Formalismo matemático - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Formalismo
matemático
En fundamentos de las matemáticas,
filosofía de las matemáticas y filosofía de
la lógica, el formalismo matemático es
una teoría que sostiene que las
proposiciones de las matemáticas y la
lógica pueden considerarse como
declaraciones sobre las consecuencias de
ciertas reglas de manipulación de
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Fundamentos_de_las_matem%C3%A1ticas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_las_matem%C3%A1ticas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_l%C3%B3gica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Proposiciones
símbolos o términos o cadena de
caracteres.[1] [2] 
Por ejemplo, la geometría euclidiana
puede ser visto como un juego de lenguaje
cuyo objetivo consiste en mover ciertas
cadenas de símbolos (llamados axiomas)
de acuerdo con un conjunto de reglas
llamadas reglas de inferencia para generar
nuevas cadenas. En este juego se puede
demostrar o probar que el teorema de
Pitágoras es válido porque la cadena que
representa el teorema de Pitágoras se
puede construir usando sólo las reglas
establecidas.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolos
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Cadena_de_caracteres
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Wittgenstein#Segundo_Wittgenstein:_las_Investigaciones_filos.C3.B3ficas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_inferencia
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Verdad_l%C3%B3gica
De acuerdo con el formalismo, las
"verdades" expresadas en la lógica y las
matemáticas no son acerca de los
números, series, o triángulos o cualquier
otra materia específica — de hecho, no son
"sobre" nada en absoluto. Son formas
sintácticas cuyos contenidos o
significados o referencias (ver Sobre el
sentido y la referencia) no existen a menos
que se les de una interpretación (o
semántica).
En la actualidad algunos[3] —siguiendo a
Michael Resnik[4] — clasifican el
formalismo en "formalismo de juego".
"Formalismo de términos" (aquel en el cual
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Sintaxis
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Significado
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Referencia
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Sobre_el_sentido_y_la_referencia
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Sem%C3%A1ntica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Michael_Resnik
los términos (axiomas) solo se denotan a
sí mismos y de ellos se deriva
proposiciones, pero sin pronunciarse
acerca de la realidad ontológica de los
mismos; lo que se busca no es prueba de
existencia, pero coherencia. etc.
A partir de la década de los 80 del siglo ��,
algunos han propuesto que todo nuestro
conocimiento matemático formal debe ser
sistemáticamente codificados en
formatos legibles por un ordenador, a fin
de facilitar la comprobación o chequeo
automatizadas de las demostraciones
matemáticas; la Demostración automática
de teoremas y el uso de Demostración
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ordenador
https://es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Comprobaci%C3%B3n_o_chequeo_automatizadas_de_las_demostraciones&action=edit&redlink=1
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_autom%C3%A1tica_de_teoremas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_interactiva_de_teoremas
interactiva de teoremas en el desarrollo de
las teorías matemáticas y programas
informáticos. Debido a su estrecha
relación con la informática, esta idea
también es atractiva a matemáticos
logicistas; intuicionistas y constructivistas
de la tradición de la "computabilidad"[5] 
(ver también Proyecto Mizar,[6] la
biblioteca matemática que contiene la
colección más grande del mundo de obras
matemáticas estrictamente formalizadas
y computarizadas.) (pero ver más abajo).
Se ha sugerido que la adopción del punto
de vista formalista exime a los
matemáticos de la necesidad de
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_interactiva_de_teoremas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Logicismo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Intuicionismo_matem%C3%A1tico
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Constructivismo_(matem%C3%A1ticas)
https://es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecto_Mizar&action=edit&redlink=1
preocuparse por cuestiones de los
“fundamentos de las matemáticas” y
proceder como si estos asuntos hubieran
sido resueltos o carecieran de interés
matemático. Muchos agregan que, en la
práctica, los sistemas axiomáticos que se
estudian son sugeridos por las exigencias
de la ciencia en cada caso particular.
Aun cuando la idea básica de la
formalización de los términos lógico-
matemáticos tiene una trayectoria
bastante larga,[7] y por lo menos en parte
debido a la llamada crisis de los
Historia y evolución del
concepto
fundamentos de las matemáticas, hacia
finales del siglo ��� comenzó a tomar
arraigo la tesis que es posible definir las
matemáticas como el resultado de la
manipulación de símbolos de acuerdo a
ciertas reglas. Por ejemplo, en 1898, se
propuso que:
«En la concepción
formalista la aritmética
es un juego con signos
que se llaman vacíos,
con lo cual se quiere
decir que no tienen otro
contenido (en el juego
de cálculo) que el que se
les asigna en relación a
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Signos
https://es.m.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
su comportamiento bajo
ciertas reglas de
combinación (reglas del
juego). El jugador de
ajedrez hace un uso
similar de sus piezas ...
Por supuesto que hay
diferencias importantes
entre el ajedrez y la
aritmética. Las reglas
del ajedrez son
arbitrarias, mientras
que el sistema de reglas
de la aritmética es tal
que los números pueden
ser referidos a
variedades [conjuntos]
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Combinatoria
de la intuición por
medio de axiomas
simples y con ello nos
proporcionan
importantes
contribuciones en el
conocimiento de la
naturaleza.»
Johannes Thomae
(1840-1921)[8] 
Generalmente se considera que el
fundador del formalismo moderno es
David Hilbert.[9] Hacia fines del siglo ��� y
comienzos del �� el interés de Hilbert era
la construcción axiomática; consistente y
completa de la totalidad de las
https://es.m.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Consistencia_(l%C3%B3gica)
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Completitud_sem%C3%A1ntica
matemáticas,[10] seleccionando como
punto de partida los números naturales y
asumiendo que mediante el uso de
axiomas se obvía la necesidad de definir
los objetos básicos (op. cit) con el fin de
lograr un sistema completo y consistente.
