑥)
2
5
 
lim
𝑥→−2
(
2𝑥2
𝑥2 + 1
) =
8
5
 
Por lo tanto: lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) =
8
5
 
Límite de denominador: 
lim
𝑥→−2
(𝑥2 + 1) = 5 
Se aplica propiedad de límite de un cociente. 
Conclusión: la función presenta una discontinuidad evitable en 𝑥 = −2, existe el límite y no es 
igual al valor de la función. 𝑓(−2) = 2 y 𝐿 =
8
5
  𝑓(−2) ≠ 𝐿 
Gráfica 
 
 
Discontinuidad inevitable 
Def. Si el dominio de una función 𝑓 contiene un intervalo (𝑎 − ℎ, 𝑎 + ℎ) con ℎ > 0 y pequeño, 
dejará de ser continua en 𝑥 = 𝑎 y presentará una discontinuidad inevitable si ∄ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), 
pudiendo la función estar o no definida en x=a. 
Observación: cuando la discontinuidad 
es evitable es posible redefinir la 
función para hacerla continua en el 
valor 𝑥 = 𝑎 
 
 
22 
Las gráficas ilustran distintas posibilidades. 
Gráfica1 
 
𝑓(𝑎) = 𝑏 
bxflím
ax
=
−→
)( y cxflím
ax
=
+→
)( ∄ límite 
Gráfica2 
 
𝑓(𝑎) = 𝑏 
−=
−→
)(xflím
ax
 y bxflím
ax
=
+→
)( ∄ límite 
Gráfica3 
 
∄𝑓(𝑎) 
bxflím
ax
=
−→
)( y =
+→
)(xflím
ax
∄ límite 
Gráfica4 
 
∄𝑓(𝑎) y ∄ )(xflím
ax→
 
De modoque: Una función f presenta una discontinuidad inevitable en un valor x = a 
cuando no existe el límite de la función. 
Observación: 1) Cuando se presenta una discontinuidad inevitable y existen los límites laterales 
(ver Gráfica1) se dice que la discontinuidad es inevitable de salto finito; 2) Cuando no existe alguno 
de los límites laterales o ambos, la discontinuidad es inevitable de salto infinito (ver Gráfica2, 
Gráfica3 y Gráfica4). 
Ejemplo 1: Muestre que la función 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥−2
 𝑠𝑖 𝑥 < 4
2 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4
 es discontinua inevitable en 𝑥 = 2 y 
𝑥 = 4. 
Dominio 
𝑑𝑒𝑛 ≠ 0  𝑥 − 2 ≠ 0  𝑥 ≠ 2,  𝐷𝑓 = 𝑅 − {2}, luego 2𝐷𝑓 
Determinar el tipo de discontinuidad en: 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4 
En 𝒙 = 𝟐 
El valor 𝑓(2) no está definido. 
=





−→ 2
1
2 x
lím
x
 
−=





−−→ 2
1
2 x
lím
x
 y =





−+→ 2
1
2 x
lím
x
; (los límites laterales no existen). 
Conclusión: la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en 𝑥 = 2. 
 
 
23 
En 𝒙 = 𝟒 
𝑓(4) = 2 
2
1
2
1
4
=





−−→ x
lím
x
 y 22
4
=
+→x
lím  𝐿𝑖 ≠ 𝐿𝑑  ∄ )(
4
xflím
x→
 
Conclusión: la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito en 𝑥 = 4. 
La gráfica representa a la función estudiada: 
 
Ejemplo 2: ¿Presenta discontinuidades la función: 





−
−−
=
1tsi
t
1
1tsit21
)t(f
2
? 
Dominio 
Para 1t − no hay condición 
Para 1t − el denominador debe ser distinto de cero: 0t  
 0RD −= 
Se estudiará en 𝑡 = −1 (allí la función cambia su expresión) y en 𝑡 = 0 (0𝐷) 
121tlím21lím)t21(límL
2
1t1t
2
1t
i −=−=





−=−=
−−− −→−→−→ 
Para determinar la existencia del lateral derecho se calcula el límite del denominador y como es 
distinto de cero se aplica propiedad del límite de un cociente. 
1
1
1
tlím
1lím
t
1
límL
1t
1t
1t
d −=
−
==





=
+
+
+
−→
−→
−→
 
Los límites laterales son iguales entonces, existe el límite: 1)t(flímL
1t
−==
−→
 
1
1
1
)1(f −=
−
=− (se evalúa en el segundo tramo de 𝑓 porque –1 pertenece al mismo) 
 )1(f)t(flím
1t
−=
−→
 
Conclusión: la función es continua en t = -1. 
 
