funciones

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
 DE LOS LLANOS OCCIDENTALES
 “EZEQUIEL ZAMORA”
CONTADURIA PUBLICA 
BARINAS EDO BARINAS
FUNCIONES E NTEGRACION EN LA RECTA REAL
Autor:
Lisandro Ramírez
CI 30.533.059
Barinas, febrero 2023
INDICE
Contenido pag.
INTRODUCCION ………………………………………………………………………. 4
Definición de Función …………………………………………………………………... 5
Diferencia entre Función y Relación……………………………………………………. 5
Dominio ………………………………………………………………………………… 6
Rango …………………………………………………………………………………… 7
¿Para qué se representa una grafica?................................................................................. 8
TIPOS DE FUNCIONES 
Función Constante ………………….…………………………………………………... 8
Función Lineal…………………..………………….…………………………………. 10
Función cuadrática …………………………………...………………………………. 14
Función Logarítmica…………………………………………………......…………… 17
Función exponencial………………………………………………...………………… 20
FUNCION RAMIFICADA…………………...………………………………………. 22
RELEVANCIA DE LAS FUNCIONES EN EL CALCULO……………...…………. 22
DIFERENCIA Y SEMEJANZAS ENTRE DOMINIO Y RANGO ……………….... 24
LA INTEGRAL INDEFINIDA
Concepto………………………………………………………………………………. 24
Propiedades elementales de la integral indefinida……………………………………. 25
EJEMPLOS 
Integrales en función cuadrática…………………………………………………………. 26
Integrales en funciones Racionales ………………………...…………………………… 27
Integrales en Función Exponenciales……………..…………….………………………. 30
Integrales en Funcion Logarítmica………………………………………………………. 30
INTEGRAL DEFINIDA ………………………………………………………………… 31
Propiedades Elementales ………………………………………………………………… 31
Teorema Fundamental del cálculo ………………………………………………………. 32
METODOS DE INTEGRACION 
Integración Directa ………………………………………………………………………. 33
Integración por Sustitución………………………………………………………………. 33
Integración por Parte ……………………………………………………………………. 34
Áreas entre Curvas como integral definida ……………………………………………… 35
APLICACIONHJ DE LA INTEGRAL 
Áreas del Circulo mediante Integración…………………………………………………. 36
Área entre dos curvas, ejemplos ………………………………………………………… 37
Aplicación del Calculo Integral en Contabilidad………………………………………… 38
CONCLUSION…………………………………...………………………………………. 41
BIBLIOGRAFIA…………………………………………………………………………. 42
ANEXOS ………………………………………………………………………………… 43
INTRODUCCION
Unos de los conceptos más importantes en matemáticas es el de función, ya que la podemos aplicar en numerosas situaciones de la vida y determinar las relaciones que existen entre magnitudes, tanto en matemáticas, física, economía, entre otros, y así calcular el valor de una de ellas en función de otra de las que depende.
 cuando René Descartes (1596-1650), Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) definieron una función como una dependencia entre dos cantidades variables. Pero la notación f(x) fue introducida A pesar de que en ese momento ya se utilizaban las funciones para hacer cálculos algebraicos, e incluso se publicaban teorías y libros sobre las funciones, su definición aún no estaba completa y pasaron siglos hasta que el matemático Édouard Goursat (1858-1936) en el año 1923 llegó a la definición de función que en la mayoría de libros actuales se usa: «se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y=f(x)».un poco más tarde por Alexis Claude Clairaut (1713-1765) y Leonhard Euler (1707-1783).
 Usamos funciones matemáticas cuando estamos interesados en conocer cómo se comporta una variable con respecto a otra. En física las usamos para relacionar la velocidad con la aceleración o la energía potencial con la altura, entre muchísimos otros ejemplos de fórmulas que relacionan entre sí a dos o más variables. Las funciones también están presentes en la economía y muchas otras ciencias. Si un contable desea recuperar la información perdida en una factura tras un descuido con u Una función matemática (también llamada simplemente función) es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda. también pueden representarse como ecuaciones, acudiendo a variables y signos aritméticos para expresar la relación existente entre las magnitudes. Dichas ecuaciones, a su vez, podrán resolverse, despejando sus incógnitas, o bien ser graficadas geométricamente
1.-FUNCIÓN
Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.
 Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio).
 Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.
 En términos más científicos, cuando calculamos el área de un círculo, por ejemplo, que es la medida de su superficie expresada en una unidad determinada, no hacemos otra cosa que ejecutar una función que depende directamente de la variable radio, ya que el área es proporcional al cuadrado de ésta (se obtiene multiplicándolo por pi). De modo similar, un viaje en automóvil tiene una duración que depende de otras variables, como ser la velocidad del mismo; nótese que en este caso la proporción es inversa, ya que a más velocidad, menos tiempo.