(nótese que en lo anterior Hilbert
considera el cálculo como Cálculo lógico,
llevando a cabo inferencias (no necesaria
o exclusivamente deductivas) a partir de
una concepción axiomática de los
números naturales, concepción que toma
esos números como evidentes en la
medida que solo se refieren a sí mismos.-
ver Programa de Hilbert).
https://es.m.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://es.m.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_l%C3%B3gico
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Programa_de_Hilbert
Sin embargo el optimismo en la
"implementabilidad" del proyecto fue de
corta duración, debido al teorema de
incompletitud de Gödel, que demostró que
cualquier sistema de axiomas que incluya
los números naturales es ya sea
incompleto o contradictorio.
A pesar de lo anterior, Alfred Tarski retomó
el concepto, pero introduciendo la idea
que el estatus (corrección, validez, etc) de
una prueba o demostración es relativa a
los axiomas elegidos para expresar la
teoría en cuestión.[11] Tarski comenzó -en
la década del 30 del siglo ��- buscando
redifinir ciertos conceptos semánticos (en
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_incompletitud_de_G%C3%B6del
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski
particular, el de Verdad(ver aquí), con el
fin último de construir un sistema formal
axiomático que permitiera la
reformulación de teoremas en el lenguaje
de ese sistema, eliminando así los
problemas.[12] Es generalmente aceptado
que en ese proyecto Tarski transformó
radicalmente el sistema
"metamatematico" de Hilbert, mostrando,
entre otras cosas, que las consecuencias
lógicas de un argumento siguen de ese
argumento si y solo si cada modelo de las
premisas es un modelo de las
conclusiones.[13] (lo anterior se puede
resumir en lo que Jaakko Hintikka llama
los "teoremas de inconsistencia y la
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Verdad
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Verdad#Alfred_Tarski
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Jaakko_Hintikka
imposibilidad", la proposición que
conceptos tales como "verdad" no pueden
ser usados en lenguajes de primer orden
(digamos por ejemplo: el común y
corriente) sin caer en inconsistencias.
Esos conceptos solo pueden ser definidos
y usados en un "metalenguaje".
Eventualmente Tarski creyó que la manera
de resolver el problema en matemáticas
es basar la totalidad de las matemáticas
en el álgebra.[14] )
Uno de los estudiantes más conocidos de
Hilbert fue John von Neumann quien, en
1931,[15] buscó presentar el formalismo
como una síntesis dialéctica de la tesis
https://es.m.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
https://es.m.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Dialectica#Dial.C3.A9ctica_de_la_filosof.C3.ADa_cl.C3.A1sica_alemana
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Tesis
logicista y la antítesis intuicionista. Von
Neumann promovió el uso de modelos
matemáticos que, explícitamente, buscan
ser coherentes con el conjunto de
axiomas de la teoría, cualquiera sean esos
axiomas (ver Teoría de juegos). Estos
trabajos resultaron de mayor importancia
para desarrollos científicos
contemporáneos,[16] desde la
economía[17] a la mecánica cuántica.[18] 
(ver Postulados de la mecánica cuántica).
Rudolf Carnap[19] [20] confronta
directamente el problema generado por
los teoremas de Gödel,[21] buscando
resolverlo por medio del llamado "Principio
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Logicismo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ant%C3%ADtesis
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_las_matem%C3%A1ticas#Intuicionismo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Modelos_matem%C3%A1ticos
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Postulados_de_la_mec%C3%A1nica_cu%C3%A1ntica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Rudolf_Carnap
de tolerancia":[22] En lógica, no hay moral.
Todo el mundo es libre de construir su
propia lógica, es decir, su propia forma de
lenguaje, como quiera. [énfasis de Carnap]
. Carnap extiende esa tolerancia a las
matemáticas: "La actitud tolerante aquí se
sugiere es, en cuanto a los cálculos
matemáticos especiales se refiere, la
actitud que es tácitamente compartida por
la mayoría de los matemáticos."
Adicionalmente Carnap busca eliminar
totalmente la relevancia del significado
para las matemáticas. La corrección
(nótese el término) de un teorema es
decidida no en relación con
consideraciones o algún conjunto de
reglas "externas" sino en relación con las
que se eligen para el sistema específico
del cual el teorema se deriva, el único en el
cual tiene sentido.[23] 
También de mayor importancia fue (es?) la
contribución del grupo Bourbaki en favor
de exigir rigor y promover el uso del
método axiomático.[24] A partir de esto, el
formalismo llegó, de facto, a constituir la
posición más aceptada entre los
matemáticos hasta el último cuarto del
siglo ��: "Los años setenta vieron decaer
la tendencia formalista, representada por
el grupo Bourbaki, seudónimo de varias
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki
https://es.m.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_axiom%C3%A1tico
generaciones de matemáticos
franceses."[25] 
Sin embargo el formalismo todavía ejerce
gran influencia, parte a través del "legado"
de lo anterior pero también por medio de
su importancia, quizás fundamental, en el
desarrollo de la Informática,
específicamente, los lenguajes de
programación, a través del trabajo de
Haskell Curry, generalmente considerado
el fundador de la lógica combinatoria.
Aun cuando ni Bertrand Russell ni Alfred
North Whitehead fueron realmente
formalistas (sino más bien logicistas) la
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Haskell_Curry
https://es.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_combinatoria
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Alfred_North_Whitehead
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Logicismo
publicación, en 1910, por esos autores de
Principia mathematica fue generalmente
percibida como un gran avance en el
intento de derivar los conocimientos
matemáticos de la época a partir de un
conjunto de principios o axiomas.
Deductivismo
Esta sección es un extracto de Deductivismo.