 
24 
En 𝒕 = 𝟎 
𝑓(0) no está definido. 
=





→ t
lím
t
1
0
 
Porque: −=





−→ t
lím
t
1
0
y =





+→ t
lím
t
1
0
 
La no existencia del límite permite asegurar que la función es discontinua inevitable en t = 0 y es de 
salto infinito porque los laterales tienden a infinito. 
 
 
Tarea: Con GeoGebra, trace la gráfica y confirme los resultados obtenidos en el 
estudio realizado. 
 
Ejemplo 3: Analice el tipo de discontinuidad que presenta la función f en los valores x= -3, x = -1 
y x = 2 (la gráfica corresponde a una función f ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
En x = -3 
Mediante un análisis geométrico se infiere que: 
−==
−−→
)x(flímL
3x
i y 2)x(flímL
3x
d ==
+−→
 
Uno de los límites laterales no existe entonces, no existe límite. 
No es necesario estimar el valor de la función, ya se puede afirmar que la discontinuidad es 
inevitable de salto infinito en 𝑥 = −3, porque uno de los límites laterales tiende a infinito, por 
tanto, no existe el límite cuando 𝑥 → – 3. 
En x = -1 
Del análisis geométrico surge que: 
1)x(flímL1)x(flímL
1x
d
1x
i ====
+− −→−→
 1)(
1
=
−→
xflím
x
 
−1 ∈ 𝐷𝑓(−1) = 2 
El )1(f)x(flím
1x
−
−→
 la función presenta una discontinuidad evitable. 
 
 
 
25 
En x = 2 
Determinación del límite: 
0)x(flímL1)x(flímL
2x
d
2x
i ==−==
+− →→
∄ lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) 
La función es discontinua inevitable de salto finito en x = 2 
 
Autoevaluación 
Actividades de revisión e integración 
 
 Defina entorno de un número real y entorno reducido. 
 Defina límite de una función cuando la variable independiente tiende a un valor “a”. 
 Para calcular el límite de una función ¿Es necesario que la función esté definida en el valor al cual tiende 
la variable independiente? ¿por qué? 
 Proporcione gráficos de funciones que tienen límite cuando x →a y están definidas en 𝑥 = 𝑎 y cuando 
no están definidas 𝑥 = 𝑎. 
 Si conoce los límites laterales de una función cuando la variable independiente tiende a un valor 𝑎, ¿es 
posible afirmar que la función tiene límite en 𝑎? 
 Proporcione gráficos de funciones que no tengan límite cuando x →a y están definidas en 𝑥 = 𝑎 y 
cuando no están definidas en 𝑥 = 𝑎 
 Enuncie las propiedades de límite de una función cuando la variable independiente x →a . 
 Límites infinitos: Propiedades. 
 Defina límite en el infinito. Proporcione un ejemplo. 
 En una función algebraica: 
a) Si se produce una indeterminación de tipo 
0
0
 ¿Cuál es el procedimiento para determinar la 
existencia o no del límite? En qué caso existe el límite y en qué caso no existe. 
b) Si se produce una indeterminación de tipo 
∞
∞
 ¿Cuál es el procedimiento para determinar la 
existencia o no del límite? 
c) Proporcione ejemplos para los incisos a) y b). 
 Defina asíntota vertical y horizontal. Proporcione ejemplos gráficos y algebraicos. 
 ¿Es posible que una función tenga infinitas asíntotas verticales? Ejemplifique. 
 ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener una función? Ejemplifique. 
 Esboce gráficas de funciones que tengan asíntotas verticales en 𝑥 = 𝑎 de modo que: 
a) Estén definidas en 𝑥 = 𝑎. 
b) No estén definidas en 𝑥 = 𝑎. 
 Esboce gráficas de funciones que tengan: 
a) Una asíntota horizontal positiva. 
b) Una asíntota vertical y una horizontal 
c) Una asíntota horizontal que sea cortada dos veces por la curva. 
d) Dos asíntotas horizontales. 
e) Una horizontal y dos verticales. 
f) Dos horizontales y dos verticales. 
 Defina continuidad de una función 𝑓 en 𝑥 = 𝑎. 
 Clasifique las discontinuidades que puede tener una función. Proporciones ejemplos de discontinuidad 
evitable y no evitable. 
 Proporcione ejemplos algebraicos y gráficos de funciones discontinuas evitables en 𝑥 = 𝑎 definidas en 
𝑥 = 𝑎 y no definidas en ese valor. 
 
