MECÁNICA CLASES 2020- COORDENADAS CILÍNDRICAS

Vista previa del material en texto

Repaso de contenidos 
CINEMÁTICA 
La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que lo producen. La 
intención del estudio es establecer leyes que permitan predecir un resultado que se cumpla bajo 
ciertas hipótesis. 
La complejidad de los movimientos observados requiere de modelos que nos permitan acercarnos 
a la realidad para lo cual es necesario hacer suposiciones (hipótesis) que, luego de experiencias 
ajustadas a las mismas, nos permitan establecer expresiones predictivas válidas. 
Modelos de la cinemática 
La física distingue dos modelos: cuerpo y punto. 
Los cuerpos tienen dimensiones y por lo tanto los puntos que lo conforman se pueden ver 
afectados por la rotación, la traslación o por ambos movimientos. 
El movimiento más general de un cuerpo es la roto traslación y los casos particulares del mismo 
se obtienen por omisión de uno de los de ellos (solo rota= rotacional rotatorio; solo se traslada= 
traslacional), restando un caso especial donde el vector rotación que anima al cuerpo pivotea en 
un punto (rotacional polar). 
Los puntos no tienen dimensiones y por ello solo pueden experimentas traslación (los cuerpos que 
solo se trasladan pueden representarse como puntos). 
Cinemática del punto 
Para distinguir reposo de movimiento es necesario fijar una referencia desde la cual realizar las 
observaciones. Resulta un tanto complicado imaginarse un punto fijo en el planeta desde el cual 
se pueda distinguir reposo de movimiento, a sabiendas que el planeta rota y se traslada y el 
universo se encuentra en expansión. No obstante ello, y luego de realizadas muchas experiencias, 
los resultados obtenidos considerando un sistema de referencia solidario a la tierra como fijo 
constituyen una muy buena aproximación para la resolución de problemas en la tierra. 
Bajo la consideración anterior, supondremos un sistema de referencia solidario a la tierra como 
fijo. Repasaremos algunos conceptos vistos en física I, con más el agregado de la herramienta 
matemática que permite la materialización de modelos crecientes en complejidad. 
 
 
 
 
 
x 
y 
z
z 
P 
 
o 
Pt 
( ) 
( ) ̌ ̌ ̌ 
 ̅ 
 ( )
 
 
 
 
 ̌ 
 
 
 ̌ 
 
 
 ̌ 
 ̅ ̇ ̌ ̇ ̌ 
̇ ̇ ̌ 
 ̅ 
 ̅ 
 
 
 ̈
 
 ̌ 
 ̈
 
 ̌ 
 ̈
 
 ̌ 
 
Recordemos la relación existente entre la velocidad escalar instantánea y el módulo del vector 
velocidad instantánea. 
 
 
 
 
 
 
Comparando con | ̅| observamos que el arco y la cuerda se hacen iguales en el límite, es decir: 
| ̅| 
 ̅ 
| ̅|
 
 
 
 
 
 | ̅| ̇ 
Ejemplo Nº1: 
De lo visto se desprende que para calcular la velocidad y la aceleración de un punto es necesario 
conocer como varía el vector posición en función del tiempo. En lugar de darles las coordenadas 
de dicho vector en función del tiempo para que luego deriven y determinen los valores de la 
velocidad y aceleración, nos dedicaremos a encontrar la expresión que representa al vector 
posición en función del tiempo. Asimismo, los puntos no serán libres sino que formarán parte de 
cuerpos que conforman un mecanismo. Obviamente dichos elementos deben ser considerados 
rígidos (indeformables) para que los planteos sean válidos. 
El esquema indicado en la figura representa un mecanismo idealizado biela manivela donde las 
longitudes de ambas barras son iguales. Pretendemos calcular la velocidad y aceleración de los 
puntos B y C. 
 
Definimosla terna fija configurándola de la siguiente manera: 
 
Origen “O” coincidente con el punto A. 
Eje “X” según la dirección AC y dirigido de A hacia C. 
Eje “Y” perpendicular al anterior y dirigido hacia arriba 
A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
DATOS 
AB = BC = L 
ω = constante 
CONDICIONES DE BORDE 
t0 = 0 ; A, B y C se encuentran 
alineados sobre la horizontal AC, de 
lo cual se desprende que φ0 = 0 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 ̅ 
 ̅ 
 ̅
 