En filosofía de las matemáticas, el
deductivismo, o a veces si-entoncismo
(del inglés if-thenism), es una variante del
formalismo que propone que el trabajo del
matemático consiste en derivar
proposiciones a partir de la asunción de
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Principia_mathematica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Deductivismo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_las_matem%C3%A1ticas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Deductivismo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Proposiciones
que ciertas otras son correctas (si A,
entonces B).[26] Tradicionalmente se ha
asumido que esas proposiciones básicas
(o axiomas) son o deberían ser
indudablemente correctas. Pero eso no es
ni necesariamente correcto ni necesario.
No es necesario porque la matemática no
necesita fundaciones indudables,[27] y no
es necesariamente correcto porque, de
hecho, la matemática trabaja
perfectamente (especialmente en el área
de las matemáticas aplicadas) sobre la
base que los axiomas son
presumiblemente correctos y
presumiblemente coherentes y que las
inferencias que siguen de esos
presumibles axiomas son
presumiblemente posibles (en el sentido
que se puede crear un modelo
matemático a partir de ellas).[28] 
Los deductivistas requieren que toda y
cada prueba matemática sea una
deducción. Ellos reconocen que no todas
tales pruebas son estrictamente válidas
(véase Validez (epistemología) y Validez
(lógica)) pero consideran que toda prueba
informal debe ser completable como
deducción para ser considerada válida.[29] 
Por ejemplo, el deductivismo considera
que el teorema de Pitágoras no es
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1tico
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_deductivo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Validez_(epistemolog%C3%ADa)
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Validez_(l%C3%B3gica)
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
verdadero sin más, sino solo en relación
con ciertos supuestos. Si a las cadenas se
les asignan significados, de tal manera
que los axiomas sean verdaderos y reglas
de inferencia sean válidas, entonces se
obtienen «conclusiones ciertas», tales
como el teorema de Pitágoras. En este
sentido, el formalismo no sigue siendo
obligatoriamente un juego simbólico sin
sentido. El matemático puede confiar, en
cambio, que existe una interpretación de
las cadenas de caracteres sugerida por
ejemplo por la física o por otras ciencias
naturales, tal que las reglas conduzcan a
«afirmaciones verdaderas». Por lo tanto un
matemático deductivista se puede
mantener al margen tanto de la
responsabilidad por la interpretación
como de las dificultades ontológicas de
los filósofos.
En 1967, Hilary Putnam[30] revivió una
idea de Bertrand Russell —el «si-
entoncismo» (if-thenism[31] )— e introdujo
el deductivismo[32] como una respuesta aalgunos problemas con el logicismo en
Principia Mathematica.[33] Putnam
propone considerar las matemáticas
como el estudio de las consecuencias de
los axiomas, usando teoría de modelos.
En consecuencia interpreta las
proposiciones matemáticas como
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Hilary_Putnam
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Bertrand_Russell
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_modelos
refiriéndose a un posible modelo para
esas proposiciones. A diferencia de la
sugerencia logicista de Russell y otros, el
deductivismo basa y transforma la
matemática en una lógica con un sentido
mucho más amplio que el sentido
logicista. La lógica deductivista incluye,
por ejemplo, la teoría de conjuntos
necesaria para estudiar las consecuencias
que siguen de axiomas.[34] El logicismo
podría ser solo una versión del
deductivismo, usando una concepción
más restrictiva de la lógica
matemática.[29] 
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
Según Putnam, si bien la condición de
veracidad (o corrección) de esas verdades
se satisface (o demuestra) mostrando que
constituyen un modelo de ese conjunto de
axiomas (es decir, constituyen un caso
ejemplar de tales axiomas), el de los
axiomas solo puede ser asumido,[35] y por
lo tanto el todo está expuesto a error. «Las
matemáticas pueden estar erradas, y no
sólo en el sentido de que las pruebas
podrían ser falaces o que los axiomas
podrían no ser (si reflexionamos más
profundamente) realmente evidentes. Las
matemáticas (o, más bien, una teoría
matemática) podría estar equivocado en
el sentido de que los axiomas "evidentes"
podrían ser falsos, y los axiomas que son
verdaderos pueden no ser "evidentes" en
absoluto. Pero esto no hace que la
búsqueda de la verdad matemática sea
imposible más de lo que lo ha hecho en la
ciencia empírica, ni tampoco significa que
no debemos confiar en nuestra intuición
cuando no tenemos nada mejor para
continuar.»[32] 
Para que una teoría T cualquiera sea
formalizable, esta requiere constituir un
sistema axiomatizado[36] 
Proceso de formalización
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Sistema_axiom%C3%A1tico
La constitución de un sistema axiomático
(o axiomatización de una teoría) es la
selección, para esa teoría, de un conjunto
de proposiciones que serán consideradas
como básicas (es decir, desde las cuales
se puede, en principio, derivar el resto de
las proposiciones que constituyen el
cuerpo de la teoría) y evidentes o no
demostrables[37] (ver axioma)
Ejemplos de teorías axiomatizadas son: la
geometría plana con los axiomas de
Euclides, la aritmética (teoría de números)
con los axiomas de Peano, la teoría de
conjuntos con los axiomas de Zermelo-
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axioma
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Euclides
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel
Fraenkel, la teoría de probabilidades con
los axiomas de Kolmogórov, etc.
A partir de lo anterior, y restringiéndonos
sólo a lógica de primer orden, se escoge
un lenguaje L de primer orden apropiado
para T. (específicamente un Lenguaje
formalizado). El vocabulario para un
lenguaje de primer orden formalizado
consiste de cinco componentes o
términos. Cuatro de ellos son siempre los
mismos y no dependen de la teoría T.
Estos primeros cuatro términos son:
1. Una lista enumerable de variables:
Su número puede ser infinito, pero de
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Zermelo-Fraenkel
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Kolmog%C3%B3rov
https://es.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_de_primer_orden
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_primer_orden
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_formalizado
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Enumeraci%C3%B3n
cardinal igual a , el cardinal de los
números naturales.