2.-DIFERENCIA ENTE FUNCIÓN Y RELACIÓN
Es importante conocer la diferencia entre una relación y una función:
· Una relación es una correspondencia de elementos entre dos conjuntos.
· Una función es una relación en donde a cada elemento de un conjunto (A) le corresponde uno y sólo un elemento de otro conjunto (B).
Todas las funciones tienen un dominio y un contradominio.
· Dominio: conjunto de los elementos que definen la función, es decir, los elementos que se van a asociar con otro conjunto (los que sólo pueden asociarse una vez).
· Contradominio: también llamado imagen, rango o codominio, es el conjunto de elementos que son el resultado de la asociación del dominio bajo la relación. (véase en el anexo 1)
3.-DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 
El dominio de una función real, también llamado dominio de definición o campo de existencia de la misma, es el conjunto de elementos para los cuales la función está definida. Dicho de otra manera, el subconjunto de los números reales que tienen imagen. Formalmente:
Domf =X ∈ ℝ / ∃y = f(x) ∈ ℝ
· Domf: Es el dominio de la función. También se puede denotar por Dom(f) o, simplemente, D. Puede ser todo el conjunto de los números reales, o bien un subconjunto de este: Domf ⊆ℝ
· x: Es un número real, perteneciente al dominio de la función, que recibe el nombre de variable independiente
· y : Es otro número real, perteneciente al conjunto imagen de la función, que recibe el nombre de variable dependiente. Su valor se obtiene aplicando la función f al valor de x: y=f(x). Para un par de valores concretos (x, y) decimos que, y es la imagen de x, y que x es la anti imagen de y
Recuerda el significado de los siguientes símbolos:
· ∃ existe un
· ∀ para todo
· ∈ pertenece a
· / tal que
· ⊂ subconjunto de
· ⊆ subconjunto o igual a
4.-RANGO DE UNA FUNCIÓN
es el conjunto de números que dependen de la sustitución (tabulación) de los valores que puede tomar “x”, es decir, del dominio. Este conjunto de números es llamado “rango” y está ubicado en eje “y” (abscisas).
Se expresa de la siguiente forma: Ranf o Rf
Ejemplo:
La notación siguiente muestraque el dominio de la función está restringido al intervalo (–1, 1).
f ( x ) = x 2 ,     –1  x  1
La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en x = –1 y x = 1. Los valores del rango de y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es 0  y < 1.
5.- ¿PARA QUÉ SE REPRESENTA UNA GRÁFICA?
Un gráfico es una representación gráfica de datos. La visualización de los datos por medio de gráficos ayuda a detectar patrones, tendencias, relaciones y estructuras de los datos. Utilice los gráficos junto con los mapas para explorar los datos o ayudar a contar una historia.
Los gráficos se pueden crear a partir tanto de datos tabulares como de datos ráster, y existe un conjunto de gráficos diferente para cada tipo de datos. Los datos tabulares se refieren a datos de entidad o vectoriales, así como a tablas independientes. Los datos ráster hacen referencia a imágenes o a datos basados en píxeles. (Anexo 2).
6.-TIPOS DE FUNCIÓN
6.1-Función Constante: Una función constante es aquella función que siempre toma la misma imagen para cualquier valor de la variable independiente (x), es decir, una función constante es de la forma f(x)=k, donde k es un número real cualquiera. La representación gráfica de una función constante es una recta horizontal. Por ejemplo, todas las siguientes funciones son constantes:
f(x)=1 f(x)=7 f(x)=5
Representar gráficamente una función constante es bastante fácil, simplemente hay que dibujar una recta horizontal en el valor de la función (k).
Fíjate en los siguientes ejemplos en los que hemos representado en un gráfico tres funciones constantes diferentes:
Fíjate que toda función constante es paralela al eje de las abscisas (eje X).
Por otro lado, debes tener en cuenta que una recta vertical no es una función constante. De hecho, una recta vertical no es ni una función, ya que por definición una función solamente puede tener una única imagen para cada valor de x.
Características 
A continuación, vamos analizar las propiedades que tiene la función constante. Sea una función constante de valor cualquiera:
f(x)=k
· El dominio de la función constante son todos los números reales
· El recorrido o rango de la función constante es únicamente el valor de la constante:
· Se trata de una función continua y par, porque la función siempre toma el mismo valor:
· La función constante no es ni creciente ni decreciente, es un tipo de función que siempre tiene pendiente nula:
· Siempre corta el eje OY en el punto (0, k).
· Cualquier función constante es un polinomio de grado cero.
