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Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
 
 
TEORIA CUANTICA DE LOS ELECTRONES 
EN REDES PERIODICAS 
 
 
FISICA ELECTRONICA 
 
CUATRIMESTRAL 
Para la carrera de Ingeniería Electrónica 
 
REALIZADA POR 
 
Lic. Mónica González Camus 
Con la colaboración del Ing. Nicolás Bassi 
 
 
 
 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
TEORIA CUANTICA DE LOS ELECTRONES EN REDES CRISTALINAS 
TEORIA DEL ELECTRON LIBRE DE LOS METALES: 
Los electrones de conducción dentro de una sustancia metálica actúan como partículas libres 
clásicas de un gas, sometido solo a las limitaciones de la estadística de FERMI-DIRAC, Con respecto 
a un electrón libre contenido en un cristal, lo más sencillo es consideran un solo electrón libre que 
se encuentra en un potencial, perfectamente periódico, que tiene la periodicidad de la red 
En el modelo de un solo electrón en un sólido, el potencial periódico se puede considerar como 
resultado de la distribución periódica de carga asociada con los núcleos iónicos, situados en los 
puntos reticulares, más el potencial extendido promedio (constante) aportado por todos los demás 
electrones libre que pertenecen al cristal, de modo de tener en cuenta la interacciones promedio 
de un solo electrón con los demás 
En consecuencia La solución de la ecuación de Schrödinger para un solo electrón dentro de este 
potencial, proporciona un conjunto de estados que puede tener este electrón, que además pueden 
estar ocupados exclusivamente por un solo electrón, y que pueden estar ocupados, por un electron 
como consecuencia del principio de exclusión de Pauli. Se supone que la periodicidad del cristal 
se extiende al infinito en todas las direcciones 
. En la superficie, la periodicidad se interrumpe entonces, el espaciamiento reticular no será muy 
uniforme cerca de la superficie 
. En la práctica, la periodicidad es casi perfecta después de unos cuantos espaciamientos atómicos 
dentro del cristal 
Veremos que las funciones de onda de un electrón (denominadas función de Bloch) siempre tienen 
ciertas propiedades relacionadas con la periodicidad reticular y que las energías electrónicas 
permisibles ocurren en bandas de estados permitidos separadas por regiones de energías prohibidas 
La cuestión de si un cristal es conductor o aislante, dependerá de si los estados electrónicos de una 
banda o conjunto de bandas permisibles dadas, están llenas por completo o inicialmente vacíos. 
Además, veremos que el comportamiento colectivo de los electrones dentro de una banda de 
estados permisibles casi llena, es similar al de unos cuantos portadores de carga positiva en una 
banda casi vacía 
Nota: El método del electrón libre es una aproximación en la que se omiten complemente los detalles 
de las interacciones electrón – electrón 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Teorema de Bloch 
Es una propiedad matemática que relaciona una función de onda para un electrón en un potencial 
perfectamente periódico. 
Sea una ecuación diferencial de la forma: 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 𝑓(𝑥)𝜓(𝑥) = 0 (1) 
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥): 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑎 ∶ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑎)(2) 
Y V(x) para la ecuación unidimensional de Schrödinger, entonces la ecuación de Schrödinger es 
un caso especial de: 
𝑑2𝜓
𝑑𝑥2
+ 𝑓(𝑥)𝜓(𝑥) = 𝟎 
La que es una ecuación diferencial lineal de 2° Orden, para cualquier valor de E, existen entonces 
dos soluciones independientes g(x) y h(x) tales que: 
𝜓(𝑥) = 𝐴. 𝑔(𝑥) + 𝐵. ℎ(𝑥) (3) 
 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑎)entones 𝑔(𝑥) 𝑦 ℎ(𝑥)también son 𝑔(𝑥 + 𝑎) 𝑦 ℎ(𝑥 + 𝑎) 
Cualquier solución de (1), es una combinación lineal de 𝑔(𝑥) 𝑦 ℎ(𝑥) 
 
Por lo tanto: 
𝑔(𝑥 + 𝑎) = 𝛼1𝑔(𝑥 + 𝑎) + 𝛼2ℎ(𝑥) y ℎ(𝑥 + 𝑎) = 𝛽1𝑔(𝑥 + 𝑎) + 𝛽2ℎ(𝑥) (4) 
Donde 𝛼𝑖 𝑦 𝛽𝑖 son constantes 
 
Entonces 
𝝍(𝒙 + 𝒂) = 𝑨.𝒈(𝒙 + 𝒂) + 𝑩. 𝒉(𝒙 + 𝒂) = (𝜶𝟏𝑨 + 𝜷𝟏𝑩)𝒈(𝒙) + (𝜶𝟐𝑨 + 𝜷𝟐𝑩)𝒉(𝒙) (5) 
 
𝝍(𝒙 + 𝒂) 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒂𝒓𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝝍(𝒙 + 𝒂) = 𝝀𝟏𝝍(𝒙) (6) 
 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝝀 𝒆𝒔 𝒄𝒕𝒆 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
De 3 y 5 si se satisface 6 
(𝜶𝟏 − 𝝀)𝑨 + 𝜷𝟏𝑩 = 𝟎 𝒚 𝜶𝟐𝑨 + (𝜷𝟐 − 𝝀)𝑩 = 𝟎 (𝟕) 
 
Para que no tenga solución trivial (A=B=0)→determinante distinto de cero 
 
|
𝛼1 − 𝜆 𝛽1
𝛼2 𝛽2 − 𝜆
| = 𝜆2 − (𝛼1 + 𝛽2)𝜆 + (𝛼1𝛽2 − 𝛼2𝛽1) = 0 (𝟖) 
 
Por lo tanto tenemos dos soluciones 𝜆1 𝑦 𝜆2 
 
𝝍(𝒙 + 𝒂) = 𝝀𝟏𝝍(𝒙) y 𝝍(𝒙 + 𝒂) = 𝝀𝟐𝝍(𝒙) (𝟗) 
Se definen k1 y k2 tal que 𝜆1 = 𝑒
𝑖𝑘1𝑎 𝑦 𝜆2 = 𝑒
−𝑖𝑘2𝑎 (10) 
Y se definen 𝑢𝑘1(𝑥) y 𝑢𝑘2(𝑥)como: 𝑢𝑘1(𝑥)=𝑒
−𝑖𝑘1𝑎y 𝑢𝑘2(𝑥) = 𝑒
−𝑖𝑘2𝑎 (11) 
De (9), (10) y (11) 
𝒖𝒌𝟏(𝒙 + 𝒂)=𝒆
−𝒊𝒌𝟏(𝒙+𝒂)𝝍(𝒙 + 𝒂) = 𝒆−𝒊𝒌𝟏(𝒙+𝒂)𝝀𝟏𝝍(𝒙) 
𝒆−𝒊𝒌𝟏(𝒙+𝒂)𝒆−𝒊𝒌𝟏𝒂𝝍(𝒙) = 𝒆−𝒊𝒌𝟏(𝒙+𝒂)𝝍(𝒙) = 𝒖𝒌𝟏(𝒙) 
Pero 𝒖𝒌𝟏(𝒙) es periódica con periodo a, ídem para 𝒖𝒌𝟐(𝒙) 
 
