Mecanica de Lagrange Rev01

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DINÁMICA DE LAGRANGE 
 
1. Introducción: 
Lo que vamos a ver aquí, se lo debemos fundamentalmente a Joseph Louis de 
Lagrange (1736 a 1813). Lagrange nación en Italia, ejerció en Italia, en Francia 
y en Rusia y finalmente fallece en Francia, su país por adopción, en París. 
Formó parte de la Corte de Federico II de Prusia por 20 años y fue discípulo de 
Euler. Su trabajo cumbre fue el desarrollo de la mecánica analítica, cuyo estudio 
pretendemos comenzar a abordar a partir de estas líneas. 
En el estudio de las partículas, o de los cuerpos vinculados (movimiento 
restringido), las fuerzas de restricción no son conocidas a priori y constituyen 
incógnitas adicionales del problema. Con la ayuda de las coordenadas 
generalizadas, del principio de D´Alembert y del principio de los trabajos 
virtuales, Lagrange logra eliminar las fuerzas de restricción. 
Así con la ayuda previa de D´Alembert, y posteriormente con la de Hamilton (tres 
de las mentes más brillantes de la humanidad de todos los tiempos), nos llega 
este método, formal y riguroso, que nos permite resolver el problema dinámico 
por un camino alternativo al de mecánica newtoniana, pero con el agregado de 
una elegancia inusitada. 
No sólo eso, sino que permite también el abordaje de casos que en primera 
instancia serían imposibles de resolver de la manera clásica, sin recurrir al uso 
de ordenadores. 
2. Grados de libertad (o por sus siglas en inglés: dof: degree of freedom; o 
simplemente “f”). 
Sabemos que un punto libre en el plano tiene dos grados de libertad. 
El mismo punto en el espacio (R3), tendrá 3 dof. 
Un cuerpo libre en el plano 3 dof, y; 
Un cuerpo libre en el espacio (siempre sin considerar ninguna restricción), 6 dof. 
En cambio, para un sistema de puntos materiales en el espacio (en los sistemas 
siempre hay interacción), tendremos tantos grados de libertad, como resulte de 
aplicar la siguiente ecuación (parecida a la ecuación de Gibbs de la 
termodinámica): f = 3.n-k. Donde f es el nro. de grados de libertad totales o 
“netos”; n es la cantidad total de puntos que están interactuando en el sistema 
considerado y k el número de restricciones; 
Para un sistema de cuerpos en el R3, en cambio, tendremos f = 6.n-k, porque 
cada cuerpo libre tenía por si mismo 6 dof. 
3. Coordenadas generalizadas: 
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Llamaremos coordenada generalizada 𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; …, a cualquier magnitud 
que nos permitan describir el comportamiento dinámico del problema. 
Las coordenadas generalizadas no tienen por qué coincidir con las coordenadas 
de algún sistema de referencia (cartesianas, intrínsecas, cilíndricas, esféricas, 
etc.). Pueden ser tanto magnitudes escalares como vectoriales que ni siquiera 
tienen porqué tener las mismas unidades. Una coordenada puede ser por 
ejemplo un ángulo y otra una energía o una longitud. 
Las coordenadas generalizadas no son únicas. Siempre podrá elegirse otras 
para describir el mismo problema. 
Finalmente, las coordenadas generalizadas no se limitan ni a n (número de 
cuerpos o de partículas, ni a 3.n (en el caso cuerpos en movimiento plano), o 6.n 
para el caso de cuerpos con movimiento libre en el espacio. Efectivamente, al 
poder elegir cualquier magnitud como coordenada generalizada (trabajo, 
energía, impulso, potencia, posición, etc.; podríamos tener no digo infinitas, pero 
sí un número, que por cada coordenada cartesiana, digamos, se podría elegir 
entre unas 10 magnitudes mecánicas). 
Sin embargo, en cualquier sistema siempre será posible armar un conjunto de f 
coordenadas generalizadas, independientes entre sí, que nos permitan expresar 
los vectores posición de todas las partículas. 
Este número f, es el número de grados de libertad (dof) netos del sistema, que 
ya definimos en el apartado anterior, y será 3.n-k, o bien 6.n-k, según se trate de 
cuerpos puntuales o cuerpos con geometría definida, respectivamente. 
Recordamos también que K es el número de restricciones. 
En función de estas coordenadas generalizadas, a su vez, será posible expresar 
los vectores posición: 
�̅�1 = 𝑓1(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡); 
�̅�2 = 𝑓2(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡); 
 �̅�3 = 𝑓3(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡); (1) 
− − − − − − − − − − − − − 
�̅�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡); 
4. Restricciones: 
En la mecánica clásica, si las fuerzas exteriores son conocidas a priori, entonces 
las leyes de Newton, nos conducen de la mano a las ecuaciones cardinales. 
Dicho sistema está constituido por las denominadas primera, segunda y tercera 
ecuación universal (o cardinal) de la mecánica. Las dos primeras son 
expresiones vectoriales y la última escalar. Separando las dos vectoriales en sus 
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componentes se puede llegar a armar un sistema de hasta siete ecuaciones y 
por ende, resolver problemas con hasta siete incógnitas. 
Como se trata de ecuaciones son diferenciales, será necesario además conocer 
las condiciones iniciales de posición y velocidad, para poder llegar a buen 
término. 
Pero ¿qué pasa cuando las fuerzas de restricción no son conocidas de 
antemano? 
Cuando el movimiento se restringe a través de superficies, guías, cuerdas, 
paredes barras, etc., las fuerzas de restricción se conocen por sus efectos, pero 
ya no son un dato del problema, ni obedecen a las leyes generales del 
movimiento. Adoptan formas específicas para cada circunstancia y para resolver 
el problema, habrá que eliminarlas de la descripción matemática. 
Lagrange, justamente logra hacerlo para determinado tipo de restricciones. 
Las restricciones impuestas al movimiento, no son otra cosa que ecuaciones, o 
mejor dicho funciones matemáticas que deben cumplir los vectores posición de 
las n partículas (o cuerpos que componen el sistema. 
Si tenemos hasta un máximo de k restricciones, entonces podremos escribir 
hasta k ecuaciones del tipo: 
𝑔1(�̅�1; �̅�2; �̅�3; … ; �̅�𝑛; 𝑡) = 0; 
𝑔2(�̅�1; �̅�2; �̅�3; … ; �̅�𝑛; 𝑡) = 0; 
 𝑔3(�̅�1; �̅�2; �̅�3; … ; �̅�𝑛; 𝑡) = 0; (2) 
− − − − − − − − − − − − − 
𝑔𝑘(�̅�1; �̅�2; �̅�3; … ; �̅�𝑛; 𝑡) = 0; 
 
A su vez, los vectores posición pueden escribirse en función de las f coordenadas 
generalizadas que ya vimos. Si lo hacemos, lo anterior podría quedar de la 
siguiente manera: 
𝑔1(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; 
𝑔2(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; 
 𝑔3(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; (3) 
− − − − − − − − − − − − − 
𝑔𝑘(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; 
 
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Aunque las ecuaciones de restricción podrían prescindir del tiempo e incluso de 
las derivadas de las coordenadas generalizadas. También podría tratarse de 
inecuaciones en lugar de ecuaciones. Todo depende del tipo de sistema que 
estemos analizando. 
Pero esta cuestión la resolveremos a continuación. 
 