 
Velocidad escalar instantánea 
Vector velocidad instantánea 
 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de ̅ y ̅ 
Necesitamos conocer la ley de variación del vector posición ( ). Para ello representamos 
gráficamente al mismo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente pudimos encontrar el vector posición en función del tiempo: 
( ) ( ) ̌ ( ) ̌
 ̅ 
 ( )
 
 ( ) ̌ ( ) ̌ ̅ ( ) ̌ ( ) ̌ 
 ̅ 
 ( )
 
 
 ̅ 
 
 ( ) ̌ ( ) ̌ ̅ 
 ( ) ̌ ( ) ̌ 
El punto B describe una trayectoria circular. Podemos aprovechar la ocasión para verificar la 
coincidencia con lo aprendido en Física I. Para ello determinemos el módulo de los vectores 
velocidad y aceleración: 
| ̅ | √[ ( )]
 [ ( )] | ̅ | √ 
 ( ) ( ) 
| ̅ | √ 
 [ ( ) ( )]| ̅ | √ 
 | ̅ | 
| ̅ | √[ 
 ( )] [ ( )] | ̅ | √ 
 ( ) ( ) 
| ̅ | √ 
 [ ( ) ( )]| ̅ | √ 
 | ̅ | 
 
El módulo del vector velocidad es la velocidad escalar instantánea, vale decir: 
| ̅ | ̇  ̇ 
 
 
  ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
( ) 
( ) ̌ ̌
Todavía no tenemos toda la información. 
Falta determinar la ley de variación de . 
De las condiciones de borde: 
 
 
 separando variables e 
integrando 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 Ley horaria: nos informa la longitud de camino recorrido en función del tiempo 
( ) ( ) ̌ ( ) ̌Ecuación horaria: nos informa la posición que ocupa el punto en 
cada instante. 
Ecuación de la trayectoria: es la forma del camino. No depende del tiempo. Para obtener su 
expresión partimos de las coordenadas del punto: 
{
 ( )
 ( )
 
Debemos eliminar el parámetro tiempo entre ambas. Elevamos al cuadrado ambos miembros de 
las expresiones y luego sumamos miembro a miembro: 
 ( ) 
 ( )
 [ ( ) ( )]
 
 Circunferencia de centro en A radio L. 
 
Cálculo de ̅ y ̅ 
Comencemos indicando el un gráfico el vector ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos entonces expresarlo de la siguiente manera: 
( ) ( ) ( ) 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
( ) 
El vector( )varía en módulo. Para 
poder formularlo tendremos presente que 
todo vector puede expresarse como suma 
de otros vectores. En general se utilizan 
vectores cuyas direcciones coinciden con 
elementos del mecanismo de los cuales 
conocemos tanto su dimensión como su 
dirección. 
 
 
 
O≡A 
B 
C 
 
φφ 
 
ω 
y 
x 
( ) ( ) 
( ) 
( ) ( ) ̌ ( ) ̌ 
( ) ( ) ̌ ( ) ̌ 
( ) ( ) ̌ 
Sumando 
 
 
 
Ahora podemos determinar los vectores velocidad y aceleración del punto C. Derivando: 
 ̅ 
 ( )
 
 ( ) ̌ ̅ ( ) ̌
 ̅ 
 ( )
 
 
 ̅ 
 
 ( ) ̌ ̅ 
 ( ) ̌
La ecuación de la trayectoria es una línea recta. El punto C describe un movimiento oscilatorio 
alrededor del punto A de amplitud 2L (el punto C puede moverse a menor o mayor velocidad 
sobre el mismo). Para manifestar ese camino reemplazamos por φ, resultando entonces: 
( ) ( ) ̌
Velocidad escalar instantánea: 
[ ̅ ] √[ ( )]
 
[ ̅ ] ̇ ( ) 
Ley horaria: 
 ̇ ( )
 
 
 ( ) ( ) ∫ 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 ] 
 ( )] 
 
 ( )  
 [ ( ) ] 
Con el procedimiento explicado podemos determinar la velocidad y aceleración de la totalidad de 
los puntos que conforman los elementos del mecanismo. 
Ejemplo Nº2: 
El mecanismo indicado en la figura consiste de una barra AB de longitud L1, articulada en el punto 
A que gira con velocidad angular absoluta constante ω1alrededor del punto A, que tiene articuladaen su extremo una barra BC de longitud L2 que gira con velocidad angular absolutaconstante ω2 
alrededor del punto B. 
El término absoluto indicado para las velocidades angulares, significa que los ángulos barridos se 
miden respecto de sistema de referencia fijo (en éste caso respecto del eje X). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
1