· Si K es diferente de 0 la función constante no tiene ninguna raíz, en cambio, si k es igual a 0 todos los números reales son raíces de la función constante.
· El límite de la función constante cuando x tiende a más infinito o menos infinito es igual al valor de la constante
· La derivada de la función constante siempre es nula
De hecho, también se puede hacer la definición de la función constante a partir del concepto de derivada: una función es constante si se anula su derivada en todo su dominio.
· La integral de la función constante es la función lineal (o afín)
6.2-Función Lineal: Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma
siendo m≠0
· m es la pendiente de la función
· n es la ordenada (en el origen) de la función
La gráfica de una función lineal es siempre una recta. (Anexo 3)
La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, m.
Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.
· Si la pendiente es positiva, la función es creciente.
· Si la pendiente es negativa, la función es decreciente. (anexo 4)
Como una función lineal es una recta, para representar su gráfica sólo tenemos que trazar la recta que une dos de sus puntos. Para ello, calculamos la imagen de dos puntos cualesquiera. La definición formal de la gráfica de la función es el conjunto de puntos siguiente:
Vamos a representar la gráfica de la función
Hacemos una tabla para calcular dos puntos de la gráfica:
Representamos la recta a partir de los puntos (4,5) (4,5) y (−2,−7) (−2,−7):
Observad que la recta corta al eje Y por debajo del eje X, esto se debe a que la ordenada es negativa (n=−3).
Puntos de corte con los ejes Una función lineal siempre corta al eje Y en un punto. También, corta al eje X en un punto.
El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera coordenada igual a 00:
El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene 00 en la segunda coordenada. Se calcula igualando a 00 la función y resolviendo la ecuación obtenida.
Si tenemos dos puntos de la recta, podemos calcular la expresión algebraica de la función. Sólo tenemos que sustituir las coordenadas de los puntos en la forma general de la función
y resolver el sistema de ecuaciones.
Si tenemos dos funciones lineales, podemos preguntarnos si las rectas que representan se cortan y en qué punto lo hacen. Para responder esta pregunta, sólo tenemos que igualar las dos expresiones algebraicas y resolver la ecuación Ejemplo
Vamos a calcular el punto de corte de las dos siguientes rectas:
Como y=y igualando,
Resolvemos la ecuación:
La primera coordenada del punto de corte es x=4. La segunda coordenada la obtenemos calculando su imagen en alguna de las dos rectas:
Por tanto, el punto de corte es (4,7) (4,7).
Paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas si no se cortan en ningún punto (o si son iguales). Esto ocurre cuando tienen la misma pendiente, m.
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando un ángulo recto (ángulo de 45°). Las rectas perpendiculares a la recta con pendiente m son las que tienen pendiente −1/m. Ejemplo
Las siguientes rectas son paralelas porque tienen la misma pendiente (m=2):
Las siguientes rectas son perpendiculares porque la pendiente de la una es el opuesto del inverso de la pendiente de la otra:
6.3-Función Cuadrática: Una función cuadrática es un tipo de función que se caracteriza por ser un polinomio de segundo grado.
En otras palabras, una función cuadrática es una función que en la que uno de los elementos lleva un 2 pequeño como índice superior.
Una función cuadrática también recibe el nombre de función de segundo grado. Las funciones son la forma representativa de las ecuaciones. Entonces, una función cuadrática será lo mismo que una ecuación cuadrática. Tal que así: 
Como se puede comprobar, ambas expresiones son la misma, lo único que la primera está más orientada a ser dibujada y, la segunda, se utiliza más en cálculo. 
Propiedades de la función cuadrática
La función cuadrática siempre estará comprendida en el primer y cuarto cuadrante de una gráfica. Esto es debido a que, para cualquier valor de X introducido a la función, esta devolverá un valor positivo siempre.  La función cuadrática forma una parábola simétrica con el eje vertical. (Anexo 5)
El signo del elemento que contiene el grado indica si se trata de una función convexa o cóncava. 
· Si el signo es positivo -> la función tendrá un mínimo en la X, y por tanto, será cóncava. 
· Si el signo es negativo -> la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa.
Si le sumamos o restamos un número cualquiera, la función se desplaza arriba o abajo, en función del signo: 
Si multiplicamos la función por un número cualquiera mayor a 1, la anchura de la parábola se vuelve más pequeña:
 