TEOREMA DE BLOCK 
“TODAS LAS FUNCIONES DE ONDA DE UN ELECTRON PARA POTENCIALES PERIODICAS SE 
PUEDEN ESCRIBIR DE LA FORMA” 𝝍(𝒙) = 𝒆−𝒊𝒌(𝒙)𝒖𝒌(𝒙) (13) 
Donde 𝒖𝒌(𝒙) es periódica con periodo a 
En tres dimensiones: 𝝍�⃗⃗� (�⃗� )=𝒆
−𝒊�⃗⃗� �⃗� 𝒖�⃗⃗� (�⃗� ) 
 
La función de Bloch (13), es la forma más general de escribir una solución de la ecuación de 
Schrödinger que conduce a la misma densidad de probabilidad 𝜓∗𝜓 en cada celda unitaria del 
cristal. 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
De (13) en la n-esima celda unitaria por la periodicidad de 𝐮𝐤 
 
𝝍(𝒙 + 𝒂) = 𝒆𝒊𝒌(𝒙+𝒏𝒂)𝑢𝑘(𝑥 + 𝑛𝑎) = 𝒆𝒊𝒌
(𝒙+𝒏𝒂)𝑢𝑘(𝑥) = 𝒆𝒊𝒌𝒏𝒂𝝍(𝒙) (𝟏𝟓) 
De Igual forma: 
𝛙∗(𝐱 + 𝐚) = 𝐞−𝐢𝐤𝐧𝐚𝛙∗(𝐱) (16) 
𝛙∗(𝐱 + 𝐚)𝛙(𝐱 + 𝐚) = 𝛙∗(𝐱) 𝛙(𝐱) (17) 
 
Caso unidimensional 
Para un cristal infinito, se puede encontrar una solución formal a la ecuación de Schrödinger, 
para cualquier valor de energía ϵ dentro de ciertos rangos, y se tienen 2 valores de k 
correspondientes a cada uno de los valores de ϵ (ecuaciones 8 y 10) 
Los valores de energía permitidos para dicho sistema, dentro de esos rangos, son continuos 
Si el cristal tiene una extensión finita, sobre la superficie deberán cumplirse determinadas c.c 
(físicas) las soluciones que satisfagan a la vez la ecuación de Schrödinger ya la vez las c.c 
pueden encontrarse solo para ciertos valores de energía discretas 
Como cada valor de ϵ tiene 2 valores relacionados de k, los valores permisibles de k, forman 
también un conjunto discretos, Cuando el n° de átomos del cristal es muy grande, los valores 
permitidos de ϵ y de k, aunque siguen siendo discretos, se amontonan mucho y en la mayoría 
de los casos, se pueden considerar como bandas casi continuas de valores permisibles 
 
Ejemplo: 
Si se imponen condiciones periódicas de frontera a un cristal unidimensional de N átomos 
o si se supone que la red tiene una forma de un anillo de N átomos, entonces, si la 
función de ondaψ debe tener un solo valor, es necesario que (de 15) 
𝝍(𝒙 + 𝒏𝒂) = 𝒆𝒊𝒌𝒏𝒂𝝍(𝒙) = 𝝍(𝒙) (𝟏𝟖) 
⇒ 𝒆𝒊𝒌𝒂 = 𝟏 o bien 𝒆𝒊𝒌𝒂 = 𝟏
𝟏
𝑵 = 𝒆
𝟐𝝅𝒊𝒏
𝑵 (𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑…… ,𝑵) (19) 
(Teorema de De Moivre) 
→𝑘𝑛 =
2𝜋𝑛
𝑁𝑎 
(𝒏 = 𝟎,𝟏,𝟐, 𝟑…… ,𝑵) (20) 
Si N es Grande, Habrá muchos valores permitidos de k dados por (20) y entonces, se puede 
considerar que forman un rango casi continuo de valores. 
Los N valores distintos de k permitidos por (20), no corresponden al mismo valor de energía 
para cada valor constante de ϵ se tienen solo los dos valores de k permitidos por (10). 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Cuando un electrón se mueve a través de la red cristalina actúan sobre él fuerzas electrostáticas que 
hacen variar su cantidad de movimiento,la partícula se acelera al acercarse al núcleo atómico y se 
desacelera al alejarse de él. Este constante cambio de su energía cinética es compensado con un 
aumento o disminución de su energía potencial de acuerdo a la distancia de la partícula con respecto 
al núcleo, se establecen por lo tanto niveles de energía potencial que delimitaran el movimiento de 
las partículas a través de la red. En una red cristalina el potencial se distribuye periódicamente, en 
un cristal su distribución es tridimensional en el volumen del cuerpo. Se considera la energía 
potencial cero para una partícula completamente desligada del núcleo, pero aumenta rápidamente 
al acercarse a él, de manera que estando en un nivel de energía como él se encontrara atrapado en 
regiones debido a la imposición de las barreras de potencial. 
A medida que el electrón se encuentra en niveles energéticos superiores, las bandas permitidas se 
hacen más amplias y puede moverse con facilidad hasta el punto en las diferentes bandas 
adyacentes se superponen y el electrón puede desplazarse con libertad de un átomo a otro. Las 
bandas superpuestas en donde los electrones pueden moverse libremente son llamadas bandas de 
conducción en la que se encuentra fijos se denominan bandas de valencia; los electrones de la banda 
de valencia pueden pasar a la banda de conducción si se le suministra energía suficiente. 
Los electrones que se encuentran en las capas inferiores a la banda de conducción son llamados 
electrones de valencia, los que se encuentran en la banda de conducción son considerados 
electrones libres. 
Modelo de Krönig-Penney (1931) de un Cristal infinito 
Para el caso del potencial periódico, infinito de un pozo cuadrado unidimensional, se puede 
obtener una solución exacta de la ecuación de Schrödinger. Se relaciona con un potencial 
periódico algo idealizado que constituye una solución burda del que se encuentra en cristal 
real, pero sirve para evidenciar las características físicas importantes del comportamiento 
cuántico de los electron en redes periódicas, Las funciones de onda asociadas con este modelo 
se pueden calcular con la aproximación de un electrón, resolviendo la ecuación de Schrödinger 
𝑑2𝜑
 𝑑𝑥2
+
2𝑚
ℏ2
(𝜖 − 𝑉(𝑥))𝜑(𝑥) = 0 (21) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 
 
