Geometria de Masas II

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Departamento: Física Aplicada III
Mecánica Racional (Ingeniería Industrial)
 Curso 2006-07 
 
2
 
Geometría de masas II: El tensor de Inercia 
 
1 Momentos de Inercia respecto de elementos coordenados. 
a. Respecto de planos 
2 2, ,x y zI x dm I y dm I z dm
τ τ τ
= = =∫ ∫ ∫ 
b. Respecto de ejes 
2 2 2 2 2 2( ) , ( ) , ( )xx yy zzI y z dm I x z dm I x y dm
τ τ τ
= + = + = +∫ ∫ ∫ dm
z
y x
O
X
Y
Z
c. Respecto del origen 
2 2 2( )OI x y z dm
τ
= + +∫ 
d. Productos de Inercia 
, ,xy xz yz ,I xy dm I xz dm I yz dm
τ τ τ
= = =∫ ∫ ∫ 
e. Relaciones 
, ,xx y z yy x z zz x yI I I I I I I I I= + = + = + 
O x y zI I I I= + + 
1 ( )
2O xx yy zz
I I I I= + + 
2 Momento de inercia respecto de una recta. 
Sea la recta ( , )O υ . El momento de inercia respecto de la recta vale 
2I dmυυ
τ
= Δ∫ 
donde Δ es la distancia desde el elemento de masa dm a la recta. 
 ( ) ( )2 22 r rυΔ = − 
rυ expresa la proyección del vector r sobre la recta ( , )O υ . 
En forma matricial el producto escalar se puede calcular mediante la expresión ( )1
rT υ = υT r 
Con lo cual Δ2= r2 (υT υ) – (υT r)(rT υ) 
La propiedad asociativa de las matrices nos permite escribir ( )2 
Δ2= r2 (υT υ) – υT (r rT) υ= r2 (υT U υ) – υT (r rT) υ 
De esta forma podemos sacar factor común υT y υ 
O
P
Δ
r ν
r ν
d m
τ
 
1 Las letras negrilla indican vector columna, y el superíndice (T) indica matriz traspuesta ó vector fila 
2 U indica matriz unidad 
Geometría de masas II. El tensor de Inercia 
 Δ2= υT [ r2 U – rrT] υ 
Sustituyendo queda rI dmυυ = ∫ T 2 T
τ
υ ( U - rr )υ 
Teniendo en cuenta que υT y υ son independientes de la distribución de masas 
 (r )I dυυ
τ
m
⎡ ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫T 2 Tυ U - rr υ 
La integral es independiente de la dirección υ, aunque si depende del punto O a 
través del vector , se conoce como tensor de inercia en el punto O y lo 
denominaremos 
r
( )I O , su expresión desarrollada es 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
0 0
I(O) 0 0
0 0
x y z x xy xz
x y z yx y yz dm
x y z zx zy zτ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛+ +
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜
= + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜
⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
∫
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
 
2 2
2 2
2 2
I(O) .
y z xy xz
xy x z yz dm
xz yz x yτ
⎛ ⎞+ − −
⎜ ⎟
= + −⎜ ⎟
⎜ ⎟− − +⎝ ⎠
∫ 
Se observa que el tensor es simétrico, los elementos de la diagonal principal 
coincide con los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados y las 
demás componentes coinciden con los productos de inercia cambiados de signo : 
( )
xx xy xz
xy yy yz
xz yz zz
I P P
I O P I P
P P I
⎛ ⎞− −
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠
 
Los elementos del tensor de inercia se pueden expresar de forma subindicada ( )3
 ( )2, ,( )i j i j i jI O r x x
τ
δ= −∫ dm
T
 
