taller 1

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Universidad de Antioquia
Geometŕıa Vectorial
Taller #1
Profesor: Norberto Tabárez R. 1
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 2× 2:
a)
6x− 5y = −94x+ 3y = 13
b)
 x+ 4y = 83x+ 12y = 24
c)
2x+ 5y = 154x+ 10y = 20
d)

2x
3
= y +
11
3
x+ y
6
=
y − x
12
e)

2x+ 1
5
− y
4
= 0
2x− 3y = −8
f )
−5x− 9y = −(10x+ 5y + 3)12x− 8y = 2y − 2x
2
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales 3× 3:
a)

x+ y + z = 6
x− y + 2z = 5
x− y − 3z = −10
b)

x+ y + 6z = 3
x+ y + 3z = 3
x+ 2y + 4z = 7
c)

x+ y + z = 0
−7x+ 7y + z = 0
−2x+ 5y + 2z = 0
d)

x+ y + z = 2
2x− 3y + 2z = −1
4x+ y + 3z = 2
e)

3x− 6y + z = 10
4x− 2y − 3z = 6
2x− 14y − z = −5
f )

2x+ 3y − 6z = −3
4x− 3y = 1
4x+ 3y + 12z = 13
3
3. Considere las siguientes n−tuplas:
a = (3, 2α, β) b = (3, 15, 0) c = (θ, 5, β)
a) Determine, si es posible, los valores de α y β para que a = b.
b) Determine, si es posible, los valores de α, β y θ para que a = c.
c) Determine, si es posible, los valores de β y θ para que b = c.
1Si la gente no cree que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuente de lo complicado que es la vida. –
John Louis von Neumann
2Respuestas: a) x = 1, y = 3, b) Infinitas soluciones, c) No solución, d) x = 1, y = −3, e) x = 2, y = 4, f)
x = 5, y = 7
3 a) x = 1, y = 2, z = 3, b) x = −1, y = 4, z = 0, c) infinitas sol x = −3/7z, y = −4/7z, z ∈ R, d)
x = −2, y = 1, z = 3, e) no tiene sol, f) x = 1/2, y = 1/3, z = 5/6
1
4
4. Sean u = (−1, 1, 0) , v = (1/2,−1/2, 1) , t = (0,−1, 0, 2) , s = (2,−1, 1, 0). Calcular, si es posible:
a) 3u− 4v b) t− v c) s− 4t d) 5v + 4u e) u+ v + s+ t
5
5. Determine, si existe, el número real x, para que las ternas ordenadas a y b sean ortogonales
a) a = (x, 0, 3) y b = (1, x, 3)
b) a = (x, 10, 20) y b = (−10, x, 0)
c) a = (2x, x, 7) y b = (1, x,−5)
d) a = (x,−1, 4) y b = (x,−3, 1)
e) a = (x, 2x, 4) y b = (x, x, 3)
6
6. Sean a = (−4,−2, 4) , b = (2, 7,−1) , c = (6,−3, 0) , d = (5, 4,−3). Calcular:
a) a · (b+ c)
b) (d · b) a− (d · a) b
c) (3a+ 2d) · b+ (5c · 2b)
d) 4 (b · d) a+ (c · 2b)
3
d
e)
(a+ c) · b+ 4 (d · 3b)
4c · b
7
7. Encuentre la n−tupla a que sea ortogonal a b = (−3, 0, 1), y tal que a·(1, 4, 5) = 24 y a·(−1, 1, 0) = 1
8
8. Encuentre una n−tupla perpendicular a (4,−6, 2) 9
9. Determine una n−tupla que sea perpendicular, simultáneamente a (6,−5, 1) y a (−2, 3,−1) 10
10. Encontrar los valores de a y b para que sean perpendiculares entre si las n−tuplas (8, a, 13),
(−18, a, 0) y (b,−3/2, 2) 11
11. Dados a = (α, 3, 4) , b = (−2, 1, 8) , c = (3,−12, β), hallar los reales α, β de modo que c sea múltiplo
escalar de a+ b 12
4Respuestas: a) α = 15/2 y β = 0 b) α = 5/2, β ∈ R y θ = 3 c) No es posible 15 6= 5
5 a) (−5, 5, 4) b) No es posible c) (2, 3, 1,−8) d) (−3/2, 3/2, 5) e) No es posible
6 a) x = −9 b) x ∈ R c) x = −7 y x = 5 d)x = ±1 e) No existe
