CAP 7 _Masa Variable

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CAPÍTULO 7 Sistemas de Masa Variable 
 
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SISTEMAS DE MASA VARIABLE 
 
I. INTRODUCCIÓN. 
 
Podemos distinguir en principio dos tipos de sistemas de partículas diferentes: 
• Los sistemas de partículas discretos; 
• Los sistemas de partículas continuos. Donde la palabra continuo tiene validez dentro 
del estudio macroscópico, que es el que aborda la mecánica clásica. 
 
a. Sistemas discretos: 
En todos los sistemas de este tipo, las partículas serán perfectamente distinguibles 
entre sí, y mensurables. La cantidad de partículas, además, no se modifica durante el 
movimiento. 
Ahora bien, puede suceder: 
i. Que las distancias relativas entre las partículas, permanezcan constantes; en cuyo 
caso el sistema tendrá un comportamiento muy similar al de un cuerpo rígido y su 
estudio podrá abordarse desde ambos puntos de vista: como Sistema de 
Partículas, y/o como Cuerpo Rígido. 
 
ii. Que las partículas se puedan mover libremente y qué, por tanto, exista un 
movimiento relativo definido. Entonces no serán válidas entonces las hipótesis de 
rigidez, y deberá utilizarse la formulación específica para los sistemas de 
partículas de masa constante y permanente, que veremos a la brevedad. 
 
b. Sistemas continuos. 
Son sistemas con infinitas partículas, indistinguibles entre sí. Es el caso típico de los 
medios fluidos, aunque no tiene por qué estar limitado a este tipo de modelos. Casos de 
material aportado en una cinta transportadora, eslabones de una cadena, una soga o una 
cuerda que cae, son casos de sistemas continuos que no encuadran precisamente en la 
categoría de fluidos, y pueden ser considerados como sistemas continuos. 
Al hablar de continuo, prescindimos de la composición íntima de las partículas que 
componen la materia y permanecemos dentro del universo macroscópico, que es el campo 
de validez de la mecánica clásica. 
Dentro de éstos, tendremos: 
i. Sistemas continuos de partículas cuya masa total permanece, y donde la distancia 
entre las partículas también permanece constante. Estos sistemas constituyen 
cuerpos rígidos, y su estudio dinámico lo encaramos en la unidad denominada: DCR. 
ii. Sistemas donde las partículas tienen movilidad relativa permanente, que es el caso 
típico de los medios fluidos. El estudio de la dinámica de los fluidos da origen a varias 
materias específicas, como la mecánica del continuo y la mecánica de los fluidos. No 
obstante aquí, intentaremos hacer una brevísima aproximación al método Euleriano 
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a partir de la modificación de la segunda ley de Newton. Este método nos permitirá 
abordar además, problemas de sistemas continuos, que como dijimos antes, no 
encuadran en la categoría de fluidos. 
 
Para el caso particular de los fluidos, vamos a distinguir tres posibles situaciones: 
 
• Sistemas donde existe una variación neta de masa con el tiempo. Es decir, existe 
un caudal másico que entra o sale del sistema en forma permanente, pero la tasa 
de ingreso no es igual a la de salida. Esta aproximación es la que nos permitirá 
también estudiar sistemas de masa variable, no fluidos. 
 
• Sistemas donde ingresa y sale en forma permanente la misma cantidad de masa 
pero la pérdida o ganancia neta por unida de tiempo es nula. En estos casos 
suele haber un cambio de dirección en la corriente fluida que provoca una 
variación de la cantidad de movimiento. Este caso es típico de los medios fluidos 
propiamente dichos. Ver el capítulo sistemas de partículas de masa variable del 
libro Mecánica Vectorial para Ingenieros, tomo de dinámica, de Beer-Johsnton. 
 
• Sistemas donde se combinan las dos situaciones anteriores: Que haya cambio 
de dirección y variación del caudal másico al mismo tiempo. En este caso ya 
conviene recurrir a una formulación más completa para la dinámica de los fluidos. 
Ver, por ejemplo, el capítulo 3 de Dinámica de los Fluidos de William Hughes, de 
Serie Schaum. 
 