Si dividimos la función por un número cualquiera mayor a 1, la anchura de la parábola se vuelve más grande: 
El método que se utiliza para la resolución de funciones cuadráticas es el siguiente: 
Método de resolución de ecuaciones de segundo grado
Seguramente esta fórmula os resulte familiar ya que es de gran utilizad y aparece con frecuencia. Pues bien, esta fórmula se emplea para resolver ecuaciones cuadráticas que cumplen con la siguiente estructura: 
Estructura ecuaciones de segundo grado
Ejemplode función cuadrática
Identifica si la siguiente función es una función cuadrática: 
Ejemplo
La función a) es una función de grado 3, por tanto, no es una función cuadrática. También, porque podemos ver que no forma una parábola con el eje vertical.  
6.4-Función logarítmica: Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:
siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente. (Anexo 6) 
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial
Y, cuando 0 < a < 1: 
Características 
Dominio: es el de todos los números reales que hacen que el argumento de la función sea mayor que cero.
Veamos tres ejemplos de dominios de funciones logarítmicas:
 
· Recorrido:  El recorrido son todos los números reales.
· Derivada de la función logarítmica elemental: 
· Las funciones logarítmicas son continuas.
· Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente. (Anexo 7)
· En la forma simple de la función, la imagen de 1 siempre es 0 independientemente de cual sea la base a y la imagen de a es 1 . 
Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades:
1.Función logarítmica del producto:
2.Función logarítmica de la división:
3.Función logarítmica del inverso multiplicativo:
4. Función logarítmica de la potencia
5. Función logarítmica de la raíz:
6. Cambio de base: 
logaritmo Sean dos números reales a y b, siendo a ≠ 1. El logaritmo en base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para que dé como resultado el número b.
A b se le llama argumento o antilogaritmo del logaritmo.
Todos los argumentos tienen que ser mayores que cero. No existen los logaritmos de números negativos o del cero.
Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, ya que siendo a = 3 y b = 9, el número al que hay que elevar 3 para que dé 9 es 2, (3² = 9). El antilogaritmo o argumento sería el 9.
Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman logaritmos comunes.
Se llama logaritmo neperiano (o logaritmo natural), y suele escribirse: f(x) = ln x (o, también f(x) = log e x), cuando la base es el número e (e = 2,7182818…).
6.5-Función Exponencial: Una función exponencial es una función que se representa con la ecuación f(x) = aˣ, en la cual la variable independiente (x) es un exponente.
Una función exponencial, por lo tanto, permite aludir a fenómenos que crecen cada vez con mayor rapidez. Tomemos el caso del desarrollo de una población bacteriana: una cierta especie de bacteria que, cada hora, triplica su cantidad de integrantes. Esto quiere decir que, cada x horas, habrá 3ˣ bacterias. Retomando la ecuación f(x) = aˣ, hay que tener en cuenta que a es la base, mientras que x es el exponente. En el caso del ejemplo de las bacterias que se triplican cada hora, la base es 3, mientras que el exponente es la variable independiente que va cambiando con el paso del tiempo.
En las funciones exponenciales, el conjunto de los números reales constituye su dominio de definición. La propia función, por otra parte, es sub derivada. Además de todo lo expuesto, no podemos pasar por alto otra serie de datos relevantes sobre la función exponencial tales como los siguientes:
-Es de clase continua.
-Se determina que es creciente si a > 1 y que es decreciente si a < 1. -Las funciones exponenciales pueden utilizarse en una gran variedad de sectores para llevar a cabo un sinfín de cálculos. No obstante, se emplean de forma contundente a la hora de trabajar con crecimientos de la población en una zona concreta, en materia de interés compuesto en cuanto a lo que es la cuestión económica y también para trabajar con el llamado decaimiento radioactivo. (anexo 8)
7.-CUADRO COMPARATIVO ENTRE LAS FUNCIONES 
	FUNCIONES
	CONSTANTE 
	LINEAL 
	CUADRATICA 
	LOGARITMICA
	EXPONENCIAL 
	Es constante si la variable dependiente y toma el mismo valor para cualquier elemento del dominio (variable independiente x)
	Es una función polinómica de primer grado pasa por el origen de coordenadas, ósea por el punto (0,0) son funciones rectas de la forma 
f(x) = m n
siendo m la pendiente y diferente de cero 
	Son funciones polinómicas de grado 2, el mayor exponente del polinomio es x elevado a la 2 (x2):
