Calculo_Vectorial-47

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19. Sea u y v dos vectores distintos de cero que no son
equivalentes. Considera los vectores a = 4u + 5v y b = u + 2v
definidos en términos de u y v. Encuentra el escalar λ tal que los
vectores a + λb y u − v sean equivalentes. (Solución) 20. Sea u y v
dos vectores distintos de cero que no son equivalentes. Considera los
vectores a = 2u − 4v y b = 3u − 7v definidos en términos de u y v.
Encuentre los escalares α y β de manera que los vectores αa + βb y u
− v sean equivalentes.
21. Considera el vector a(t) = con componentes que
dependen de un número real t. A medida que el número t varía, los
componentes de a(t) también cambian, dependiendo de las funciones
que los definen. (Solución)
a. Escribe los vectores a(0) y a(π) en forma de componente.
b. Demuestra que la magnitud del vector a(t) permanece
constante para cualquier número real t.
c. A medida que t varía, demuestra que el punto final del vector
a(t) describe un círculo centrado en el origen del radio 1.
22. Considera el vector a(x) = con componentes que
dependen de un número real . A medida que el número x
varía, los componentes de a(x) también cambian, dependiendo de las
funciones que los definen.
a. Escribe los vectores a(0) y a(1) en forma de componente.
b. Demuestra que la magnitud del vector a(x) permanece
constante para cualquier número real x.
c. A medida que x varía, demuestra que el punto final del vector
a(x) describe un círculo centrado en el origen del radio 1.
⟨cost, sent⟩
∥a(t)∥
⟨x, ⟩1−x2
x ∈ [−1, 1]
∥a(x)∥
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https://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/Calculo_III/Ejercicios/cap2/r21.html
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23. Demuestra que los vectores y 
 son equivalentes para x = 1 y t = 2kπ, donde k es un
número entero. (Solución)
24. Demuestra que los vectores y 
 son opuestos a x = r y t = π + 2kπ, donde k es entero.
 Para los siguientes ejercicios, encuentra el vector v con la
magnitud dada y en la misma dirección que el vector u.
25. (Solución)
26. 
27. (Solución)
28. 
 Para los siguientes ejercicios, encuentra la forma componente
del vector u, dada su magnitud y el ángulo que forma el vector con el
eje x positivo. Da respuestas exactas cuando sea posible.
29. (Solución)
30. 
31. (Solución)
32. 
33. (Solución)
34. 
 Para los siguientes ejercicios, se proporciona el vector u.
Encuentra el ángulo que el vector u forma con la
dirección positiva del eje x, en sentido antihorario.
a(t) = ⟨cost, sent⟩ a(x) =
⟨x, ⟩1−x2
⟨a(t) = ⟨cost, sent⟩ a(x) =
⟨x, ⟩1−x2
∥v∥ = 7,u = ⟨3, 4⟩
∥v∥ = 3,u = ⟨−2, 5⟩
∥v∥ = 7,u = ⟨3,−5⟩
∥v∥ = 10,u = ⟨2,−1⟩
∥u∥ = 2, θ = 30°
∥u∥ = 6, θ = 60o
∥u∥ = 5, θ = 2
π
∥u∥ = 8, θ = π
∥u∥ = 10, θ = 6
5π
∥u∥ = 50, θ = 4
3π
θ ∈ [0, 2π)
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35. (Solución)
36. 
37. Sea y tres vectores
distintos de cero. Si , demuestra que hay dos
escalares, α y β, de modo que c = αa + βb. (Solución)
38. Considera los vectores y .
Determina los escalares α y β de manera que c = αa + βb.
39. Sea un punto fijo en la gráfica de la función
diferencial f con un dominio que es el conjunto de números reales.
(Solución)
a. Determina el número real de modo que el punto 
 esté situado en la recta tangente a la gráfica de f en el
punto P.
b. Determina el vector unitario u con el punto inicial P y el punto
final Q.
40. Considera la función , donde .
a. Determina el número real tal que el punto esté
situado en la recta tangente a la gráfica de f en el punto 
.
b. Determina el vector unitario u con el punto inicial P y el punto
final Q.
41. Considera f y g dos funciones definidas en el mismo conjunto de
números reales D. Sea y dos vectores
que describen las gráficas de las funciones , donde . Demuestra
que si las gráficas de las funciones f y g no se intersecan, entonces los
vectores a y b no son equivalentes.
u = 5 i−5 j2 2
u = − i−j3
a = ⟨a , a ⟩,b =1 2 ⟨b , b ⟩1 2 c = ⟨c , c ⟩1 2
a b −a b =1 2 2 1̸ 0
a = ⟨2,−4⟩,b = ⟨−1, 2⟩ c = 0
P (x , f(x ))0 0
z0 Q(x +0
1, z )0
f(x) = x4 x ∈ R
z0 Q(2, z )0
P (1, 1)
a = ⟨x, f(x)⟩ b = ⟨x, g(x)⟩
x ∈ D
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