 
II. HIPÓTESIS. 
 
• S: Superficie que encierra un sistema continuo o discreto de masas; 
• �̅�𝑒: Velocidad absoluta de una porción pequeña de masa ∆𝑚, que en el instante t, 
está ingresando al sistema. 
• �̅�𝑂1: Velocidad absoluta del centro de masas del sistema contenido en S, en el 
instante t 
• Segunda Ley de Newton para un Sistema de Partículas: 
�̅� =
𝑑�̅�𝑆
𝑑𝑡
 
Donde: 
{
�̅�: 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑦; 
�̅�𝑆: 𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
 
• Sistema: Toda la masa m(t), que varía con el tiempo, contenida en por la 
superficie S, más la masa ∆𝑚, que ingresa en el instante 𝑡 + ∆𝑡. 
 
 
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III. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO PARA LOS SIST. DE MASA VARIABLE. 
Esquema en el instante inicial (antes de incorporar o perder masa): 
 
En el instante siguiente, tendremos: 
 
 
En el instante t: �̅�𝑆(𝑡) = 𝑚. �̅�𝑂1 + ∆𝑚. �̅�𝑒 
En el instante 𝑡 + ∆𝑡: �̅�𝑆(𝑡 + ∆𝑡) = (𝑚 + ∆𝑚). (�̅�𝑂1 + ∆�̅�) 
La variación de la Cantidad de movimiento vendrá dada por: 
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∆�̅�𝑆 = �̅�𝑆(𝑡 + ∆𝑡) − �̅�𝑆(𝑡) 
 
∆�̅�𝑆 = [(𝑚 + ∆𝑚). (�̅�𝑂1 + ∆�̅�)] − (𝑚. �̅�𝑂1 + ∆𝑚. �̅�𝑒) 
 
∆�̅�𝑆 = 𝑚. �̅�𝑂1 + ∆𝑚. �̅�𝑂1 + 𝑚. ∆�̅� + ∆𝑚. ∆�̅� − 𝑚. �̅�𝑂1 − ∆𝑚. �̅�𝑒 
 
Hay dos términos que se cancelan (𝑚. �̅�𝑂1) 𝑦 (−𝑚. �̅�𝑂1), y ∆𝑚. ∆�̅� es un infinitésimo 
de orden superior. Entonces: 
∆�̅�𝑆 = ∆𝑚. �̅�𝑂1 + 𝑚. ∆�̅� − ∆𝑚. �̅�𝑒 
 
Dividiendo por ∆𝑡 y pasando al límite: 
 
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
∆�̅�𝑆
∆𝑡
= lim
∆𝑡→0
(
∆𝑚. �̅�𝑂1 + 𝑚. ∆�̅� − ∆𝑚. �̅�𝑒
∆𝑡
) 
 
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
(
𝑚. ∆�̅� − ∆𝑚. (�̅�𝑒 − 𝑉𝑂1̅̅ ̅̅̅)
∆𝑡
) 
 
Pero la velocidad �̅�𝑒 se puede escribir como: �̅�𝑒 = �̅�𝑂1 + �̅�𝑟, donde �̅�𝑟 es la velocidad 
relativa de la masa ∆𝑚 que ingresa al sistema en el instante 𝑡 + ∆𝑡, medida desde el sistema 
S. 
 
Entonces: 
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
(
𝑚. ∆�̅� − ∆𝑚. �̅�𝑟
∆𝑡
) 
Y, 
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= lim
∆𝑡→0
(
𝑚. ∆�̅�
∆𝑡
) − lim
∆𝑡→0
(
∆𝑚. �̅�𝑟
∆𝑡
) 
 
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑚 . lim
∆𝑡→0
(
∆�̅�
∆𝑡
) − �̅�𝑟. lim
∆𝑡→0
(
∆𝑚
∆𝑡
) 
 
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡) − �̅�𝑟. �̇�(𝑡) 
Y finalmente: 
�̅� =
𝑑�̅�𝑆(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡) − �̅�𝑟. �̇�(𝑡) 
 
�̅� ± �̇�(𝒕). �̅�𝒓 = 𝒎 . �̅�𝑶𝟏(𝒕) 
 
Donde: 
 