f(x)=ax2+bx+c
siendo a diferente a cero 
Su grafica es una curva llamada parábola 
	Está formada por un logaritmo de base a y es de la forma:
f(x)= log a = (x) 
Función real de variable real 
	Es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante. Su expresión es: 
f(x)= ax
Tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función 
8.-FUNCION RAMIFICADA 
La función ramificada se define como toda aquella función que sirve para encontrar los puntos límites de los intervalos en los cuales se divide el dominio. ¿Qué quiere decir eso? Es la típica función cuyo dominio está dividido en dos o más partes, siendo dichas partes independientes entre sí siempre y cuando se aclare bien los límites del intervalo en donde esa «mini» función está considerada. Estas funciones pueden ser de cualquier tipo, como las ya mencionadas antes. Un ejemplo:
La solución a este problema sería, entonces, la que se obtiene al calcular dichos límites, cuya representación gráfica y sencilla es la siguiente:
Siendo X=1 el punto de quiebre. Como se puede ver, en la función ramificada uno puede jugar con las formas de la función, siempre y cuando se cumplan bien los requisitos de una función matemática.
9.-RELEVANCIA DE LAS FUNCIONES EN EL CALCULO.
Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto, el primer conjunto es llamado dominio de la función o conjunto de partida, el segundo conjunto es llamado codominio de la función o conjunto de llegada.
En muchos casos usamos las funciones matemáticas en nuestra vida sin pensar que las estamos utilizando y a veces muchas personas se preguntan para qué nos sirven las funciones.
Si analizamos nuestro alrededor notamos que las matemáticas y con ella las funciones se encuentran por todos lados, si miramos un poco más detallado nuestro entorno nos damos cuenta que a diario nos encontramos con diversas relaciones de correspondencia, por ejemplo a cada persona le corresponde una fecha de nacimiento, a cada libro le corresponde un número de páginas, a cada objeto le corresponde un peso.
Como ya mencioné anteriormente, las matemáticas están presentes en la cotidianidad, y sus funciones y demás aplicaciones son usadas para demostrar muchos eventos de la naturaleza y la realidad, como por ejemplo las proyecciones de tendencia y pronósticos económicos, que no son más que funciones matemáticas aplicadas en base a datos históricos que se representan en un plano cartesiano de X y Y.
En los ejemplos antes mencionados miramos que hay dos conjuntos, dominio y codominio entre los que se da la correspondencia, en el primer ejemplo el conjunto dominio o conjunto de partida es el conjunto de personas y el segundo conjunto codominio o conjunto de llegada es el conjunto de fechas, en el segundo ejemplo el conjunto dominio es el conjunto de los libros y el conjunto codominio es el Con estos ejemplos corroboramos que las funciones matemáticas están inmersas en nuestro medio y por consiguiente en nuestras vidas y nos son de mucha utilidad conjunto de números enteros (número de páginas).
10.-DIFERENCIA Y SEMEJANZA ENTRE DOMINIO Y RANGO.
Rango es el espacio entre el valor máximo y el valor mínimo de una función o de un conjunto; los datos de una función no son necesariamente las unidades de la función o el conjunto, pero si forman parte de él.
El codominio es el conjunto de valores que podríanresultar. El rango es el conjunto de valores que realmente resultan. 
Dominio son los valores para los cuales la función está definida, o conjunto de valores que adquiriendo otro, se puede transformar.
Resumiendo, todos son valores el dominio son los valores iniciales de una función que pasearan por un rango o determinados valores para obtener conjunto de valores resultantes o codominio.
11.-INTEGRAL INDEFINIDA.
Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), se trata de buscar aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x). Integral Indefinida Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o anti derivada de f(x); dicho de otro modo, las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una función f(x) tiene primitiva entonces tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida 
1. Propiedad de linealidad: La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. Propiedades de la integral indefinida ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
12.-EJEMPLO DE LAS INTEGRALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES REALES 
12.1. Función Cuadrática
Al trinomio de segundo grado    ax2 + bx + c    se completa el cuadrado quedando en:
 