 V0 Figura 2 
 b a 
 
 
 
 U2(x) x 
 a+b 
(Celda unitaria) U1(x) 
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De acuerdo a lo visto anteriormente, la funciones de onda deben tener la forma de Block, 
se pueda esperar que 
φ(𝐱) = 𝐞𝐢𝐤𝐱𝛍(𝐱) (22) 
Sustituimos (22) en (21) 
𝑑2𝜇
 𝑑𝑥2
+ 2𝑖𝑘
𝑑𝜇
𝑑𝑥
− (𝑘2 − 𝛼2 +
2𝑚𝑉(𝑥)
ℏ2
)𝜇(𝑥) = 0 (23) 
Con 𝛼2 =
2𝑚𝜖
ℏ2
 (24) 
Para el potencial de la figura 2, se encontrará que: 
𝑑2𝜇1
 𝑑𝑥2
+ 2𝑖𝑘
𝑑𝜇1
𝑑𝑥
− (𝑘2 − 𝛼2 +
2𝑚𝑉(𝑥)
ℏ2
)𝜇1(𝑥) = 0 0 < 𝑥 < 𝑎 (25) 
𝑑2𝜇2
 𝑑𝑥2
+ 2𝑖𝑘
𝑑𝜇2
𝑑𝑥
− (𝑘2 − 𝛽2 +
2𝑚𝑉(𝑥)
ℏ2
)𝜇2(𝑥) = 0 − 𝑏 < 𝑥 < 0 (26) 
𝛽2 =
2𝑚(𝜖−𝑉0)
ℏ2
 (27) βϵ 𝐼 si 0 < 𝜖 < 𝑉0 
Mediante los procedimientos normales se obtiene 
𝜇1(𝑥) = 𝐴𝑒
𝑖(𝛼−𝑘)𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖(𝛼+𝑘)𝑥 0 < 𝑥 < 𝑎 (28) 
𝜇2(𝑥) = 𝐴𝑒
𝑖(𝛽−𝑘)𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖(𝛽+𝑘)𝑥 − 𝑏 < 𝑥 < 𝑎 (29) 
Por continuidad de φ(x) y de su derivada en X=a y X=-b 
Y recordando que por periodicidad de la red 𝜇1(𝑎) = 𝜇2(−𝑏) 
A+B=C+D 
𝑖(𝛼 − 𝑘)𝐴 − 𝑖(𝛼 + 𝑘)𝐵 = 𝑖(𝛽 − 𝑘)𝐶 + 𝑖(𝛽 + 𝑘)𝐷 
𝐴𝑒𝑖(𝛼−𝑘)𝑎 + 𝐵𝑒−𝑖(𝛼+𝑘)𝑎 = 𝐶𝑒𝑖(𝛽−𝑘)𝑏 + 𝐷𝑒𝑖(𝛽+𝑘)𝑏 (30) 
𝑖(𝛼 − 𝑘)𝐴𝑒𝑖(𝛼−𝑘)𝑎 − 𝑖(𝛼 + 𝑘)𝐵𝑒−𝑖(𝛼+𝑘)𝑎 = 𝑖(𝛽 − 𝑘)𝐶𝑒−𝑖(𝛽−𝑘)𝑏 − 𝑖(𝛽 + 𝑘)𝐷𝑒𝑖(𝛽+𝑘)𝑏 
 
Los coeficientes A, B, C y D pueden determinarse como la solución de un 
grupo de 4 ecuaciones homogéneas simultáneas y lineales iguales a cero 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Solución A=B=C=D=0 si el determinante es distinto de cero 
 
Entonces se pide que el determinante de los coeficientes sea igual a cero 
 . 
(31) 
 
 
Después de varias operaciones algebraicas 
−
𝛼2+𝛽2
2𝛼𝛽
sen 𝛼𝑎 sen 𝛽𝑏 + cos 𝛼𝑎 cos 𝛽𝑏 = cosk(𝑎 + 𝑏) (32) 
Como en el rango 0 ≤ 𝜖 ≤ 𝑉0, β es imaginario (ver 27), para esos valores de la 
energia es mas conveniente expresar (32) de manara diferente. 
𝑖𝛽 = 𝑖𝛾 (33) 
Recorando que cos 𝑖𝑥 = cos ℎ𝑥 𝑦 𝑞𝑢𝑒 sen 𝑖𝑥 = senℎ𝑥 
Entonces la expresion (32) se puede escribir como: 
𝛼2 + 𝛽2
2𝛼𝛽
senh 𝛾𝑏 sen𝛼𝑎 + cosh 𝛾𝑏 cos𝛼𝑎 = cosk(𝑎 + 𝑏) (34) 
 
𝛾𝜖+ 𝑆𝑖 0 ≤ 𝜖 ≤ 𝑉0 
𝛽𝜖+ 𝑆𝑖 𝑉0 ≤ 𝜖 ≤ ∞ 
Entonces usamos (32) para 𝑉0 ≤ 𝜖 ≤ ∞, y (34) cuando 0 ≤ 𝜖 ≤ 𝑉0 
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Las funciones de onda en (22), como toda funcion de onda, deben tener un 
comportamiento adecuado cuando x→ ∓∞ 
Como u(x) es una funcion periodica cuyos valores son los mismos en cada celda 
unitaria, no se encuentran dificultades en este aspecto, previa la condicion de 
que 𝑒𝑖𝑘𝑥 se mantenga finito en estas condiciones 
𝑒𝑖𝑘𝑥 cumple con estas condiciones en x→ ∓∞ solo si 𝑘𝜖 (𝑒𝑖𝑘𝑥oscilatorio) 
Si k fuese imaginario, 𝑒𝑖𝑘𝑥 divergeria a infinito →ϕ(x) no se comportaria como 
funcion onda 
Se deben aceptar funciones de onda de la forma (22), con valores reales de k 
Las expresiones anteriores (32) y (33), tiene en el lado izquierdo una funcion 
de la forma 𝑘1sen𝛼𝑎 + 𝑘2 cos 𝛼𝑎 que debe ser igual a cosk(𝑎 + 𝑏) 
1) Si para un valor dado de ϵ, la funcion del lado izquierdo de estas 
ecuaciones cuenta con un valor entre -1 y 1, el valor requerido para 
cosk(𝑎 + 𝑏)se obtiene k(𝑎 + 𝑏) ∈ con 𝑘(𝑎 + 𝑏)𝜖 
2) Si el valor de la funcion del lado izquierdo de (32) y (34), queda fuera de 
dicho rango esto significara que el cosk(𝑎 + 𝑏)tendria que se mayor 
que 1 o menor que -1, lo cual a su vez requiere que 𝑘(𝑎 + 𝑏)𝜖 con 
𝐼 m ≠ 0 . En estas circusnstancias las soluciones de (22) no se 
comportarian debidamente en ±∞ y no satisfarian el requisito fisico 
para las funciones de onda del sistema, entonces las energias asociadas 
con estos valores de k estarian prohibidas para el sistema 
Los lados izquierdos de (32) y (34) se pueden escribir como 
K3sen(αa-𝛿) 𝑘3
2 = 𝑘1
2 + 𝑘2 
2 tan 𝛿 =
𝑘1
𝑘2
 
