Impulso - Momento Lineal

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CANTIDAD DE MOVIMIENTO
IMPULSO DE LA FUERZA NETA
SISTEMA DE PARTÍCULAS: CHOQUE
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
• Impulso lineal
• Momento lineal
• Momentum
Definición: dada una partícula puntual de masa 
“m” y con velocidad 𝑣 : 
- Magnitud vectorial, paralela a la velocidad
- Unidades en S I:
𝒌𝒈∙𝒎
𝒔
Energía cinética y cantidad de movimiento
• Por definición: 𝑬𝒄 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐
• De cantidad de movimiento: 𝒗 =
𝟏
𝒎
𝒑
• Entonces: 𝑬𝒄 =
𝒑𝟐
𝟐𝒎
𝒑 = 𝒎 ∙ 𝒗
𝒗
𝒑 = 𝒎. 𝒗
𝒎
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Y FUERZA
• 2da Ley de Newton
σ𝒊𝑭𝒊 = 𝑭𝑹 = 𝒎 ∙ 𝒂 ⇒ 𝑭𝑹 = 𝒎 ∙
𝒅𝒗
𝒅𝒕
, donde 𝑭𝑹: 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Si la masa no cambia: 𝑭𝑹 =
𝒅 𝒎∙𝒗
𝒅𝒕
, dado que 𝒑 = 𝒎 ∙ 𝒗
Entonces: 𝑭𝑹 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
o σ𝒊𝑭𝒊 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
este es el enunciado original de Sir Isaac Newton.
IMPULSO DE UNA FUERZA
• Suponiendo que la fuerza resultante, σ𝐹𝑖 =𝐹𝑅 = 𝐹 , es constante en 
el intervalo: ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
• Definición I (fuerza constante en el intervalo ∆𝑡)
• Se define el Impulso de la fuerza neta como: 𝑱 = 𝑭 ∙ ∆𝒕
(magnitud vectorial)
Dimensiones y unidades en el S.I.: 𝐽 = 𝐹 . 𝑇
𝐸𝑛 𝑒𝑙 𝑆. 𝐼. → 𝑁. 𝑠 ≡ 𝑘𝑔 .
𝑚
𝑠
• Interpretación geométrica
Suponiendo fuerza neta en la dirección “x”: 
Área bajo la curva
𝑱 = 𝑭 ∙ ∆𝒕
CANTIDAD DE MOVIMIENTO E 
IMPULSO
• Fuerza resultante, σ𝐹𝑖 =𝐹𝑅 = 𝐹 , es constante en el intervalo: ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
• Teorema Impulso y cantidad de movimiento:
• Recordando: 𝐹𝑅 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
, como 𝐹𝑅 constante ⇒
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝑐𝑡𝑒 ⇒
𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
∆𝑝
∆𝑡
• Entonces: 𝐹𝑅 =
∆𝑝
∆𝑡
=
𝑝 𝑡2 −𝑝 𝑡1
𝑡2 −𝑡1
⇒ 𝐹𝑅 ∙ ∆𝑡 = ∆𝑝
• Como 𝐹𝑅 ∙ ∆𝑡 = 𝐽 , entonces: 
El cambio de la cantidad de movimiento entre 𝒕𝟏 𝒚 𝒕𝟐 está dado por el 
impulso de la fuerza neta actuante en dicho intervalo de tiempo
𝑱 = 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏
Causa
Impulso 𝐽 de la 
fuerza que ejerce la 
cuerda del arco
Efecto
Cambio del 𝑝 de la flecha
IMPULSO DE UNA FUERZA
Definición II (fuerza resultante en una dirección dada, no es constante en el tiempo)
Fuerza en función del tiempo
que realiza la jugadora sobre el balón
IMPULSO DE UNA FUERZA
Definición II (fuerza resultante en una dirección dada, no es constante en el tiempo)
Particionando 𝑡2 − 𝑡1 en pequeños intervalos Δ𝑡: 𝑡2 − 𝑡1 = σΔ𝑡𝑖
Aproximando 𝐹𝑖 = 𝑐𝑡𝑒 para cada Δ𝑡, entonces: 𝐽𝑖 = 𝐹𝑖 ∙ Δ𝑡.
