Ejercicio de distribución Maxwell Boltzmann II

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Ejercicio de distribución Maxwell Boltzmann 
 
 
 
4.1 Un sistema está compuesto de 4000 partículas que pueden 
estar en uno de los tres niveles o estados de energía 
igualmente espaciados cuyas energías son 0, E y 2E y que 
tienen la misma probabilidad intrínseca g. Este sistema 
podría, por ejemplo, consistir en átomos de momento angular 
total igual a 1 colocados en un campo magnético. 
a) Comparar la probabilidad relativa de la partición en que hay 
2000 partículas en el nivel inferior, 1700 en el intermedio y 
300 en el superior, con la de la partición resultante de la 
transferencia de dos partículas del nivel intermedio, una al 
inferior y otra al superior, procesos que compatible con la 
conservación de la energía. 
b) Determinar la partición más probable o de equilibrio 
para el sistema 
c) Determinar la temperatura asociada al sistema si E = 1 eV. 
d) Compare ahora la probabilidad de la partición más probable 
con aquella en la que la partición consiste en sacar dos 
partículas del nivel intermedio de la partición de equilibrio, y 
colocar una en el nivel inferior y otra en el nivel superior 
(proceso también compatible con la conservación de la 
energía). Rtas. b) {2277; 1146; 577} 
 
 
2𝐸---------------------------------------------------------𝑛3 
 
𝐸---------------------------------------------------------𝑛2 
 
 
0-----------------------------------------------------------𝑛1 
 
CALCULAMOS LAS PROBABILIDADES DE LA PARTICION 
𝑃1 =
𝑔4000
2000! 1700! 300!
 𝑦 𝑃2 =
𝑔4000
2001! 1698! 301!
 
 
𝑃2
𝑃1
=
𝑔4000
2001! 1698! 301!
 
2000! 1700! 300!
𝑔4000
 
 
𝑃2
𝑃1
=
𝑔4000
2001.2000! 1698! 301. 300!
 
2000! 1700.1699.1698! 300!
𝑔4000
 
 
 
 
𝑃2
𝑃1
=
𝑔4000
2001.2000! 1698! 301. 300!
 
2000! 1700.1699.1698! 300!
𝑔4000
 
 
 
𝑃2
𝑃1
=
1700.1699
2001.301
 = 4,8 
 
 
𝑃2
𝑃1
= 4,8 
Esto significa que está lejos de la partición más probable el hecho de que 
pasemos una partícula del nivel medio al superior y el inferior cambio la 
probabilidad 
 
 
Determinamos la partición más probable 
 
Aplicamos las expresiones de conservación 
∑ 𝑛𝑖 = 𝑔𝑖𝑒
−𝛼 
 
∑ 𝐸𝑖 = ∑ 𝑛𝑖𝐸𝑖 
 
𝑛1 = 𝑔𝑒
−𝛼 𝑛2 = 𝑔𝑒
−𝛼−𝛽𝜀 𝑛3 = 𝑔𝑒
−𝛼−2𝛽𝜀 
 
𝑛2 = 𝑔𝑒
−𝛼𝑥 
 
 𝑆𝑖 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 = 𝑒−𝛽𝜀 
 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛2 = 𝑛1𝑥 𝑛3 = 𝑛1𝑥
2 
𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 4000 
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛1 + 𝑛1𝑥 + 𝑛1𝑥
2 = 4000 
 
Y también sabemos que 
 
𝑛1𝑥𝐸 + 𝑛1𝑥
22𝐸 = 2300𝐸 
 
 
 𝑛1𝑥𝐸 + 𝑛1𝑥
22𝐸 = 2300𝐸 
 
Tenemos dos expresiones 
 
𝑛1𝑥 + 2𝑛1𝑥
2 = 2300 
 
𝑛1 + 𝑛1𝑥 + 𝑛1𝑥
2 = 4000 
 
 
 
Resolviendo, dividiendo miembro 
 
𝑛1(𝑥 + 2𝑥
2)
𝑛1(1 + 𝑥 + 𝑥
2)
=
2300
4000
 
 
 
2𝑥2 + 𝑥
𝑥2 + 𝑥 + 1
=
23
40
 
 
 
Obtenemos la ecuación 
 
47𝑥2 + 17𝑥 − 23 = 0 
 
 
Si usamos la solucion positiva 𝑥 = 0,5034 
 
Reemplazando en 
 
 𝑛1 + 𝑛1𝑥 + 𝑛1𝑥
2 = 4000 → 𝑛1 = 2277 
Y tambien 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑛2 = 𝑛1𝑥 𝑛3 = 𝑛1𝑥2 
 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
 𝑛1 = 2277 
 𝑛2 = 1146 𝑦 𝑛3 = 577 
 
Veamos que sucede si nos alejamos de la particion 
 
 
𝑃1 =
𝑔4000
2277! 1146! 577!
 𝑦 𝑃2 =
𝑔4000
2278! 1144! 578!
 
 
𝑃2
𝑃1
=
𝑔4000
2278! 1144! 578!
 
2277! 1146! 577!
𝑔4000
 
 
𝑃2
𝑃1
=
𝑔4000
2278.2277! 1144! 578.577!
 
2277! 1146.1145.1144! 577!
𝑔4000
 
 
 
𝑃2
𝑃1
=
𝑔4000
2278.2277! 1144! 578.577!
 
2277! 1146.1145.1144! 577!
𝑔4000
 
 
 
 
 
 
 
𝑃2
𝑃1
=
1146.1145
2278.578
 = 0,9666 
 
 
𝑃2
𝑃1
= 0,9666