7a) −44 b)(−84, 198, 124) c)−86 d)(−686,−352, 674) e)−457/36
8a = (1, 2, 3)
9(x, y, 2x− 3y) con x, y ∈ R
10(x, 2, 4x) con x ∈ R
11a = 12, b = −1
12α = 1, β = 12
2
12. Dados a = (α, 3, 4) , b = (−2, 1, 8) , c = (3,−12, β), hallar los reales α, β de modo que c sea múltiplo
escalar de 5a− 3b. 13
13. Si a = (1,−2, 3) , b = (3, 1, 2) , c ∈ R3, c 6= 0, y c · b = 0. Hallar, realizando procedimiento, dos
escalares m y n tales que c = ma+ nb. (existen infinitas soluciones) 14
14. Determine si las n−tuplas (3, 4, 1), (−5, 2, 1) y (1, 10, 3) son linealmente dependientes. Rta: Si
15. ¿Es b = (1, 2, 3) una combinación lineal de x = (1, 0, 1) , y = (1, 1, 0) , z = (0, 1, 1)? Rta: Si b = x+2z
16. Sean A = {(−1, 2) , (3, 2)} y B = {(−1, 0, 1) , (0, 2, 5) , (3, 4, 7)}.
a) Determine si A,B son conjuntos L.I. o L.D. de R2 y R3, respectivamente. Justifique.
b) Es (5,−1) una combinación lineal de A. Justifique.
c) Es (3, 7, 4) una combinación lineal de B. Justifique.
15
17. Considere los conjuntos A = {(−2, 1) , (5,−3) , (1, 1)}, B = {(1, 4) , (3,−2)}, C = {(−1, 3)} y D =
{(6,−9) , (−10, 15)}
a) Para cada uno de los conjuntos anteriores determine si es L.I. o L.D.
b) ¿Es a = (2, 3) combinación lineal de A?, ¿De B?, ¿De C?, ¿De D?
c) ¿Es b = (−14, 21) combinación lineal de A?, ¿De B?, ¿De C?, ¿De D?
16
18. Considere los conjuntos A = {(3, 1,−2) , (2, 4,−1) , (2,−1, 1)}, B = {(2,−6, 4) , (1, 5, 3) , (3,−9, 6)},
y C = {(2,−1, 4) , (−1, 2, 5)}
a) Para cada uno de los conjuntos anteriores determine si es L.I. o L.D.
b) ¿Es a = (7,−6,−3) combinación lineal de A?, ¿De B?, ¿De C?
c) ¿Es b = (−10, 11, 8) combinación lineal de A?, ¿De B?, ¿De C?
17
19. Considere las n−tuplas X = (1, 2, 3), Y = (1, 0, 2), Z = (1, 4, 4), W = (0, 0, 1) Realizar procedi-
miento y responder:
a) Demuestre que W No es combinación lineal de{X,Y }
13α = −9/5, β = 4
14m = −2n
15A es L.I, B es L.D, (5,−1) si es CL de A, (3, 7, 4) No es CL de B
16A es LD, B es LI, C es LI, D es LD
17A es LI, B es LD, C es LI,
3
b) Demuestre que Z es combinación lineal de{X,Y }
c) Demuestre que A = {X,Y,W} es un conjunto L.I.
d) Demuestre que A = {X,Y, Z} es un conjunto L.D.
20. Considere las n−tuplas X = (1, 0, 1), Y = (1, 1, 0), Z = (2,−1, 3), W = (1, 1, 1) Realizar procedi-
miento y responder:
a) Demuestre que W No es combinación lineal de{X,Y }
b) Demuestre que Z es combinación lineal de{X,Y }
c) Demuestre que A = {X,Y,W} es un conjunto L.I.
d) Demuestre que A = {X,Y, Z} es un conjunto L.D.
21. Determine si es linealmente independiente o no el siguiente conjunto
{(1, 0, 0, 1) , (0, 1, 1, 0) , (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1)}
Rta: es L.D
22. Encuentre los valores de u, v, w si
u+ v u− w
8 3
 =
2 1
8 v − w
, 18
23. Hallar x, y, z, w si 3
x y
z w
 =
 x 6
−1 2w
+
 4 x+ y
z + x 3
 19
24. Muestre que
a b
c d
+
b a
d c
+
c d
a b
+
d c
b a
 = (a+ b+ c+ d)
1 1
1 1

