Estática y Elasticidad

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Introducción
• Sabemos que una partícula está en equilibrio de traslación, en un marco de 
referencia inercial, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es cero.
Si las fuerzas son concurrentes y coplanares, tienen componentes x, y
Ԧ𝐹𝑅= σ𝐹𝑖𝑥 Ƹ𝑖+σ𝐹𝑖𝑦 Ƹ𝑗 = 0 donde σ𝐹𝑖𝑥 = 0 y σ𝐹𝑖𝑦 = 0
• Un sistema de partículas, estará en equilibrio si la fuerza externa neta es cero, y por 
lo tanto la aceleración del centro de masa es cero .
Ԧ𝐹𝑁𝑒𝑡𝑎 = 0 ⇔ 𝑎𝐶𝑀 = 0
• Si las fuerzas actúan en distintas partes del cuerpo extendido
(no son concurrentes) se debe satisfacer un requisito 
adicional para lograr el equilibrio.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO ESTÁTICO
• Para que un cuerpo rígido permanezca en reposo, en equilibrio estático, el sistema 
de fuerzas actuante debe ser tal que su resultante y el momento externo neto 
alrededor de cualquier eje sean ambos nulos. 
• 1) Equilibrio de traslación Ԧ𝐹𝑁𝑒𝑡𝑎 = σ Ԧ𝐹𝑖 = 0 ⇔ Ԧ𝑎𝐶𝑀 = 0 ⇒ Ԧ𝑣𝐶𝑀 = 0
• 2) Equilibrio de rotación Ԧ𝜏𝑁𝑒𝑡𝑜 = σ Ԧ𝜏𝑖 = 0 ⇔ 𝛼 = 0⇒ 𝜔 = 0
En tres dimensiones las condiciones de equilibrio se expresan mediante 6 ecuaciones
• σ Ԧ𝐹𝑖,𝑥 = 0; σ Ԧ𝐹𝑖,𝑦 = 0; σ Ԧ𝐹𝑖,𝑧 = 0 σ Ԧ𝜏𝑜𝑥 = 0; σ Ԧ𝜏𝑜𝑦 = 0; σ Ԧ𝜏𝑜𝑧 = 0
En el plano las fuerzas (coplanares) actúan sobre un plano x,y , entonces solo tenemos
que resolver tres ecuaciones escalares.
σ𝐹𝑖,𝑥 = 0 ; σ𝐹𝑖,𝑦 = 0; σ 𝜏𝑧 = 0
VINCULOS Y REACCIONES
• Los enlaces, ligaduras o apoyos son dispositivos que restringen de alguna manera 
los movimientos del sistema estructural y permiten la transmisión de los esfuerzos.
Superficie es lisa Rodillos Balancín
𝑁
𝑁
𝑁
𝑁
𝑁
𝑅Simplemente apoyado
Apoyos que impiden el movimiento en una dirección. 
El contacto se reduce a un punto para los cuerpos, entonces la reacción del 
apoyo 𝑅 está dirigida por la normal a la otra superficie. Es decir es 
perpendicular a la superficie
Articulación 
Gozne o bisagra
Superficie rugosa
𝑹
𝑅𝑥
𝑅𝑦
Apoyos que impiden la traslación del cuerpo en todas direcciones
Sin embargo estos apoyos no impiden la rotación del mismo con respecto a la conexión.
La reacción del apoyo 𝑹 es equivalente a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas.
En general se expresa en función de las componentes 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦. 
Otros tipos de apoyos
𝑹 𝑁
Ԧ𝑓𝑟
Pasos para resolución de problemas que implican objetos en
equilibrio
• Identificar el cuerpo en equilibrio que analizará.
• Dibuje el cuerpo separándolo de su base de apoyo y se desliga
de cualquier otro cuerpo; no lo represente como un punto
incluyan sus dimensiones.
• Identifique todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo,
indicando el punto de aplicación, magnitud y dirección.
• Las fuerzas externas desconocidas consisten normalmente en
reacciones. Las que se ejercen en los puntos en que el sólido
esta apoyado o unido a otros cuerpos.
• El Diagrama de cuerpo libre debe incluir también dimensiones,
las que permiten calcular momentos de fuerzas.
• Elija los ejes de coordenadas y especifique su dirección. Defina
el sentido positivo de rotación para las torcas.
Ejercicio 1: Viga a punto de inclinarse
• a) la fuerza normal ejercida por el segundo pivote en 
términos de M, m y g, y ℓ; 
• b) la posición de la mujer en términos de M, m, L y ℓ. 