 (1) 
Ahora podemos expresar el momento de inercia respecto de la recta (O,υ) 
mediante el tensor de inercia 
T
υυI = υ I (O) υ 
Para considerar I(O) como tensor de segundo orden debemos demostrar que es 
invariante en las transformaciones de coordenadas y que se transforma como un 
tensor. Sea α la matriz del cambio de base, si tenemos en cuenta que 
υ' = αυ , y T Tυ' = υ α
se obtiene υυI
T T T T= υ ' I'(O) υ ' = (α υ ) I '(O) (α υ ) = υ α I'(O) α υ
Iυυ es un escalar y es independiente de las transformaciones de coordenadas, 
escrito con las coordenadas antiguas es , comparando con el 
resultado anterior se obtiene y despejando 
υ υI
T= υ I(O) υ
= TI (O) α I'(O) α ' T=I (O) α I(O) α
 
3 δi,j es la delta de Kronecker y viene dada por δi,j=1 si i=j, en otro caso δi,j=0 ) 
Pag. 2/7 
Geometría de masas II. El tensor de Inercia 
 Lo que indica que en un cambio de coordenadas se transforma como un tensor de 
segundo orden. 
3 Traslación de la base: Teorema de Steiner. Campo de 
tensores 
Sea G el centro de masas de la distribución. 
OP OG GP= + 
Las magnitudes que intervienen en (1) se expresan ( )4
( ) ( ) ( )2 22 2 ' 2 , i i ir OP OG GP OG GP x x x= = + + ⋅ = +
sustituyendo en (1) se obtiene 
( ) ( ) ( ) ( )( )22 2 ', , ,( ) 2i j i j i j i j i i j j'I O r x x dm OG GP OG GP x x x x dm
τ τ
δ δ⎡ ⎤⎡ ⎤= − = + + ⋅ − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ 
Que puede descomponerse en varias integrales 
 
• ( ) ( )( ) 2 2, ,( )M Gi j i j i j i j i j,I O OG x x dm M OG x x
τ
δ⎡ ⎤ ⎡= − = −⎣ ⎦ ⎣∫ δ ⎤⎦ : Componentes del tensor de 
inercia de una supuesta masa puntual M situada en el c.d.m. 
O
X
Y
Z
G
Y ’
Z ’
P
dm
• ( )2 ' ', ,( )i j i j i jI G GP x x d
τ
δ⎡= −⎢⎣∫ m
⎤
⎥⎦
: Tensor de inercia en G 
• 0OG GP dm OG GP dm
τ τ
⋅ =∫ ∫ = : Se anula por ser el numerador de la expresión 
del vector de posición del punto G relativo a G. 
• ' ' 0i j i jx x dm x x dm
τ τ
=∫ ∫
Mz
O
X
Z
G
dzz
Y
= , se anula por la misma razón 
anterior con la coordenada ' jx , del c.d.m. 
 
Resumiendo queda: 
2
, ,( ) ( ) ( )i j i j ij i jI O I G M r x xδ= + − 
De forma simbólica 
 ,( ) ( ) ( )M GI O I G I O= + ( )5 (2) 
En forma matricial 
 
' ' ' 2 2
' ' ' 2 2
' ' ' 2 2
xx xy xz xx xy xz
xy yy yz xy yy yz
xz yz zz xz yz zz
I I I I I I y z x y x z
I I I I I I M x y x z y z
I I I I I I x z y z x y
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + − −
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
⎟
 
 
Los momentos de inercia son los elementos de la diagonal principal 
 2, ,( ) ( )i i i i iiI O I G M d= +
 
donde dii representa la distancia entre los ejes i . 
 