 
 
C
2

 
C 
A 
B 
C 
Y 
ω2= cte. 
ω1= cte. 
L1 
2 
00 t ; A, B y C sobre el eje X 
De lo cual se deduce: 
0;0 )0(2)0(1   
Nos proponemos determinar los vectores velocidad y aceleración del punto C. 
Para ello comenzamos graficando el vector posición para su posterior determinación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representamos los vectores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumamos 
( ) ( ) ̌ ( ) ̌ 
Todavía no está determinado, necesitamos conocer las leyes de variación de los ángulos en función del 
tiempo. 
Conocemos las velocidades angulares. Con las condiciones de contorno podemos determinar como varían 
esos ángulos en función del tiempo: 
1

2

A
B
C
XX 
Y
L1
L2L
Al vector posición lo podemos 
expresar como la suma de dos 
vectores determinados por las 
barras que conforman el 
mecanismo ya que de ellos 
conocemos sus dimensiones y 
como varía su dirección en el 
tiempo: 
( ) ( ) ( 
 )Condiciones de borde: 
(C-O) 
 
1

 
C 
2

 
C 
A 
B 
C 
X 
Y 
L1 
L2 
( ) ( ) ( ) 
( ) ̌ ̌ 
( ) ̌ ̌ 
 
 
 
 
(C-O) 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Análogamente 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
Finalmente: 
( ) ( ) ̌ ( ) ̌ 
Ahora podemos determinar los vectores velocidad y aceleración derivando: 
 ̅ 
 ( )
 
 ( ) ̌ ( ) ̌ 
 ̅ 
 ( )
 
 
 ̅ 
 
 ( 
 
 ) ̌ ( 
 
 ) ̌ 
Igual que en el ejemplo anterior podemos determinar la velocidad escalar instantánea: 
| ̅ | √[( )]
 [( )]
 
| ̅ | ̇ √ 
 
 
 
 ( ) ( ) 
| ̅ | ̇ √ 
 
 
 
 ( ) ( ) 
| ̅ | ̇ √ 
 
 
 
 (
 
 
) 
Les propongo que intenten determinar la ecuación de la trayectoria. Pueden ensayar con distintas 
relaciones de velocidades angulares. 
Ejercicio propuesto (terna fija) 
Origen O A ; t0=0 ; B X ; PD // Y ; ABC Z 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
D A 
B 
C 
D 
L2 
 ̅ 
 ̅ 
R 
P 
L1 
L1 
 
 
y 
x 
 
 
SISTEMAS DE REFERENCIA MÓVIL 
Los sistemas de referencia móviles son de gran utilidad en la resolución de la mayoría de los 
problemas. Los mismos permiten visualizar magnitudes cinemáticas y dinámicas en la verdadera 
dirección en la que ocurren o bien forman parte de la estructura de los modelos que permiten 
interpretar fácilmente las mismas. 
Todo sistema de referencia móvil se encuentra asociado a un sistema de referencia fijo. 
Consideramos con suficiente aproximación un sistema de referencia solidario a la tierra como fijo 
para la resolución de problemas en la tierra. Bajo éste punto de vista las magnitudes cinemáticas 
de un punto que se mueve sobre la tierra pueden ser consideradas como absolutas (tienen un 
único valor). Esas magnitudes no cambian si las proyectamos sobre distintos sistemas de 
referencia. Pueden cambiar sus componentes en cada sistema de referencia, pero sus módulos y 
direcciones son únicos. 
Evidentemente el sistema de referencia en el que tenemos mayor entrenamiento es el cartesiano 
considerado como fijo. Los sistemas de referencia móviles los utilizamos en física y aunque en 
general no se definen formalmente, los utilizamos para proyectar magnitudes absolutas y resultan 
muy útiles para resolver problemas. 
En general los sistemas de referencia móvil se eligen porque se adaptan mejor a la geometría del 
problema. 
Estudiamos en particular dos sistemas de referencia móviles. Uno de ellos solo rota (coordenadas 
cilíndricas), mientras que el otro rota y se traslada (coordenadas intrínsecas). Éste último recibe 
ese nombre porque el sistema acompaña al punto en su movimiento (intrínseco = propio). 
Existen otros sistemas de referencia móviles que no necesariamente se corresponde con los 
mencionados, los cuales presentaremos a medida que vayamos avanzando en la materia en 
diferentes temáticas (cinemática del cuerpo rígido, cinemática del movimiento relativo, dinámica 
del punto, dinámica del cuerpo rígido, etc.). 
Antes de iniciar el abordaje de la temática, vuelvo a recalcar que los sistemas de referencia 
móviles se asocian a sistemas de referencia fijos y que los utilizamos para proyectar magnitudes 
absolutas. 
 