25. Encuentre la matriz A = (aij)4×4 que satisfaga las condiciones dadas:
a) aij = (i− 1)j
b) aij =
 i+ j si i ≤ ji− j si i > j
c) aij =

(2 + j)
i
si i < j
2j − 3i si i = j
3i2j + 1 si i > j
20
26. Para A =
2 −1 4
1 0 6
, B =

1 0 1
2 −1 2
3 −2 0
, C =

1 6
−2 4
0 5
, verifique que A(BC) = (AB)C
18Respuestas: u = 0, v = 2, w = −1
19x = 2, y = 4, z = 1/2, w = 3
20a) =

0 0 0 0
1 1 1 1
2 4 8 16
3 9 27 81
, b) =

2 3 4 5
1 4 5 6
2 1 6 7
3 2 1 8
, c) =

−1 4 5 6
13 −2 25 36
28 55 −3 216
49 97 145 −4

4
27. Para A =
 3 2 1 −2
−6 4 0 3
, B =

1
4
0
2
, encuentre AB y BA, si esto es posible
21
28. Sean A =
2 −2
1 1
, B =
0 2
1 −1
, calcular A+ 3B, AB, BA 22
29. Sean A =
5 8
3 5
, B =
−3 5
4 2
, C =
1 0
4 −3
,
Encuentre: 3A+ 2BT , (AB)T + C, AT (B + C), AT (B − C)
30. Encuentre una matriz A tal que A
2 3
1 2
 =
1 0
0 1

Sugerencia: llame A =
a b
c d
 y determine a, b, c, d 23
31. El siguiente caso muestra un contra-ejemplo para la afirmación que si AB = AC entonces B = C.
Compruébelo A =

1 −3 2
2 1 −3
4 −3 −1
 , B =

1 4 1 0
2 1 1 1
1 −2 1 2
 , C =

2 1 −1 −2
3 −2 −1 −1
2 −5 −1 0

32. Resuelva la ecuación matricial XA+B = C, siendo: A =
1 0
2 1
 , B =
3 1
0 1
 , C =
2 0
4 −1

24
33. Determine los valores de a y b de la matriz A =
2 −1
a b
 para que A2 = A. 25
34. Encuentre las matrices que conmutan con la matriz
1 2
0 1
 26
21AB =
 7
16
, BA no existe
22A+ 3B =
2 4
4 −2
,AB =
−2 6
1 1
,BA =
2 2
1 1

23Respuestas: a = 2, b = −3, c = −1, d = 2
24 X =
1 −1
8 −2

25a = 2, b = −1
26A =
a b
0 a

5
35. Resolver la ecuación matricial A =
2 −1
0 1
x y
z w
1 2
1 −1
 =
0 2
1 3
 27
36. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:
4A+ 3B =
 7 4 −2
−4 2 5
, −2A+B =
 4 3 1
−3 −1 0

28
37. Sean A,B,C matrices n × n. Para cada uno de los siguientesliterales, demuestre los enunciados
verdaderos y de un contra-ejemplo para los falsos:
a) AB = BA
b) (A+B)
2
= A2 + 2AB +B2
c) (A+B) (A−B) = A2 −B2
d) (AB)
2
= A2B2
e) Si A+B = A+ C entonces B = C
f ) Si A 6= 0 y AB = AC entonces B = C
g) Si A = B entonces AC = BC
h) AB = 0 si y solo si A = 0 o B = 0
i) Si A2 = I, entonces A = I
j ) Si A2 = 0, entonces A = 0
k) A2 = A si y solo si A = I o A = 0
29
38. Para cada una de las siguientes afirmaciones indique si es verdadera o falsa. Justifique su respuesta:
a) Toda matriz escalar es triangular superior
b) Toda matriz diagonal es escalar
c) Toda matriz escalar es diagonal
27
 1 −1/6
4/3 −1/3