Mientras que los elementos que no están en la diagonal principal son los productos 
de inercia cambiados de signo 
 , ,( ) ( )i j i j i jP O P G M x x= + 
 
 
4 x’i(i=1,2,3) representan las coordenadas relativas al c.d.m. y ix las coordenadas del c.d.m. 
5 , ( )M GI O , indica el tensor de inercia en O de una supuesta masa puntual M situada en G. 
Pag. 3/7 
Geometría de masas II. El tensor de Inercia 
4 Rotación de la base del tensor de inercia 
a. Expresión 
I’(0)= α I(O) αT 
b. Aplicación: Varilla delgada 
rotada 
El tensor de inercia de una varilla 
delgada en el punto G y direcciones ( )1 2 3, ,u u u vale 
2
0 0 0
1( ) 0 1 0
12
0 0 1
I G ML
⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
La matriz α del cambio de base obedece a la expresión . Sus 
elementos son los cosenos directores de los versores 
U'=αU
( )' ' '1 2 3, ,u u u , es decir 
'
,i j i ju uα = . En el caso plano que nos ocupa 
cos 0
cos 0
0 0
sen
sen
θ θ
α θ θ
⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
θ
θ
u1
u2
u’2
u’1
G
1
con lo cual puede calcularse el tensor en la nueva base 
2
2 2
cos 0 0 0 0 cos 0 cos 0
1 1'( ) cos 0 0 1 0 cos 0 cos cos 0
12 12
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
sen sen sen sen
I G sen ML sen ML sen
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
 
5 Propiedad aditiva del tensor de inercia 
a. Expresión 
Supóngase una distribución de masas que pueda dividirse en dos partes 
disjuntas A y B, por la aditividad de las integrales se verifica 
( ) ( ) ( )
A B A B
dI O dI O dI O= +∫ ∫ ∫
∪
 
Lo que nos dice, que el tensor de inercia de una distribución de masas de 
un conjunto de partes disjuntas puede obtenerse sumando los tensores de 
inercia de cada una de las partes individuales. 
b. Aplicación 
Calcúlese el tensor de inercia de una línea cuadrada uniforme de lado L, 
en el centro O del cuadrado y tómese como ejes coordenados las 
direcciones de los lados del mismo. 
Sugerencia: Descompóngase la figura tomando cada lado como una 
distribución de masas. Como el tensor en el c.d.m. de cada lado es 
conocido (varilla delgada), aplíquese el teorema de Steiner para determinar 
el tensor de cada lado en el centro del cuadrado. Posteriormente puede 
sumarse para obtener el resultado final. 
Pag. 4/7 
u2
u1
O
A
BC
D
L
 
Geometría de masas II. El tensor de Inercia 
6 Propiedades de las direcciones principales 
a. I1,3(O)= I2,3(O)=0 ↔ (O, 3u ) es E.P.I. ( ) 6 en O 
I. I1,3(O)= I2,3(O)=0 → (O, 3u ) es E.P.I. en O 
11 12 13 13
3 12 22 23 23 3 13 123 2 33 3
13 23 33 33
0
( ) 0 ( )
1
I I I I
I O u I I I I I O u I u I u I u
I I I I
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = → = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ (3) 
Si I1,3(O)= I2,3(O)=0 → 3 33 3( )I O u I u= 
Lo que indica que u3 y su vector transformado son colineales, es 
decir u es d.pp.de inercia 3
3
II. (O, ) es E.P.I. en O → I3u 1,3(O)= I2,3(O)=0 
Si u es d.pp. significa que 3 3( )I O u uλ= . Como ( )1 2 3, ,u u u es una base 
ortogonal sus versores son linealmente independientes, para que 
además se cumpla (3) ha de ser 
I1,3(O)= I2,3(O)=0 
b. (O,O’, u ) E.P.I. en O y O’ → G є (O, u3 3 ) 
Tomaremos (O,O’, u ) en el eje OZ. 3
(O, ) E.P.I. en O y (O’, u3u 3 ) E.P.I. en O’ → I1,3(O)= I1,3(O’)=0 
Aplicamos el teorema de Steiner en O y en O’ al producto de inercia( )7 P1,3
1,3 1,3 1 3
' '
I
1,3 1,3 1 3
( ) ( )
( ') ( )
O I G Mx x
Pag. 5/7 
I O I G Mx x
= −
= −
 