 
 
 
 
 
 
COORDENADAS CILÍNDRICAS 
Es un sistema de referencia móvil cuya particularidad es que solo rota (no se traslada). 
Para ver como se construye, supongamos una curva alabeada en el espació referida a un 
sistema de coordenadas fijo (o,x,y,z) sobre la que se desplaza una partícula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos los versores que conforman la terna: 
 (origen de la móvil coincidente con el origen de la fija) 
 ̌ (radial): dirigido de O hacia P1 
 ̌(transversal): perpendicular al anterior y sentido según sea el de avance del movimiento. 
 ̌ ̌ 
Para que quede perfectamente definida la posición del punto en éste sistema de 
coordenadas es necesario conocer en cada instante la distancia |( )| , la 
dirección y sentido del mismo que viene dada por el ángulo , que se mide respecto de 
una semirrecta origen que en éste caso es el eje X, y la coordenada Z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
( ) ( ) ( ) 
El origen de la terna coincidirá 
con el origen de coordenadas de 
la fija. 
Descomponemos el vector 
posición en dos componentes: 
una paralela al eje Z y otra 
contenida en el plano XY. 
Para una mejor comprensión 
supongamos que la línea de 
trazos es la proyección sobre el 
plano XYde los puntos que 
conforman la trayectoria. Así la 
proyección sobre el plano XY de 
P es el punto O1 
Construimos el vector posición: 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ̌( ) ̌ ̌ 
Para obtener la velocidad es necesario derivar la posición respecto del tiempo: 
 ̅ 
 ( )
 
 
 ( ̌ ̌)
 
 
En el proceso de derivación debemos tener en cuenta que el versor ̌ cambia de dirección 
en el tiempo: 
 ̅ 
 
 
 ̌ 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ 
 ̌
 
 
Como ̌ no cambia 
 ̌
 
 ̅ 
 ̅ ̇ ̌ 
 ̌
 
 ̇ ̌ 
Nos falta determinar la derivada del versor ̌. Para una mejor interpretación realizamos un 
gráfico cualitativo indicando al versor en dos instantes: 
 
 
 
 
 
 
 ̌
 
 
 
 ̅
 
 
Representamos gráficamente el cambio que experimenta el versor (versor diferencia) 
entre los instantes manifestados, los cuales por tener igual módulo quedan inscriptos 
dentro de un arco de circunferencia: 
 
 
 
 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 
 
 
 
 ̌ 
 
| ̌| 
 
 
| ̅|
 
 
 
 
 
 ̇ 
Analizamos primero el módulo del 
cociente incremental: 
Reemplazamos en el límite: 
 
 
 
En cuanto a la dirección, en el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, ̌ tiende 
a hacerse tangente al arco (en este caso una circunferencia de radio unitario) y por lo tanto 
perpendicular a ̌ , vale decir que tiene la dirección de ̌ . 
Conclusión: 
 ̌
 
 ̇ ̌ 
Reemplazando en la expresión de la velocidad: 
 ̅ ̇ ̌ 
 ̌
 
 ̇ ̌ ̅ ̇ ̌ ̇ ̌ ̇ ̌ Expresión de la velocidad en cilíndricas. 
Para determinar la aceleración derivamos el vector velocidad respecto del tiempo: 
 ̅ 
 ̅ 
 
 ̅ 
 ( ̇ ̌ ̇ ̌ ̇ ̌)
 
 
 ̅ ̈ ̌ ̇
 ̌( ̇ ̇ ̈) ̌ ̇
 ̌
 
 ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 
Expresión en la cual 
 ̌
 
 ̅ y 
 ̌
 
 ̇ ̌ , restando determinar 
 ̌
 
 . Para ello utilizaremos la 
figura de análisis anterior, que ampliamos incluyendo los versores transversales 
correspondientes a los instantes manifestados. 
 