Sumando cada 𝐽𝑖 en todo el intervalo 𝑡2 − 𝑡1:
En el límite t → 0 : 
𝐽 ≈෍
𝑖
𝐽𝑖 =෍
𝑖
𝐹𝑖 ∙ ∆𝑡
𝐽 = lim
∆𝑡→0
෍
𝑖
𝐹𝑖 ∙ ∆𝑡
𝑱 = 𝒍𝒊𝒎
∆𝒕→𝟎
෍
𝒊
𝑭𝒊 ∙ ∆𝒕 = න
𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝑭𝑹 𝒕 𝒅𝒕
Para ∆𝑡 → 0, la polinomial se 
aproxima a la curva 
CANTIDAD DE MOVIMIENTO E 
IMPULSO
Teorema Impulso y cantidad de movimiento(forma general)
De la 2da Ley de Newton: 
Integrando ambos miembros de la igualdad entre 𝑡1 𝑦 𝑡2: 
Con: 𝒑𝟐 = 𝒑 𝒕𝟐 𝑦 𝒑𝟏 = 𝒑 𝒕𝟏
Entonces:
Se llega a: 
𝑭𝑹 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
⇒ 𝑭𝑹 𝒕 ∙ 𝒅𝒕 =
𝒅𝒑
𝒅𝒕
𝒅𝒕
න
𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝑭𝑹 𝒕 . 𝒅𝒕 = න
𝒕𝟏
𝒕𝟐 𝒅𝒑
𝒅𝒕
𝒅𝒕 = න
𝒑𝟏
𝒑𝟐
𝒅𝒑
𝑱 = න
𝒑𝟏
𝒑𝟐
𝒅𝒑
𝑱
Esta integral evalúa el cambio de la 
cantidad de movimiento entre 𝑡1 y 𝑡2
𝑱 = 𝒑𝟐 − 𝒑𝟏
𝑱 = න
𝒑𝟏
𝒑𝟐
𝒅𝒑
Teorema: el cambio de la cantidad de movimiento de una
partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso
de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante ese
intervalo.
• Ejercicio 1: Haciendo rebotar una pelota de golf
Una pelota de golf, de masa “m”, se lanza sobre una pared vertical para que 
rebote, se lo hace de dos maneras:
- Lanzándola horizontalmente, rebotando sobre la misma dirección
- Formando un ángulo  con la horizontal y rebota con el mismo ángulo en forma 
ascendente.
En ambos casos la rapidez antes y después de rebotar es la misma.
a) Determinar la dirección y el sentido de la fuerza, suponiéndola de módulo 
constante, que ejerce la bola de golf sobre la pared.
b) ¿En cuál de los dos casos se podría causar mayor daño a la pared? ¿Por qué?
c) ¿Cambiará en algo la respuesta del ítem anterior si se lanzara en forma 
descendente con el ángulo ?
𝜽
𝜽
CANTIDAD DE MOVIMIENTO E 
IMPULSO
Fuerza media:
Dado que la fuerza de impacto sobre una partícula es función del tiempo, 𝐹 𝑡 , y que 
generalmente no se conoce con precisión esta función pero si su duración, es conveniente 
definir la fuerza media del impacto.