5. Clasificación de los sistemas. 
Según el tipo de restricciones a los que un sistema esté sometido, los vamos a 
clasificar en sistemas: 
Holónomos, anholónomos, esclerónomos y reónomos. Donde las dos primeras 
son mutuamente excluyentes entre sí, y las dos últimas también. Es decir, un 
sistema no puede ser holónomo y anholónomo a la vez. Como tampoco 
esclerónomo y reónomo. 
Los sistemas entonces, conforme al tipo de restricciones que se les impongan 
entrarán siempre dentro de alguna de las siguientes cuatro clases: 
- Sistema holónomo esclerónomo; 
- Sistema holónomo reónomo; 
- Sistema anholónomo exclerónomo; 
- Sistema anholónomo reónomo. 
Llamamos sistemas esclerónomos, a aquellos sistemas donde las restricciones 
no dependen del tiempo. 
Luego, sistemas reónomos: Serán los sistemas en donde las restricciones Sí 
dependen del tiempo t; 
Sistemas holónomos: Son los sistemas que contienen restricciones que 
matemáticamente puedan serescritas de la forma: 
𝑓(�̅�1(𝑡); �̅�2(𝑡); �̅�3(𝑡); … ; �̅�𝑛(𝑡); 𝑡); O sea, en función de los vectores posición de las 
partículas o cuerpos que intervienen, y eventualmente del tiempo (caso de los 
sistemas reónomos). 
Sistemas anholónomos: Son aquellos sistemas en los que las restricciones no 
pueden ser escritas como se vio en el caso anterior (donde eran función de los 
vectores posición y eventualmente del tiempo t). 
Ejemplos de restricciones anholónomas: 1) Cuando las restricciones al 
movimiento tengan que expresarse por medio de una inecuación, como sucede 
cuando partícula está obligada a desplazarse sobre un casquete esférico dentro 
de un campo gravitatorio externo: �̅�2 ≥ 𝑎2, donde �̅� es el vector posición, medido 
desde el centro del casquete y a el radio; 2) Cuando en las ecuaciones de 
restricción, además de las coordenadas generalizadas, aparezcan derivadas de 
éstas de cualquier orden: Caso típico Disco que rueda libre sin resbalar, sobre 
un plano. En este caso no se puede relacionar la posición del centro de masas 
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del disco con el punto de contacto en el plano y el ángulo girado sin recurrir a 
alguna derivada: 
Ejemplo de restricciones holónomas: 1) Partícula ligada a un punto fijo por medio 
de una barra rígida, articulada en ambos extremos por sendas rótulas de tres 
grados de libertad. En este caso si a es la longitud de la barra y �̅� es el vector 
posición medido desde el punto fijo: �̅�2 = 𝑎2; 2) Partícula que cae por un plano 
inclinado. Acá hay dos restricciones a) Movimiento plano, entonces por ejemplo 
es siempre z = 0 y, partícula obligada a caer por el plano, por lo que la relación 
entre las coordenadas x e y debe estar siempre relacionada a través de la 
ecuación de la recta que define geométricamente al plano: 𝑦 = 𝑦𝑜 − 𝑥. 𝑡𝑔(𝛼), 
donde α es el ángulo que define la pendiente del plano. 
En particular, el sistema de generales (3), explicitado en el punto anterior, de 
ecuaciones (3), correspondería a un sistema anholónomo, reónomo (porque 
incluye derivadas de las coordenadas generalizadas y el tiempo). 
6. Sistemas conservativos y no conservativos. 
Además de lo anterior, en la mecánica analítica, resulta también necesario 
discriminar a los sistemas entre conservativos y no conservativos. 
Recordemos simplemente que un sistema conservativo es aquél en el que sólo 
actúan fuerzas conservativas, o que si actúan fuerzas del tipo no conservativas 
(tales como las fuerzas de vínculo), éstas no realizan trabajo. 
Un sistema no conservativo por ende es un sistema donde actúan fuerzas no 
conservativas que sí realizan trabajo. 
El hecho de que un sistema pueda ser conservativo o no conservativo 
independientemente de la clasificación anterior, nos conduce a un total de 8 
posibilidades: Sistema holónomo, esclerónomo conservativo; Sistema 
holónomo, esclerónomo no conservativo…, etc. 
Para un mayor ahondamiento los remitimos a la bibliografía del capítulo. 
7. Ejemplos: 
Siguiendo la costumbre impuesta por los libros de texto de Enrique Yépez Mulia 
y de Argüello, vamos a dar una cierta cantidad de ejemplos, tratando de no 
copiarlos y en todo caso de darles un toque personal. 
Ejemplo 1. Cuerpo puntual de masa m, descendiendo por un plano inclinado liso 
(sin fricción). 
a) El número de partículas o de cuerpos en este caso es uno: n = 1 
b) Número de restricciones: k =2; 
Ecuaciones analíticas de restricción: En este caso, dijimos, tenemos dos 
restricciones: El movimiento debe ser plano, por lo tanto, por ejemplo 
z=zo, o directamente z=0 (si coincide con el plano X-Y). Es una restricción 
holónoma esclerónoma. 
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La segunda restricción es que el cuerpo (punto en este caso), se mueve 
siempre ligado al plano inclinado. Por lo tanto se debe cumplir que: 𝑦 =
𝑦0 − 𝑥. 𝑡𝑔(𝛼), con α = ángulo de inclinación del plano inclinado, respecto 
del eje X. También es una restricción del tipo holónoma esclerónoma; 
c) Fuerzas de restricción: La fuerza de restricción en este caso es la reacción 
del plano inclinado sobre el cuerpo. Esa fuerza siempre debe ser mayor 
que cero para el cuerpo permanezca sobre el plano. 𝐹𝑟̅̅ ̅𝑒𝑠𝑡. = �̅� = �̅� 
d) Análisis de fuerzas: Las fuerzas que actúan sobre el sistema son: La 
fuerza peso (�̅�) y la Reacción del plano (�̅�). La reacción del plano es no 
conservativa pero no realiza trabajo, el peso sí. 
Por lo tanto, el sistema es conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 3.n-k = 3-2 = 1; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: En este caso 
tendremos una sola, porque f =1. Esta coordenada, que llamaremos 𝑞1, 
la podemos elegir como queramos. Podríamos tomar, por ejemplo, la 
energía cinética de la partícula, la energía potencial, la coordenada x, la 
coordenada y, o simplemente una longitud s medida a lo largo del plano 
inclinado. Con cualquiera de esas, la posición de la partícula quedaría 
unívocamente determinada. 
Si elegimos la longitud medida desde el vértice superior del plano, 
entonces: 𝑞1 = 𝑠. 
Incluso, podríamos tratar de reescribir la ecuación de restricción en 
función de la nueva coordenada generalizada que hemos elegido. Si 
llamamos 𝑦 = ℎ − 𝑠. 𝑠𝑒𝑛(𝜃); 𝑥 = 𝑠. cos(𝜃) ; 𝑦𝑜 = ℎ; L = largo total del 
plano medido en la horizontal, entonces: 
 