2. Los símbolos para las conectivas: (¬)
para la negación, (∧) para la
conjunción, (∨) para la disyunción (o
inclusivo), (→) para la implicación y
(↔) para la equivalencia o doble
implicación. Estas conectivas son
realmente las mismas de nuestro
lenguaje usual.
3. El signo para la igualdad matemática
(=) imprescindible en la notación
matemática.
4. Los Cuantificadores: ( ∀ ) universal y
( ∃ ) el existencial.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_cardinal
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Alef_cero
https://es.m.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Cuantificador
5. Los término (o parámetros)
indefinidos (o "primitivos"). Dado que
T es, ahora, una teoría axiomatizada,
T trae implícita o explícitamente,
ciertos «términos indefinidos» extras
a los anteriores — a veces también
denominados elementos primitivos —
a los que generalmente se les asigna
sendos símbolos. Estos símbolos,
uno por cada término indefinido de la
teoría T, usualmente se denominan
parámetros del lenguaje de primer
orden L. Este conjunto de símbolos
corresponde al quinto término del
vocabulario de nuestro lenguaje L
para la teoría T. Por ejemplo, entre los
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Concepto_primitivo
términos indefinidos de la geometría
plana de Euclides, aparece punto,
recta, interestancia, incidencia, etc. y
para cada uno de ellos usamos
símbolos apropiados para completar
el vocabulario del lenguaje de primer
orden L.
Otros ejemplos: Entre los términos
indefinidos de la aritmética, en la
axiomatización de Peano, aparece cero,
suma y multiplicación, y para ellos uno
escoge como sus símbolos, 0, + y ×
respectivamente. La teoría de conjuntos
más fácil de formalizar es, la de Fraenkel-
Zermelo (FZ), por cuanto que esta teoría,
no tiene sino un solo término indefinido,
esto es, la relación de pertenencia que
simbolizamos como " ".
Puesto que los parámetros son los únicos
símbolos en el vocabulario de un lenguaje
de primer orden que dependen de la teoría
previamente axiomatizada T, entonces,
uno formaliza T simplemente escogiendo
estos parámetros. Una vez hecha esta
“selección”, la totalidad de la teoría T
queda formalizada. Se puede ahora
expresar en el lenguaje de primer orden
resultante L, no sólo los axiomas,
definiciones y teoremas de T, si no mucho
más. Se puede expresar en ese lenguaje L
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_pertenencia
todos los axiomas de la lógica clásica y
desde luego, también toda la
argumentación que uno usa en la prueba
de los teoremas de la teoría T.
Resumiendo, se puede ahora proseguir
enteramente con L; es decir,
“formalmente”.
En 1993/4 surgió el proyecto QED[38] 
(principalmente bajo el impulso de Robert
S. Boyer): la propuesta de creación de una
base de datos informatizada de todo el
conocimiento matemático, estrictamente
formalizado y con todas las pruebas
Desarrollos en la
automatización
https://es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecto_QED&action=edit&redlink=1
https://es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_S._Boyer&action=edit&redlink=1
habiendo sido verificados de forma
automática.
Para este proyecto se creó una “ lista de
correo” en la internet y se organizaron dos
conferencias: La primera tuvo lugar, en
1994, en el Laboratorio Nacional Argonney
la segunda, en 1995, en Varsovia,
organizada por el grupo Mizar.[39] 
Sin embargo, y a partir de 1996, el
proyecto parece haber cesado sus
actividades. En un artículo de 2007, Freek
Wiedijk identifica dos razones para el
fracaso del proyecto.:[40] 
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Laboratorio_Nacional_Argonne
Muy pocos están trabajando en la
formalización de las matemáticas. No
hay una aplicación atractiva para las
matemáticas totalmente mecanizadas.
Las matemáticas formalizadas aún no
se parecen a las matemáticas reales,
tradicionales. Esto es enparte debido a
la complejidad de la notación
matemática, y en parte a las
limitaciones de los demostradores de
teoremas y asistente de demostración
existentes. El documento concluye que
los principales contendientes, el
sistema Mizar, los Demostradores de
teoremas HOL (por ejemplo, Isabelle) y
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_autom%C3%A1tica_de_teoremas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_interactiva_de_teoremas
https://es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistema_Mizar&action=edit&redlink=1
https://es.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Demostradores_de_teoremas_HOL&action=edit&redlink=1
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Demostrador_de_teoremas_Isabelle
el sistema interactivo Coq, tienen graves
deficiencias en su capacidad para
expresar las matemáticas.