• �̇�(𝒕) Es el caudal másico (masa por unidad de tiempo). En los problemas tipo 
cinta transportadora, donde se incorpora masa, el término será positivo. En los 
problemas tipo motor (cohete o de reacción), será negativo; 
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• �̅�𝒓, Es la Velocidad relativa. Como toda velocidad relativa, se mide desde el 
sistema de referencia móvil, S. El signo de �̅�𝑟 puede ser el más difícil de 
determinar; como se mide desde el sistema, hay que pensar cómo se puede 
obtener �̅�𝑒 a partir de la velocidad del sistema (�̅�𝑂1): ¿Sumándole o restándola la 
velocidad relativa? 
• �̅�𝑂1(𝑡), o simplemente �̅�(𝑡), es la aceleración que experimenta el sistema. Se 
puede escribir en forma indistinta: �̅�𝑂1, �̅�, �̅�𝑂1(𝑡), �̅�(𝑡); explicitando, o no, la 
dependencia del tiempo, y; explicitando, o no el subíndice O1. 
• �̅�, es la resultante de las fuerzas exteriores al sistema. 
 
NOTAS: 1) Si la masa no varía, �̇�(𝒕) = 𝟎, y la ecuación se reduce a la segunda ley 
de Newton; 2) En esta descripción, �̅�𝑂1 y �̅�𝑒 son velocidades absolutas. Donde �̅�𝑂1juega el 
papel de velocidad de arrastre, de manera que �̅�𝑒 = �̅�𝑂1 + �̅�𝑟𝑒𝑙 
 
 
IV. Modificación de la ecuación para masa variable, para los problemas de flujo 
estacionario. 
En los casos de flujo estacionario (o de corriente estacionaria), donde tenemos varios 
puertos de entrada y salida de masa del sistema, el término: ±�̇�(𝒕). �̅�𝒓 de laecuación de masa 
variable (�̅� ± �̇�(𝑡). �̅�𝑟 = 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡)), tendremos que analizarlo en cada puerto de 
entrada/salida: 
 
�̅� ± �̇�(𝒕). �̅�𝒓 = 𝒎 . �̅�𝑶𝟏(𝒕) 
�̅� ± (�̇�(𝒕). �̅�𝒓)⌋𝟏 ± (�̇�(𝒕). �̅�𝒓)⌋𝟐 … = 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡) 
 
 
V. EJEMPLOS 
 
Ejemplo N° 1 
 
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Una cadena de masa unitaria “k” (masa por unidad de longitud), se encuentra 
amontonada sobre una mesa y los eslabones comienzan a caer por un orificio. Sin considerar 
el rozamiento, hallar y resolver la ecuación de movimiento. 
 
Si k es la masa por unidad de longitud, entonces: 
𝑑𝑚 = 𝑘. 𝑑𝑥 
De donde: 
∫ 𝑑𝑚
𝑚
0
= ∫ 𝑘. 𝑑𝑥
𝑥
0
 
 
𝑚 = 𝑘. 𝑥 
 
�̇� = 𝑘. �̇� 
 
�̅�𝑒𝑥𝑡 = 𝑘. 𝑥. 𝑔. 𝑖1̌ 
 
 Un observador no inercial, fijo a la cadena, observa desde el orificio de entrada que el 
material que está a punto de ingresar, se aleja de él con la velocidad relativa que él mismo 
lleva hacia abajo. Por lo tanto: 
�̅�𝑟𝑒𝑙 = �̅�𝑟 = −�̇�. 𝑖1̌ 
 
La aceleración del sistema es: 
�̅�𝑂1 = �̈�. 𝑖1̌ 
 
Aplicando la fórmula: 
�̅�𝑒𝑥𝑡 ± �̇�(𝑡). �̅�𝑟 = 𝑚 . �̅�(𝑡) 
 
𝑘. 𝑥. 𝑔. 𝑖1̌ + (𝑘. �̇�). (−�̇�. 𝑖1̌) = (𝑘. 𝑥). (�̈�. 𝑖|̌) 
 
Lo que equivale a una ecuación escalar en 𝑖1̌: 
 
𝑘. 𝑥. 𝑔 − 𝑘. �̇�2 = 𝑘. 𝑥. �̈� 
 
𝑘. 𝑥. 𝑔 − 𝑘. �̇�2 = 𝑘. 𝑥. �̈� 
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𝑥. 𝑔 = 𝑥. �̈� + �̇�2 
 
𝑥. 𝑔 =
𝑑(𝑥. �̇�)
𝑑𝑡
, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 
𝑑(𝑥. �̇�)
𝑑𝑡
= �̇�2 + 𝑥. �̈� 
 