 
 
 
 
 
 
En cuanto a la dirección, en el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, ̌ tiende 
a hacerse tangente al arco (en este caso una circunferencia de radio unitario) y por lo tanto 
perpendicular a ̌ , vale decir que tiene la dirección de ̌ . 
 ̌
 
 ̇ ̌ 
Reemplazando en la expresión de la aceleración: 
 
 ̌ 
 
 ̌
 
 
 
 ̅
 
 
| ̌| 
 
 
| ̅|
 
 
 
 
 
 ̇ 
Analizamos primero el módulo del cociente 
incremental: 
Reemplazamos en el límite: 
 
 
 
 
 
 
 ̌ 
 
 ̅ ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 ( ̇ ̇ ̈) ̌ ̇
 ̌
 
 ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 
 ̅ ̈ ̌ ̇ ̇ ̌ ( ̇ ̇ ̈) ̌ ̇( ̇ ̌) ̈ ̌ 
 ̅ ̈ ̌ ̇ ̇ ̌ ( ̇ ̇ ̈) ̌ ̇
 ̌ ̈ ̌ 
Operando algebraicamente y ordenando: 
 ̅ ( ̈ ̇
 ) ̌ ( ̇ ̇ ̈) ̌ ̈ ̌ Expresión de la aceleración en cilíndricas. 
 
Si el movimiento fuera plano, las expresiones se reducen, denominándose polares: 
 ̅ ̇ ̌ ̇ ̌ 
 ̅ ( ̈ ̇
 ) ̌ ( ̇ ̇ ̈) ̌ 
 
COORDENADAS INTRÍNSECAS 
Es un sistema de referencia móvil que rota y se traslada. El sistema va montado sobre el 
punto que se mueve, vale decir que su origen coincide con el punto. Los versores que lo 
caracterizan se disponen de la siguiente manera: 
 ̌ (versor tangente): tangente a la trayectoria y con sentido según sea el de avance del 
movimiento. 
 ̌ (versor normal): perpendicular al anterior y dirigido hacia el centro de curvatura. 
 ̌ (versor binormal): perpendicular a los anteriores y con sentido de acuerdo a la regla de 
la mano derecha). 
 
 
 
 
 
Los versores definen tres planos: 
 ̌ versor tangente 
 ̌ versor normal 
 ̌ versor binormal 
 
 
Plano tangente: contiene a los versores tangente y binormal. 
Plano osculador: contiene a los versores tangente y normal. 
Plano rectificante: contiene a los versores normal y binormal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresiones de la velocidad y de la aceleración 
Para expresar la velocidad en coordenadas intrínsecas es necesario conocer previamente 
el valor de la misma en las coordenadas de la fija. De acuerdo a lo visto en conceptos de 
repaso al inicio de la unidad: 
| ̅| ̇ (velocidad escalar instantánea) 
Entonces, la velocidad expresada en intrínsecas será: 
 ̅ ̇ ̌ 
Para determinar el vector aceleración es necesario derivar el vector velocidad, pero debe 
tenerse presente en el proceso de derivación que el versor tangente cambia su dirección: 
Plano 
osculador 
Plano 
tangente 
Plano 
rectificante
nte 
 ̌ 
 ̌ ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 ̅ 
 ̅ 
 ̅ 
 ̅
 
 ̅ 
 ( ̇ ̌)
 
 ̅ 
 ( ̇)
 
 ̌ ̇
 ̌
 
 ̅ ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 
Para obtener la expresión del vector aceleración es necesario el conocimiento de la 
derivada del versor tangente respecto del tiempo. A tal efecto expresaremos la derivada 
del versor dentro de la expresión como sigue: 
 ̅ ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 ̅ ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 
 
 ̅ ̈ ̌ ̇
 ̌
 
 ̇ ̅ ̈ ̌ ̇ 
 ̌
 
 
En lugar de determinar la variación del versor respecto del tiempo, lo haremos respecto 
del arco, desarrollo que corresponde a Frenet quien estudia la variación que experimentan 
los versores a lo largo del camino, cuyo contenido vemos a continuación: 
Comenzamos estudiando la variación del versor tangente: 
 ̌
 
 
 
 ̌
 
 
Hacemos una figura de análisis para poder comprender mejor. Imaginemos un sólido 
continuo deformable de sección rectangular y un punto material desplazándose por la 
arista curvilínea ABC. 
 
 
 
 
 
 
Hacemos una figura de análisis para visualizar el vector diferencia que obra en el 
numerador del límite, entre dos posiciones cercanas como las A y B: 
 
 
 
 
 
 ̌ ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 
 
 ̌
 
 
 
 ̌
 
 
En el gráfico se dibujaron los 
versores en las posiciones A, B y C. 
Los versores tangente y normal 
experimentan cambios de dirección 
mientras que el versor binormal no. 
Para determinar la variación 
experimentada por el versor 
tangente reiteramos la expresión 
que permite su cálculo: 
 
 
 
 
 ̌ 
| ̌| 
 
 
| ̌|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizamos primero en módulo: 
Siendo el radio de curvatura de flexión. 
En cuanto a la dirección observamos que el límite ̌ 
tiende a hacerse perpendicular a ̌ y por lo tanto coincide 
en dirección y sentido con ̌. 
 
