Semana 1 y 2 Aplicaciones Chi Cuadrado

Vista previa del material en texto

MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA 
INVESTIGACIÓN I
Profesores del curso
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Facultad de Economía y Planificación
Departamento de Estadística e Informática
Aplicaciones Chi-Cuadrado 
Semana 1 y 2
2020-II
OBJETIVOS
Identificar variables de naturaleza Binomial, Poisson y
Multinomial utilizando ejemplos.
Reconocer las características de las pruebas estadísticas
asociadas a la distribución Chi-Cuadrado
Aplicar las pruebas estadísticas asociadas a la distribución Chi
Cuadrado
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
INTRODUCCIÓN
� En la inferencia estadística existen procedimientos
paramétricos y no paramétricos.
� Las pruebas paramétricas exigen el conocimiento de la
distribución teórica de los datos. Mientras que las pruebas no
paramétricas no lo requiere.
� Una variable aleatoria Chi- Cuadrado es de naturaleza
continua y su rango va de 0 a ∞.
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
LA DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
� Es asimétrica positiva
� Los grados de libertad controlan la asimetría.
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN CHI 
CUADRADO
� Pearson (1900) demostró que la distribución
Chi-Cuadrado puede aplicarse para verificar la similitud entre
los datos de conteo resultados de una observación y los
hipotéticos.
� Esta aplicación esta basada en la comparación de las
frecuencias observadas (muestrales) con las frecuencias
esperadas (poblacionales), las cuales pueden provenir de una
tabla de frecuencias o de contingencia.
� Existen otras aplicaciones de la distribución
Chi-Cuadrado tales como la verificación de la homogeneidad
de varianzas en dos o más grupos.
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBAS BASADAS EN LA 
DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO
Pruebas de Bondad de Ajuste
Prueba de Independencia
Prueba de Homogeneidad de 
Subpoblaciones
Prueba de Homogeneidad de 
Varianzas
• Multinomial
• Poisson
• Binomial
• Normal, etc
No Paramétricas
Paramétrica
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE A UNA 
MULTINOMIAL
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
P3) Cálculo del estadístico de Prueba
N°
Categoría de la variable 
cualitativa
Frecuencia 
observada 
(oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei)
1 A1 o1 π1 e1
2 A2 o2 π2 e2
… … … … …
k Ak ok πk ek
Total n 1 n
Donde:
� n: tamaño de muestra
� ei= nπi
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE A 
UNA MULTINOMIAL
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PROCEDIMIENTO
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN I
Una fábrica cuenta con tres máquinas para la producción de un mismo
producto. Durante la última semana de producción se han producido 135
artículos. El jefe de producción cree que las máquinas no producen en
cantidades similares. Por lo que ha solicitado clasifiquen cada producto según
la máquina que la ha producido. A continuación se presenta la tabla de
frecuencia de las cantidades producidas por cada máquina:
Use nivel de significación 5% para probar si la cantidad producida es la misma
en las 3 máquinas.
Máquina A B C
Producción 43 53 39
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN I
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
� P3) Cálculo del estadístico de Prueba
APLICACIÓN I
N°
Categoría de la variable 
cualitativa (Máquina)
Frecuencia 
observada 
(oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei = nπi)
1 A 43 1/3 45 0,08888889 
2 B 53 1/3 45 1,42222222 
k=3 C 39 1/3 45 0,80000000 
Total n=135 1 135
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN I
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
A un nivel de 0.05 de 
significación no existe evidencia 
estadística para rechazar Ho.
No se puede afirmar que las tres máquinas no producen en 
igual proporción.