𝑥. 𝑔 =
𝑑(𝑥. �̇�)
𝑑𝑥
.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
 
𝑥. 𝑔. 𝑑𝑥 = 𝑑(𝑥. �̇�). �̇� 
 
Multiplicamos m.am. por 𝑥: 
𝑥2. 𝑔. 𝑑𝑥 = 𝑥. �̇�. 𝑑(𝑥. �̇�) 
𝑔. ∫ 𝑥2. 𝑑𝑥
𝑥
0
= ∫ 𝑥. �̇�. 𝑑(𝑥. �̇�)
𝑥.�̇�
0
 
 
𝑔.
𝑥3
3
=
(𝑥. �̇�)2
2
 
 
�̇� = √
𝟐
𝟑
. 𝒈. 𝒙 =
𝒈. 𝒕
𝟑
 
Y separando variables de nuevo: 
𝑑𝑥
√2
3 . 𝑔. 𝑥
= 𝑑𝑡 
 
∫
𝑑𝑥
√2
3 . 𝑔. 𝑥
𝑥
0
= ∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
 
 
√
3
2. 𝑔
. ∫
𝑑𝑥
√𝑥
𝑥
0
= ∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
 
 
√
3
2. 𝑔
. ∫ 𝑥−1/2. 𝑑𝑥
𝑥
0
= √
3
2. 𝑔
. (
𝑥−
1
2
+1
−
1
2
+ 1
)|
0
𝑥
= √
3
2. 𝑔
. 2. √𝑥 = 𝑡 
 
𝒙 =
𝒈
𝟔
. 𝒕𝟐 
Ejemplo N° 2 
 
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Sobre una cinta transportadora horizontal que se mueve con velocidad constante, y 
una tolva descarga cereal en ella, con caudal q, constante ( [𝑞] = 𝑘𝑔/𝑚). Hallar la fuerza 
necesaria para mantener a la cinta transportadora en movimiento. 
 
 
𝑞 =
𝑑𝑚
𝑑𝑙
= 𝑐𝑡𝑒 => ∫ 𝑞. 𝑑𝑙
𝑥
𝑙𝑜=0
= ∫ 𝑑𝑚
𝑚
𝑚𝑜=0
=> 𝑚 = 𝑞. 𝑥 
Aplicamos la segunda ley para masa variable: 
�̅� ± �̇�(𝑡). �̅�𝑟 = 𝑚 . �̅�(𝑡) 
 
Donde �̅� es la sumatoria de las fuerzas exteriores, que en este caso (en la dirección 
del movimiento), se limita a la fuerza necesaria para mantener el movimiento. 
Entonces, tendremos: 
𝑚 = 𝑞. 𝑥 
�̇� = 𝑞. �̇� 
�̅�𝑟𝑒𝑙 = �̅�𝑟 = �̅�𝑒 − �̅�𝑂1 = 0̅ − �̇�. 𝑖1̌ = −�̇�. 𝑖1̌ 
En este caso, al igual que el anterior, el volumen de control parece alejarse del cereal 
con velocidad �̇� en la dirección del eje X1, por eso el signo menos para la velocidad relativa. 
Si pretendemos que la cinta se mueva a velocidad (�̅�) constante, entonces la velocidad 
absoluta del sistema de control (que está sobre la cinta), es esa misma constante, y por lo 
tanto su aceleración es nula: �̅�𝑂1 = �̅� = 𝑐𝑡𝑒̅̅ ̅̅ = �̇�. 𝑖1̌ → �̅�𝑂1 = �̈�. 𝑖1̌ = 0̅ 
Reemplazando todo en la expresión de la segunda ley para sistemas con masa 
variable: 
𝐹𝑥 . 𝑖1̌ − 𝑞. 𝑥.̇ �̇�. 𝑖1̌ = 𝑚 .(0. 𝑖1̌ + 0. 𝑗1̌) 
 
𝐹𝑥 − 𝑞. �̇�
2 = 0 
 
𝐹𝑥 − 𝑞. [
𝑑(𝑥. �̇�)
𝑑𝑡
− 𝑥. �̈�] = 𝐹𝑥 − 𝑞.
𝑑(𝑥. �̇�)
𝑑𝑡
= 0 
 
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El primer miembro porque 
𝑑(𝑥.�̇�)
𝑑𝑡
= �̇�2 + 𝑥. �̈�, luego: �̇�2 =
𝑑(𝑥.�̇�)
𝑑𝑡
− 𝑥. �̈�. Y el segundo 
porque �̇� es constante y por lo tanto, �̈� = 0. 
 