𝑠. 𝑐𝑜𝑠(𝜃) −
ℎ
𝐿
. 𝑠. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) = 0 
 
 
g) Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo. 
Ejemplo 2: Partícula moviéndose sobre la superficie interior de un casquete 
semiesférico liso (sin fricción), de radio a. 
En este caso la distancia de la partícula al centro del casquete debe permanecer 
constante, que es una restricción del tipo holónoma. 
a) El número de partículas nuevamente es uno: n = 1 
b) Número de restricciones: k =1; 
Ecuaciones de restricción: En este caso tenemos una sola restricción, y 
es que el módulo del vector posición medido desde el origen del casquete, 
sea igual al radio del casquete: |�̅�| = 𝑎. 
Lo cual, también se puede escribir como �̅�2 = 𝑎2. 
c) Fuerzas de restricción: Reacción del casquete sobre el cuerpo, que 
también se denomina normal. Esa fuerza siempre debe ser mayor que 
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cero (a lo sumo igual) para el cuerpo permanezca sobre el casquete. 
𝐹𝑟̅̅ ̅𝑒𝑠𝑡. = �̅� = �̅�. 
d) Análisis de las fuerzas: Las fuerzas que actúan sobre el sistema son dos: 
la fuerza peso (�̅�) y la reacción del casquete (�̅�). El peso es una fuerza 
conservativa y realiza trabajo. La reacción de vínculo es no conservativa 
pero no realiza trabajo. 
Por lo tanto, el sistema es conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = (3.n)-k = 3-1 = 2; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: En este caso 
tendremos dos, porque f =2. Esta coordenada, que llamaremos 𝑞1, la 
podemos elegir como queramos. Podemos hacerlas coincidir con de las 
coordenadas del sistema de coordenadas esféricas: 𝜃 𝑦 𝜑: 
O sea, las dos son medidas angulares: 𝑞1 = 𝜃; 𝑞2 = 𝜑 
g) Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo. 
Ejemplo 3: Una partícula tipo collarín, obligada a moverse por una guía tipo 
alambre, contenida en un plano. Alambre liso (sin fricción). 
a) El número de partículas nuevamente es uno: n = 1 
b) Número de restricciones: k = 2 (movimiento plano z=zo, y confinado a 
seguir la curva o función del alambre y= f(x) ); 
Movimiento plano, implica z=zo, es una restricción del tipo holónoma 
esclerónoma. La segunda es que el movimiento se confine al camino o 
trayectoria que marca el alambre, que eventualmente, puede tener una 
ecuación que la describa del tipo y=f(x), que también es una función 
analítica del tipo holónoma esclerónoma. 
c) Fuerzas de restricción: En este caso, habrá una fuerza de restricción, que 
es la reacción del alambre sobre la partícula, que llamaremos R de 
reacción, o N de normal: 𝐹𝑟̅̅ ̅𝑒𝑠𝑡. = �̅� = �̅� 
d) Fuerzas que actúan sobre el sistema: Fuerza Peso (�̅�) y la Reacción delalambre (�̅�). La última es no conservativa pero no realiza trabajo, porque 
siempre es perpendicular al desplazamiento. La fuerza peso sí realiza 
trabajo, pero es conservativa. Luego el sistema, es conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 3.n-k = 3-2 = 1; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: Una, porque f = 
1. Elegimos, por ejemplo: 𝑞1 = 𝑠. Donde “s” es la longitud del camino, 
medida desde algún origen, o punto de referencia arbitrario. 
g) Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo. 
Ejemplo 4: Péndulo plano. Consideramos una masa m puntual, suspendida de 
una soga inextensible de longitud l que oscila en el plano X-Y. 
a) Número de partículas: n = 1 
b) Número de restricciones: k = 2. Movimiento plano y la distancia de la masa 
al centro del pivote, constante. 
Movimiento plano, implica z=zo, es una restricción del tipo holónoma 
esclerónoma. La segunda se puede expresar como: 𝑙 = 𝑐𝑡𝑒. 
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Ambas son expresiones analíticas del tipo holónomas y esclerónomas. 
c) Fuerzas de restricción: En este caso la fuerza de restricción es la tensión 
de la soga: �̅�. 
d) Fuerzas que actúan sobre el sistema: Fuerza Peso (�̅�) y tensión de la 
soga (�̅�). La última es no conservativa pero no realiza trabajo, porque 
siempre es perpendicular al desplazamiento. La fuerza peso es la única 
que realiza trabajos y es conservativa. Por lo tanto, el sistema es 
conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 3.n-k = 3-2 = 1; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: Una, porque f = 
1. Elegimos, por ejemplo: 𝑞1 = 𝜃. Donde “ϴ” es el ángulo entre la vertical 
y la soga. 
g) Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo. 
 
Ejemplo 5: Péndulo esférico con partícula puntual. No consideramos fricción 
viscosa con el aire. 
a) Número de partículas: n = 1 
b) Número de restricciones: k = 1. La longitud del alambre, cuerda o piola 
que sostiene la masa m, debe permanecer constante. 
Es una restricción del tipo analítica, cuya ecuación es 𝑙 = 𝑐𝑡𝑒 =
 √𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 − 𝑧0)2. No hay derivadas, no hay desigualdad, por o tanto 
es una restricción del tipo holónoma y esclerónoma. 
c) Fuerzas de restricción: En este caso, habrá una fuerza de restricción, que 
es la tensión de la soga, que llamaremos �̅� 
d) Fuerzas que actúan sobre el sistema: fuerza peso (�̅�) y la tensión del 
acuerda (�̅�). La última es no conservativa pero no realiza trabajo, porque 
siempre es perpendicular al desplazamiento. La fuerza peso sí realiza 
trabajo, pero es conservativa. Luego el sistema, es conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 3.n-k = 3-1 = 2; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: Dos (2). 
Por ejemplo: 𝑞1 = 𝜃; 𝑞2 = 𝜑 
g) Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo. 
Ejemplo 6: Péndulo no inercial 
 
 
Ejemplo 7: Péndulo plano doble (2 dof) 
 
Ejemplo 8: Partícula sobre un disco rotando a velocidad angular constante, que 
interactúa con un resorte de constante elástica k. 
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Ejemplo 9: Partícula puntual de masa m, moviéndose sobre la superficie exterior 
de un casquete semiesférico liso, de radio a. Movimiento restringido a un plano. 
a) Número de partículas: n = 1 
b) Número de restricciones: k = 2. 
Que el movimiento sea plano, implica que z=zo. Ya vimos que esta es una 
restricción analítica del tipo holónoma esclerónoma. 
La segunda restricción en cambio, es que el módulo del vector posición 
sea mayor o igual al radio del casquete. Es decir, la partícula nunca puede 
penetrar la superficie del casquete. 
Matemáticamente, esto se puede escribir: �̅�2 ≥ 𝑎2. Como estamos frente 
a una desigualdad, que no depende del tiempo, se trata de una restricción 
anholónoma y esclerónoma. 
c) Fuerzas de restricción: En este caso, habrá una fuerza de restricción, que 
es la Reacción normal del plano casquete �̅�, que será mayor o igual que 
cero, mientras se cumpla que �̅�2 = 𝑅2. Y será nula cuando �̅�2 > 𝑅2. 
d) Fuerzas que actúan sobre el sistema: fuerza peso (�̅�) y la reacción del 
casquete, �̅�, siempre que �̅�2 = 𝑅2). La última es no conservativa pero no 
realiza trabajo, porque siempre es perpendicular al desplazamiento. La 
fuerza peso sí realiza trabajo, pero es conservativa. Luego el sistema, es 
conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 3.n-k = 3-2 = 1; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: Una (1). 
Por ejemplo: 𝑞1 = 𝜃. 
g) Sistema: anholónomo, esclerónomo y conservativo. 
Ejemplo 10: Disco que rueda sin resbalar, sobre una superficie plana y lisa (plano 
X-Y), y cuyo eje de rotación permanece siempre horizontal, paralelo al plano X-
Y. 
a) Número de partículas: n = 1 
b) Número de restricciones: k = 2. 
Que el eje de rotación se mantenga siempre horizontal, lo podemos 
caracterizar también por el hecho de que el centro del disco tenga 
coordenada 𝑧𝐶 = 𝑎 = 𝑐𝑡𝑒. Donde a es el radio del disco. Es una restricción 
analítica del tipo holónoma esclerónoma. 
La segunda restricción en este caso es una relación que deben cumplir 
las dos rotaciones que se le pueden asignar al cuerpo: Un por la rodadura 
y otra por el cambio de orientación del eje de rotación. O sea, el eje de 
rotación es paralelo al plano X-Y, pero puede apuntar en infinitas 
direcciones. 
Las coordenadas de un punto P de la periferia del disco, se pueden 
expresar como 𝑃 ≡ (𝑥𝑐 + 𝑎. 𝛼. cos 𝛽 ; 𝑦𝑐 + 𝑎. 𝛼. sen𝛽 ; 𝑎) 
El hecho de rodar sin resbalar, implica que hay una relación entre el 
cambio de la posición del centro del disco y los ángulos de giro: 
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𝑑𝑥 = 𝑎. 𝑑𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛽 
𝑑𝑦 = 𝑎. 𝑑𝛼. 𝑠𝑒𝑛𝛽 
 
Nuevamente se trata de una restricción anholónoma y esclerónoma. 
c) Fuerzas de restricción: 
La fuerza de restricción �̅�, es de nuevo la reacción del plano sobre el 
disco. Es una fuerza que tiene dirección constante, perpendicular al plano 
de apoyo. 
d) Fuerzas que actúan sobre el sistema: fuerza peso (�̅�) y la reacción del 
plano sobre el disco, �̅�. La última es no conservativa pero no realiza 
trabajo, porque siempre es perpendicular al desplazamiento. La fuerza 
peso sí realiza trabajo, pero es conservativa. Luego el sistema, es 
conservativo. 
e) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 6.n-k = 6-2 = 4; 
f) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: Cuatro (4): 
Por ejemplo: 𝑞1 = 𝑥𝑐; 𝑞2 = 𝑦𝑐; 𝑞3 = 𝛼; 𝑞4 = 𝛽. 
g) Sistema: anholónomo, esclerónomo y conservativo. 
 