Del impulso: 
Se define la fuerza media como la fuerza constante en el intervalo 𝑡1 y 𝑡2, tal que produce el 
mismo impulso que 𝐹 𝑡 en ese intervalo de tiempo: 
𝑱 = න
𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝑭 𝒕 . 𝒅𝒕
𝑭 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 ∙ 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 = න
𝒕𝟏
𝒕𝟐
𝑭 𝒕 . 𝒅𝒕 ⇒ 𝑭 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 =
׬
𝒕𝟏
𝒕𝟐 𝑭 𝒕 . 𝒅𝒕
∆𝒕
⇒ 𝑭 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 =
𝑱
∆𝒕
𝑱
CANTIDAD DE MOVIMIENTO E 
IMPULSO
Fuerza media:
Interpretación geométrica para fuerzas en una dimensión:
La fuerza media sería aquella fuerza constante que en el mismo intervalo ∆𝑡 produce el 
mismo impulso que 𝐹 𝑡 , o sea:
“El área bajo la curva 𝑭 𝒕 es igual al área debajo de 𝑭𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 entre 𝒕𝟏 y 𝒕𝟐 ”
𝑭 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 =
𝑱
∆𝒕
J
F(t)
Fmedia
J
Ejercicio 2: Sistemas pasivos de seguridad de vehículos
Mediante la bolsa de aire, el cinturón de seguridad y el diseño de zonas de
deformación del vehículo se logra incrementar el tiempo en el cual los
tripulantes alcanzan el reposo luego detenerse bruscamente al automóvil.
Analizar la fuerza media asociada al impulso responsable del ∆𝑝 sobre el
tripulante tanto para el caso donde se cuentan con estos sistemas de
seguridad, como sin ellos, suponiendo que el tiempo de frenado con sistemas
pasivos de seguridad es “n”, con 10 ≤ n, veces mayor que sin ellos.
∆𝑡1
∆𝑡2 = 𝑛∆𝑡1
Ԧ𝑣1
Ԧ𝑝1 = 𝑚1 ⋅ Ԧ𝑣1
Ԧ𝑣2
Ԧ𝑝2 = 𝑚2 ⋅ Ԧ𝑣2
𝑣𝑖
𝑝𝑖 = 𝑚𝑖 ⋅ 𝑣𝑖
Sistema de “n” partículas
Conjunto de partículas que 
se desea analizar
𝒑 𝑻 = 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 +⋯+ 𝒑𝒊 +⋯+⋯𝒑𝒏
con: 𝒑𝒊 = 𝒎𝒊 ⋅ 𝒗𝒊
Definición:
Cantidad de movimiento total del sistema
! Tener presente que es una suma de vectores ¡
Ԧ𝑝𝑛 = 𝑚𝑛 ⋅ 𝑣𝑛
𝑣𝑛
SISTEMA DE PARTÍCULAS PUNTUALES
Fuerzas internas y externas:
• Puede ser que las partículas interactúen entre sí, estas interacciones son fuerzas internas
(fuerzas en azul)
• Puede ser que las partículas del sistema también interactúen con otras masas que no 
pertenecen al sistema, estas serían fuerzas externas (fuerzas en rojo)
SISTEMA DE PARTÍCULAS PUNTUALES
Sistema de “2” 
partículas
Partícula 
que no
pertenece al 
sistema
𝑚1
𝐹12
𝐹21
𝐹 1,𝑒𝑥𝑡
𝐹 2,𝑒𝑥𝑡
𝑚2
La sumatoria de las fuerzas sobre cada partícula del sistema da la fuerza 
resultante sobre el sistema. Por 2da Ley, fuerza neta sobre cada partícula: 
𝐹𝑅𝑖 =
𝑑𝑝𝑖
𝑑𝑡
, entonces:
𝐹𝑅 =෍
𝑖=1
2
𝐹𝑅𝑖 = 𝐹𝑅1 + 𝐹𝑅2 =෍
𝑖=1
2
𝑑𝑝𝑖
𝑑𝑡
𝐹𝑅𝑖 = 𝐹𝑖,𝑒𝑥𝑡 + 𝐹𝑖,𝑗 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝐹1,2= = −𝐹2,1