APLICACIÓN I
Reporte de Minitab
Categoría Observado
Proporción
de prueba Esperado
Contribución a
chi-cuadrada
A 43 0.333333 45 0.08889
B 53 0.333333 45 1.42222
C 39 0.333333 45 0.80000
Prueba Chi-cuadrada de bondad de ajuste para conteos ... producción
Conteos observados y esperados
N GL Chi-cuad. Valor p
135 2 2.31111 0.315
Prueba de chi-cuadrada
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN I
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sea X = número de éxitos en r ensayos independientes, y si
X~Binomial(r,p) entonces:
Donde:
� r es el número de ensayos
� p es la probabilidad de éxito
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
LA DISTRIBUCIÓN POISSON
Sea X = número de sucesos que ocurren en intervalos de
tamaño t, con promedio de sucesos por unidad de intervalo
(t=1) igual a v; si X~Poisson(vt=λ) entonces:
E(X) = λ = vt V(X) = λ = vt
Donde:
� t es el tamaño del intervalo
� v es el promedio de sucesos por unidad de intervalo (t=1)
� vt es el promedio de sucesos por intervalo de tamaño t
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE A UNA 
BINOMIAL O POISSON
P1) Planteamiento de hipótesis:
H0: La variable X se ajusta a una distribución “A”
H1: La variable X no se ajusta a una distribución “A”
P2) Nivel de significación: α
P3) Cálculo del estadístico de Prueba
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
P3) Cálculo del estadístico de Prueba
N°
Valor de la variable 
cuantitativa
Frecuencia 
observada 
(oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei)
1 x1 o1 π1 e1
2 x2 o2 π2 e2
… … … … …
k xk ok πk ek
Total n 1 n
Donde:
� n: tamaño de muestra
� ei= nπi
� πi = P(x=xi) , usando la función de probabilidad de la distribución especificada en
la hipótesis nula.
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE A UNA 
BINOMIAL O POISSON
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE A UNA 
BINOMIAL O POISSON
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-I
APLICACIÓN II 
Con el fin de realizar afiliaciones a un seguro médico, un vendedor de pólizas
de seguros hace cuatro llamadas diarias. Una muestra de 210 días da como
resultado las frecuencias del número de ventas realizadas tal como se muestra
en la siguiente tabla:
Se desea verificar si el número de ventas realizadas diariamente sigue una
distribución Binomial a un nivel de significación del 5%.
N° de ventas 
realizadas
0 50
1 75
2 65
3 15
4 5
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN II
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN II
N°
Número de 
días (oi) 
1 0 50 0
2 1 75 75
3 2 65 130
4 3 15 45
k=5 4 5 20
Total 210 270
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
� Esta probabilidad de éxito será utiliza para calcular las probabilidades teóricas que a
la vez servirán para calcular las frecuencias esperadas:
.
.
.
La frecuencia observada de la última clase es menor que cinco.
APLICACIÓN II
N°
Número de días 
(oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei = nπi)
1 0 50 0.212023 44.5247586
2 1 75 0.401727 84.3627004
3 2 65 0.285438 59.9419187
4 3 15 0.090138 18.929027
k=5 4 o más 5 0.010674 2.2415953
Total n=210 1.0000 210
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
� La tabla final quedaría con los siguientes resultados: 
APLICACIÓN II
N°
Frecuencia 
observada (oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei = nπi)
1 0 50 0.212023 44.5247586 0.673294359
2 1 75 0.401727 84.3627004 1.039086694 
3 2 65 0.285438 59.9419187 0.426816269 
k=4 3 y 4 20 0.1008125 21.1706223 0.064729155 
Total n=210 1.0000 210.00
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN II
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
A un nivel de 0.05 de 
significación no existe evidencia 
estadística para rechazar Ho.
� P5) Conclusión
No se puede afirmar que la variable número de ventasrealizadas tenga una
distribución distinta a la Binomial.
APLICACIÓN II
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN III
Se cree que el número de accidentes automovilísticos diarios en un cruce de
dos avenidas de determinada ciudad tiene una distribución de Poisson. En una
muestra de 80 días del año pasado se obtuvieron los datos de la tabla adjunta.