• c) Encuentre el valor mínimo de ℓ que permite que la 
mujer alcance el extremo de la viga sin que ésta se 
incline. 
• Una viga de longitud L y masa M está en reposo sobre dos pivotes. El primer pivote 
está en el extremo izquierdo, tomado como el origen, y el segundo pivote está a una 
distancia ℓ , del extremo izquierdo. Una mujer de masa m empieza a caminar del 
extremo izquierdo al derecho, como se ve en la figura. Cuando la viga está a punto 
de inclinarse, encuentre la expresión simbólica para: 
Ejercicio 2 . Superar el escalón
• Una rueda de peso P y de radio R descansa sobre una superficie horizontal 
contra un escalón de altura h=R/2. La rueda tiene que subir el escalón mediante 
la fuerza horizontal aplicada en borde superior de la rueda, como indica la 
figura. Hacer las suposiciones necesarias para calcular
a) El modulo y dirección de la fuerza del borde del escalón. 
b) La fuerza mínima necesaria para elevar la rueda sobre el escalón.
Ejercicio 3. Escalera en equilibrio
Una escalera considerada homogénea, de largo L y peso Pe, está en 
equilibrio apoyada en el piso rugoso en el punto A y en la pared lisa en B 
formando un ángulo α con el suelo. Un hombre de peso Ph sube por la 
escalera y descansa a una distancia de ¾ del camino hacia arriba de la 
misma. 
a) Calcular la fuerza de reacción del piso sobre la escalera, RA y de la 
pared sobre la escalera, RB
b) Si no hay nadie en la escalera de que dependen las reacciones en 
los apoyos. Explique. 
c) ¿Dónde debe colocarse el hombre para que RA tenga la dirección 
de la escalera? 
A
B
Elasticidad y deformación
• La elasticidad estudia como se deforman los materiales (madera, acero, 
hormigón, etc.) , por la acción de las fuerzas aplicadas sobre ellos.
• Algunos materiales recobran su forma original cuando se suprime la fuerza, 
mientras que otros permanecen mas o menos deformados.
• Otros materiales son casi perfectamente elásticas hasta una cierta deformación 
máxima, que se conoce como límite elástico, pero si la deformación pasa de 
este limite, no recobran completamente su forma.
• Para estudiar las propiedades elásticas de l0s materiales, se introducen dos 
conceptos de esfuerzo y deformación.
a) Cables de un puente son estirados por fuerzas que actúan en sus extremos, sometidos a esfuerzo de tensión.
b) Buzo es comprimido por todos lados por fuerzas debidas a la presión del agua, sometido a esfuerzo volumétrico.
c) Listón sometido a esfuerzo de corte, que se deforma y finalmente se corta porla acción de las fuerzas que ejercen las tijeras.
Fuente: www. giphy.com
EJEMPLOS DE LA RELACIÓN ENTRE LAS FUERZAS Y LAS DEFORMACIONES.
a) b) c)
Corte FlexiónTorsiónTracción Compresión
Cuando los cuerpos solidos se los somete a fuerzas externas la respuesta del 
material serán pequeñas deformaciones que dependerán de la forma en que 
se aplica dicha fuerza.
Estudiaremos la relación entre las fuerzas aplicadas y los cambios de forma que se producen 
• Esfuerzo
• Cantidad que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma, relaciona la fuerza 
externa aplicada a un cuerpo dividida su área transversal.
• Unidades de fuerza/unidades de área; N/𝑚2, 𝑘𝑔/𝑚2, dina/𝑐𝑚2
• Deformación unitaria: 
• Mide el cambio relativo de la forma o dimensiones de un cuerpo como resultado de la acción de 
agentes deformadores (esfuerzos). 
• Cantidad adimensional.
• En general , para deformaciones pequeñas no superiores al límite elástico
• El esfuerzo y la deformaciones son proporcionales.
• La constante de proporcionalidad la llamamos “Módulo de Elasticidad”
𝑴ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 =
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑥 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Esfuerzo y deformación 
La proporcionalidad del esfuerzo y 
la deformación se denomina 
ley de Hooke
• Un segmento de varilla es estirado o comprimido por un par de fuerzas de igual magnitud 
y sentido opuesto que actúan a lo largo de su longitud y perpendicularmente a su sección, 
la varilla cambia su longitud desde la longitud original 𝐿𝑜 a una longitud 𝐿𝑓
• Esfuerzo de tensión 𝜎 (magnitud escalar) su unidad en el SI es el pascal 1 Pa = 1 N/m2
• Deformación longitudinal unitaria 𝜺 es el cambio de longitud Δ𝐿 (alargamiento o 
acortamiento) relativo a la longitud inicial de la barra 𝐿𝑜, es adimensional.