SISTEMA DE PARTÍCULAS PUNTUALES
𝑭𝑹 =෍
𝒊=𝟏
𝑭 𝒊,𝒆𝒙𝒕 =෍
𝒊
𝒅𝒑𝒊
𝒅𝒕
Fuerza resultante o neta sobre un sistema
Externas Internas Acción – reacción → se anularán entre si las fuerzas internas
Sistema de “2” 
partículas
Partícula que no
pertenece al 
sistema
𝑚1
𝐹12
𝐹21
𝐹 1,𝑒𝑥𝑡
𝐹 2,𝑒𝑥𝑡
𝑚2
La fuerza resultante sobre el sistema depende de su interacción
con partículas externas
SISTEMA DE PARTÍCULAS PUNTUALES
𝑭𝑹 =෍
𝒊
𝑭 𝒊,𝒆𝒙𝒕 =෍
𝒊
𝒅𝒑𝒊
𝒅𝒕
(1)
෍
𝒊
𝒅𝒑𝒊
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
෍
𝒊
𝒑𝒊 , y recordando que el “p” del sistema dado por: 𝒑𝑻 =෍
𝒊
𝒑𝒊Como:
෍
𝒊
𝒅𝒑𝒊
𝒅𝒕
=
𝒅𝒑𝑻
𝒅𝒕
(2)Entonces: De (1) y (2) se concluye: 
Una fuerza neta externa resulta en un cambio 
de la cantidad de movimiento del sistema 
𝑭𝑹 =෍
𝒊
𝑭 𝒊,𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝒑𝑻
𝒅𝒕
PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN
DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Dado , si se concluye: 
𝒅𝒑𝑻
𝒅𝒕
= 𝟎෍
𝒊
𝑭 𝒊,𝒆𝒙𝒕 = 𝟎
Atención: no significa que cada partícula del sistema conserva su 𝑝 , sino que la suma de 
todos los 𝑝𝑖 debe ser constante
Por lo tanto: 𝒑𝑻 = σ𝒊 𝒑𝒊 =𝒄𝒕𝒆
෍
𝒊
𝑭 𝒊,𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝒑𝑻
𝒅𝒕
Sistema de 
“2” partículas
𝑚1
𝐹12
𝐹21
𝑚2
Principio de conservación de la cantidad de movimiento:
“Si la fuerza neta externa sobre un sistema es nula, 
entonces se conserva la cantidad de movimiento del 
sistema”
SISTEMA DE PARTÍCULAS PUNTUALES
𝑚1
𝐹1𝑖
𝐹12 𝐹21
𝐹𝑖1
𝐹𝑘𝑖
𝐹𝑖𝑘
𝐹 1,𝑒𝑥𝑡
𝐹 2,𝑒𝑥𝑡
𝐹 𝑖,𝑒𝑥𝑡
𝐹 𝑘,𝑒𝑥𝑡
𝑚2
𝑚𝑖
𝑚𝑘
෍
𝒊
𝑭 𝒊,𝒆𝒙𝒕 =
𝒅𝒑𝑻
𝒅𝒕
Si la fuerza neta externa no es nula, cambia
la cantidad de movimiento del sistema
𝑚1
𝐹1𝑖
𝐹12
𝐹21
𝐹𝑖1
𝐹𝑘𝑖
𝐹𝑖𝑘
𝑚2
𝑚𝑖
𝑚𝑘
𝒅𝒑𝑻
𝒅𝒕
= 𝟎 ⇒ 𝒑 𝑻 = ෍
𝒊
𝒑𝒊 = 𝒄𝒕𝒆
Si la fuerza neta externa es nula, se conserva
la cantidad de movimiento del sistema
No pertenece 
al sistema
Válido para cualquier sistema de “n” partículas
• Ejercicio 3: Retroceso al disparar un arma de fuego (“culatazo”) 
a) Un tirador, de masa M, sostiene holgadamente un rifle de masa 𝑚𝑅 =
𝑀/20, de manera que pueda retroceder libremente al hacer el disparo. Al 
efectuar el disparo la bala, de masa 𝑚𝑏 = 𝑚𝑅/600, sale con una velocidad 
horizontal vb =300 m/s. Determinar la velocidad de retroceso del rifle en 
función de las masas involucradas y la velocidad del proyectil
b) Si ahora el tirador sostiene firmemente el rifle de manera que no pueda 
retroceder libremente al disparar, pero está parado sobre una superficie 
de hielo sin fricción. ¿Qué pasará con el tirador después del disparo?
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO:
CHOQUES O COLISIONES
• Evento durante el que dos partículas se aproximan entre si e
interactúan mediante fuerzas.