Ejemplo 11: Cilindro de radio a, que cae rodando sin resbalar por un plano 
inclinado (α = ángulo de inclinación del plano). 
a) Número de partículas: n = 1 
b) Número de restricciones: k = 5. 
Que el eje de rotación mantenga su dirección constante: Esta condición 
es del tipo holónoma esclerónoma y restringe 4 grados de libertad: dos 
desplazamientos u dos giros. 
La segunda es que rueda sin resbalar. Para ello, es necesario que se 
cumpla: �̇� = 𝑎. �̇�. Parecería una restricción anholónoma, pero no lo es. 
Conociendo las condiciones iniciales es fácilmente integrable y se 
convierte en una expresión analítica holónoma y esclerónama. Fuerzas 
de restricción: 
La reacción de vínculo es �̅�, y es siempre perpendicular al plano de apoyo 
y está aplicada en el punto de contacto del cilindro con el plano. 
c) Fuerzas que actúan sobre el sistema: La fuerza peso (�̅�); La fuerza de 
rozamiento estático 𝐹𝑟𝑜𝑧̅̅ ̅̅ ̅ y la reacción del plano sobre el disco, �̅�. 
La fuerza peso, es conservativa y realiza trabajo; 
La fuerza 𝐹𝑟𝑜𝑧̅̅ ̅̅ ̅ es no conservativa, pero no realiza trabajo, y; 
La fuerza �̅� es no conservativa, pero tampoco realiza trabajo 
Luego el sistema, es conservativo. 
d) DOF: El número de grados de libertad netos, f = 6.n-k = 6-5 = 1; 
e) Coordenadas generalizadas linealmente independientes: Una (1): 
Por ejemplo: 𝑞1 = 𝑠. 
f) Sistema: holónomo, esclerónomo y conservativo.11/28 
 
 
8. Desplazamiento virtual. 
Llamamos desplazamiento virtual a aquél desplazamiento que pueda cumplir 
simultáneamente las siguientes cuatro condiciones: 
- Se realiza en un instante de tiempo fijo y determinado. No involucra al 
tiempo; 
- Es arbitrario; 
- Es compatible con los vínculos. Esta es una condición fundamental, y que 
justamente, muchas veces distingue al desplazamiento real del virtual. 
Por ejemplo: Una partícula que se desliza sobre una barra que a su vez 
rota en un plano, alrededor de un punto fijo. El desplazamiento virtual 
compatible con el vínculo, que para el punto es la barra, debe ser el 
relativo; o sea, en la dirección de la barra. En cambio, el real hay que 
medirlo sobre la trayectoria del punto, cuya tangente como sabemos, tiene 
la dirección de la velocidad absoluta…; 
- No tiene por qué tener existencia física real. Por lo explicado 
anteriormente. Coinciden cuando los vínculos son fijos, porque en este 
caso la velocidad de arrastre es nula y el movimiento absoluto coincide 
con el relativo. 
Teniendo en cuenta que: �̅�𝑖 = 𝑓𝑖(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡), entonces el desplazamiento 
virtual, en función de las coordenadas generalizadas, quedará: 
𝛿𝑟�̅� = ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
+
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 
Pero el último término debe ser nulo, puesto que la primera condición que se le 
impuso a los desplazamientos virtuales es que fueran independientes del tiempo. 
Entonces: 
𝛿𝑟�̅� = ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
 
Si tomamos la expresión dentro de la sumatoria: 
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
, dividimos y multiplicamos 
por 𝜕𝑡, tendremos: 
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
=
𝜕𝑟�̅�/𝜕𝑡
𝜕𝑞𝑗/𝜕𝑡
=
𝜕�̅�𝑖
𝜕�̇�𝑗
 
9. Trabajo virtual: 
Llamamos también trabajo virtual (𝛿𝑇𝑣𝑖𝑟𝑡𝑢𝑎𝑙, o simplemente 𝛿𝑇𝑣𝑖) al trabajo 
realizado por una fuerza, a lo largo de un desplazamiento virtual: 
𝛿𝑇𝑣𝑖 = �̅�. 𝛿�̅�𝑖 
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Aquí, a diferencia de lo que ocurrirá en el principio de los trabajos virtuales, que 
veremos más adelante, intervienen todas las fuerzas: Las activas �̅�𝑖
𝑎 y las 
reactivas �̅�𝑖; y todas las activas (interiores, como exteriores). 
10. Principio de D´Alembert (Jean Le Rond D´Alembert 16/11/1717 - 
29/10/1783. Fue un gran enciclopedista francés del siglo XVIII y uno de los 
máximos exponentes del movimiento ilustrado…) 
 
Recordemos que la segunda ley de Newton para una partícula i-ésima arbitraria 
y cualquiera, se puede escribir como: 
�̅�𝑖
𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑖 . �̅�𝑖 
Donde �̅�𝑖
𝑒𝑥𝑡, es la resultante de las fuerzas exteriores que actúa sobre la masa i-
ésima; 𝑚𝑖 su masa, y; �̅�𝑖 su aceleración. 
Pero las Fuerzas exteriores, se pueden dividir en activas y reactivas: Entonces: 
�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 + �̅�𝑖 = 𝑚𝑖 . �̅�𝑖 
Donde, �̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 es la resultante de las fuerzas exteriores activas, que actúa sobre la 
partícula i-ésima; y �̅�𝑖 es la resultante de las fuerzas reactivas que actúa sobre 
la misma partícula. 
El principio de D´Alembert luego, establece que la condición de equilibrio 
dinámico para una partícula “i” cualquiera, se puede expresar como: 
�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 + �̅�𝑖 − 𝑚𝑖. �̅�𝑖 = 0̅ (4) 
O también: 
(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 − 𝑚𝑖 . �̅�𝑖) + �̅�𝑖 = 0̅ 
 
Donde el paréntesis representa las fuerzas perdidas (�̅�𝑖
𝑃). Entonces: 
�̅�𝑖
𝑃 + �̅�𝑖 = 0̅ 
En otras palabras, podríamos decir que, “en toda partícula, las fuerzas perdidas 
se utilizan para equilibrad a las fuerzas reactivas”. 
NOTA: En lugar de 𝑚𝑖. �̅�𝑖, es habitual escribir �̅�𝑖
̇ , que es la forma en que se 
expresa la primera ecuación universal de la mecánica. 
 
11. Principio de los trabajos virtuales: 
 
13/28 
 
La condición necesaria y suficiente para que un sistema esté es equilibrio 
estático, es que el trabajo virtual de las fuerzas activas, nunca sea positivo: 
𝛿𝑇𝑣𝑖
𝑎𝑐𝑡 ≤ 0 (5) 
O sea: 
�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡. 𝛿�̅�𝑖 ≤ 0 
Para los sistemas holónomos tendremos 
�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡. 𝛿�̅�𝑖 ≤ 0 
O sea, en los sistemas holónomos, las fuerzas de restricción no efectúan trabajo 
virtual y así, con este postulado, logramos eliminarlas de la formulación. 
Pero el principio de los trabajos virtuales por sí solo no resuelve el problema 
dinámico, ya que corresponde al caso de equilibrio estático. Además, los 
desplazamientos virtuales, 𝛿�̅�𝑖, no son independientes entre sí, sino que están 
relacionados a través de las ecuaciones de restricción. 
 
12. Ecuación simbólica de la mecánica. 
Juntando la condición de equilibrio dinámico (4), con el principio de los trabajos 
virtuales (5), tendremos la condición general para equilibrio dinámico: 
(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 + �̅�𝑖 − 𝑚𝑖. �̅�𝑖). 𝛿�̅�𝑖 = 0 
O bien, 
(�̅�𝑖
𝑃 + �̅�𝑖). 𝛿�̅�𝑖 = 0 
Por lo tanto: 
�̅�𝑖
𝑃. 𝛿�̅�𝑖 = 0 
Porque el trabajo virtual de las fuerzas reactivas del tipo holónomos, es siempre 
nulo. 
Finalmente, para n partículas, tenderemos: 
∑(�̅�𝒊
𝒂𝒄𝒕 − 𝒎𝒊. �̅�𝒊). 𝜹�̅�𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎 (𝟔) 
∑(�̅�𝒊
𝒂𝒄𝒕 − �̅�𝒊
̇ ) . 𝜹�̅�𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎 (𝟕) 
O bien: 
14/28 
 
∑�̅�𝒊
𝑷. 𝜹�̅�𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎 (𝟖) 
Las tres últimas expresiones se denominan: Ecuación simbólica de la mecánica 
válida para sistemas holónomos. 
Si desarrollamos las sumatorias veremos que en el primer miembro aparecen n 
términos, que vale la pena recalcar, no son nulos en forma individual, justamente 
porque los 𝜹�̅�𝒊 no son independientes entre sí. 
Por eso trataremos en lo que sigue, de expresar la ecuación simbólica en función 
de las coordenadas generalizadas, que sí lo son. 
 
13. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos: 
Sabemos que: 
�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡) 
Con i = nro. de partículas. 
Pero, el desplazamiento virtual i-ésimo será: 
𝛿𝑟�̅� = ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
 
Si reemplazamos el último, en la ecuación simbólica (por ejemplo en la (7) ), 
tendremos: 
∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 − �̅�𝑖
̇ ) .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= 0 
 
∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
) . −∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= 0 
En el primer término, las fuerzas activas no dependen de los grados de libertad, 
luego se pueden escribir: 
∑(∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 . (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗)
𝑓
𝑗=1
) .−∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= 0 
Luego, se puede también invertir el orden de las sumatorias. Si lo hacemos, 
tenderemos: 
15/28 
 
∑(∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 . (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗)
𝑛
𝑖=1
) .−∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
= 0 
Ahora, como 𝑑𝑞𝑗, es un escalar, y no depende de i, podemos reagrupar así: 
∑(∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
) . 𝑑𝑞𝑗
𝑛
𝑖=1
) .−∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
= 0 
Y finalmente, como 𝑑𝑞𝑗 no depende de i: 
∑([∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑛
𝑖=1
] . 𝑑𝑞𝑗) .−∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
= 0 (9) 
Al término dentro del corchete de la primer sumatoria, se lo conoce con el nombre 
de Fuerza generalizada asociada a la coordenada 𝑞𝑗, y se la representa con el 
símbolo 𝑄𝑗. 
𝑄𝑗 = ∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑛
𝑖=1
 
Esta nueva magnitud, 𝑄𝑗, depende de todas las fuerzas aplicadas, pero está 
asociada a un solo grado de libertad, el de la coordenada generalizada 𝑞𝑗. 
Nota: No confundir 𝑄𝑗 (fuerza generalizada asociada al grado de libertad j), con 
�̅�𝑖
̇ , que es una magnitud vectorial, y que representa la cantidad de movimiento 
de la partícula i-ésima. 
Obsérvese además que el producto de 𝑄𝑗. 𝑑𝑞𝑗, que es un producto entre dos 
escalares (no es un producto escalar, definido entre vectores), tiene que tener 
unidades de trabajo. Y como las coordenadas generalizadas, 𝑞𝑗, podían tener 
cualquier unidad, la unidad de 𝑄𝑗 se debe adecuar a tal circunstancia, de manera 
que el producto entre ámbas, tenga unidades de trabajo.Por ejemplo, 
- Si [𝑞𝑗] se mide en grados (ángulo), entonces, [𝑄𝑗] tienen que tener 
unidades de trabajo; 
- Si Si [𝑞𝑗] se mide en metros (unidad de longitud), entonces, [𝑄𝑗] tienen 
que tener unidades de fuerza; 
- Si [𝑞𝑗] se mide por ejemplo en Joule (unidad de energía), entonces, [𝑄𝑗] 
tienen que ser adimensional…; 
- Etc. 
Retomemos la ecuación (9). Primero la reescribimos para no tener que dar vuelta 
la página: 
16/28 
 
∑([∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑛
𝑖=1
] . 𝑑𝑞𝑗) .−∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
= 0 
Que, en función de la fuerza generalizada, 𝑄𝑗, la podríamos escribir como: 
∑(𝑄𝑗. 𝑑𝑞𝑗). −∑�̅�𝑖
̇ .∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
= 0 
En el segundo término podemos hacer algo parecido, como los �̅�𝑖
̇ , no dependen 
de los grados de libertad en j, los incluimos dentro de las segunda sumatoria: 
∑(𝑄𝑗. 𝑑𝑞𝑗). −∑∑(�̅�𝑖
̇ .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗)
𝑓
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
= 0 
Las invertimos: 
∑(𝑄𝑗. 𝑑𝑞𝑗) − ∑∑(�̅�𝑖
̇ .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗)
𝑛
𝑖=1
𝑓
𝑗=1
𝑓
𝑗=1
= 0 
O también: 
 
∑[(𝑄𝑗) − ∑(�̅�𝑖
̇ .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑛
𝑖=1
]
𝑓
𝑗=1
. 𝑑𝑞𝑗 = 0 (10) 
Como: 
�̅�𝑖
̇ = 𝑑(𝑚𝑖. �̅�𝑖)/𝑑𝑡 
 
Vamos a tratar de incluir también al otro factor 
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
 dentro de la derivada… 
Si hacemos: 
𝑑 (𝑚𝑖. �̅�𝑖.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
 
Vemos que: 
𝑑 (𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
= 𝑚𝑖.
𝑑�̅�𝑖
𝑑𝑡
.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
+ 𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
 
O sea: 
17/28 
 
𝑑 (𝑚𝑖. �̅�𝑖.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
= �̅�𝑖
̇ .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
+ 𝑚𝑖. �̅�𝑖.
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
 
Por lo tanto, 
�̅�𝑖
̇ .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
=
𝑑 (𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
− 𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
 (11) 
Donde, la última derivada: 
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
= ∑ (
𝜕2𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗 . 𝜕𝑞𝑘
.
𝑑𝑞𝑘
𝑑𝑡
)
𝑓
𝑘=1
+
𝜕 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝜕𝑡
=
𝜕
𝜕𝑞𝑗
. [∑ (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑘
.
𝜕𝑞𝑘
𝑑𝑡
)
𝑓
𝑘=1
+
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑡
] 
Recordemos que: que 
�̅�𝑖 = 𝑓𝑖(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡) 
Entonces: 
�̅�𝑖 =
𝑑�̅�𝑖
𝑑𝑡
=
𝜕�̅�𝑖
𝑞1
.
𝜕𝑞1
𝜕𝑡
+
𝜕�̅�𝑖
𝑞2
.
𝜕𝑞2
𝜕𝑡
+
𝜕�̅�𝑖
𝑞3
.
𝜕𝑞3
𝜕𝑡
+ ⋯+
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑡
= ∑
𝜕�̅�𝑖
𝑞𝑘
.
𝜕𝑞𝑘
𝜕𝑡
𝑓
𝑘=1
+
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑡
 
Y por lo tanto, 
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
=
𝜕
𝜕𝑞𝑗
. [∑ (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑘
. �̇�𝑘)
𝑓
𝑘=1
+
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑡
] =
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞𝑗
 (12) 
Como en el punto 8 habíamos visto que: 
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
=
𝜕𝑟�̅�/𝜕𝑡
𝜕𝑞𝑗/𝜕𝑡
=
𝜕�̅�𝑖
𝜕�̇�𝑗
 (13) 
Retomando la ecuación (10), que repetimos para que ud. no retroceda: 
∑[(𝑄𝑗) − ∑(�̅�𝑖
̇ .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑛
𝑖=1
]
𝑓
𝑗=1
. 𝑑𝑞𝑗 = 0 
Conforme a la (11), se puede escribir: 
∑[(𝑄𝑗) − ∑(
𝑑 (𝑚𝑖. �̅�𝑖.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
− 𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
)
𝑛
𝑖=1
]
𝑓
𝑗=1
. 𝑑𝑞𝑗 = 0 
Y por la (12) y la (13): 
18/28 
 
∑[(𝑄𝑗) − ∑(
𝑑 (𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝜕�̅�𝑖
𝜕�̇�𝑗
)
𝑑𝑡
− 𝑚𝑖. �̅�𝑖 .
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞𝑗
 )
𝑛
𝑖=1
]
𝑓
𝑗=1
. 𝑑𝑞𝑗 = 0 
Teniendo en cuenta que 𝑚𝑖. �̅�𝑖. 𝜕�̅�𝑖 =
1
2
. 𝑚𝑖. �̅�𝑖
2 = 𝑇𝑖, es la energía cinética de la 
partícula i-ésima. Entonces: 
∑
[
 
