FUNCIONES TRIGOMETRICAS

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Versión: Septiembre 2012 
Revisor: Sandra Pérez 
	
  
 
	
  
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 1 
	
  
	
  	
  	
  	
   Funciones	
  trigonométricas	
  	
  
	
  
 
 Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 	
  
 
 
 
Las funciones trigonométricas son funciones de la medida de un ángulo, es decir, si el valor del 
ángulo cambia, el valor de éstas también. La tabla 1 muestra las seis funciones trigonométricas. 
 
 
Función 
trigonométrica 
Su forma 
abreviada 
Se lee 
Seno sen (A) Seno de A 
Coseno cos (A) Coseno de A 
Tangente tan (A) Tangente de A 
Cotangente cot (A) Cotangente de A 
Secante sec (A) Secante de A 
Cosecante csc (A) Cosecante de A 
Tabla 1. Nombre de las funciones trigonométricas. 
 
 
 
 
 
Las funciones trigonométricas, al igual que el Teorema 
de Pitágoras, son relaciones existentes entre los lados de 
un triángulo rectángulo que permiten determinar el valor 
de los ángulos del triángulo y, con el apoyo del Teorema 
de Pitágoras, también los lados desconocidos. 
 
 
 
 
Para el caso de las funciones trigonométricas, a diferencia del Teorema de Pitágoras en donde no 
es relevante identificar con detalle los catetos, cada uno de los lados y los ángulos del triángulo 
rectángulo toman un nombre específico de acuerdo con el ángulo que se tome como referencia. La 
figura 1 muestra un triángulo rectángulo en donde: 
 
 
	
  
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 2 
1. Los ángulos se identifican con las literales A y B 
(mayúsculas). 
2. Los lados (catetos) se identifican con las literales a y b 
(minúsculas). 
3. Los ángulos y lados opuestos se identifican con la 
misma letra. 
Figura 1. Denominación de los lados y ángulos en un triángulo. 
 
 
En este triángulo es importante observar que: 
 
• Para el ángulo A, el cateto opuesto es a y el cateto adyacente (o contiguo) es b. 
• Para el ángulo B, el cateto opuesto es b y el cateto adyacente (o contiguo) es a. 
 
 
En la tabla 2 se muestra con detalle lo anterior, dependiendo del ángulo que se tome de referencia. 
 
Ángulo de referencia A Ángulo de referencia B 
 
 
 
Hipotenusa: es el lado que se 
encuentra frente al ángulo de 90° y se 
denota por h. 
 
Cateto opuesto: es el lado que se 
encuentra frente al ángulo que se está 
tomando como referencia; en este caso, 
a es el cateto opuesto. 
 
Cateto adyacente: es el lado que se 
encuentra junto al ángulo que se está 
tomando como referencia; en este caso 
b es el cateto adyacente. 
 
 
 
Hipotenusa: es el lado que se encuentra 
frente al ángulo de 90° y se denota por h. 
 
Cateto opuesto: es el lado que se 
encuentra frente al ángulo que se está 
tomando como referencia; en este caso, 
b es el cateto opuesto. 
 
Cateto adyacente: es el lado que se 
encuentra junto al ángulo que se está 
tomando como referencia; en este caso, 
a es el cateto adyacente. 
Tabla 2. Denominación de los catetos conforme al ángulo tomado como referencia. 
 
	
  
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 3 
Tomando como base lo anterior, para todo triángulo rectángulo las funciones trigonométricas se definen 
como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tabla 3. Funciones trigonométricas y la relación con los lados de un triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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 4 
Aplicando estas definiciones a los dos ángulos de referencia en un triángulo rectángulo tenemos: 
 
 
Ángulo de referencia A Ángulo de referencia B 
 
 
( )
h
aAsen =
 
 
( )
h
bBsen =
 
( )
h
bA =cos
 
( )
h
aB =cos
 
( )
b
aA =tan
 
( )
a
bB =tan
 
( )
a
bA =cot
 
( )
b
aB =cot
 
( )
b
hA =sec
 
( )
a
hB =sec
 
( )
a
hA =csc
 
( )
b
hB =csc
 
Tabla 4. Funciones trigonométricas conforme al ángulo tomado como referencia. 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos que muestran cómo calcular las funciones 
trigonométricas y cómo utilizarlas para determinar datos del triángulo no conocidos. 
 
Donde sea necesario se utilizarán las abreviaciones h para denominar a la hipotenusa, co para el 
cateto opuesto y ca para el cateto adyacente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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 5 
Ejemplo 1 
 
Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente 
figura determina las 6 funciones trigonométricas, 
tomando como referencia el ángulo A. 
 
 
 Figura 2. Triángulo tomando como referencia el ángulo A. 
 