Restando miembro a miembro resulta 
' '
Z ’O’
X
Y
Z
Y ’
O
G(x,y,z)
1 3 1 3x x x x= 
por construcción x1=x’1, x3=c+x’3 (c: distancia entre O y O’), ello nos 
indica que la igualdad anterior solo puede ser cierta si '1 1 0x x= = 
Análogamente puede demostrarse que 2 0x = 
Ambas conclusiones significan que el c.d.m. (G) está situado en OX3, es 
decir es eje baricentral 
c. (G, u ) es E.P.I. en G ↔ (G, u3 3 ) es E.P.I. en O 3( , )O G u∀ ∈ 
I. (G, u ) es E.P.I. en G → (G, 3 3u ) es E.P.I. en O ∀ ∈ 3( , )O G u
Aplicando el teorema de Steiner al producto de inercia P1,3
1,3 1,3 1 3( ) ( )I O I G Mx x= − 
Como (G, ) es E.P.I en G I3u 1,3(G)=0 según (a) y 1 0x = por 
construcción, luego I1,3(O)=0 
Análogamente puede demostrarse que I2,3(O)=0. 
Ambas conclusiones significan según el teorema (a), que (O,u ) es 
E.P.I. siendo O cualquier punto del eje (G,u
3
3 ). 
 
6 E.P.I.: Abreviatura de eje principal de inercia 
7 ix indica la coordenada xi del c. d.m. 
Geometría de masas II. El tensor de Inercia 
II. (O, ) es E.P.I. en O 3u 3( , )O O u∀ ∈ → (O, 3u ) es E.P.I. en G 
(O, ) es E.P.I. en O 3u 3( , )O O u∀ ∈ → (O, 3u ) es E.P.I. en dos de sus 
puntos O y O’. Según (b) 3( , )G O u∈ , y en particular (G, ) es 
E.P.I. en O=G 
3u
III. Conclusión: Un eje baricentral es E.P.I. en un todos sus 
puntos o no lo es en ninguno. 
d. (O, ) E.P.I. en O y (O, 1u 2u ) E.P.I. en O → (O, 3u ) E.P.I. en O. 
(O, 1u ) E.P.I. en O → I12(O)= I13(O)=0 
(O, ) E.P.I. en O → I2u 12(O)= I23(O)=0 
Pero I13(O)= I23(O)=0 → (O, 3u ) E.P.I. en O 
Conclusión: Si dos ejes son E.P.I. en O, el tercero también los es. 
 
e. Todo eje perpendicular a un plano de simetría es E.P.I. en el 
punto de intersección. 
Tomemos el plano x3=0 de simetría y (O, 3u ) un eje perpendicular al plano 
en el punto O. Ello significa que si existe un elemento de masa dm en el 
punto P(x1, x2, x3), ha de existir otro elemento de la misma masa en el 
punto P’(x1, x2, –x3). 
Sean τ 1, τ2 dos semiespacios separados por el plano de simetría y 
apliquemos la propiedad aditiva del tensor de inercia. 
1 2 1 1
1,3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3( ) 0I O x x dm x x dm x x dm x x dm x x dmτ τ τ τ τ− = = + = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
X
Y
Z
= 
Análogamente puede demostrarse que I2,3(O)=0. 
Por la propiedad (a) (O, 3u ) es E.P.I. en O. 
O
P(x,y,z)
P(x,y,-z)
f. Todo eje de simetría es E.P.I. en cualquier punto del eje. 
Como todo eje de simetría es baricentral tomemos (G, u ) como eje de 
simetría. Ello también significa que si existe un elemento de masa dm en el 
punto P(x
3
1, x2, x3), ha de existir otro elemento de la misma masa en el 
punto P’(–x1, –x2, x3). Si aplicamos la propiedad aditiva con ambos 
elementos de masa a los producto de inercia resulta I1,3(G)=0 y I2,3(G)=0. 
con lo cual (G, u ) es E.P.I. en G. 3
Por otra parte según la propiedad (c) (G, u3
Pag. 6/7 
), será E.P.I. en cualquier 
punto del eje. 
XG 2
P(x ,x ,x )1 2 3
P(-x ,-x ,x )1 2 3
 X1
g. Caso de figuras planas 
Tomaremos z=0 como plano de figura. → z=0 es plano de simetría 
Consecuencias 
I. Izz = Ixx + Iyy 
Iz=0; Ixx=Iy; Iyy=Ix
r2 = x2 + y2 → Izz=Ixx+ Iyy 
Geometría de masas II. El tensor de Inercia 
II. Todo eje normal al plano de figura es E.P.I. en el punto 
de intersección 
III. Todo eje normal a uno de simetría es E.P.I. en el punto 
de intersección 
 
