AREAS Y VOLÚMENES

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Versión: Julio 2015 
Revisor: Cristina Andrade 
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
	
  Áreas	
  y	
  volúmenes	
  
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
Áreas	
  de	
  figuras	
  planas	
  
	
  
Las aplicaciones de las figuras planas requieren, por lo general, conocer (o calcular) dos características 
principales: el perímetro y el área de la figura plana en cuestión. 
 
La tabla 1 muestra algunas de las figuras planas más representativas y las fórmulas para calcular su 
área. En el caso del perímetro de polígonos, éste se determina sumando la longitud de sus lados. Sólo 
el círculo y la sección transversal incluyen una fórmula específica para determinarlo. 
 
Figura plana Área Ejemplo 
Cuadrado 
 
 
 
 
 
 
ladoladoÁrea ×= 
 
 
llA ×= 
Determina el perímetro y el área de un 
cuadrado que tiene 5 centímetros de lado. 
 
cmPerímetro
Perímetro
ladosdeSumaPerímetro
20
5555
=
+++=
=
 
 
( )( ) 22555 cmÁrea
ladoladoÁrea
==
×=
 
Rectángulo 
 
 
 
 
 
 
 
alturabaseÁrea ×= 
 
 
hBA ×= 
Calcula el perímetro y el área de un 
rectángulo con una base de 20 metros y una 
altura de 12 metros. 
 
mPerímetro
Perímetro
ladosdeSumaPerímetro
64
12201220
=
+++=
=
 
 
2240
)12)(20(
mÁrea
Área
=
=
 
Triángulo 
 
2
alturabaseÁrea ×=
 
 
 
2
hBA ×=
 
Calcula el área de un triángulo con una base 
de 15 centímetros y una altura de 10 metros. 
 
275
2
)10)(15(
cmÁrea
Área
=
=
 
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 Trapecio 
 
 
altura
menorbasemayorBase
Área ×⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
=
2 
 
 
 
hbBA ×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
2 
Calcula el área de un trapecio con una base 
mayor de 18 centímetros, una base menor 
de 14 centímetros y una altura de 12 
metros. 
 
2192
12
2
1418
cmÁrea
Área
=
×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
 
 
 
Rombo 
 
 
 
2
menordiagonalmayorDiagonal
Área
×
=
 
 
 
2
dDA ×=
 
Encuentra el área de un rombo cuya 
diagonal mayor mide 10 pulgadas y su 
diagonal menor mide 8 pulgadas. 
 
240
2
)8)(10(
cmÁrea
Área
=
=
 
 
 
Romboide 
 
LBP 22 += 
 
 
alturabaseÁrea ×= 
 
 
hBA ×= 
Calcula el área de un romboide con una 
base de 24 centímetros y una altura de 18 
centímetros. 
 
( )( )
2432
1824
cmÁrea
Área
=
=
 
 
 
Polígono regular 
 
 
 
2
apotemaperímetroÁrea ×=
 
 
 
2
aPA ×=
 
La apotema de un 
polígono regular, es 
decir, polígonos con 
todos los lados iguales, 
es la distancia entre el 
centro y cualquiera de 
sus lados. 
Calcula el área de un hexágono regular 
cuyos lados miden 2 cm y su apotema mide 
1.732 cm. 
 
Para determinar el área de un polígono 
regular, primero calculamos su perímetro: 
 
cmperímetro
perímetro
12
222222
=
+++++=
 
 
Con el perímetro y el valor de la apotema 
tenemos que: 
 
( )( )
239.10
2
732.112
cmÁrea
Área
=
=
 
 
 
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Círculo 
 
 
drP ×=×= ππ 2 
 
 
radioradioÁrea ××=π 
 
 
2rA ×=π 
Determina el perímetro y el área 
de un círculo cuyo radio es de 4 
centímetros. 
 
 
( )( )( )
cmperímetro
perímetro
13.25
42
=
= π
 
 
( )( ) ( )( )
2
2
26.50
164
cmÁrea
Área
=
== ππ
 
Sector circular 
 
 
°
×××
=
360
2 aperturadegradosr
Perímetro
π
 
°
×××2
=
360
onrP π
 
°
××
=
360
2 aperturadegradosradio
Área
π
 
 
 
360
2 onrA ××= π
 
Determina el área de un sector 
circular cuyo radio es de 5 
centímetros y tiene apertura de 
30º. 
 
( )( )( )
2
2
54.6
360
305
cmÁrea
Área
=
=
π
 
 
 Tabla 1. Fórmulas de áreas y perímetros de las principales figuras planas. 
 
 
	
  
Poliedros	
  
	
  
 
 
Un poliedro es un cuerpo geométrico que está limitado 
por cuatro o más polígonos. En la figura 1 se muestra un 
poliedro limitado por 4 triángulos. 
 
 
 
 Figura 1. Partes de un poliedro. 
 
 
Un poliedro está formado por: 
 
 
a. Caras 
b. Aristas (lados del polígono) 
c. Vértices 
 
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Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus 
vértices concurre el mismo número de caras. 
 
Los poliedros regulares fueron estudiados por Platón. Partiendo de la definición antes dada, sólo es 
posible construir 5 poliedros regulares. 
 
 
Nombre Figura Características 
 
 
Tetraedro regular 
 
 
• Formado por 4 triángulos 
equiláteros 
• En cada vértice concurren 3 
caras 
• 4 vértices 
• 6 aristas 
 
 
 
 
Cubo 
 
• Formado por 6 cuadrados 
• En cada vértice concurren 3 
caras 
• 8 vértices 
• 12 aristas 
 
 
 
 
Octaedro 
 
 
• Formado por 8 triángulos 
equiláteros 
• En cada vértice concurren 4 
caras 
• 6 vértices 
• 12 aristas 
 
 
Dodecaedro 
 
 
• Formado por 12 pentágonos 
• En cada vértice concurren 3 
caras 
• 20 vértices 
• 30 aristas 
 
 
 
Icosaedro 
 
 
• Formado por 20 triángulos 
equiláteros 
• En cada vértice concurren 5 
caras 
• 12 vértices 
• 30 aristas 
Tabla 2. Características de los principales poliedros. 
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Existen dos tipos de poliedros que son de especial interés: los prismas y las pirámides. 
	