28A =
−1
2
 1 1 1
−1 −1 −1
, B =
 3 2 0
−2 0 1

29
a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
f ) F
g) V
h) F
i) F
j ) F
k) F
6
d) Toda matriz nula es cuadrada
e) Toda matriz nula es escalar
f ) Toda matriz identidad es escalar
g) Toda matriz triangular inferior es cuadrada
h) Toda matriz triangular superior e inferior es escalar
i) Una matriz diagonal es aquella matriz que es triangular superior y triangular inferior
j ) Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros en las restantes entradas es una matriz
identidad
k) Si una matriz es igual a su traspuesta, la matriz tiene que ser diagonal
l) Si A y B son matrices simétricas entonces AB es simétrica
m) Ninguna matriz simétrica puede ser antisimétrica
n) En una matriz simétrica los elementos de la diagonal principal son necesariamente iguales a
cero
ñ) En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son necesariamente iguales
a cero
o) En una matriz simétrica los elementos de la diagonal principal pueden ser iguales a cero
p) Sea A = (aij)n×n donde aij = λ para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, entonces A es una matriz escalar
q) Sea B = (bij)n×n donde bij = 0 si i 6= j, entonces B es una matriz diagonal
r) Sea C = (cij)m×n donde cij = 0 si i 6= j, y cij = 1 si i = j, entonces C es una matriz identidad
s) Sea D = (dij)n×n donde dij = 0 si i 6= j, y dij 6= 0 si i = j, entonces D es una matriz escalar
t) El producto de dos matrices cuadradas y compatibles es otra matriz cuadrada
u) El número de elementos de una matriz producto siempre es mayor que el de cada una de las
matrices factores
v) El producto matricial nunca es conmutativo
30
39. Sean A,B,C matrices cuadradas. Demostrar que si AB = I y BC = I entonces A = C.
30
a) V
b) F
c) V
d) F
e) V
f ) V
g) V
h) F
i) V
j ) F
k) F
l) F
m) F
n) F
ñ) V
o) V
p) F
q) V
r) F
s) V
t) V
u) F
v) F
7
40. ¿Es posible encontrar dos matrices cuadradas A,B tales que (A+B)
2
= A2 +B2?
Rta: Si, buscar 2 matrices A,B cuyo producto sea 0
41. Se dice que una matriz A de orden n es una matriz involutoria si A2 = I. Si A =
1 0
k −1
,
demuestre que A es involutoria.
42. Verifique que la matriz B =

1 0 0 0
3 1 0 0
−5 6 −1 0
4 2 −7 −1
 es involutoria
43. Se dice que una matriz A de orden n es una matriz idempotente si A2 = A.
a) Demuestre que si A es involutoria y C = 12 (A+ I) entonces C es idempotente
b) Demuestre que si A es idempotente.y C = 2A− I entonces C es involutoria
44. Cuales de las siguientes matrices son antisimétricas:
A =
 1 4
−4 1
 , B =
 0 4
−4 0
 , C =

0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0

45. Encontrar α, β tales que A =

2 α 3
5 −6 2
β 2 4
 sea simétrica
46. Dada A ∈Mn×n (R), demuestre que:
a) 12
(
A+AT
)
es simétrica, y que 12
(
A−AT
)
es antisimétrica.
b) A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica
c) Descomponga la matriz A =

2 8 6
−4 −6 2
0 2 −4
 como la suma de una matriz simétrica y una
antisimétrica
47. Sean A,B ∈Mn (R), ambas simétricas. Demostrar que:
a) AB +BA es simétrica
b) AB −BA es antisimétrica
c) ABA es simétrica
48. Sean A,B ∈Mn (R), ambas antisimétricas. Demostrar que:
a) AB +BA es simétrica
8
b) AB −BA es antisimétrica
c) ABA es antisimétrica
d) A (AB +BA)− (AB +BA)A es simétrica
49. Use eliminación de Gauss-jordan para resolver los sistemas de ecuaciones del ejercicio 2.
9