 
 
 
 
 
(𝑄𝑗) − ∑
(
 
 
 
 𝜕 (
𝑑 (
1
2 .𝑚𝑖. �̅�𝑖
2)
𝑑𝑡
)
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕 (
1
2 .𝑚𝑖. �̅�𝑖
2)
𝜕𝑞𝑗
)
 
 
 
 𝑛
𝑖=1
]
 
 
 
 
 
 
𝑓
𝑗=1
. 𝑑𝑞𝑗 = 0 
 
∑[(𝑄𝑗) −
𝑑
𝑑𝑡
𝜕
𝜕�̇�𝑗
∑(
1
2
.𝑚𝑖. �̅�𝑖
2)
𝑛
𝑖=1
+
𝜕
𝜕𝑞𝑗
∑(
1
2
.𝑚𝑖. �̅�𝑖
2 )
𝑛
𝑖=1
]
𝑓
𝑗=1
. 𝑑𝑞𝑗 = 0 
Como las coordenadas generalizadas que nosotros utilizamos en esta 
descripción, sí son independientes entre sí, entonces estas ecuaciones se 
pueden desacoplar, dando lugar a f ecuaciones de la forma: 
[(𝑄𝑗) −
𝑑
𝑑𝑡
𝜕
𝜕�̇�𝑗
∑(
1
2
.𝑚𝑖. �̅�𝑖
2)
𝑛
𝑖=1
+
𝜕
𝜕𝑞𝑗
∑ (
1
2
.𝑚𝑖. �̅�𝑖
2 )
𝑛
𝑖=1
] . 𝑑𝑞𝑗 = 0 
Y teniendo en cuenta que: 𝑑𝑞𝑗 ≠ 0, que ∑ (
1
2
. 𝑚𝑖. �̅�𝑖
2)𝑛𝑖=1 = 𝑇, y acomodando un 
poco, queda: 
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑻
𝝏�̇�𝒋
−
𝝏𝑻
𝝏𝒒𝒋
 = 𝑸𝒋 (𝟏𝟒) 
Las (14) se conocen con el nombre de expresiones de Lagrange para sistemas 
holónomos, en función de las fuerzas generalizadas (Qj). Esas expresiones son 
válidas para sistemas holónomos, tanto conservativos como no conservativos. 
La restricción de holónomos es necesaria porque bajo esta suposición hemos 
logramos eliminar las fuerzas reactivas en la ecuación simbólica de la mecánica. 
Expandiéndolas: 
 
 
 
 
19/28 
 
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑻
𝝏�̇�𝟏
−
𝝏𝑻
𝝏𝒒𝟏
 = 𝑸𝟏 
 
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑻
𝝏�̇�𝟐
−
𝝏𝑻
𝝏𝒒𝟐
 = 𝑸𝟐 (𝟏𝟓) 
− − − − − − − − − − 
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑻
𝝏�̇�𝒇
−
𝝏𝑻
𝝏𝒒𝒇
 = 𝑸𝒇 
Las ecuaciones (15) resultan de la expansión de la (14). En ellas no figuran las 
fuerzas de Restricción y constituyen una alternativa para plantear las ecuaciones 
de movimiento en función de las variables qj. 
Es fácil observar que si las coordenadas qj coinciden con la cartesianas, y no 
intervienen fuerzas de restricción, caso por ejemplo de una partícula libre, las 
ecuaciones (15) se reducen a la segunda ley de Newton: 
Demostración. 
Supongamos, una única partícula (n=3), libre (f=3). La resultante de las fuerzas 
exteriores activas (las únicas que hay, porque es una partícula libre), es �̅�. 
Entonces: 
�̅� = 𝑥. 𝑖̌ + 𝑦. 𝑗̌ + 𝑧. �̌� 
Y que: 
�̅� = 𝐹𝑥. 𝑖̌ + 𝐹𝑦. 𝑗̌ + 𝐹𝑧. �̌� 
Entonces, 
�̅� = �̇�. 𝑖̌ + �̇�. 𝑗̌ + �̇�. �̌� 
Entonces la energía cinética (T) será: 
𝑇 =
1
2
.𝑚. �̅�2 =
1
2
.𝑚. (�̇�2 + �̇�2 + �̇�2) 
Si tenemos tres grados de libertad, entonces j = 3; 
Y si elegimos las coordenadas generalizadas coincidentes con las cartesianas: 
𝑞1 = 𝑥, 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛, �̇�1 = �̇� 
𝑞2 = 𝑦, 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛, �̇�2 = �̇� 
𝑞3 = 𝑧, 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛, �̇�3 = �̇� 
 
Y las fuerzas generalizadas, Qj, serán: 
20/28 
 
𝑄1 = ∑�̅�𝑖
𝑎
𝑛
𝑖=1
.
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞1
= 𝐹𝑥. 1 + 𝐹𝑦. 0 + 𝐹𝑧. 0 = 𝐹𝑥 
𝑄2 = ∑�̅�𝑖
𝑎
𝑛
𝑖=1
.
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞2
= 𝐹𝑦. 1 = 𝐹𝑦 
𝑄3 = ∑�̅�𝑖
𝑎
𝑛
𝑖=1
.
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞3
= 𝐹𝑧. 1 = 𝐹𝑧 
Las ecuaciones 15, se reducen a tres: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�1
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞1
 = 𝑄1 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�2
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞2
 = 𝑄2 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�3
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞3
 = 𝑄3 
Luego, 
𝜕𝑇
𝜕𝑞1
=
𝜕𝑇
𝜕𝑥
=
𝜕
1
2 .𝑚. (�̇�
2 + �̇�2 + �̇�2)
𝜕𝑥
= 0 
𝜕𝑇
𝜕𝑞2
=
𝜕𝑇
𝜕𝑦
= 0 
𝜕𝑇
𝜕𝑞3
=
𝜕𝑇
𝜕𝑧
= 0 
Y 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�1
=
𝑑
𝑑𝑡
{
𝜕 [
1
2 .𝑚. (�̇�
2 + �̇�2 + �̇�2)]
𝜕�̇�
} =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚. �̇�) = 𝑚. �̈� 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�2
=
𝑑
𝑑𝑡
{
𝜕 [
1
2 .𝑚. (�̇�
2 + �̇�2 + �̇�2)]
𝜕�̇�
} =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚. �̇�) = 𝑚. �̈� 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�3
=
𝑑
𝑑𝑡
{
𝜕 [
1
2
.𝑚. (�̇�2 + �̇�2 + �̇�2)]
𝜕�̇�
} =
𝑑
𝑑𝑡
(𝑚. �̇�) = 𝑚. �̈� 
 
21/28 
 
Volviendo a armar las ecuaciones (15) con el modelo: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑓
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑓
 = 𝑄𝑓, 
tendremos: 
𝑚. �̈� − 0 = 𝐹𝑥 
𝑚. �̈� − 0 = 𝐹𝑦 
𝑚. �̈� − 0 = 𝐹𝑧 
Que no son otra cosa que la segunda ley de Newton, escrita en forma escalar 
(en componentes). 
 
14. Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos conservativos. 
 Si el sistema es conservativo, entonces, existe una función potencial V (función 
escalar), tal que el campo de fuerzas se puede escribir como un campo de 
gradientes de esa función potencial: 
�̅�𝑖
𝑎 = −∇𝑖(V) 
Entonces, la fuerza generalizada, quedaría: 
𝑄𝑗 = ∑�̅�𝑖
𝑎.
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞𝑗
𝑛
𝑖=1
= ∑−∇𝑖(V).
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞𝑗
𝑛
𝑖=1
= −
𝜕𝑉
𝜕𝑞𝑗
 
El resto de los términos, son todos nulos. 
Lo anterior se puede ver más fácil, si de nuevo, hacemos n=1 (una sóla partícula 
y hacemos coincidir a las coordenadas generalizadas con las cartesianas. Para 
este caso particular: 
𝑄1 = ∑−∇𝑖(V).
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞1
𝑛
𝑖=1
= ∑−
∂(V)
∂x
. 𝑖̌.
𝜕(𝑥. 𝑖̌ + 𝑦. 𝑗̌ + 𝑧. �̌�)
𝜕𝑥
1
𝑖=1
= −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
 
 
También: 𝑄2 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
,y 𝑄3 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
, y en definitiva 𝑄𝑗 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑞𝑗
 
Retomando la (14), que expresaba las ecuaciones de Lagrange para sistemas 
holónomos: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑗
 = 𝑄𝑗 (14) 
Y reemplazando Qj para el caso de sistemas conservativos: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑗
 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑞𝐽
 
22/28 
 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑗
+
𝜕𝑉
𝜕𝑞𝐽
 = 0 
Los dos últimos términos los podemos agrupar, porque están derivados respecto 
de la misma variable, que es la coordenada generalizada asociada al grado de 
libertad j: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕(𝑇 − 𝑉)
𝜕𝑞𝑗
 = 0 
En el primer término no aparece V, pero igual lo podemos introducir de “prepo”, 
ya que no depende de �̇�𝑗, por lo que su derivada será nula: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕(𝑇 − 𝑉)
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕(𝑇 − 𝑉)
𝜕𝑞𝑗
 = 0 
De esta manera simplificamos la escritura de la ecuación. Porque ahora, si a esta 
nueva magnitud, que resulta de sumar la energía cinética más la potencial, la 
llamamos Lagrangiano: L. La ecuación anterior nos queda: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕(𝐋)
𝜕�̇�𝑗
−
𝜕(𝐋)
𝜕𝑞𝑗
 = 0 (16) 
Donde, como dijimos antes, L = T-V; o sea, es la suma de las energías cinética 
y potencial (mejor dicho la resta). 
La ecuación anterior, también está desacoplada y se debe repetir para cada 
grado de libertad. Es decir, tendremos f ecuaciones del siguiente modo: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕(𝐋)
𝜕�̇�1
−
𝜕(𝐋)
𝜕𝑞1
 = 0 
 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕(𝐋)
𝜕�̇�2
−
𝜕(𝐋)
𝜕𝑞2
 = 0 (17) 
− − − − − − − − − − 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕(𝐋)
𝜕�̇�𝑓
−
𝜕(𝐋)
𝜕𝑞𝑓
 = 0 
Tanto las ecuaciones (17) como la (16), expresan las ecuaciones de Lagrange 
para sistemas holónomos conservativos. Si el sistema es no conservativo, hay 
que recurrir a las expresiones (14) y (15), que son más generales. 
 
15. Ecuaciones de Lagrange con parámetros superabundantes. 
23/28 
 
El vector posición de la partícula i, podía quedar expresado en función de las 
coordenadas generalizadas, como: 
�̅�1 = 𝑓1(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑓; 𝑡) 
Luego, podemos escribir: 
𝑑�̅�1 = ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
+
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 
Vemos que, al contrario que el desplazamiento virtual, 𝛿𝑟�̅�, éste sí depende del 
tiempo t. 
En cambio, el desplazamiento virtual era: 
𝛿𝑟�̅� = ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
 
La velocidad, habíamos visto: 
�̅�𝑖 =
𝑑�̅�𝑖
𝑑𝑡
= ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
.
𝑑𝑞𝑗
𝑑𝑡
𝑓
𝑗=1
+
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑡
.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. �̇�𝑗
𝑓
𝑗=1
+
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑡
 
En cambio, la velocidad virtual, asociada a un desplazamiento virtual, que no 
depende del tiempo, será: 
�̅�𝑖𝑟𝑡 =
𝛿�̅�𝑖
𝛿𝑡
= ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
.
𝛿𝑞𝑗
𝛿𝑡
𝑓
𝑗=1
 
Bien. Vamos a intentar utilizar, ahora, más coordenadas generalizadas, que las 
” f “ que veníamos utilizando, que eran linealmente independientes. 
O sea, para el caso de la dinámica de partículas, por ejemplo, si tenemos “n” 
partículas, tendremos 3.n grados de libertad, por supuesto que no son 
linealmente independientes. Pero tendremos para elegir hasta 3.n parámetros. 
¿La idea cuál es? La idea es muy sencilla, si con f coordenadas generalizadas 
podemos armar f ecuaciones linealmente independientes (lo cual nos permitiría 
resolver problemas con hasta f incógnitas), si aumentamos el número de 
parámetros (o de coordenadas generalizadas) a m, podremos resolver 
problemas con mayor número de incógnitas. 
Donde m tiene que ser 𝑓 ≤ 𝑚 ≤ 3. 𝑛, y 3. 𝑛 − 𝑘 = 𝑓. O sea que también 𝑓 ≤ 𝑚 ≤
𝑓 + 𝑘: 
El hecho es que estos parámetros que van desde f hasta 3.n, están ligados entre 
sí, a través de k ecuaciones de ligadura. Estas son justamente las k ecuaciones 
24/28 
 
de restricción, que habíamos visto en el punto 4 (Restricciones), y que habíamos 
denominado ecuaciones (3), 
𝑔1(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; 
𝑔2(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; 
 𝑔3(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; (3) 
− − − − − − − − − − − − − 
𝑔𝑘(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0; 
Esta forma de escribirla, puede variar en función del tipo de sistema (sistema 
holónomo-esclerónomo, holónomo-reónomo, anholónomo-esclerónomo y 
anholónomo-reónomo), e incluso convertirse en una inecuación. 
Lo mismo ocurre con las derivadas de las coordenadas generalizadas. No son 
independientes entre sí. 
Volvamos entonces a la ecuación simbólica de la mecánica, en cualquiera de 
sus formas, por ejemplo la (7): 
∑(�̅�𝒊
𝒂𝒄𝒕 − �̅�𝒊
̇ ) . 𝜹�̅�𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟎 
Si reemplazamos de nuevo la expresión del desplazamiento virtual, pero ahora 
expresado en función de m parámetros o coordenadas generalizadas (dentro de 
las cuales hay f que son independientes, pero m-f dependientes), tendremos: 
𝛿�̅�𝑖 = ∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
 
Nos queda: 
∑(�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 − �̅�𝑖
̇ ) .
𝑛
𝑖=1
∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
= 0 
Distribuimos (igual que antes): 
∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝑛
𝑖=1
∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
− ∑�̅�𝑖
̇
𝑛
𝑖=1
.∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
= 0 
∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝑛
𝑖=1
∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
− ∑
𝑑�̅�𝑖
𝑑𝑡
𝑛
𝑖=1
.∑
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
= 0 
∑∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
− ∑∑
𝑑�̅�𝑖
𝑑𝑡
.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= 0 
25/28 
 
Antes, al desarrollar las expresiones de Lagrange para sistemas holónomos, 
habíamos eliminado los 𝛿𝑞𝑗, porque eran independientes entre sí y por lo tanto 
no podían ser nulos. Ahora no podemos asegurar lo mismo. 
Para sacar la derivada temporal afuera de la sumatoria del segundo término, 
tenemos que hacer igual que antes y restar el término adicional que aparecerá 
al derivar el desplazamiento virtual (ver ecuación 11). 
∑∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
− ∑∑
𝑑
𝑑𝑡
[�̅�𝑖.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
− �̅�𝑖.
𝑑 (
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
)
𝑑𝑡
] . 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= 0 
Que, teniendo en cuenta la (12) y la (13): 
∑∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
. 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
− ∑∑
𝑑
𝑑𝑡
[�̅�𝑖.
𝜕�̅�𝑖
𝜕�̇�𝑗
− �̅�𝑖.
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞𝑗
] . 𝛿𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
= 0 
Para quitarnos de encima los 𝛿𝑞𝑗, que sabemos que puede haber hasta k valores 
dependientes, vamos a forzar la igualdad a cero agregando términos que 
satisfagan la condición de nulidad para un valor determinado de k parámetros, 
de valor a determinar: 
∑∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
− ∑∑
𝑑
𝑑𝑡
[�̅�𝑖.
𝜕�̅�𝑖
𝜕�̇�𝑗
− �̅�𝑖 .
𝜕�̅�𝑖
𝜕𝑞𝑗
]
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
+ ∑∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑘
𝑠=1
= 0 
Los primeros dos términos deberían resultarnos conocidos. El primero 
corresponde a las fuerzas generalizadas, asociadas a cada uno de los m 
coordenadas elegidas. 
El segundo no es otra cosa que la derivada temporal, de la derivada de la energía 
cinética respecto de las derivadas temporales de las coordenadas generalizadas 
(�̇�𝑗): 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑗
, y; 
El tercero, también está asociado a la energía cinética: 
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑗
. 
Ordenando un poco y desacoplando, en función de los parámetros o 
coordenadas: 
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑻
𝝏�̇�𝒋
−
𝝏𝑻
𝝏𝒒𝒋
= ∑�̅�𝒊
𝒂𝒄𝒕.
𝝏𝒓�̅�
𝝏𝒒𝒋
𝒏
𝒊=𝟏
+ ∑ 𝝀𝒔.
𝝏𝒈𝒔
𝝏𝒒𝒋
𝒌
𝒔=𝟏
 (𝟏𝟖) 
Éste es un sistema, de m x m+k. O sea, que tiene m ecuaciones con m+k 
incógnitas: 
- Hay “m” en términos de coordenadas generalizadas (𝑞𝑗, con 𝑗 = 1… ,𝑚, y 
con 𝑚 > 𝑓 ); 
26/28 
 