¿Apoyan estos datos la hipótesis de que el número diario de accidentes tiene
una distribución de Poisson? Use nivel de significación 0.05 y concluya usando
p-valor y el estadístico de prueba
N° accidentes
0 34
1 25
2 11
3 7
4 3
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN III
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
� P3) Cálculo del estadístico de prueba
APLICACIÓN III
N°
Frecuencia 
observada 
(oi) 
1 0 34 0
2 1 25 25
3 2 11 22
4 3 7 21
k=5 4 3 12
Total n=80 80
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN III
N°
Frecuencia 
observada (oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei = nπi)
1 0 34 0.3679 29.43
2 1 25 0.3679 29.43
3 2 11 0.1839 14.72
4 3 7 0.0613 4.90
k=5 4 o más 3 0.0190 1.52
Total n=80 1.0000 80.00
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
� La tabla final quedaría con los siguientes resultados: 
APLICACIÓN III
N°
Frecuencia 
observada (oi) 
Probabilidad
teórica (πi)
Frecuencia 
esperada
(ei = nπi)
1 0 34 0.3679 29.43 0.7096
2 1 25 0.3679 29.43 0.6668
3 2 11 0.1839 14.72 0.9401
k=4 3 o más 10
0.0613+0.019= 
0.0803
6.42 1.9963
Total n=80 1.0000 80.00
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN III
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN III
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PREGUNTA 1
En un estudio para determinar la opinión de los agricultores
sobre un nuevo tipo de insecticida se tomó una muestra
aleatoria de 400 agricultores en una región, obteniéndose los
siguientes resultados:
Probar si la opinión de los agricultores respecto al nuevo tipo de
insecticida no se distribuye en la proporción: 2:4:6:5:3. Use α =
0.01
Opinión muy bueno bueno regular malo muy malo total
Frecuencia 25 60 175 120 20 400
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PREGUNTA 2
Un vendedor de semillas hace cuatro llamadas diarias. Una
muestra aleatoria de 100 días da como resultado las frecuencias
de ventas que vemos a continuación:
En los registros históricos se conoce que el 30% de las llamadas
se concretaron en una venta. Suponga que las llamadas son
independientes, ¿El número de ventas que se concretan por día
sigue una distribución binomial? Use α = 0.01.
Número de ventas 0 1 2 3 4 
Número de días 30 32 25 10 3
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PREGUNTA 3
Una empresa estudia el número de defectos en unas tarjetas de
video que se fabrican para unos equipos de meteorología. Se
obtiene una muestra aleatoria de las tarjetas y se observa el
número de defectos que hay. Los resultados obtenidos se
muestran a continuación
Probar si los datos se ajustan a una distribución teórica.
Use α= 0.05
Número de defectos 0 1 2 3 4 
Frecuencia 17 13 9 5 7
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBAS EN TABLAS DE CONTINGENCIA
Característica A
Total
a1 a2 … ac
Carac. B
b1 o11 o12 … o1c n1.
b2 o21 o22 … o2c n2.
… … … … … …
bf of1 of2 … ofc nr.
Total n.1 n.2 n.c n..
Tabla de Contingencia cxf
Donde:
� oij es una frecuencia observada conjunta
� ni. y n.j son frecuencias marginales fila y columna, respectivamente
� n.. es el tamaño de muestra
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBAS EN TABLAS DE CONTINGENCIA
� Utiliza una muestra
� Evalúa dos características
� Las frecuencias marginales son
aleatorias.
Prueba de Independencia
Prueba de Homogeneidad 
de Subpoblaciones
� Utiliza dos o más muestras
� Evalúa una característica
� Una de las frecuencias marginales
es fija y la otra aleatoria.
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBA DE INDEPENDENCIA
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
P3) Cálculo del estadístico de Prueba
PRUEBA DE INDEPENDENCIA
Característica A
Total
a1 a2 … ac
Carac. B
b1 o11
(e11)
o12
(e12)
… o1c
(e1c)
n1.
b2 o21
(e21)
o22
(e22)
… o2c
(e2c)
n2.
… … … … … …
bf of1
(ef1)
of2
(ef2)
… ofc
(efc)
nr.
Total n.1 n.2 n.c n..
Tabla de Contingencia para frecuencias observadas y esperadas
Donde:
� eij es una frecuencia esperada conjunta
� .