7 Movimientos de invarianza de los momentos de inercia 
respecto de un eje 
a. Traslación respecto del eje 
b. Rotación respecto del eje 
c. Simetría respecto de una recta normal al eje 
d. Simetría respecto de un punto del eje 
 (d)
 
 
 
(a) (b) 
 
 
 
 
8 Bibliografía. 
• “Cuadernos de Mecánica. Cinemática y Tensores”. Pablo Hervás Burgos, 
Marcelo Rodríguez Danta, José Martínez García. Universidad de Sevilla 
 
• “Curso de MECÁNICA RACIONAL. Dinámica”. Manuel Prieto Alberca. 
Editorial A.D.I. 
 
• “Mecánica del sólido rígido”, Carlos F. González Fernández. Ariel Ciencia 
 
• “MecFunNet”, Departamento de Física Aplicada, ETSII, UPM 
http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/ 
 
 
 
Pag. 7/7 
	1 Momentos de Inercia respecto de elementos coordenados.
	Respecto de planos 
	b. Respecto de ejes 
	c. Respecto del origen 
	d. Productos de Inercia
	e. Relaciones
	2 Momento de inercia respecto de una recta.
	3 Traslación de la base: Teorema de Steiner. Campo de tensores
	 
	Rotación de la base del tensor de inercia
	a. Expresión
	I’(0)= α I(O) αT
	b. Aplicación: Varilla delgada rotada 
	5 Propiedad aditiva del tensor de inercia
	a. Expresión
	b. Aplicación
	6 Propiedades de las direcciones principales
	a. I1,3(O)= I2,3(O)=0 ↔ (O, ) es E.P.I. ( ) en O
	I. I1,3(O)= I2,3(O)=0 → (O, ) es E.P.I. en O
	II. (O, ) es E.P.I. en O → I1,3(O)= I2,3(O)=0 
	b. (O,O’, ) E.P.I. en O y O’ → G є (O, ) 
	c. (G, ) es E.P.I. en G ↔ (G, ) es E.P.I. en O 
	I. (G, ) es E.P.I. en G → (G, ) es E.P.I. en O 
	II. (O, ) es E.P.I. en O → (O, ) es E.P.I. en G
	III. Conclusión: Un eje baricentral es E.P.I. en un todos sus puntos o no lo es en ninguno.
	d. (O, ) E.P.I. en O y (O, ) E.P.I. en O → (O, ) E.P.I. en O.
	e. Todo eje perpendicular a un plano de simetría es E.P.I. en el punto de intersección.
	f. Todo eje de simetría es E.P.I. en cualquier punto del eje.
	g. Caso de figuras planas
	Consecuencias 
	I. Izz = Ixx + Iyy
	II. Todo eje normal al plano de figura es E.P.I. en el punto de intersección
	III. Todo eje normal a uno de simetría es E.P.I. en el punto de intersección
	7 Movimientos de invarianza de los momentos de inercia respecto de un eje
	a. Traslación respecto del eje
	b. Rotación respecto del eje
	c. Simetría respecto de una recta normal al eje
	Simetría respecto de un punto del eje
	8 Bibliografía.