- Pero también hay “k” incógnitas adicionales en términos de los 
parámetros de Lagrange, 𝜆𝑠. 
Luego, para poder resolverlo habrá que agregar k ecuaciones. Estas son 
justamente, las k ecuaciones de restricción. 
El juego que representa la (18), expandido queda: 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�1
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞1
= ∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞1
𝑛
𝑖=1
+ ∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞1𝑘
𝑠=1
 
 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�2
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞2
= ∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞2
𝑛
𝑖=1
+ ∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞2
𝑘
𝑠=1
 (19) 
− − − − − − − − − − − − − − − − − − 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑚
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑚
= ∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑚
𝑛
𝑖=1
+ ∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞𝑚
𝑘
𝑠=1
 
 
Y como se dijo, para poder resolverlo es necesario incorporar las k ecuaciones 
de restricción (19)+(3): 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�1
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞1
= ∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞1
𝑛
𝑖=1
+ ∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞1
 
𝑘
𝑠=1
 
 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�2
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞2
= ∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡 .
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞2
𝑛
𝑖=1
+ ∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞2
𝑘
𝑠=1
 (19) 
− − − − − − − − − − − − − − − − − − 
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
𝜕�̇�𝑚
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞𝑚
= ∑�̅�𝑖
𝑎𝑐𝑡.
𝜕𝑟�̅�
𝜕𝑞𝑚
𝑛
𝑖=1
+ ∑𝜆𝑠.
𝜕𝑔𝑠
𝜕𝑞𝑚
𝑘
𝑠=1
 
𝑔1(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0 
 𝑔2(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0 (3) 
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − 
𝑔𝑘(𝑞1; 𝑞2; 𝑞3; … ; 𝑞𝑛; �̇�1; �̇�2; �̇�3; … ; �̇�𝑛; 𝑡) = 0 
Estas ecuaciones tienen validez para sistemas holónomos y anholónomos, 
esclerónomos, conservativos y no conservativos. 
Si el sistema fuera conservativo, la expresión (18) por ejemplo, se reduciría a: 
27/28 
 
𝒅
𝒅𝒕
𝝏𝑳
𝝏�̇�𝒋
−
𝝏𝑳
𝝏𝒒𝒋
= ∑𝝀𝒔.
𝝏𝒈𝒔
𝝏𝒒𝒋
𝒌
𝒔=𝟏
 (𝟐𝟎) 
17. Ecuaciones canónicas de Hamilton. 
 
Hamilton define una función H, que denominaremos “Hamiltoniano”, que nos 
permite incrementar el número de ecuaciones, reduciendo su orden en una 
unidad (recordemos que las ecuaciones de Lagrange son de segundo orden). 
Seguidamente vamos a pasar a una formulación rápida, derivando al lector 
interesado a la abundante bibliografía que existe sobre el tema. 
𝐻 = ∑
𝜕𝐿
𝜕�̇�𝑗
. �̇�𝑗
𝑓
𝑗=1
− 𝐿 (1) 
Donde: 
- f son los DOF netos. Para el caso de partículas: f=3.n-k; 
- k cantidad de restricciones; 
- 𝑞𝑗 coordenadas generalizadas, en este caso independientes entre sí; 
- L: Lagrangiano (L=T-V). 
 
Si llamamos Impulso generalizado, a la siguiente expresión: 
𝒑𝒋 =
𝝏𝑳
𝝏�̇�𝒋
 (𝟐) 
Luego, la ecuación de Lagrange para sistemas holónomos conservativos, podría 
escribirse: 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝜕𝐿
�̇�𝑗
) −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑗
= 0 
𝑑
𝑑𝑡
𝑝𝑗 −
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑗
= 0 
Y, 
�̇�𝒋 =
𝝏𝑳
𝝏𝒒𝒋
 (𝟑) 
Reemplazando (2) en (1), el Hamiltoniano queda: 
𝐻 = ∑𝑝𝑗. �̇�𝑗
𝑓
𝑗=1
− 𝐿 
28/28 
 
Y como el Lagrangiano, 𝐿 = 𝑓(�̇�𝑗; 𝑞𝑗; 𝑡), entonces: 
𝑑𝐻 = ∑(𝑝𝑗 . 𝑑�̇�𝑗 + �̇�𝑗. 𝑑𝑝𝑗)
𝑓
𝑗=1
− ∑
𝜕𝐿
𝜕�̇�𝑗
. 𝑑�̇�𝑗
𝑓
𝑗=1
− ∑
𝜕𝐿
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 
Que aplicando las relaciones indicadas en (2) y en (3): 
𝑑𝐻 = ∑(𝑝𝑗. 𝑑�̇�𝑗 + �̇�𝑗. 𝑑𝑝𝑗)
𝑓
𝑗=1
− ∑𝑝𝑗. 𝑑�̇�𝑗
𝑓
𝑗=1
− ∑�̇�𝑗. 𝑑𝑞𝑗
𝑓
𝑗=1
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 
𝑑𝐻 = ∑(�̇�𝑗 . 𝑑𝑝𝑗 − �̇�𝑗. 𝑑𝑞𝑗)
𝑓
𝑗=1
−
𝜕𝐿
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 
Además como 𝐻 = 𝑓(𝑝𝑗; 𝑞𝑗; 𝑡), tendremos: 
𝑑𝐻 = ∑(
𝜕𝐻
𝜕𝑝𝑗
. 𝑑𝑝𝑗 +
𝜕𝐻
𝜕𝑞𝑗
. 𝑑𝑞𝑗) +
𝜕𝐻
𝜕𝑡
. 𝑑𝑡 =
𝑛
𝑗=1
 
Comparando las últimas dos, se debe cumplir que: 
𝝏𝑯
𝝏𝒑𝒋
= �̇�𝒋 
 
𝝏𝑯
𝝏𝒒𝒋
= −�̇�𝒋 (𝟒) 
𝝏𝑯
𝝏𝒕
=
𝝏𝑳
𝝏𝒕
 
Las expresiones referidas como (4), conforman un sistema de 2.f + 1 ecuaciones 
de primer orden. Si el Lagrangiano no depende del tiempo, entonces, como 
indica la última, el Hamiltoniano tampoco, y el sistema se reduce a 2.f ecuaciones 
diferenciales de primer orden. 
 
18. Bibliografía: 
 
a. Mecánica, de Luis Roque Argüello, editorial Answer Justa in Time; 
b. Mecánica, de Ángel Rodolfo Alessio, editorial CEIT; 
c. Mecánica Racional, de Liberto Ércoli y V. Azurmendi, Edutecne, UTN; 
d. Mecánica Analítica, de E. Y. Mulia y M.Y. Martínez, editado por la UNAM 
(Univ. Nacional de Méjico); 
e. Mecánica, de Marcelo Rod. Danta, Publicado por la Univ. de Sevilla; 
f. Mecánica Teórica, de Ricardo R. Hertig, editorial El Ateneo; 
g. Mecánica, tomo II, de Fermín V. Heberlein, editado por la UNAM; 
29/28 
 
h. Introducción a la Mecánica Analítica, de Héctor Vucetich, editorial 
Eudeba; 
i. Mecánica teórica, de Jaume Carot y J. Ibáñez, Editorial Reverté; 
j. Mecánica Analítica, selección de problemas resueltos, serie Limusa; de 
D.F. Lawden; editorial Limusa.