 
Conclusión: 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ 
Hagamos el análisis para el versor binormal: 
 ̌
 
 
 
 ̌
 
 
Para ello utilizamos figura de análisis agregando a la deformación del sólido que contiene 
a la curva, una rotación entorno del versor tangente 
 
 
 
 
 
 
Hacemos una figura de análisis para visualizar el vector diferencia que obra en el 
numerador del límite, entre dos posiciones cercanas como las A y B: 
 
 
 
 
 
Conclusión: 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ 
Para determinar la variación experimentada por el versor ̌ partimos del producto vectorial 
de los versores cuyas variaciones conocemos: 
 ̌ ̌ ̌ 
Derivas ambos miembros respecto del arco 
 ̌
 
 ̌ ̌
 ̌
 
 
 ̌
 
 
 ̌
 
 
 
 ̌
 
 
En el gráfico se dibujaron los versores en las 
posiciones A y B. Los versores tangente, 
normal y binormal experimentan cambios de 
dirección. 
Para determinar la variación experimentada 
por el versor tangente reiteramos la expresión 
que permite su cálculo: 
 
 
 
 ̌ 
| ̌| 
 
 
| ̌|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analizamos primero en módulo: 
Siendo el radio de curvatura de torsión. 
En cuanto a la dirección observamos que el límite ̌ 
tiende a hacerse perpendicular a ̌ y por lo tanto coincide 
en dirección con ̌. 
 
 
 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ 
 ̌ ̌ 
 ̌ 
 
Reemplazamos por las derivadas conocidas 
 
 
 
 ̌ ̌ ̌ 
 
 
 ̌ 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ 
 
 
 ̌ 
 ̌
 
 Que da lugar a la curvatura compuesta. 
Ecuaciones de Frenet 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ ; 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ ; 
 ̌
 
 
 
 
 ̌ 
 
 
 ̌ 
 
Conocida la variación que experimenta el versor tangente podemos volver a la expresión 
de cálculo de la aceleración en intrínsecas y completarla: 
 ̅ ̈ ̌ ̇ 
 ̌
 
 ̅ ̈ ̌ ̇ 
 
 
 ̌ ̅ ̈ ̌ 
 ̇ 
 
 ̌ 
Vimos como determinar ̇, nos falta ver de qué manera podemos obtener el valor , para 
lo cual razonaremos de la siguiente manera: 
Dijimos que toda terna móvil debe referenciarse a una fija. Vale decir que para hallar los 
parámetros que obran en las expresiones de cálculo de la móvil es necesario conocer 
parámetros de la terna fija. El radio de curvatura de flexión en cada punto de la trayectoria 
se mide sobre la dirección del versor normal en dicho punto y por éste motivo buscaremos 
de manera genérica la dirección del versor normal en función de los parámetros de la fija. 
Los vectores velocidad y aceleración tienen un único valor independientemente de la 
terna donde los proyecte. Suponga conocidos esos vectores y propóngase determinar la 
dirección del versor normal a partir de ellos valiéndose de conceptos matemáticos. 
Los vectores velocidad y aceleración se encuentran en el plano osculador. Si realizamos 
el producto vectorial entre ambos (haciendo uso de la regla de la mano derecha) podemos 
obtener un vector de la dirección de la binormal, es decir: 
 ̌ ̌  Nos da un vector paralelo a la dirección de ̌ 
( ̌ ̌) ̌  Nos da un vector paralelo a la dirección de ̌ 
Si pretendemos la dirección del versor ̌, tan solo falta dividir por el módulo del producto 
vectorial (norma) 
 ̌ 
( ̌ ̌) ̌
|( ̌ ̌) ̌|
 
Reemplacemosen el numerador de ésta expresión las expresiones de la velocidad y de la 
aceleración en intrínsecas y resolvamos: 
 ̌ 
[ ̇ ̌ ( ̈ ̌ 
 ̇ 
 
 ̌)] ̇ ̌
|( ̌ ̌) ̌|
 
 ̇ 
 
 ̌
|( ̌ ̌) ̌|
 
 
 ̇ 
|( ̌ ̌) ̌|
 
 
CONTINUARÁ