Aun así se proponen regularmente
proyectos del tipo QED, y la biblioteca
Mizar ha logrado formalizar una gran parte
de las matemáticas de pregrado. A partir
de 2007, es la mayor tal biblioteca.[41] 
Lógica matemática
Teoría de categorías
Teoría de conjuntos
Teoría de la demostración
Teoría de modelos
Véase también
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Coq
https://es.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_categor%C3%ADas
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_demostraci%C3%B3n
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_modelos
Metamatemática
Método formal
Método hipotético-deductivo
Teoría de tipos
Ruiz Z; Angel: 26.3 El formalismo (http
s://web.archive.org/web/200904140211
53/http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libr
os/Historia%20y%20Filosofia/Parte7/Ca
p26/Parte03_26.htm)
Ledesma Pereña, Nicasio: La
Matemática Moderna: Entre el
formalismo modificado de Cavaillès y el
platonismo estructural de Lautman. (htt
Bibliografía
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Metamatem%C3%A1tica
https://es.m.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_formal
https://es.m.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_hipot%C3%A9tico-deductivo
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_tipos
https://web.archive.org/web/20090414021153/http://www.cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte7/Cap26/Parte03_26.htm
http://fondosdigitales.us.es/tesis/tesis/852/la-matematica-moderna-entre-el-formalismo-modificado-de-cavailles-y-el-platonismo-estructural-de-lautman/
p://fondosdigitales.us.es/tesis/tesis/85
2/la-matematica-moderna-entre-el-form
alismo-modificado-de-cavailles-y-el-plat
onismo-estructural-de-lautman/)
Corry; Leo: David Hilbert and the
Axiomatization of Physics (1894-1905)
(http://tau.ac.il/~corry/publications/arti
cles/pdf/hilbert.pdf)
Weir, Alan: Formalism in the Philosophy
of Mathematics (http://plato.stanford.ed
u/entries/formalism-mathematics/) en
Stanford Encyclopedia of Philosophy (en
Idioma inglés)
Weir; Alan: A Neo-Formalist Approach to
Mathematical Truth (http://www.bu.edu/
http://fondosdigitales.us.es/tesis/tesis/852/la-matematica-moderna-entre-el-formalismo-modificado-de-cavailles-y-el-platonismo-estructural-de-lautman/
http://tau.ac.il/~corry/publications/articles/pdf/hilbert.pdf
http://plato.stanford.edu/entries/formalism-mathematics/
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Stanford_Encyclopedia_of_Philosophy
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9s
http://www.bu.edu/wcp/Papers/Math/MathWeir.htm
wcp/Papers/Math/MathWeir.htm) (en
Idioma inglés)
1. Weir, Alan: Formalism in the
Philosophy of Mathematics (http://plat
o.stanford.edu/archives/fall2011/entri
es/formalism-mathematics/) , The
Stanford Encyclopedia of Philosophy
(Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta
(ed.)
2. Hourya Benis Sinaceur Tarski’s
Practice and Philosophy: Between
Formalism and Pragmatism (http://lin
k.springer.com/chapter/10.1007/978-
1-4020-8926-8_16?LI=true#page-1)
Referencias
http://www.bu.edu/wcp/Papers/Math/MathWeir.htm
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Idioma_ingl%C3%A9s
http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/formalism-mathematics/
http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4020-8926-8_16?LI=true#page-1
3. Weir, Alan: Formalism in the
Philosophy of Mathematics (http://plat
o.stanford.edu/archives/fall2011/entri
es/formalism-mathematics/) , The
Stanford Encyclopedia of Philosophy
(Fall 2011 Edition), Edward N. Zalta
(ed.)
4. M Resnik (1980): "Frege and the
Philosophy of Mathematics"
5. Ver, por ejemplo: Adam Grabowski y
Adam Naumowicz (2009) Preface a
Computer Reconstruction of the Body
of Mathematics (http://logika.uwb.ed
u.pl/studies/vol31.html) Volume
http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/formalism-mathematics/
http://logika.uwb.edu.pl/studies/vol31.html
18(31) de STUDIES IN LOGIC,
GRAMMAR AND RHETORIC
�. «Mizar Project Home Page» (http://miz
ar.uwb.edu.pl/project/) . Consultado el
4 de abril de 2017.
7. Ver, por ejemplo . Pedro Angulo L:
Formalismo Matemático y
Epistemología ( Parte 1) (http://www.x
ing.com/net/mathe/didactica-536990/
formalismo-matematico-y-epistemolo
gia-parte-1-34552535)
�. Citado por Douglas M. Jesseph
(1993): Berkeley's Philosophy of
Mathematics (http://books.google.es/
books?id=47bDRl61NDsC&printsec=fr
http://mizar.uwb.edu.pl/project/
http://www.xing.com/net/mathe/didactica-536990/formalismo-matematico-y-epistemologia-parte-1-34552535
http://books.google.es/books?id=47bDRl61NDsC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
ontcover#v=onepage&q&f=false) , p
107
9. Diego Pareja H (2008): "el concepto
moderno de formalismo que incluye
las técnicas del razonamiento finitista
debemos atribuirlo a Hilbert y a sus
discípulos." en 5. 8 – David Hilbert y el
formalismo. (http://www.matematicas
yfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%
202009/David%20HIlbert%20y%20el%
20Formalismo.pdf) Razonamientos
finistas son aquellos "razonamientos
absolutamente seguros y libres de
cualquier clase de sospecha" (ibid)
http://books.google.es/books?id=47bDRl61NDsC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%202009/David%20HIlbert%20y%20el%20Formalismo.pdf
10. Ferran Mir S (2006) : "La conocida
intervención de David Hilbert (1862-
1943) en el Congreso Internacional de
Paris de 1900, en la que planteo los 23
problemas matemáticos a resolver
durante el siglo XX, iba mucho más
allá de la mera relación de dichos
problemas. La convicción claramente
expresada por Hilbert de que todo
problema ha de tener su solución
basada en la pura razón [6, Pags. 125
y ss.]: "En las matemáticas no existe el
ignorabimus". Un año antes, Hilbert
había publicado su Grundlagen der
Geometrie, en el que establecía los
axiomas a partir de los cuales podía
desarrollarse, mediante pura
deducción, toda la disciplina en todas
sus variantes, tanto euclideas como
no euclideas. Mediante este ideal
axiomático podía construir un
raciocinio sobre objetos que no
necesitaba definir; al contrario de
Euclides que había precisado de una
definición (intuitiva) de los objetos
básicos (punto, línea, plano, etc.). El
hecho de prescindir de las definiciones
de los objetos básicos, hace que se le
haya reprochado la reducción de las
matemáticas al estudio de las simples
relaciones entre objetos abstractos: un
puro juego con símbolos. La
combinación del ideal axiomático con
la convicción de que todo problema
debe tener solución, conducirá en los
años sucesivos a la idea de completud
del sistema axiomático. En los
primeros años del siglo XX, esta idea
es todavía vaga [13, P·g. 151], pero
esta claro que Hilbert considera que
desde un reducido grupo de axiomas
pueden derivarse la totalidad de los
teoremas aceptados en las
matemáticas ordinarias. También esta
presente la idea de simplicidad: el
conjunto de axiomas ha de ser lo más
reducido posible y deben ser
independientes unos de otros." en LA
https://web.archive.org/web/20120731191214/http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/PTE20.pdf
POLEMICA INTUICIONISMO
FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. (http
s://web.archive.org/web/20120731191214/http://personal.telefonica.terra.e
s/web/mir/ferran/PTE20.pdf)
11. H. B. Sinaceur (2009): 2.2 Tarski's
versión of Formalism en Logicism,
Intuitionism, and Formalism: What Has
Become of Them? (http://books.googl
e.es/books?id=leeNa6ncWUYC&prints
ec=frontcover#v=onepage&q&f=fals
e) Sten Lindström et al, edtrs. pp 375-
6
12. Ver Gómez-Torrente, Mario, Alfred
Tarski (http://plato.stanford.edu/archiv
https://web.archive.org/web/20120731191214/http://personal.telefonica.terra.es/web/mir/ferran/PTE20.pdf
http://books.google.es/books?id=leeNa6ncWUYC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/tarski/
es/fall2012/entries/tarski/) , en The
Stanford Encyclopedia of Philosophy
(Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta
(ed.)