 Entonces la (32) y la (34) se pueden escribir: 
[1 +
(𝛼2 + 𝛽2)2
4𝛼2𝛽2
𝑠𝑒𝑛2𝛽𝑏]
1
2
cos(𝛼𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠𝑘(𝑎 + 𝑏) (35) 
tan 𝛿 =-
(𝛼2+𝛽2)
2
2𝛼𝛽
tan 𝛽𝑏 𝑉0 ≤ 𝜖 ≤ ∞ 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
[1 +
(𝛼2 + 𝛾2)2
4𝛼2𝛾2
𝑠𝑒𝑛2𝛾𝑏]
1
2
cos(𝛼𝑎 − ∅) = 𝑐𝑜𝑠𝑘(𝑎 + 𝑏) (36) 
tan 𝛿 =-
(𝛼2+𝛾2)
2
2𝛼𝛽
tanh 𝛾𝑏 0 ≤ 𝜖 ≤ 𝑉0 
En ambos casos, el lado izquierdo tiene la forma de la funcion coseno, 
multiplicada por un factor de modulación cuya amplitud es 
invariablemente menor que 1 . El f.m. es maximo para 𝛼 = 0, (∴∈= 0) y se 
acerca a 1, para ∈ 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑠 donde 𝛼 ≅ 𝛽Cuando los lados izquierdos de 
(35) y (36), se grafican como una funcion de la energia y la observando que 
𝛼2 − 𝛽2 = 𝛼2 + 𝛾2 =
2𝑚𝑉0
ℏ2
= 𝑐𝑡𝑒 (37) 
Los resultados son como en la figura 3 
 
Figura 3 grafico de las funciones (35) y (36) 
En la figura,el lado izaquierdo esta graficado en funcion de la energia, cuando la ordenda 
de la curva esta entre -1 y 1, existe un valor de k, correspondiente a las funciones de 
onda fisicamente posibles 
Fuera de estos limites, k debe ser complejo com Im(k)≠ 0 , para estos valores las 
funciones de onda no tendrian significadofisico, entonces los rangos correspondientes 
a la energia estan prohibidos (regiones sombredas) 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Por lo tanto se tienen regiones alternadas con valores propios (autovalores), permitidos 
y prohibidos. Estas regiones suelen llamarse BANDAS DE ENERGIA, permitidas y 
prohibidas 
El agrupamiento de los valores de energia permitidos en estas bandas es una 
caracteristicas tipicas mas importantes del comportamiento de los electrones en redes 
periodicas 
Importante:Se puede demostrar que las bandas de E que tienen los mismos 
aspectos cualitativos de la fig 3, se forman sea cual fuere la forma detallada 
del potencial V(x), siempre y cuando sea periodica 
Si se usan las ecuaciones las ecuaciones (24), (27), (35) y (36), se puede graficar 
una curva 𝜖 = 𝜖(𝑘) 
 
 
Las bandas de energia prohibidas, y la relacion 𝜖 = 𝜖(𝑘), dentro de las 
diferentes bandas de energia permitidas se han asignada de acuerdo al V(x) 
correspondiente a la fig. 
Para ϵ grandes, la funcion ϵ(k) se acerca a la relacion del electron libre 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
ϵ=
ℏ𝟐𝒌𝟐
𝟐𝒎
(curva punteada), de un modo muy semejante dentro de las bandas 
de energia permitados 
Asi tambien, para ϵ grandes, se han encontrado que las bandas permitidas 
se hacen anchas las permitidas se hacen anchas y las prohibidas muy 
angostas 
 
La curva 𝜖 = 𝜖(𝑘), siempre tiene pendiente igual a cero, en los bordes de 
las bandas permitidas, o sea cuando 
𝑘 = ±
𝑛𝜋
𝑎+𝑏
 ,n ∈ 𝑁 
 Esto puede verificarse en el ejercicio 6.1 
 Esta caracteristica es muy general, y se peresenta incluso en el caso 
. tridimensional, siendo ademas independiente de la forma funcional de V 
 
 
Cantidad de movimiento del cristal; masa efectiva 
Si Uk(x) en la ecuación (33) es constante, la funcion de onda tiene la forma 
𝑒±𝑖𝑘𝑥 que corresponde a un electron perfectamente libre, con 
P=ℏ𝑘 y ϵ=
ℏ𝟐𝒌𝟐
𝟐𝒎
 (38) 
En la fig. 4 se ilustra esta relacion por medio de la curva punteada 
Para valores grandes de ∈, la realcion real se acerca mucho.De acuerdo con 
(33) y los resultados anteriores, es evidente que i/k es una constante del 
movimiento 
1) ℏk tiene dimensiones de p 
2) Al aumentar la ϵ del 𝑒−(ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑐ℎ𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒), 
los valores de k se aproximan a p (particula libre) 
3) Esto es independiente del tipo de potencial periodico polo tanto 
ℏk=cantidad de movimiento del cristal 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
 
 
En muchos casos, ocurre que el comportamiento dinamico del electron dentron de 
la red cristalina, con respecto al p del cristal, es muy similar al de una partícula libre 
con respecto al p real 
¿Cuál es la diferencia entre p real y el p del cristal? 
Observese que debido a la prsencia del potencial de red, la p real instantanea de un 
electron, no es una constante de movimiento y no se calcula directamente por 
metodos de la mecanica , excepto como un valor medio (< 𝑝 >) 
Para un estado de energia dado, p del cristal(ℏk), es un valor cosntante 
perfectamente bien definido, al igual que lo es p real de una particula libre de cierta 
energia E 
 
 
Movimiento de un electron dentro de un cristal bajo la influencia de un E aplicado 
 
Para comprender mejor, se localiza la funcion de onda superponiendo 
soluciones con distintos valores de k 
 
𝑣𝑔 =
𝑑𝜔
𝑑𝑘
=
1
ℏ
𝑑𝜖
𝑑𝑘
 (39) 𝜖 = ℏω → ω =
ε
ℏ
 
 
Supongase que hay un campo externo �⃗� que actua sobre el electron, 
que adquiere dvg, en dx/dt, dando (39) 
 