• Las fuerzas de interacción son mucho mayores que otras
fuerzas externas cualesquiera, por lo que puede no
considerárselas (sistema aislado):
Se conserva la cantidad de movimiento del sistema
• Las interacciones pueden ser con o sin contacto.
• Con contacto:
bolas de billar, choque en siniestro vial.
• Sin contacto: dos cargas eléctricas o entre cuerpos
celestes por interacción gravitatoria.
Esquema de experiencia 
de Rutherford: partículas 
disparadas contra átomos 
de oro
https://youtu.be/8UhdyYk3IDA
• Dos cuerpos interactúan fuertemente en un lapso muy corto de
tiempo. Cada cuerpo ejerce una fuerza impulsiva sobre el otro
• Fuerzas iguales y opuestas: Ԧ𝐹21(𝑡) = − Ԧ𝐹12(𝑡)
Fuerza sobre m2
Fuerza sobre m1
• En el lapso t, cada cuerpo altera su cantidad de
movimiento
m1 m2
Ԧ𝑝1 = 𝑚1 ∙ Ԧ𝑣1 Ԧ𝑝2 = 𝑚2 ∙ Ԧ𝑣2
Ԧ𝑝′1 = 𝑚1 ∙ Ԧ𝑣′1 Ԧ𝑝′2 = 𝑚2 ∙ Ԧ𝑣′2
∆ Ԧ𝑝1= 𝑚1 ∙ ( Ԧ𝑣
′
1
− Ԧ𝑣1) ∆ Ԧ𝑝2= 𝑚2 ∙ ( Ԧ𝑣
′
2
−Ԧ𝑣2)
Justo antes del choque
Justo después del choque
 Del hecho de que: Ԧ𝐹21 = − Ԧ𝐹12
 Y de la relaciones:
Ԧ𝐹21 =
∆ Ԧ𝑝1
∆𝑡
Ԧ𝐹12 =
∆ Ԧ𝑝2
∆𝑡
• Se deduce que en un choque: 
∆𝑝1
∆𝑡
= −
∆𝑝2
∆𝑡
→
∆𝑝1
∆𝑡
+
∆𝑝2
∆𝑡
= 0
• O sea que: ∆𝑝1 + ∆𝑝2 = 0 → 𝑝1
′
− 𝑝1 + 𝑝2
′
− 𝑝2 = 0
«La cantidad de movimiento del sistema se conserva» 
Ԧ𝑝1+ Ԧ𝑝2 = Ԧ𝑝′1 + Ԧ𝑝′2
antes
después
EL SISTEMA EN ESTUDIO SON LAS MASAS QUE 
COLISIONAN
• No se estudia el choque en si mismo
• Se analiza justo antes del choque
Se analiza justo 
después
Etapa de interacción, no se analiza
Caracterizando al sistema:
• Cantidad de movimiento del sistema
• Antes: 𝑝𝑇 = 𝑝1 + 𝑝2
• Después: 𝑝′𝑇 = 𝑝1
′ + 𝑝2
′
• Energía cinética del sistema
• Antes: 𝐸𝑐 = 𝐸𝑐1 + 𝐸𝑐2 = 
1
2
𝑚1 ∙ 𝑣1
2 +
1
2
𝑚2 ∙ 𝑣2
2
• Después: 𝐸’𝑐 = 𝐸’𝑐1 + 𝐸’𝑐2 = 
1
2
𝑚1 ∙ 𝑣
′
1
2
+
1
2
𝑚2 ∙ 𝑣′2
2
Se conserva la cantidad de movimiento
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 = 𝒑𝟏′ + 𝒑𝟐′
No necesariamente se conserva la energía cinética del sistema
TIPOS DE CHOQUES
• Choques elásticos: se caracterizan porque se conserva la 
energía cinética del sistema.
• Choques inelásticos: se caracterizan porque hay pérdida 
de energía cinética
• Choques totalmente inelásticos o plásticos: se 
caracterizan porque los cuerpos salen juntos luego del 
choque y también hay perdida de energía cinética.