13. Tarski (1936) : "On the concept of
logical consequence"
14. Para todo esto, ver J Hintikka (2004):
ON TARSKI’S ASSUMPTIONS (http://lin
k.springer.com/content/pdf/10.1007%
2Fs11229-005-3720-0)
15. J. von Neumann (1931) "The Formalist
Foundations of Mathematics"
1�. Para todo esto, ver Robert Leonard
(2010): Von Neumann, Morgenstern,
and the Creation of Game Theory:
http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/tarski/
http://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs11229-005-3720-0
http://books.google.es/books?id=0jtshKUhuBkC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
From Chess to Social Science, 1900-
1960 (http://books.google.es/books?i
d=0jtshKUhuBkC&printsec=frontcover
#v=onepage&q&f=false)
17. Sandye Gloria-Palermo (2010):
Introducing Formalism in Economics:
The Growth Model of John von
Neumann (http://www.doiserbia.nb.rs/
img/doi/1452-595X/2010/1452-595X1
002153G.pdf)
1�. P. Jordan, J. v. Neumann and E.
Wigner: (1933): On an Algebraic
Generalization of the Quantum
Mechanical Formalism (http://www.jst
or.org/stable/1968117) Annals of
http://books.google.es/books?id=0jtshKUhuBkC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
http://www.doiserbia.nb.rs/img/doi/1452-595X/2010/1452-595X1002153G.pdf
http://www.jstor.org/stable/1968117
Mathematics.- Second Series, Vol. 35,
No. 1 (Jan., 1934), pp. 29-64
19. Carnap, Rudolf, 1934/37, Logische
Syntax der Sprache, Vienna: Springer.
Sin traducción al castellano
20. Para una introducción a esta materia,
ver Thomas Ricketts : "Frege, Carnap
and Quine: Continuities and
Discontinuities" en Carnap Brought
Home: The View from Jena (http://boo
ks.google.es/books?id=MjpCW-TYKS8
C&printsec=frontcover#v=onepage&q
&f=false) Steve Awodey, Carsten Klein
(2005) Edtrs, p 181 y sig (esp p 191 y
sig
http://books.google.es/books?id=MjpCW-TYKS8C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
21. Para una examinacion de estos
asuntos, ver S. Awodey y A. W. Carus:
"How Carnap Could Have Replied to
Godel. en Carnap Brought Home: The
View from Jena (http://books.google.e
s/books?id=MjpCW-TYKS8C&printsec
=frontcover#v=onepage&q&f=false)
Steve Awodey, Carsten Klein (2005)
Edtrs, pp 203-224
22. T Ricketts (op. cit, p 191): "Carnap
llega a creer que ninguna tentativa de
formular el principio de las inferencias
demostrativas (probatorias) y mostrar
que formulaciones alternativas son ya
sea variables de notación o
http://books.google.es/books?id=MjpCW-TYKS8C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
incorrectas puede tener éxito. La
tentativa de lograrlo conduce a un
estéril debate entre las escuelas de
lógicos, demasiado reminescentes de
los debates que, a los ojos de Carnap,
marcan mucho de la historia de la
filosofía"
23. Para todo esto, ver Weir, Alan, 4.
Formalism and the Positivists en
Formalism in the Philosophy of
Mathematics (http://plato.stanford.ed
u/archives/fall2011/entries/formalism
-mathematics/) , The Stanford
Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011
Edition), Edward N. Zalta (ed.)
http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/formalism-mathematics/
24. Para una visión general de esta
contribución, ver Jesús Hernández :
LAS ESTRUCTURAS MATEMÁTICAS Y
NICOLÁS BOURBAKI (http://www.gobc
an.es/educacion/3/usrn/fundoro/archi
vos%20adjuntos/publicaciones/actas/
actas_4_5_pdf/Act.IV-V_C003_txi_w.pd
f) o Alberto Campos: Axiomática y
geometría desde Euclides hasta
Hilbert y Bourbaki (http://books.googl
e.es/books/about/Axiom%C3%A1tica_
y_geometr%C3%ADa_desde_Euclides.