Ejemplo 
 
Completamos el cuadrado del denominador:
Al trinomio de segundo grado    ax2 + bx + c    se completa el cuadrado y resultan integrales del tipo de sustitución trigonométrica.
Ejemplo
12.2. Racionales
Ejemplo 
Separamos los términos del numerador, cada uno con el denominador común y aplicamos la propiedad de la integral para sumas
Integramos cada una de las integrales obtenidas, para esto empleamos las fórmulas
Así, el resultado de la integral es:
Ejemplo 
 
expresamos el cociente en la forma , donde  es el cociente y  es el resto
Escribimos la integral
Resolvemos la primera integral
Resolvemos la segunda integral por fracciones parciales
Se efectúa la suma
Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales:
Para calcular los valores de , damos a  los valores que anulan al denominador y otro más
Se calculan las integrales de las fracciones simples:
Así, el resultado de la integral es
 
12.3. funciones Exponenciales 
Ejemplo 
Como primer paso tenemos que hacer que nuestra expresión tenga un único exponente para poder aplicar la fórmula de la exponencial.
Ejemplo 
 
Comenzamos con un cambio de variable  y luego aplicamos la integral exponencial.
12.4. Funciones Logarítmica
Ejemplo
Para resolver la siguiente integral haremos un cambio de variable  y posteriormente resolvemos la integral
Ejemplo
Para resolver la siguiente integral utilizamos la definición  y luego hacemos un cambio de variable , luego resolvemos la integral,
13.-LA INTEGRAL DEFINIDA 
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:
La integral definida cumple las siguientes propiedades:
· Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
· Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
· La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
· La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
· Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
· Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
· Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:
13.1 Teorema Fundamental del calculo. 
La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:
A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:
· Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).
· Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).
· El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:
13.2. Métodos de Integracion. 
a) Integracion Directa:
	Método de integración en el que la integral a resolver tiene la forma exacta de alguna de las reglas de integración, por lo que no es necesario hacer ninguna manipulación para resolverla.
Ejemplo 
La derivada de 3x es 3, así que
	 b) Integracion por sustitucion:
Como indica su nombre, este método de integración consiste en la aplicación de un cambio de variable para simplificar el integrando. No vamos a explicar el método formalmente, pero los pasos a seguir son los siguientes:
1. Escoger un cambio de variable z= función de x.
2. Despejar x para calcular dx
3. Sustituir en la integral, resolverla y deshacer el cambio de variable.
La dificultad del método es escoger un cambio útil, ya que, en caso contrario, la integral resultante puede ser de mayor dificultad. En la siguiente tabla se recogen los cambios de variable que tienen alta probabilidad de funcionar en las integrales que usualmente veremos:
El método de cambio de variable es un poco más complicado cuando se aplica en integrales definidas porque al cambiar la variable, deben actualizarse los extremos de integración. Por ejemplo, si los extremos de la integral inicial con variable x son 0 y 1 y la nueva variable es z=2x, entonces, los nuevos extremos serán 0 y 2. Una forma de evitar este problema es resolver primero la integral indefinida.