  
Prismas	
  	
  
 
 
Los prismas son poliedros que tienen dos caras iguales y 
paralelas llamadas bases y sus caras laterales son 
paralelogramos. 
 
	
  
 
 
Se pueden clasificar como: 
 
a) Rectos y oblicuos. Un prisma es recto cuando el ángulo entre las caras laterales y las bases es 
recto; en caso contrario se dice que el prisma es oblicuo. 
 
b) Regulares e irregulares. Un prisma es regular cuando es recto y sus bases son polígonos 
regulares; en caso contrario se dice que el prisma es irregular. 
 
 
Figura 2. Prisma de base cuadrada. 
 
c) Por el número de lados de sus bases: 
• Triangulares: si sus bases son triángulos. 
• Cuadrangulares: si sus bases son 
cuadriláteros. 
• Pentagonales: si sus base son pentágonos, 
etcétera. 
 
 
Uno de los prismas cuadrangulares más importante es el paralelepípedo, que tiene por bases dos 
paralelogramos,es decir, todas sus caras (6) son paralelogramos. 
 
Dentro de los paralelepípedos podemos encontrar algunos casos importantes como son: 
 
 
 Pirámides	
  
 
 
Una pirámide es un poliedro en la que una de sus caras 
llamada base es un polígono y las caras laterales son 
triángulos que tienen un vértice común. 
 
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Se pueden clasificar como: 
 
a) Rectas y oblicuas. Una pirámide es recta cuando el pie de su altura coincide con el centro de 
su base. En caso contrario tendremos una pirámide oblicua. 
 
b) Regulares e irregulares. Una pirámide es regular cuando es recta y su base es un polígono 
regular. En caso contrario será irregular. 
 
 
c) Por el número de lados de su base: 
• Triangular 
• Cuadrangular 
• Pentagonal 
 
 
 
Figura 3. Pirámide de base octagonal. 
 
 
Si una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base se obtiene lo que se llama tronco de 
pirámide. 
 
 
Cuerpos	
  redondos	
  o	
  de	
  revolución	
  
	
  
Un cuerpo redondo se obtiene al girar un recinto plano alrededor de un eje situado en el mismo plano, 
de modo que cada punto del recinto describe una circunferencia al dar una vuelta completa. 
 
 
 
 
Si un rectángulo gira sobre un lado describe un cilindro. 
 
 
Figura 4. Cilindro. 
 
 
 
Si un triángulo rectángulo gira sobre un cateto describe un cono. 
 
 
Figura 5. Cono. 
 
 
 
 
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Si un semicírculo gira sobre su diámetro describe una 
circunferencia. 
 
Figura 6. Circunferencia. 
 
 
 
Volúmenes	
  más	
  utilizados	
  
 
Figura Volumen 
 
Prisma 
 
alturabaseladeáreaV ×= 
 
Cilindro 
alturabaseladeáreaV ×= 
hrV ××= 2π 
 
Pirámide 
3
alturabaseladeárea
V
×
=
 
 
Cono 
3
alturabaseladeárea
V
×
=
 
 
3
2 hrV ××= π
 
 
 
Esfera 
3
4 3rV ×= π
 
Tabla 3. Fórmulas de los volúmenes más utilizados. 
 
 
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En los siguientes ejemplos se muestra cómo calcular el volumen de distintos poliedros. A continuación 
te presentaré algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1 
 
Un adorno tiene forma de una pirámide pentagonal. ¿Cuál será el volumen que ocupa la pirámide si cada uno de 
sus lados mide 16 cm, su apotema es de 14 cm y tiene una altura de 27 cm? 
 
 
Figura 7. Pirámide pentagonal. 
 
Para calcular el volumen de una pirámide se utiliza la siguiente fórmula: 
 
3
alturabaseladeárea
V
×
=
 
 
Como en una pirámide pentagonal su base es un pentágono, por ello es 
necesario calcular primero el área de esta figura. 
 
El área de un pentágono se calcula como: 
 
2
apotemaperímetroÁrea ×=
 
 
 
El pentágono tiene 5 lados iguales, por lo tanto, su perímetro será: 
 
( ) cmcmlperímetro 80)16(55 ==×= 
 
De esta forma, el área del pentágono es: 
 
( )( ) 22 560
2
1120
2
1480
2
cmcmcmcmapotemaperímetroÁreapentágono ===
×
=
 
 
Una vez que calculaste el área de la base y como ya conoces la altura que es igual a 27 cm, ahora aplica la 
fórmula para calcular el volumen de cualquier pirámide. 
 
( )( ) 332 5040
3
15120
3
27560
3
cmcmcmcm
alturabaseladeárea
V ===
×
=
 
 
 
 
Por lo tanto, el volumen de la pirámide pentagonal de lado igual a 16 cm, apotema 14 cm y 
altura de 27 cm es de 5040 cm3. 
 
 
 
 
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  Bibilografía	
  
Clemens, S., O’Daffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley 
Iberoamericana y M. López, Trads.). México: Pearson. 
 Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill. 
 Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría. (3ª. ed.; H. Villagómez, Trad.). 
México: Thomson. 
 Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y 
Trigonometría. (3ª. ed.; H. Villagómez y J. H. Romo, Trads.). México: 
Thomson.