𝑑𝜀 =
𝑑𝜀
𝑑𝑘
𝑑𝑘 = −𝑒ℰ𝑑𝑥 = −𝑒ℰ𝑣𝑔𝑑𝑡 =
−𝑒ℰ
ℏ
𝑑𝜖
𝑑𝑘
𝑑𝑡 (40) 
 
𝑑𝑘 = −
𝑒ℰ
ℏ
𝑑𝑡 (41) 
 
ℏ
dk
dt
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= −𝑒ℰ = 𝐹 (42) 
 
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
 
 
 Significado de la ecuacion (42) 
La capacidad de cambio respecto al tiempo de p del cristal es igual a la 
fuerza -e ℰ, analoga a la ley de Newton 
Demuestra que pc del electrón en una red periodica cambia bajo la 
influencia de un campo aplicado, de la misma forma que lo hace preal, en 
un electron libre en el vacio 
 
Derivando (39) con respecto al tiempo 
 
𝑑𝑣𝑔
𝑑𝑡
= 𝑑𝜔
𝑑𝑘
= 
1
ℏ
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝜖
𝑑𝑘
)=
1
ℏ
𝑑2ℰ
𝑑𝑘2
𝑑𝑘
𝑑𝑡
 (43) 
 
 
Si usamos la expresión (42) 
𝑑𝑣𝑔
𝑑𝑡
= −
𝑒ℰ
ℏ2
𝑑2ℰ
𝑑𝑘2
𝑑𝑘
𝑑𝑡
=
𝐹
𝑚∗
 (44) 
 
Donde 𝑚∗es la masa efectiva 
𝑚∗ =
ℏ2
𝑑2ℰ
𝑑𝑘2
 (45) 
 
 
Es fundamentalmente la fuerza de newton 
El fator de proporcionalidad que relaciona a la fuerza 𝑒ℰ y la aceleracion 
𝑑𝑣𝑔
𝑑𝑡
 se 
puede considerar la masa efectiva del electrón 
Importante, la masa gravitacional real del electron no se relacciona con su masa 
efectiva 
 
Si el electron es libre,  y k se relacionan por la (39) y (45), se reducen a 𝑚∗ = 𝑚 
𝑚∗ =
ℏ2
ℏ2
𝑚
= 𝑚 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
 
 
 
Si  es funcion parabólidca de k  = 𝑐(𝑘 − 𝑘0)
2 (46) 
 
𝑚∗ =
ℏ2
2𝑐
 
 
Y el comportamiento dinámico del electrón sera el mismo que el de una particula 
libre con esta masa efectiva 
 
Importante. Si la energía no es una funcion parabólica de k, entonces la masa 
efectiva no sera constante con la energia y el comportamiento dinámico del 
electrón será el de una particula con masa variable 
 
Pero en la primera aproximacion, todo el efecto del potencial de un cristal periódico 
reside en sustitur la masa del electrón libre por su masa efectiva 
 
Afortunadamente la relacion =(k) es casi siempre parabolica sobre el rango de la 
energia accesible a un electron dentro del cristal, (si es casi parabólica puede 
hacerse un ajuste por cuadrados minimos) 
De acuerdo con la figura 4, y a los datos experimentales , parece que la curva =(k) 
tiene siempre una forma parabolica en la base y en la parte superior de las bandas 
de energia permitidas 
Incluso cuando los electrones del sistema estan en otras regiones, lo importante es 
que la masa efectiva sea fundamentalmente constante sobre un intervalo de 
energia, del orden de la cantidad promedio de energia que una particula puede 
adquirir o perder en un evento de dispersión en un tiempo del orden al tiempo de 
realización 
 
A 300ºk =0,025eV 
El ancho total de una banda de energia es mayor que esto (del orden del eV), en los 
eventos de dispersion independientes y en eventos de dispersion suscesivos, un 
electrón estaria asi siempre confinado dentro de un segmento corto de la curva (k), 
que casi siempre se puede considerar como aproximacion parabólica 
 
 
 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
ELECTRONES Y HUECOS 
 
Antes empezar observemos el siguiente grafico que nos indica las disposiciones de las 
distintas bandas de energía en un átomo 
 
 
 
En el cristal infinitamente grande mencionado anteriormente, las energías 
permitidas forman un continuo de valores dentro de las bandas permitidas. Sin embargo, si 
el cristal tiene una extensión finita y contiene un total de N átomos, sólo se tendrán N 
autoestados específicos de la cantidad de movimiento del cristal k dentro de cada banda de 
energía permitida. 
Puede verse en la Figura 4 que para una energía dada o, los 2 valores de cantidad 
de movimiento del cristal permitidos son k.o y –k.o. Desde el punto de vista físico, el 
primero representa un estado en el que un electrón se mueve hacia la derecha con la 
cantidad de movimiento positiva del cristal, en tanto que el segundo representa un estado 
en el que un electrón se desplaza hacia la izquierda con una cantidad de movimiento igual 
y opuesta a la anterior. Obviamente, la energía es la misma en ambos casos. El efectodel 
espín del electrón en este caso, al igual que en los sistemas atómicos aislados, es duplicar 
el factor de degeneración asociado con todos los niveles de energía del sistema, ya que se 
considera que cada estado cuántico se divide en dos para alojar a un electrón con espín 
hacia arriba y a otro electrón con espín hacia abajo. O sea, cuando se incluye el efecto del 
espín electrónico, se llega a la conclusión de que dentro de cada banda de energía permitida 
del sistema se tienen exactamente 2N estados cuánticos. 
 
 
A una temperatura T=0 K, los electrones del sistema ocuparán estos estados, uno 
por cada estado, porque los electrones son fermiones y cumplen el principio de exclusión 
de Pauli. Lo hacen a partir del estado más bajo y en forma ascendente, hasta una energía 
dada que se determina mediante el número de estados disponibles, su distribución de 
energía y el número de electrones del cristal. Por supuesto esta energía es la energía de 
Fermi del cristal a temperatura cero. 
 
En un cristal unidimensional, algunas de las bandas permitidas estarán totalmente 
llenas, algunas completamente vacías y otras sólo parcialmente llenas. La situación en los 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
cristales bidimensionales y tridimensionales es algo más compleja, ya que la energía de 
diferentes bandas se puede superponer y más de una banda puede estar parcialmente llena. 
 
Sólo las bandas que están parcialmente llenas pueden aportar un flujo de corriente. 
Desde un punto de vista físico, se puede comprender esto viendo que en la banda 
parcialmente llena siempre existen electrones que pueden excitarse gradualmente y 
pueden llegar a ocupar estados previamente desocupados de una mayor energía y cantidad 
de movimiento, mientras que en una banda llena, y debido al principio de exclusión de Pauli, 
esta excitación no puede ocurrir ya que se encuentran ocupados todos los estados posibles. 
Obviamente una banda vacía no puede aportar ninguna corriente. 
 