 c) Integración por Partes:
Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:
Regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca MENOS Flaca Vestida De Uniforme (UDV = UV - FVDU).
Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente.
Método:
1. El integrando debe ser un producto de dos factores.
2. Uno de los factores será u y el otro será dv.
3. Se calcula du derivando u y se calcula v integrando dv.
4. Se aplica la fórmula.
d) área entre curvas como una integral definida
Supongamos que f(x) y g(x) son funciones continuas sobre un intervalo [a,b] de manera que f(x)≥g(x)≥ sobre [a,b].. Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura.:
Al igual que antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximaremos el área entre los gráficos de las funcionescon rectángulos. Entonces, para i=0,1, 2…, n,=0,1,2,…,, supongamos que P={xi}= es una partición regular de [a,b]. Luego, para i=1, 2,…,n,=1,2,…,, elija un punto x∗i∈[xi−1,xi]*∈[−1,], y en cada intervalo [xi−1,xi][−1,] construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g(x∗i)(*) al f(x∗i).(*). 
14.-APLICACIÓN DE LA INTEGRAL.
Área del circulo mediante integración
Se supone que es por practicar un poco con las integrales porque si no es una tontería. Se podría calcular el área de la misma circunferencia en forma reducida (centrada en el origen) y no cambiaría nada:
x² + y² = R²   =>    y = √R²-x²
A = 2·∫√R²-x² · dx
El cambio que se debe hacer es x = R·sen t   =>   dx = R·cos t·dt
Si lo quieres como viene en el dibujo la cosa se complica:
(x - a)² + (y - b)² = R²
(y - b)² = R² - (x - a)²
y - b = √(R² - (x - a)²)
y = √(R² - (x - a)²) + b
Ahora sería:
 a+R
 ∫√(R² - (x - a)²) + b - (-√(R² - (x - a)²) + b)  dx
a-R
       a+R
=   2·∫√(R² - (x - a)²)  dx
     a-R
Ahora haríamos el cambio:  x - a = x'
así x = a-R   se convierte en x'=-R    y   x = a+R  en  x' = R
quedando:
        R
=   2·∫√(R² - x'²)  dx
       -R
que es lo que comentábamos al principio.
Área entre dos curvas 
Si R es la región acotada arriba por la gráfica de la función f (x) = x + 4 y abajo por la gráfica de la función g(x) = 3 − x/2 en el intervalo [1, 4], encuentre el área de región R.
Solución:
La región se muestra en la siguiente figura.
Se muestra una región entre dos curvas donde una curva es siempre mayor que la otra.
Se tiene que
El área de la región es de 57/4 unidades
Aplicación del cálculo integral en contabilidad 
El cálculo integral en la contabilidad sirve para describir la acumulación del capital a lo largo del tiempo y en su optimización dinámica denominada "cálculo de variaciones" donde es necesario plantear una ecuación diferencial de segundo orden.
Ejemplo 1
 Una empresa comercializa entre otros productos pan de caja y un vino francés. La función de utilidad marginal del pan está dada por f(x) = 40 – 5x y la utilidad marginal del vino está dada por g(x) = 30 – x. Encontremos: a) La función de utilidad total del pan. b) La función de utilidad total del vino. c) Si el consumidor desea adquirir tres paquetes de pan y tres de vino, cuál de los artículos le producirá mayor utilidad (satisfacción).
Solución: 
para encontrar la función de utilidad de ambos bienes es necesario integrar las funciones f(x) y g(x), por lo que empleamos la fórmula f (x) dx= F (x) +C, donde C es la constante de integración. a) La función de utilidad total para el pan se representa por
a) La función de utilidad total para el pan se representa por:
U x1( )(40 5x d) x
Si empleamos las fórmulas descritas en la unidad anterior se tiene:
	(40 5 )x dx 	40 dx	5 xdx
 	 	 