html?id=N0_vAAAAMAAJ&redir_esc=
y)
http://www.gobcan.es/educacion/3/usrn/fundoro/archivos%20adjuntos/publicaciones/actas/actas_4_5_pdf/Act.IV-V_C003_txi_w.pdf
http://books.google.es/books/about/Axiom%C3%A1tica_y_geometr%C3%ADa_desde_Euclides.html?id=N0_vAAAAMAAJ&redir_esc=y
25. Aroca, José Manuel El progreso de la
matemática en los últimos 25 años (ht
tp://www.investigacionyciencia.es/inv
estigacion-y-ciencia/numeros/2001/1
0/el-progreso-de-la-matemtica-en-los-l
timos-25-aos-6688)
2�. Ian J. Dove: En su forma más simple el
deductivismo es la visión que la
matemática consiste enteramente de
la derivación de teoremas a partir de
axiomas. Es esa visión las únicas
verdades en matemáticas son
verdades condicionales de la forma Si
(axioma); Entonces (teoremas)." en
Certainty and Error in Mathematics:
http://www.investigacionyciencia.es/investigacion-y-ciencia/numeros/2001/10/el-progreso-de-la-matemtica-en-los-ltimos-25-aos-6688
http://scholarship.rice.edu/bitstream/handle/1911/18625/3122466.PDF?sequence=1
Deductivism and the Claims of
Mathematical Fallibilism (http://schola
rship.rice.edu/bitstream/handle/1911/
18625/3122466.PDF?sequence=1) , p
5
27. H Putnam: "no creo que haya una
crisis en las fundaciones de las
matemáticas. En realidad, no creo que
la matemática ya sea tiene o necesita
"fundaciones" en "Mathematics
without foundations"
2�. H Putnam: "Porque nuestra convicción
intuitiva que ciertos tipos de
estructuras finitas podrían (énfasis de
Putnam) existir juegan un papel
http://scholarship.rice.edu/bitstream/handle/1911/18625/3122466.PDF?sequence=1
esencial en la aplicación de las
matemáticas. Es una parte, y una
parte importante, de la pintura
matemática total que ciertos
conjuntos de axiomas son asumidos
como representando estructuras
presumiblemente posibles. .... Así hay
cuestiones que que permanecen
irreduciblemente un asunto de la
filosofía de las matemáticas por sobre
la "filosofía de la lógica": el asunto de
iluminar y clarificar nuestra aceptación
de estructuras matemáticas como
"presumiblemente posibles", o de
conjuntos de axiomas matemáticos
como "presumiblemente
consistentes..." The Thesis that
Mathematics is Logic, conclusión (p
41-42)
29. Keith Hossack (1991): Access to
Mathematical Objects (http://files.mee
tup.com/1148978/mathobjects1.pd
f) .-Crítica: Revista Hispanoamericana
de Filosofía.- Vol XXIII, N 68 (Agosto
1991) 157- 181
30. Hilary Putnam (1967: A) The Thesis
that Mathematics is Logic. (http://boo
ks.google.es/books?id=GKYQizoRIU8C
&pg=PA12&lpg=PA12&dq=Putnam+%2
B+%22The+Thesis+that+Mathematics
+is+Logic.%E2%80%9D&source=bl&ot
http://files.meetup.com/1148978/mathobjects1.pdf
http://books.google.es/books?id=GKYQizoRIU8C&pg=PA12&lpg=PA12&dq=Putnam+%2B+%22The+Thesis+that+Mathematics+is+Logic.%E2%80%9D&source=bl&ots=BHCIzfZIdc&sig=FNGNX7E1N3t1CmqTigO2oW20lPE&hl=en&sa=X&ei=YBTFUPDgAvSq0AXT64DIAg&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q=Putnam%20%2B%20%22The%20Thesis%20that%20Mathematics%20is%20Logic.%E2%80%9D&f=false
s=BHCIzfZIdc&sig=FNGNX7E1N3t1C
mqTigO2oW20lPE&hl=en&sa=X&ei=YB
TFUPDgAvSq0AXT64DIAg&ved=0CC8
Q6AEwAQ#v=onepage&q=Putnam%2
0%2B%20%22The%20Thesis%20that%
20Mathematics%20is%20Logic.%E2%
80%9D&f=false) y B) Mathematics
without foundations (http://thatmarcu
sfamily.org/philosophy/Course_Websit
es/Math_S08/Readings/Putnam_MWF.
pdf) . El énfasis en la fecha es
relevante. La posición de Putnam
experimento cambios. Ver Russell
Marcus (2006): E Pluribus Putnams
Unum (http://www.thatmarcusfamily.o
rg/philosophy/Papers/Putnams.pdf)
http://books.google.es/books?id=GKYQizoRIU8C&pg=PA12&lpg=PA12&dq=Putnam+%2B+%22The+Thesis+that+Mathematics+is+Logic.%E2%80%9D&source=bl&ots=BHCIzfZIdc&sig=FNGNX7E1N3t1CmqTigO2oW20lPE&hl=en&sa=X&ei=YBTFUPDgAvSq0AXT64DIAg&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q=Putnam%20%2B%20%22The%20Thesis%20that%20Mathematics%20is%20Logic.%E2%80%9D&f=falsehttp://thatmarcusfamily.org/philosophy/Course_Websites/Math_S08/Readings/Putnam_MWF.pdf
http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdf
31. Hilary Putnam (1967): Philosophical
Papers: Volume 1, Mathematics,
Matter and Method (http://books.goog
le.es/books?id=GKYQizoRIU8C&prints
ec=frontcover#v=onepage&q&f=fals
e) “The Thesis that Mathematics is
logic” p 20 “(3) ‘If-thenism’ as a
philosophy of mathematics”
32. Hilary Putnam (1967): The Thesis that
Mathematics is Logic. (http://books.go
ogle.es/books?id=GKYQizoRIU8C&pg=
PA12&lpg=PA12&dq=Putnam+%2B+%
22The+Thesis+that+Mathematics+is+
Logic.%E2%80%9D&source=bl&ots=B
HCIzfZIdc&sig=FNGNX7E1N3t1CmqTi
http://books.google.es/books?id=GKYQizoRIU8C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
http://books.google.es/books?id=GKYQizoRIU8C&pg=PA12&lpg=PA12&dq=Putnam+%2B+%22The+Thesis+that+Mathematics+is+Logic.%E2%80%9D&source=bl&ots=BHCIzfZIdc&sig=FNGNX7E1N3t1CmqTigO2oW20lPE&hl=en&sa=X&ei=YBTFUPDgAvSq0AXT64DIAg&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q=Putnam%20%2B%20%22The%20Thesis%20that%20Mathematics%20is%20Logic.%E2%80%9D&f=false