Un solo electrón en reposo en una banda vacía, ocupará el estado de energía más 
bajo en la base de dicha banda, en ausencia de una excitación térmica. Si se lo excita por 
medio de un campo eléctrico, se excitará gradualmente a través de valores de energía 
siempre creciente, hasta llegar a la parte superior de la banda y luego disminuye su energía. 
Esto se conoce con el nombre de oscilación de Zener. Aplicando la teoría, puede llegarse a 
la conclusión de que el movimiento de un electrón libre dentro de un potencial 
perfectamente periódico se realiza sin que lo impida la red, en el sentido de que no se 
realizan procesos de dispersión que detengan o aleatoricen la velocidad del electrón. Sin 
embargo, si existe una desviación respecto a la periodicidad perfecta en la red, siempre 
existe la posibilidad de una transición aleatoria repentina a un estado relacionado con otro 
valor de k dentro de la banda. En promedio estas transiciones aleatorias, hacen que el 
electrón regrese a k=0 y se puede decir que hay un proceso de dispersión asociado con el 
hecho de que el potencial de red se aleja de la periodicidad perfecta. 
 
Esta desviación puede deberse a que la red se encuentra a una temperatura mayor 
que el cero absoluto, en cuyo caso las vibraciones térmicas que se establecen introducen 
una leve aperiodicidad y las posiciones instantáneas de los átomos ya no coinciden con la 
red periódica (en sus posiciones de equilibrio). Esto puede representarse mediante la 
situación de que los electrones son dispersados por los fonones (cuantos de vibración). 
Debido a esto el comportamiento de oscilación de Zener no se presenta jamás en la práctica. 
 
El comportamiento del electrón es el de una partícula libre sujeta a procesos de 
dispersión, lo cual conduce a la ley de Ohm, la conductividad térmica, el efecto 
termoeléctrico y todos los resultados de la teoría del electrón libre en los metales, y la única 
diferencia es que la masa del electrón se sustituye por su masa efectiva. 
 
Para una banda con relativamente pocos electrones, la intensidad se obtiene 
sumando sobre todas las velocidades de los electrones de la banda. Sin embargo, si una 
banda está casi llena y hay unos pocos estados vacíos, se calcula más fácilmente sobre todos 
los estados de velocidad desocupados. Esta suma sobre los estados desocupados 
corresponde a una corriente producida por un número igual de portadores de carga 
positivos. Es muy conveniente expresar la corriente en una banda casi llena, como derivada 
del movimiento de un número comparativamente pequeño de estados electrónicos vacíos 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
o huecos, que se comportan como partículas positivas, más que mediante un gran número 
de electrones. 
 
La velocidad asociada con un hueco es la que tendría un electrón si ocupara un 
estado de energía vacío que normalmente se encuentra en la parte superior de la banda de 
energía. Como la relación entre  y k tiene la concavidad hacia abajo, la masa electrónica 
efectiva es negativa. 
 
Como ejemplo de Banda casi llena tenemos la Banda de Valencia de la cual saltarían 
los electrones a la Banda de conducción una vez excitados por ejemplo con una Una Fuerza 
𝐹 = 𝑒𝑉 + 𝑒𝑣 × 𝐵 
 
 
 
 
Una partícula con masa efectiva negativa experimenta una aceleración en una 
dirección opuesta a la de la fuerza aplicada. 
Una partícula negativa con una masa efectiva negativa entonces se acelerará en la 
dirección del campo aplicado y presentará el mismo comportamiento dinámico que una 
partícula positiva de masa positiva. En consecuencia, la situación de una banda casi llena se 
puede considerar como un caso de relativamente pocas partículas positivas de masa 
positiva, que se denominan huecos, cuyas velocidades y cantidades de movimiento 
corresponden a los estados electrónicos desocupados dentro de la banda. 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
 
En presencia de un campo magnético, los electrones y los huecos se comportan 
como partículas negativas o positivas con su masa efectiva correspondiente bajo la acción 
de la fuerza magnética normal. 
 
Como dijimos en una banda saturada o cuasisaturada con pocos o ningún nivel vacío 
los electrones al ser acelerados por fuerzas externas 𝐹 = 𝑒𝑉 + 𝑒𝑣 × 𝐵 van ocupando 
niveles más elevados próximos al máximo de la banda como es 
𝑑2𝐸
𝑑𝑘2
< 0 vemos que esta 
circunstancia la masas son negativas, por eso introducimos la idea de partículas virtuales o 
huecos que se mueven exclusivamente en la banda de Valencia, los huecos se originan a 
partir de impurezas en semiconductores extrínsecos del tipo-p, o bien al pasar electrones 
de la bandas de valencias a la conducción al ser activados se rompen los enlaces entre 
átomos, se libera el electrón y se forma el hueco 
 
 
Partícula Carga Masa Velocidad Ecuación del Movimiento k E 
Electrón e- -e 𝑚𝑒
∗ > 0 𝑉𝑒 −𝑒(𝑉 + 𝑣 × 𝐵)=𝑚𝑒
∗𝑎 ke Ee 
Hueco h+ +e 𝑚𝑒
∗ < 0 𝑣ℎ = 𝑣𝑒 𝑒𝑉 + 𝑒𝑣 × 𝐵=𝑚ℎ
∗𝑎 Ke=-kh Eh=-Ee 
 
Existen varios métodos experimentales para determinar la masa efectiva m* como 
por ejemplo la resonancia ciclotrónica para entender en que consiste esta técnica 
supondremos que tenemos un electrón o un hueco de masa efectiva m* moviéndose en un 
plano xy perpendicular a un campo magnético muy intenso B aplicado al cristal, por lo tanto 
alrededor de B el electrón de Block, el hueco o el portador de carga, describe una 
circunferencia de radio r, por lo tanto 
𝑚∗𝑎 = 𝑞𝑣 × 𝐵 → 𝑚∗𝜔2𝑟 = 𝑞𝜔𝑟𝐵 
𝑚∗ =
𝑞𝐵
𝜔
 
Para determinar 𝜔 Irradiamos al cristal con un campo magnético intenso B, se miden 
las intensidades de corrientes entrantes en el cristal, y se varía la intensidad del campo 
hasta que las dos 𝜔 coincidan y se produzca resonancia 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
 
LA APROXIMACION DEL ELECTRON LIBRE 
 
Hemos visto que un modelo particularde potencial periódico 
 condujo a la formación de bandas de energía permitida y a la energía en función de 
k vista en la Figura 4. La forma de esta relación nos permitió ver que (h/2).k se puede 
interpretar ventajosamente como la cantidad de movimiento del cristal, en cuyos términos 
se puede explicar de manera sencilla la dinámica de los electrones en los campos de fuerza 
aplicados. 
La representación resultante del comportamiento electrónico es similar a la del 
electrón libre en los metales, excepto que la masa del electrón libre se sustituye por su masa 
efectiva, y que los portadores de carga en una banda casi llena tienen que considerarse 
como huecos positivos. 
 