(En todos los casos se conserva la cantidad de movimiento del sistema)
Magnitud del 
sistema que se 
conserva
Tipo de choque
Elástico
Inelástico
o
Semi-plástico
Totalmente 
inelástico
o
Plástico
Cantidad de 
movimiento
Si Si Si
Energía cinética Si No No
CHOQUE UNIDIMENSIONAL
• Las velocidades de los cuerpos antes y después del choque, todas ellas 
tienen la misma dirección.
Si es unidimensional
No es unidimensional
• Choque unidimensional
• Se conserva la cantidad de movimiento del sistema:
• 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝1
′+ 𝑝2
′ ⇒ 𝑚1. 𝑣1 +𝑚2. 𝑣2 = 𝑚1. 𝑣′1 +𝑚2. 𝑣′2
Todos los vectores tiene la misma dirección, se puede prescindir de la 
notación vectorial, el sentido estará dado por los signos de las velocidades. 
• 𝑚1. 𝑣1 +𝑚2. 𝑣2 = 𝑚1. 𝑣
′
1 +𝑚2. 𝑣
′
2
• Coeficiente de restitución:
se relaciona con la pérdida de energía cinética durante el choque
solo lo aplicaremos para choques unidimensionales
=1, si es un choque elástico
=0, si es un choque plástico
0< e < 1, choque semi-elástico𝒆 = −
𝒗𝟏
′ − 𝒗𝟐
′
𝒗𝟏 − 𝒗𝟐
• Ejercicio 4: Choque elástico unidimensional 
Un cuerpo de masa 𝑚𝐴 con una rapidez 𝑣𝐴 colisiona frontalmente y 
elásticamente con una segunda 𝑚𝐵 que se encuentra en reposo.
a) Determinar las expresiones de las velocidades de ambos cuerpos después 
del choque, en función de las masas y la rapidez 𝑣𝐴 .
b) Analizar las velocidades de ambos cuerpos después del choque cuando:
i. Las masas son iguales: 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵.
ii. La masa del cuerpo A es mucho mayor que la del cuerpo B: 𝑚𝐴 ≫ 𝑚𝐵
iii. La masa del cuerpo A es mucho mas pequeña que la del cuerpo B: 
𝑚𝐴 ≪ 𝑚𝐵
A B
A B
A B
CHOQUES BIDIMENSIONALES
Las cantidades de movimientos, y por 
lo tanto las velocidades, de ambos 
cuerpos no tienen la misma dirección, 
sino que están sobre un plano
Se conserva la cantidad de movimiento del sistema:
𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 = 𝒑𝟏′ + 𝒑𝟐′
Analizando por componentes
Antes = Después
yyyyyy
xxxxxx
pppppp
pppppp
''' 
''' 
2121
2121
=+=+=
=+=+=
yyyy
xxxx
vmvmvmvm
vmvmvmvm
22112211
22112211
'' 
'' 
+=+
+=+
CHOQUES BIDIMENSIONALES
1p

2p

1'p

2'p

• Ejercicio 5: Siniestro vial en intersección de calles 
En una intersección de dos calles perpendiculares entre si, se produce una 
colisión entre dos automóviles. Uno de ellos, de masa 𝑚𝐴, venía circulando de 
sur a norte con una rapidez 𝑣𝐴, mientras que el segundo , de masa 𝑚𝐵, lo 
hacía de este a oeste a una rapidez 𝑣𝐵.
Como los automóviles están diseñados para que ante una colisión la energía 
cinética sea disipada por deformación de los mismos, ambos vehículos salen 
juntos inmediatamente después del choque en un ángulo “” al oeste del 
norte.
a) Determinar el ángulo  en función de las masas y las velocidades antes 
del choque.
b) De acuerdo a lo obtenido en el ítem anterior, analizar en que casos se 
tiene que:
i. 0 <  < 45°
ii. 45° ≤  < 90°
iii. 90° < 
𝜽
FIN DE 
PRESENTACIÓN