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBA DE INDEPENDENCIA
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
COEFICIENTE DE CONTINGENCIA
0 1
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN IV
El jefe de una planta industrial desea determinar si existe relación entre el
rendimiento en el trabajo y turno laboral del empleado. Se tomó una muestra
aleatoria de 400 empleados y se obtuvo los siguientes resultados:
Con el nivel de significación 0.01
� a) ¿La calificación del rendimiento del trabajador está asociada con el turno
en el que labora el empleado? Analice la magnitud de la asociación, si la
hubiera
Rendimiento 
en el trabajo
Turno laboral
Mañana Tarde Noche Total
Deficiente 23 60 29 112
Promedio 28 79 60 167
Muy bueno 9 49 63 121
Total 60 188 152 400
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN IV
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN IV
Rendimiento en 
el trabajo
Turno laboral
Mañana Tarde Noche Total
Deficiente 23
(16.80)
60
(52.64)
29
(42.56)
112
Promedio 28
(25.05)
79
(78.49)
60
(63.46)
167
Muy bueno 9
(18.15)
49 
(56.87)
63
(45.98)
121
Total 60 188 152 400
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
�
APLICACIÓN IV
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
� b) El grado de asociación entre estas dos variables es: 
APLICACIÓN IV
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN IV
Mañana Tarde Noche Todo
Deficiente 23 60 29 112
16.80 52.64 42.56
Promedio 28 79 60 167
25.05 78.49 63.46
Muy 
Bueno
9 49 63 121
18.15 56.87 45.98
Todo 60 188 152 400
Estadísticas tabuladas: Rendimiento, Turno
Usando frecuencias en Frecuencia
Filas: Rendimiento Columnas: Turno
Chi-cuadrada GL Valor p
Pearson 20.179 4 0.000
Relación de 
verosimilitud
20.892 4 0.000
Contenido de la 
celda
Conteo
Conteo esperado
Prueba de chi-cuadrada
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN IV
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE 
SUBPOBLACIONES
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN V
Muestras de tres tipos de materiales, sujetos a cambios extremos de
temperatura (desintegración), produjeron los resultados que se muestran en
la siguiente tabla:
Use un nivel de significancia de 0.05 para probar si, en las condiciones
establecidas, la probabilidad de desintegración es diferente en al menos uno
de los tres tipos de materiales. Use el valor P y prueba estadística.
Condición
Materiales
Material A Material B Material C Total
Desintegrados 41 27 22 90
Permanecieron 
intactos
79 53 78 210
Total 120 80 100 300
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN V
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN V
� P3) Cálculo del estadístico de Prueba 
Condición
Materiales
Material A Material B Material C Total
Desintegrados 41
(36)
27
(24)
22
(30)
90
Permanecieron 
intactos
79
(84)
53
(56)
78
(70)
210
Total 120 80 100 300
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN V
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
A un nivel de 0.05 de significación 
no existe evidencia estadística para 
rechazar Ho.
No se puede afirma que las condiciones de desintegración no se distribuya 
homogéneamente en los tipos de materiales.PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE 
VARIANZAS
� Evalúa si la variabilidad de una variable continua es homogénea
en dos o más poblaciones.
� A diferencia de las anteriores, esta prueba es de tipo
paramétrica
� Requiere de los siguientes supuestos:
o Las muestras son aleatorias
o Las muestras son independientes
o Los datos que provienen de las muestras son normales
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE 
VARIANZAS
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE 
VARIANZAS
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN VI
Una empresa usa 4 máquinas para el llenado de bolsas de detergente. Todas las
máquinas son de la misma marca y modelo. Dichas máquinas están programadas para
llenar 250 gr. en cada bolsa de detergente. El jefe de producción se ha quejado de que
las 4 máquinas presentan cierto nivel de variabilidad en la cantidad de detergente de
cada bolsa. Un especialista encargado por la compañía selecciona al azar 6 bolsas de
c/u de las máquinas y posteriormente pesa las bolsas. Los resultados obtenidos se
muestran a continuación:
Repetición
Máquinas
A B C D
1 250.3 249.3 250 251.1
2 250.2 246.8 251.1 250.1
3 249.9 248.3 250.9 248.9
4 249.3 247.9 248.3 249.3
5 250.6 249.7 248.9 251
6 250.3 249.9 249.9 249.9
Total 1500.6 1491.9 1499.1 1500.3
Promedio 250.10 248.65 249.85 250.05
0.2 1.44 1.2 0.78
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN VI
p-valor= 0.254 p-valor= 0.576
p-valor= 0.630 p-valor= 0.621
a. Pruebe el supuesto de normalidad utilizando los reportes. Use α=0.05
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN VI
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN VI
� P3) Cálculo del estadístico de Prueba
0.20 1.44 1.20 0.78
-1.6094 0.3646 0.1823 -0.2485
5 5 5 5 20
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
APLICACIÓN VI
�
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
FÓRMULAS
Métodos Estadísticos para la Investigación I 2020-II
Referencias
� R.G.D. Steel, & Torrie, J.H.(1985). Bioestadística Principios y 
Procedimientos. McGraw Hill, ed Bogotá, Colombia.
� Porras, J. (2017). Pruebas No Paramétricas Usando R. Lima. 
UNALM .
� Ramsey, F. L., & Schafer, D. W. (2002). The statistical sleuth: A 
course in methods of data analysis. Australia: 
Duxbury/Thomson Learning
� Agresti, A. (2002) Categorical Data Analysis, (2nd Ed). Wiley-
Interscience. New Yersey 