Solución 
Lo primero es identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente. Para este caso el cateto opuesto es a = 3 y el 
cateto adyacente es b = 4. Partiendo de la definición de la funciones trigonométricas tienes que: 
 
4
3)tan(
5
4)cos(
5
3)(
==
==
==
ca
coA
h
caA
h
coAsen
 3
5)csc(
4
5)sec(
3
4)cot(
==
==
==
co
hA
ca
hA
co
caA
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Para el triángulo rectángulo de la figura 3 determina 
las 6 funciones trigonométricas, tomando como 
referencia el ángulo B. 
 
 
 Figura 3. Triángulo tomando como referencia el ángulo B. 
 
 
Solución 
Lo primero es identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente. Para este caso el cateto opuesto es b = 4 y el 
cateto adyacente es a = 3. Partiendo de la definición de la funciones trigonométricas tienes que: 
 
 
	
  
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 6 
3
4)tan(
5
3)cos(
5
4)(
==
==
==
ca
coB
h
caB
h
coBsen
 4
5)csc(
3
5)sec(
4
3)cot(
==
==
==
co
hB
ca
hB
co
caB
 
 
 
Observa cómo en los ejemplos 1 y 2 aunque se analizó el mismo triángulo, las funciones 
trigonométricas son distintas para cada ángulo de referencia (A o B). 
 
 
 
Ejemplo 3 
 
A partir de la función trigonométrica tan(A) = 15
20
 determina las funciones trigonométricas faltantes. 
 
 
Solución 
 
 Recuerda que la función tangente se define como: 
 
 
 
 
De esta relación se puede obtener que 15=opuestocateto y 20=adyacentecateto 
 
 
 
Ya que: 
 
 
 
 
Si se representa en un triángulo rectángulo puedes observar que hace falta calcular el valor de la hipotenusa y 
para ello puedes utilizar el Teorema de Pitágoras. 
 
222 bah += 
 
 
	
  
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 7 
 
Figura 4. Triángulo conocidos dos catetos. 
 
Sustituyendo los datos conocidos: 
 
25625
625
400225
2015
2
2
222
==
=
+=
+=
h
h
h
h
 
 
 
Una vez que tienes el valor de todos los lados del triángulo puedes establecer las 6 funciones trigonométricas 
como se muestra a continuación. 
 
 
20
15)tan(
25
20)cos(
25
15)(
==
==
==
ca
coA
h
caA
h
coAsen
 15
25)csc(
20
25)sec(
15
20)cot(
==
==
==
co
hA
ca
hA
co
caA
 
 
 
 
	
  
Funciones	
  trigonométricas	
  recíprocas	
  
 
¿Has notado la similitud existente entre algunas funciones trigonométricas?, ¿cuáles son similares? 
 
Observa la función tangente y la función cotangente, ¿en qué son parecidas? Si se consideran los 
resultados del ejemplo anterior puedes observar lo siguiente: 
 
 
Tangente Cotangente 
119
5)tan( ==
ca
coF
 5
119)cot( ==
co
caF
 
 
Al observar estas funciones trigonométricas se puede apreciar que son recíprocas entre sí. Si no lo 
recuerdas, dos números son recíprocos si al multiplicarse son iguales a la unidad. Multipliquemos la 
tangente y la cotangente para verificar su reciprocidad. 
 
	
  
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 8 
( )( )
( )( ) 15119
1195
5
119
119
5
==⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 
Tabla 5. Tangente y cotangente. 
 
 
En la tabla 6 se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométricas. 
 
Funciones trigonométricas 
 
 
 
 
Esto implica que: 
 
 
 
 
Tabla 6. Funciones trigonométricas recíprocas. 
 
 
Conocer que las funciones trigonométricas son recíprocas en parejas es de utilidad cuando se quiere 
determinar el valor de las funciones cotangente, secante y cosecante, usando una calculadora 
científica. 
 
En los ejemplos anteriores se determinó el valor de las funciones trigonométricas mediante las 
relaciones de los lados de un triángulo rectángulo. Cuando se conocen los ángulos del triángulo se 
puede utilizar una calculadora científica para calcular las funciones trigonométricas. Observa el 
siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo 1 
 
Para el triángulo rectángulo mostrado en la figura 5 determina las 6 funciones trigonométricas para el ángulo 
de 30º. 
 
 
 Figura 5. Triángulo conocidos dos ángulos. 
es recíproca de es recíproca de es recíproca de 
	
  
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 9 
Solución 
 
Las calculadoras científicas incluyen las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente. Para calcularlas se 
pulsa la tecla correspondiente con la función trigonométrica a calcular y el valor del ángulo. 
 
 
 
Posteriormente realiza las siguientes operaciones: 
 
Calcular el valor de 
)º30(sen 
)º30cos( 
)º30tan( 
 
Si las calculadoras científicas sólo consideran las funciones anteriores, ¿cómo calcularás las tres 
funciones restantes? Regresa a las relaciones de reciprocidad. 
 