 
26 
 ¿Una función que tiene una asíntota vertical es discontinua inevitable? Justifique su respuesta y 
ejemplifique. 
 Si una función es discontinua inevitable en 𝑥 = 𝑎, ¿la recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la gráfica 
de la función? Justifique su respuesta y ejemplifique. 
 
Ejercitación 
 
 Si lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = −3 y lim
𝑥→2
ℎ(𝑥) = 4 , aplique propiedades y calcule los siguientes límites. 
 
lim
𝑥→2
(
2
3
𝑓(𝑥) + √ℎ(𝑥) lim𝑥→2
(6 − 𝑓(𝑥) ∙ ℎ(𝑥)) lim
𝑥→2
(
2𝑓(𝑥)
4 + ℎ(𝑥)
) 
 
 Aplicando propiedades, calcule, si es posible los siguientes límites. 
a) lim
𝑥→−2
(2𝑥3 − √4𝑥
3
+ 1) b) lim
𝑥→3
(
𝑥−1
𝑥2−5
) c) lim
𝑥→−1
(
𝑥−𝑥2
1−𝑥
) 
d) lim
𝑥→3
(
𝑥2−9
(𝑥−3)2
) e) lim
𝑥→4
(
4𝑥−𝑥2
2−√𝑥
) f) lim
𝑥→0
(1 +
3
𝑥
) 
 
 El tamaño 𝑇 de la pupila de un cierto animal, medido en mm se puede calcular mediante el modelo 
matemático: 𝑇(𝑥) =
160𝑥−0.4+90
4𝑥−0.4+15
 donde 𝑥 es la intensidad de la luz sobre la pupila. Determine el tamaño 
de la pupila sin luz y el tamaño de la pupila en una cantidad infinita de luz. 
 La longitud 𝐿 de un animal pequeño, en mm, 𝑡 días después de nacido es: 𝐿(𝑡) =
100
2+3(0.4)𝑡
. ¿Cuál es la 
longitud del animal al nacer? ¿Cuál es la posible longitud final del animal? 
 En una determinada región, se introducen 50 animales. Se estima que el número de animales crecerá 
siguiendo el modelo: 𝑃(𝑡) =
10(5+3𝑡)
1+0.04𝑡
 , donde t es el tiempo en años. 
 Calcule el número de animales que habrá luego de 5 y 10 años. 
 La población, en el tiempo, ¿podrá estabilizase? (calcule el límite cuando 𝑡 tiende a infinito) 
 Si 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥+3
𝑏𝑥−2
, determine valores de 𝑎 y 𝑏 para los cuales 𝑓 cumpla las siguientes condiciones. Indique 
en cada caso si la respuesta es única. 
 Las rectas 𝑦 = 1 y 𝑥 =
1
2
 son asíntotas de la gráfica de 𝑓. 
 Lafunción posee una asíntota en 1=x 
 La función 𝑓(𝑥) = {
ℎ(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎
𝑘 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎
𝑔(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎
 𝑎 ∈ 𝑅 siendo ℎ y 𝑔 funciones polinómicas. 
 ¿Cuáles son las condiciones para que la función f sea continua? 
 Para el mismo dominio ¿Qué condición debe cumplirse para que la función f sea discontinua 
evitable en x=a? 
 Las funciones 𝑓 y 𝑔 continuas en 𝑅 además, se sabe que, lim
𝑥→−3
𝑔(𝑥) =
1
3
 y 𝑓(−3) =
1
6
 . Use la 
información y propiedades de límites para evaluar los límites, si existen. 
a) lim
𝑥→−3
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] b) lim
𝑥→−3
√
1−𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)