∫ 𝐹𝑥 . 𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫ 𝑞. 𝑑(𝑥. �̇�)
𝑥.�̇�
0
 
 
𝐹𝑥 =
𝑞. 𝑥. �̇�
𝑡
= 𝑞.
𝑥
𝑡
. �̇� 
 
Pero como 
𝑥
𝑡
= �̇� = 𝑉𝑂1 = 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒, entonces: 
 
𝑭𝒙 = 𝒒. 𝒗
𝟐 
 
La fuerza es directamente proporcional al caudal de descarga y al cuadrado de la 
velocidad de la cinta. 
 
Ejemplo N° 3: 
 
Una corriente fluida ingresa por la parte superior del codo y cambia su dirección a 90° 
en la salida, en dirección horizontal. La velocidad de ingreso del fluido en V1 (en módulo) y la 
de salida V2, el área de entrada A1 y el de salida A2. El codo está anclado y se pide la reacción 
que ejercerá el codo debido a la circulación del fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideramos un flujo incompresible: 
Continuidad: 
�̇� = 𝑐𝑡𝑒 =
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝜌. 𝐴. 𝑉 
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Si el flujo es incompresible, entonces la densidad no cambia: 
�̇� = 𝑐𝑡𝑒 = 𝐴. 𝑉 
�̅� ± �̇�(𝒕). �̅�𝒓 = 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡) 
�̇� = 𝜌. 𝐴1. 𝑉1 = 𝜌. 𝐴2. 𝑉2 
 
�̅� = �̅� + �̅�𝑑𝑖𝑛 = −𝑉𝑜𝑙. 𝜌. 𝑔. 𝑗̌ + 𝑅𝑥 . 𝑖̌ + 𝑅𝑦. 𝑗̌ 
 
Reemplazando en la ecuación de Newton modificada para masa variable, tendremos: 
 
�̅� ± (�̇�(𝒕). �̅�𝒓)⌋𝟏 ± (�̇�(𝒕). �̅�𝒓)⌋𝟐 = 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡) 
(�̇�(𝒕). �̅�𝒓)⌋𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒅𝒂 =
(𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (−𝑉1. 𝑗1̌) 
(�̇�(𝒕). �̅�𝒓)⌋𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 =
(𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (𝑉2. 𝑖1) 
 
(𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑐ℎ) 𝑀 =
𝐹𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
=
𝑉
𝑉𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜
=
𝑉
√𝛾. 𝑅. 𝑇
 
 
−𝑉𝑜𝑙 . 𝜌. 𝑔. 𝑗̌ + 𝑅𝑥 . 𝑖̌ + 𝑅𝑦. 𝑗̌ + (𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (−𝑉1. 𝑗1̌) − (𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (𝑉2. 𝑖1) = 𝑚 . �̅�𝑂1(𝑡) 
 
Desdoblamos en 2 ecuaciones escalares: 
 
{
𝑖)̌ 𝑅𝑥 − (𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (𝑉2) = 0 
𝑗̌) − 𝑉𝑜𝑙 . 𝜌. 𝑔 + 𝑅𝑦 + (𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (−𝑉1) = 0
 
 
{
𝑖)̌ 𝑅𝑥 − (𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (𝑉2) = 0 
𝑗̌) − 𝑉𝑜𝑙 . 𝜌. 𝑔 + 𝑅𝑦 + (𝜌. 𝐴1. 𝑉1). (−𝑉1) = 0
 
 
 
 
VI. BIBLIOGRAFÍA: 
 
CAPÍTULO 7 Sistemas de Masa Variable 
 
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a. Mecánica de Alessio; 
b. Mecánica Vectorial para Ingenieros, tomo II, Mecánica, de Beer-Johnston, 
Editorial Mc. Graw Hill; 
c. Dinámica de R.C: Hibbeler, editorial Pearson, Prentice Hall; 
d. Dinámica de W. Riley y L. Sturges, editorial Reverté. 
e. Mecánica Teórica de Hertig, editorial El Ateneo.