Estas conclusiones cualitativas son independientes de la forma funcional del 
potencial, siempre y cuando sea perfectamente periódico. Se adoptó el potencial elegido 
por ser posible una solución exacta de la ecuación de Schrödinger. 
 
En los cristales reales, la función de potencial que se utiliza debe estar relacionada 
de algún modo con el potencial real que experimenta el electrón, debido a los núcleos 
iónicos y a todos los otros electrones del cristal. Como no es posible determinar la solución 
exacta, se acostumbra a plantear el problema desde el punto de vista de la aproximación 
del electrón libre 
En la aproximación del electrón libre, se supone que la energía total del electrón es 
siempre grande comparada con la energía potencial periódica. En estas condiciones las 
bandas permitidas serán anchas y las regiones de energía prohibidas muy angostas. En los 
cristales reales estas condiciones no se dan exactamente, ya que el potencial va hacia - ∞ 
en los núcleos iónicos, pero se cumple bastante bien para los electrones externos de 
muchos metales simples, aún los alcalinos, en la mayor parte del cristal. 
 
Si V(x) es proporcional a una f(x) que tenga la periodicidad de la red, y planteando la 
ecuación de Schrödinger correspondiente, mediante el desarrollo en serie de Fourier de 
f(x),y sabiendo que las funciones de onda son funciones de Bloch, se llega a lo siguiente: 
𝝐(𝒌) =
ħ𝟐
𝟒𝒎
[𝒌𝟐 + (𝒌 −
𝟐𝝅𝒏
𝒂
)
𝟐
± √(𝒌𝟐 + (𝒌 −
𝟐𝝅𝒏
𝒂
)
𝟐
)
𝟐
+ (
𝟒𝒎|𝑽𝒎|
ħ𝟐
)
𝟐
] 
 
Mientras que en el borde de la banda k=kn=
𝜋𝑛
𝑎
 se reduce a: 
𝜀=𝜀𝑛 ± |Vn| donde 𝜀𝑛 =
ħ2𝑛2𝜋2
2𝑚𝑎2
 
 
 Que representa la energía de la partícula libre con el borde de la banda 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Sabemos que en el borde de la banda 𝑘 = ±
𝑛𝜋
𝑎
 se produce una reflexión interna 
de Bragg que va acompañada de una discontinuidad o vacío de energía 
Por consiguiente de la expresión anterior obtenemos un vacio de energía o banda 
prohibida de anchura 2|𝑉𝑛| en donde Vn es el enésimo coeficiente de Fourier del potencial 
reticular periódico 
 
Para valores mayores de 𝑘 =
𝑛𝜋
𝑎
 esperamos que 𝜖(𝑘) se acerque al del electron libre 
Podemos graficar 𝜖(𝑘) 
 
 
 
Despues de efectuar algunas operaciones algebraicas llegamos a 
𝝐(𝒌) =
ħ𝟐
𝟐𝒎
[(
𝝅𝒏
𝒂
)
𝟐
𝒌
′𝟐
+
𝒎∆𝜺
ћ𝟐
√𝟏 + 𝟒𝒌
′𝟐
(
𝒏𝝅
𝒂
)
𝟐
(
ħ𝟐
𝒎∆𝜺
)
𝟐
] 
 
En donde ∆𝜺 = 2|𝑉𝑛| representa la anchura de la region prohibida en 𝑘 =
𝑛𝜋
𝑎
 para 
puntos cercanos a la banda superior 𝑘′ se hace pequeña y la raíz se expande 
mediante el teorema del binomio por lo tanto 
 
𝝐(𝒌) = 𝜀𝑛 +
𝟏
𝟐
∆𝜺 +
ħ𝟐𝒌
′𝟐
𝟐𝒎
(𝟏 +
𝟒 ∈𝒏
∆𝜺
) 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Luego después de derivar dos veces 
 
𝑚∗ =
ℏ2
𝑑2ℰ
𝑑𝑘2
= 𝑚∗ =
ℏ2
𝑑2ℰ
𝑑𝑘′2
 =
𝑚
𝟏 +
𝟒 ∈𝒏
∆𝜺
 
Tambien se puede demostrar para huecos cercanos a la parte superior de la banda 
inferior es la misma que el valor de los electrones 
Bandas de Valencia y conducción: Conductores aislantes y semiconductores 
 Los niveles de energía de los electrones en los átomos de un cristal no coinciden con los 
niveles de energía de los electrones para átomos aislados. En un gas, por ejemplo, se 
pueden despreciar las interacciones de unos átomos con otros y los niveles de energía no 
se ven modificados. Sin embargo, en un cristal el campo eléctrico producido por los 
electrones de los átomos vecinos modifica los niveles energéticos de los electrones de los 
átomos de sus alrededores. 
 De este modo el cristal se transforma en un sistema electrónico que obedece al principio 
de exclusión de Pauli, que imposibilita la existencia de dos electrones en el mismo estado, 
transformándose los niveles discretos de energía en bandas de energía donde la separación 
entre niveles energéticos se hace muy pequeña. La diferencia de energía máxima y mínima 
es variable dependiendo de la distancia entre átomos y de su configuración electrónica. 
 Dependiendo de la distancia interatómica y del número de electrones de enlace entre 
otros factores, pueden formarse distintos conjuntos de bandas que pueden estar llenas, 
vacías o separaciones entre bandas por zonas prohibidas o bandas prohibidas, formándose 
así bandas de valencia, bandas de conducción y bandas prohibidas. Así en un aislante la 
separación entre la banda de valencia y la banda de conducción es muy grande ( 10 eV), y 
esto significa que un electrón en la banda de valencia necesita mucha energía para ser 
liberado y convertirse en un electrón libre necesario para la conducción. En un conductor 
las dos bandas están solapadas, no necesitándose ninguna energía para alcanzar la 
conducción. En un semiconductor la banda prohibida es muy estrecha, o lo que es lo mismo, 
es muy fácil que un electrón sea liberado y pueda contribuir a la conducción. 
 