gO2oW20lPE&hl=en&sa=X&ei=YBTFU
PDgAvSq0AXT64DIAg&ved=0CC8Q6A
EwAQ#v=onepage&q=Putnam%20%2
B%20%22The%20Thesis%20that%20M
athematics%20is%20Logic.%E2%80%9
D&f=false)
33. Russell Marcus (2006): Pluribus
Putnams Unum (http://www.thatmarcu
sfamily.org/philosophy/Papers/Putna
ms.pdfE) (enlace roto disponible en
Internet Archive; véase el historial (https://we
b.archive.org/web/*/http://www.thatmarcusf
amily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdf
E) , la primera versión (https://web.archive.or
g/web/1/http://www.thatmarcusfamily.org/p
http://books.google.es/books?id=GKYQizoRIU8C&pg=PA12&lpg=PA12&dq=Putnam+%2B+%22The+Thesis+that+Mathematics+is+Logic.%E2%80%9D&source=bl&ots=BHCIzfZIdc&sig=FNGNX7E1N3t1CmqTigO2oW20lPE&hl=en&sa=X&ei=YBTFUPDgAvSq0AXT64DIAg&ved=0CC8Q6AEwAQ#v=onepage&q=Putnam%20%2B%20%22The%20Thesis%20that%20Mathematics%20is%20Logic.%E2%80%9D&f=false
http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdfE
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Ayuda:C%C3%B3mo_recuperar_un_enlace_roto
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Internet_Archive
https://web.archive.org/web/*/http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdfE
https://web.archive.org/web/1/http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdfE
hilosophy/Papers/Putnams.pdfE) y la última
(https://web.archive.org/web/2/http://www.th
atmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putn
ams.pdfE) ). p 6
34. Russell Marcus (2006): E Pluribus
Putnams Unum (http://www.thatmarcu
sfamily.org/philosophy/Papers/Putna
ms.pdf) p 6
35. Ian J. Dove: "A través de evitar el
asunto de la verdad de los axiomas y
teoremas, el deductivismo es capaz de
evitar el problema de la epistemología
de las matemáticas y lo reemplaza
con el de la epistemología de la
lógica... el deductivismo es anti-
https://web.archive.org/web/1/http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdfE
https://web.archive.org/web/2/http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdfE
http://www.thatmarcusfamily.org/philosophy/Papers/Putnams.pdf
realista o, por lo menos, neutral en
relación a la existencia de objetos
abstractos. " en Certainty and Error in
Mathematics: Deductivism and the
Claims of Mathematical Fallibilism (htt
p://scholarship.rice.edu/bitstream/han
dle/1911/18625/3122466.PDF?seque
nce=1) , p 5
3�. Para toda esta sección, ver Diego
Pareja H (2008): 5. 8 – David Hilbert y
el formalismo. (http://www.matematic
asyfilosofiaenelaula.info/Epistemologi
a%202009/David%20HIlbert%20y%20e
l%20Formalismo.pdf) .- Ver también:
S.N. Artemov (originator)
http://scholarship.rice.edu/bitstream/handle/1911/18625/3122466.PDF?sequence=1
http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%202009/David%20HIlbert%20y%20el%20Formalismo.pdf
Formalization method (http://www.enc
yclopediaofmath.org/index.php/Forma
lization_method) en Encyclopedia of
Mathematics
37. Frederick Suppe (2001) 1.
Axiomatization (http://www.blackwellr
eference.com/public/tocnode?id=g97
80631230205_chunk_g978063123020
54) Archivado (https://web.archive.or
g/web/20160325151941/http://www.b
lackwellreference.com/public/tocnod
e?id=g9780631230205_chunk_g97806
312302054) el 25 de marzo de 2016
en Wayback Machine. en A
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Formalization_method
http://www.blackwellreference.com/public/tocnode?id=g9780631230205_chunk_g97806312302054
https://web.archive.org/web/20160325151941/http://www.blackwellreference.com/public/tocnode?id=g9780631230205_chunk_g97806312302054
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Wayback_Machine
Companion to the Philosophy of
Science W. H. Newton-Smith (Edtr)
3�. The QED Manifesto (http://www.cs.ch
almers.se/Cs/Research/Logic/TypesS
S05/Extra/wiedijk_2.pdf) in
Automated Deduction - CADE 12,
Springer-Verlag, Lecture Notes in
Artificial Intelligence, Vol. 814, pp. 238-
251, 1994. HTML version (http://www.
cs.ru.nl/~freek/qed/qed.html)
39. «The QED Workshop II report» (http://
mizar.org/people/romat/qed95rep.pd
f) . Consultado el 4 de abril de 2017.
40. Wiedijk Freek, El Manifiesto QED
Revisited (http://mizar.org/trybulec65/
http://www.cs.chalmers.se/Cs/Research/Logic/TypesSS05/Extra/wiedijk_2.pdf
http://www.cs.ru.nl/~freek/qed/qed.html
http://mizar.org/people/romat/qed95rep.pdf
http://mizar.org/trybulec65/8.pdf
8.pdf) de 2007
41. Fairouz Kamareddine, Manuel Maarek,
Krzysztof Retel, and J. B. Wells,
Gradual
Computerisation/Formalisation of
Mathematical Texts into Mizar (http://
mizar.org/trybulec65/7.pdf)
 Datos: Q1433067
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title=Formalismo_matemático&oldid=151432028»
http://mizar.org/trybulec65/8.pdf
http://mizar.org/trybulec65/7.pdf
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https://www.wikidata.org/wiki/Q1433067
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