1)csc()( =∗ AAsen 
1)sec()cos( =∗ AA 
1)cot()tan( =∗ AA 
 
Utilizando las expresiones anteriores y los valores obtenidos de las funciones trigonométricas en la 
calculadora (seno, coseno y tangente) se pueden obtener los valores de las funciones recíprocas del 
ángulo de 30º. 
 
Para obtener 
el valor de 
Utilizamos Despejando y sustituyendo Valor obtenido 
 
 
 
 
 
)º30csc( 
 
 
 
 
5.0)º30( =sen 
y 
1)csc()( =∗ AAsen 
Como )(Asen está multiplicando pasa 
dividiendo al 1, así la fórmula despejada es: 
)(
1)csc(
Asen
A =
 
 
Sustituyendo: 
 
2
5.0
1
)º30(
1)º30csc( ===
sen 
 
 
 
 
 
 
2)º30csc( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como )cos(A está multiplicando pasa 
dividiendo al 1, así la fórmula despejada es: 
 
 
 
 
 
	
  
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10 
)º30sec( 866.0)º30cos( = 
y 
1)sec()cos( =∗ AA 
)cos(
1)sec(
A
A =
 
 
Sustituyendo: 
 
154.1
866.0
1
)º30cos(
1)º30sec( ===
 
 
154.1)º30csc( =
 
 
 
 
 
 
)º30cot( 
 
 
 
 
577.0)º30tan( = 
y 
1)cot()tan( =∗ AA 
Como )tan(A está multiplicando pasa 
dividiendo al 1, así la formula despejada es: 
)tan(
1)cot(
A
A =
 
 
Sustituyendo: 
 
732.1
5773.0
1
)º30tan(
1)º30cot( ===
 
 
 
 
 
 
 
 
732.1)º30cot( =
 
Tabla 7. Funciones recíprocas del ángulo de 30º. 
 
Como se pudo observar en el ejemplo anterior, las funciones trigonométricas se pueden calcular 
utilizando una calculadora científica, pero debido a que estos aparatos contemplan solamente a las 
funciones seno, coseno y tangente para continuar con los triángulos rectángulos centraremos nuestro 
estudio en estas tres funciones trigonométricas. 
 
 
Obtención	
  de	
  los	
  datos	
  desconocidos	
  en	
  un	
  triángulo	
  rectángulo	
  
 
En muchas ocasiones, sólo se conocen algunos datos de un triángulo rectángulo, pero con esta 
información y aplicando el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas es posible determinar 
los datos que faltan. En los siguientes ejemplos se muestran algunas de las situaciones antes 
mencionadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1 
 
	
  
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11 
Para el triángulo rectángulo mostrado en la figura 6 
determina el valor de los ángulos A y B. 
 
 
 Figura 6. Triángulo del cual se conocen 
3 lados. 
 
Solución 
 
Como se conocen todos los lados del triángulo es posible utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas. 
Si utilizas la función seno y se toma de referencia el ángulo A, obtendrás: 
 
65
4)( =Asen
 
A partir de la función: 
65
4)( =Asen
 
 
º74.29)4961.0(
65
4 11 ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= −− sensenA
 
 
Recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º, 
 
º25.60
)º9074.29(º180
=
+−=
B
B
 
 
 
Ejemplo 2 
Para el triángulo rectángulo mostrado en la figura 7 
determina el valor de los datos que faltan. 
 
 
 Figura 7. Triángulo del cual se conoce 1 lado y un 
ángulo. 
Solución 
 
	
  
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12 
A diferencia del ejemplo anterior y debido a que sólo se conoce el ángulo B = 50º y su lado opuesto es 
necesario decidir qué función trigonométrica utilizar. Observa que no es posible la función coseno porque se 
desconoce tanto el cateto opuesto como el cateto adyacente, pero sí es posible aplicar la función seno y la 
función tangente. Si aplicas la función seno tienes: 
 
h
sen 6)º50( =
 
 
Si despejas h de esta expresión tienes que: 
 
8324.7
)º50(
6
=
=
h
sen
h
 
 
 
Ahora que ya se conoce la hipotenusa es posible calcular el lado a utilizando el Teorema de Pitágoras. 
 
0345.5
68324.7 22
=
−=
a
a
 
 
Finalmente, encuentra el ángulo A. 
 
º40
º50º90
º90º50
=
−=
=+
A
A
A
 
 
 
 
Los ejemplos anteriores muestran cómo aplicando las funciones trigonométricas y el Teorema de 
Pitágoras se pueden encontrar todos los datos de un triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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  Bibilografía	
  
Clemens, S., O’Daffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría (Addison- Wesley 
Iberoamericana y M. López, Trads.). México: Pearson. 
 Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México. McGraw-Hill. 
 Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría (3ª. ed.; H. Villagómez, Trad.). 
México: Thomson. 
 Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y 
trigonometría (3ª. ed., H. Villagómez y J. H. Romo, Trads.). México: 
Thomson.