 
 
 
 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Semiconductores intrínsecos 
Un semiconductor con sólo un único tipo de átomo, Sin impurezas ni defectos de red 
Se llama semiconductor intrínseco. Donde inicialmente la banda de conducción está vacía y 
la anchura es en promedio E< 2𝑒𝑉 a 0°K se comporta como aislante 
 
Los más usados son el germanio (Ge) y el silicio (Si); el silicio es el más usado por ser el más 
abundante 
 
El número de portadores está en el orden de los 1028 por 
metro cubico, Cada átomo de un semiconductor tiene 4 electrones en su órbita externa 
(electrones de valencia), que comparte con los átomos adyacentes formando 4 enlaces 
covalentes. De esta manera cada átomo posee 8 electrones en su capa más externa., 
formando una red cristalina, en la que la unión entre los electrones y sus átomos es muy 
fuerte. Por consiguiente, en dicha red, los electrones no se desplazan fácilmente, y el 
material en circunstancias normales se comporta como un aislante. Sin embargo, al 
aumentar la temperatura, los electrones ganan energía, por lo que algunos pueden 
separarse del enlace e intervenir en la conducción eléctrica aportando un par electrón-hueco 
pero también no debemos dejar tener en cuenta las oscilaciones electromagnéticas que 
también son capaces de aportar energía para arrancar electrones 𝐸 = ℎ𝜈 =
ℎ𝑐
𝜆
 , cuando 
los fotones son absorbidos por los electrones 
 
De esta manera, la resistividad de un semiconductor disminuye con la temperatura (su 
conductividad aumenta). A temperatura ambiente, algunos electrones de valencia 
absorben suficiente energía calorífica para librarse del enlace covalente y moverse a través 
de la red cristalina, convirtiéndose en electrones libres. 
 
Por lo tanto 𝜎(𝑥) = 𝜎0𝑒
−
𝐸
2𝑘𝑇 
 
Si a estos electrones, se les somete al potencial eléctrico, como por ejemplo de una pila, se 
dirigen al polo positivo. Cuando un electrón libre abandona el átomo de un cristal de silicio, 
deja en la red cristalina un hueco, cuyo efecto es similar al que provocaría una carga 
positiva. Los electrones y los huecos reciben el nombre de portadores. La conducción 
eléctrica a través de un semiconductor es el resultado del movimiento de electrones (de 
http://4.bp.blogspot.com/-1_widaTsCgQ/U0E4Bk3_zJI/AAAAAAAAMvw/VzQXB5GcyqA/s1600/semiconductor+intr%C3%ADnseco.gifTeoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
carga negativa) y de los huecos (cargas positivas) en direcciones opuestas al conectarse a 
un generador. Si se somete el cristal a una diferencia de potencial se producen dos 
corrientes eléctricas: una debida al movimiento de los electrones libres de la estructura 
cristalina, y otra debida al desplazamiento de los electrones en la banda de valencia, que 
tenderán a saltar a los huecos próximos, originando una corriente de huecos. Los electrones 
libres se dirigen hacia el polo positivo de la pila (cátodo), mientras que los huecos pueden 
considerarse como portadores de carga positiva y se dirigen hacia el polo negativo de la 
pila, llamado ánodo (hay que considerar que por el conductor exterior sólo circulan los 
electrones que dan lugar a la corriente eléctrica; los huecos sólo existen en el seno del cristal 
semiconductor). 
 
Cuando la temperatura del germanio pasa de 20 a 30 grados Celsius su conductividad se 
incrementa un 50 % determinar el ancho de la banda prohibida 
 
 
 
 
 
 
 
𝜎(293) = 𝜎0𝑒
−
𝐸𝑔
2𝑘293 𝑦 𝜎(303) = 𝜎0𝑒
−
𝐸𝑔
2𝑘303 
 
 
𝜎(303)
𝜎(293)
= 
𝜎0𝑒
−
𝐸𝑔
2𝑘303
𝜎0𝑒
−
𝐸𝑔
2𝑘293
= 1,5 → ln 1,5 =
𝐸𝑔
2𝑘
(
1
293
− 
1
303
) → 𝐸𝑔 = 0,61𝑒𝑉 
 
La máxima longitud de onda 𝜆0 de una radiación que actúa sobre un LDR (semiconductor 
cuya resistencia depende de la iluminación) es 𝜆0 = 1,82 10
−6𝑚 𝑎 300 °𝐾 Hallar la 
anchura dela banda prohibida y también el aumento de temperatura necesario 
∆𝑇 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑜𝑠 300 °𝐾 para que la temperatura crezca un 20% 
 
𝐸𝑔 = ℎ𝜈 =
ℎ𝑐
𝜆
 
 
𝐸𝑔 =
ℎ𝑐
𝜆
=
6,62 10−34 3 108
1,82 10−6
= 1,0925 10−19𝐽 = 0,68 𝑒𝑉 
 
𝜎2
𝜎1
= 1,20 y también 
𝐸
2𝐾
= 3956,6 
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
Ln1,20=ln
𝜎2
𝜎1
=
𝐸𝑔
2𝐾
(
1
𝑇1
−
1
𝑇2
) = 3956,6 (
1
300
−
1
𝑇2
) → 𝑇2 = 307,3 °𝐾 
∆𝑇 = 7,3°𝐾 
Semiconductores extrínsecos 
Para mejorar las propiedades de los semiconductores, se les somete a un proceso de 
impurificación (llamado dopaje), consistente en introducir átomos de otros elementos con 
el fin de aumentar su conductividad. El semiconductor obtenido se denominará 
semiconductor extrínseco. Según la impureza (llamada dopante) distinguimos: 
 
• Semiconductor tipo P : se emplean elementos trivalentes (3 electrones de valencia) 
como el Boro (B), Indio (In) o Galio (Ga) como dopantes. Puesto que no aportan los 
4 electrones necesarios para establecer los 4 enlaces covalentes, en la red cristalina 
éstos átomos presentarán un defecto de electrones (para formar los 4 enlaces 
covalentes). De esa manera se originan huecos que aceptan el paso de electrones 
que no pertenecen a la red cristalina. Así, al material tipo P también se le denomina 
donador de huecos (o aceptador de electrones). 
 
 
 
• Semiconductor tipo N: Se emplean como impurezas elementos pentavalentes (con 
5 electrones de valencia) como el Fósforo (P), el Arsénico (As) o el Antimonio (Sb). El 
donante aporta electrones en exceso, los cuales al no encontrarse enlazados, se 
http://2.bp.blogspot.com/-Vif-uvn0FFE/U0E4NlzEfKI/AAAAAAAAMv4/idYErzwDqDc/s1600/Semiconductor+tipo+P.gif
http://1.bp.blogspot.com/-1rcy89V7hn0/U0E4OyEKlyI/AAAAAAAAMwA/AskRx7QEAnE/s1600/semiconductor+tipo+N.gif
Teoría cuántica de los electrones en redes cristalinas periódicas 
moverán fácilmente por la red cristalina aumentando su conductividad. De ese 
modo, el material tipo N se denomina también donador de electrones.