Con ello, la función de utilidad total del pan es:
	U x1( )	40x	x2 C
 	 	 
Donde hacemos C = 0, ya que si no se compra ningún artículo la utilidad será cero.
	
	(30
	
	
U2( )xx d) x
 	 	 
Al emplear las fórmulas de integración tenemos:
	(30	x dx)	30 dx	xdx
 	 	 
Así, la función de utilidad total del vino es:
	U2( )x	30x	x2 C
 	 	 
Donde hacemos C = 0, ya que si no se compra ningún artículo la utilidad será cero.
c) La utilidad que le produce al consumidor adquirir tres paquetes de pan, 
considerando que x = 3 es:
	 	 	 	5	2
	U1( )3	40 3( )	( )3	975.
2
Cuando el consumidor adquiere tres unidades de vino, su utilidad es:
 	 	 
	U2( )3	30 3( )	( )3 2 855.
Como puede observarse, el pan le produce una mayor utilidad a un individuo que el vino.
En este tipo de problemas, la función de utilidad de un consumidor es un tanto subjetiva, ya que no aporta gran información. El único objetivo es determinar qué artículo le da mayor utilidad a un individuo.
el sentido de que permite conocer el monto monetario en el cual se encuentran sus ganancias dependiendo del nivel de producción que mantenga. Por ello, centraremos nuestra atención en este tipo de problemas.
	 
CONCLUSION
En conclusión, podemos decir que las funciones son una herramienta matemática muy útil, que nos ayudan a plasmar y moldear ejemplos de la vida cotidiana. Por ejemplo, nos permiten saber los ingresos o utilidades máximos y mínimos de una empresa. 
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X .Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función constante, lineal, cuadrática, logarítmica, exponencial y ramificada. Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria. Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva
manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.
BIBLIOGRAFIA
· FUENTE : https://www.funciones.xyz/funcion-constante/
· FUENTE:https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/funcion-cuadratica.html
· FUENTE:https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-logaritmica/
· FUENTE:https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/funciones/funcion-exponencial.html
· FUENTE: Ingrid Cuba matemática 
http://matematica1ingridcuba.blogspot.com/2012/07/funcion-ramificada.html
· FUENTE:https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/ejercicios-resueltos-de-integrales-de-tipo-exponencial.html
· FUENTE:http://www.acienciasgalilei.com/public/forobb/viewtopic.php?t=4219
· FUENTE:https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/6-1-areas-entre-curvas
Anexos 
Anexo 1
Diferencia entre función y relación 
Anexo 2
Representación grafica 
Anexo 3
Función lineal 
a pendiente de la función es m=2 y la ordenada es n=−1.
Anexo 4 
 Rectas con pendientes 1, 2, 3 y -1:
Observad que la recta con pendiente negativa −1−1 es decreciente (la roja). Las otras tres rectas son crecientes. De las rectas crecientes, la que crece más rápidamente es la verde (pendiente 33).
Anexo 5 
Función Cuadrática 
Anexo 6 
Función logarítmica 
Anexo 7
Anexo 8
Función exponencial 
Anexo 9 
Integral definida
44