• Módulo de Young: módulo de esfuerzo de tensión o compresión, mide la resistencia de un 
sólido a un cambio en su longitud. 
• Ley de Hooke 𝝈 = 𝒀. 𝜺 Válida siempre que no se sobrepaseel límite elástico 
Esfuerzo y deformación de tensión o compresión
𝜎 =
𝐹⊥
𝐴
𝜺 =
𝐿𝑓 − 𝐿𝑜
𝐿𝑜
=
Δ𝐿
𝐿𝑜
𝑌 =
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛
=
𝜎
𝜀
=
𝐹⊥/𝐴
Δ𝐿/𝐿𝑜
𝑁
𝑚2
𝑁
𝑚2
(adimensional)
Tracción
Compresión
Esfuerzo tensionante y deformación
Si se somete un metal dúctil a esfuerzos de deformación por tracción 
¿Hasta donde vale la Ley de Hooke? 
• 𝒐𝒂:Comportamiento elástico
Se cumple la relación de 
proporcionalidad entre la tensión y la 
deformación
Deformación reversible 
𝒂: Límite de proporcionalidad
• 𝑎𝑏:Comportamiento elástico no 
proporcional.
• 𝑏𝑐: se producen alargamiento o 
fluencia del material sin el 
correspondiente aumento de carga 
• 𝑏𝑑:Comportamiento plástico
• Deformación irreversible
• 𝒆: Punto de fractura
𝜎 = 𝐸. 𝜀
Curva esfuerzo – Deformación
Ejercicio 4. Barra colgante 
• Una barra homogénea, de masa m, está suspendida de tres alambres
verticales de la misma longitud situados simétricamente, el alambre del
medio es de acero y los otros dos son de cobre. Considerando el área de la
sección transversal de todos los alambres y los alargamientos iguales y el
módulo de Young del acero es dos veces mayor que el del cobre.
Determinar la tensión de los alambres.
• Si tenemos en cuenta las fuerzas perpendiculares sobre toda la superficie del 
volumen del cuerpo ( sumergidos o en el seno de un fluido) El efecto de estas
fuerzas es la disminución del volumen del objeto sumergido
• Esfuerzo de volumen Δ𝑃 (presión, magnitud escalar) La unidad de Presión es el 
Pascal Pa = 1 N/m2 y suelen usar otras unidades como atmósferas
• Deformación volumétrica unitaria: cambio de volumen Δ𝑉 relativo al volumen 
inicial 𝑉𝑜,.
• Módulo volumétrico: mide la resistencia de los sólidos o líquidos a cambios en su 
volumen. 
• El recíproco del módulo de compresibilidad se denomina Coeficiente de 
compresibilidad k k = 
𝟏
𝛽
= 
∆𝑽
∆𝒑 𝑽𝟎
Esfuerzo y deformación de volumen 
Δ𝑃 =
𝐹⊥
𝐴
D𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 =
Δ𝑉
𝑉𝑜
𝛽 =
𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
= −
Δ𝑃
Δ𝑉/𝑉𝑜
𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 − 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝛽 𝑠𝑒𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜
un aumento de presión siempre causa una reducción 
volumétrica 
𝑁
𝑚2
Ejercicio 5. Reducción de volumen
• Un cilindro de 4 cm de diámetro está lleno de aceite. ¿Qué fuerza habrá que
ejercer en total sobre el aceite para obtener una disminución de 0,8% en el
volumen? Compare las fuerzas necesarias si el aceite se sustituye por mercurio de
módulo de compresión 16 veces mayor.
Deformación transversal y coeficiente de Poisson
• Cuando un cuerpo es colocado bajo un esfuerzo tensionante,
• Deformación en la misma dirección de la tensión.
• Habrá constricciones en la otra dirección.
• El coeficiente de Poisson µ, es la relación de las deformaciones transversal con la axial, el 
coeficiente varia entre 0,28 y 0,32 para la mayoria de los metales
𝜇 = −
𝜀𝑦
𝜀𝑥
= −
𝜀𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣
𝜀𝑙𝑜𝑛𝑔
𝜇 = 
∆𝑑/𝑑0
∆𝑙/𝐿0
𝜇 = 
∆𝑑. 𝐿0
∆𝑙. 𝑑0