Sección áurea II 2023

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Dibujo. Sistemas de representación I y II | Cátedra Di Pace
Los trazados geométricos | PARTE II
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SECCIÓN ÁUREA 
Parte II. Los trazados geométricos
DIBUJO.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN I y II
Cátedra Karina Di Pace
Apuntes de cátedra
2023
Dibujo. Sistemas de representación I y II | Cátedra Di Pace
Los trazados geométricos | PARTE II
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DEFINICIÓN DE LOS TRAZADOS GEOMÉTRICOS
Siempre el arte estuvo en busca de la belleza y la 
armonía y desde tiempos muy antiguos existió 
una vinculación entre esta búsqueda y las pro-
porciones geométricas. Su utilización como orga-
nización estética fue sistematizada a partir del Re-
nacimiento, siendo utilizada tanto para la pintura 
como para la arquitectura, entre otros campos.
Una particularidad de este modo de propor-
cionar —que se desarrolló en paralelo con las 
investigaciones científicas—, es aquella subdi-
visión del campo a la cual daremos por nombre 
trazado geométrico. 
Con trazado geométrico nos referimos no 
solo a estas relaciones de proporción, las cuales
 
también podrían ser una expresión por fuera de la 
geometría —como una sucesión numérica o un 
ritmo creciente o decreciente—, sino también a 
una particular configuración que necesita de 
manera explícita no solo de la geometría sino 
también del registro gráfico. Este registro nos 
permitirá observar su funcionamiento respecto 
de la forma estudiada, mostrándonos tanto el 
carácter simple de su estructura como el aspec-
to dinámico en su organización formal.
Un modo de utilizar estos trazados es estruc-
turando el campo de trabajo en subdivisiones 
que produzcan proporciones armónicas, por 
ejemplo, usando F ( phi , el número de oro).
LOS TRAZADOS DINÁMICOS Y LA SECCIÓN ÁUREA
Decíamos que una forma muy extendida de 
subdividir el campo de trabajo para obtener un 
trazado dinámico es utilizar una estructura ge-
nerada a partir de la proporción áurea. 
En su libro La geometría del diseño, Kimberly 
Elam, distingue entre trazados estáticos y tra-
zados dinámicos. Su diferencia radica en que: 
«… en los rectángulos estáticos, cuya razón 
o relación entre sus lados mayor y menor es 
un número entero o fraccionario pero siem-
pre racional, como 1/2, 2/3, 3/3, 3/4, etc. En 
el caso de los rectángulos dinámicos esta 
razón es un número irracional, como √2, 
√3, F (número áureo), etc. Al subdividirlos, 
los rectángulos estáticos no producen una 
serie de superficies de proporciones armó-
nicas, al contrario, resultan previsibles y 
regulares, sin mucha variación. Por el con-
trario, debido a que su ratio coincide con 
números irracionales, la subdivisión de rec-
tángulos dinámicos produce series infinitas 
de superficies y proporciones armónicas.» 
(Kimberly Elam, La geometría del diseño. 
Barcelona: Gustavo Gili, 2014, p. 32)
Si bien existen otros modos de organizar el cam-
po —tal como se menciona en el texto que aca-
bamos de citar—, nuestro interés está puesto en 
analizar los trazados dinámicos que surgen del 
juego de formas a través de la sección áurea.
Sin embargo, y aunque no siempre los análi-
sis geométricos corresponden de forma exacta 
o precisa con los sistemas de proporciones ar-
mónicas elegidos, nos permitirán interrelacio-
nar datos de la estructura de la forma estudiada 
en relación con su campo como herramienta 
de composición y de organización formal, con 
la finalidad de ordenar la composición para la 
mirada del espectador.
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A propósito de los ejemplos que elige, esta 
autora agrega que: «La subdivisión armónica de 
un rectángulo dinámico es muy sencilla. Se tra-
zan las diagonales que unen vértices opuestos y 
se construye después una red de líneas que sean 
paralelas a los lados y a las diagonales».
Esta clasificación y los ejemplos que desarro-
lla a continuación fueron tomados del libro de 
Matila Ghyka, matemático estudioso de la geo-
metría y su utilización en el arte y la arquitectu-
ra, sobre todo en aquello que refiere al número 
de oro. Veamos algunos diagramas dinámicos:
Tres ejemplos de trazados dinámicos con rectángulos áureos,
a partir de las descomposiciones armónicas. Ejemplos de 
Matila Ghyka, en su libro Geometry of Art and Life.
En la primera columna encontramos los rectángulos áureos 
que originan las particiones. En la segunda, las particiones 
derivadas de esos rectángulos. Finalmente, en la tercera, se 
muestran los trazados dinámicos obtenidos. Son solo tres 
ejemplos de la infinita variedad de trazados con los cuales 
podríamos trabajar el campo rectangular.
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Para construir bien, para repartir bien los esfuer-
zos, para lograr la solidez y la utilidad de la obra, 
las medidas condicionan todo. El constructor ha 
tomado como medida lo que le era más fácil, 
más constante, la herramienta que menos podía 
perder: su paso, su pie, su codo, su dedo.
Para construir bien y para repartir sus esfuer-
zos, para conseguir la solidez y la utilidad de la 
obra ha tomado medidas, ha reconocido un mó-
dulo, ha reglado su trabajo, ha llevado el orden. 
Porque, en torno a él, el bosque está en desorden, 
con sus lianas, sus zarzas; los troncos que estorban 
y paralizan sus esfuerzos.
Ha puesto el orden al medir. Para medir, ha 
tomado su paso, su pie, su codo o su dedo. Impo-
niendo el orden de su pie o de su brazo, ha creado 
un módulo que regla toda la obra, y esta obra está 
dentro de su escala, de su conveniencia, de sus de-
seos, de su comodidad, de su medida. Es la escala 
humana. Armoniza con él, y esto es lo principal.
Pero, al decidir la forma del recinto, la forma de 
la choza, la situación del altar y de sus accesorios, 
ha seguido instintivamente los ángulos rectos, los 
ejes, el cuadrado, el círculo. Porque de otro modo 
no podía crear algo que le diese la impresión de 
que creaba. Porque los ejes, los círculos, los ángu-
los rectos, son las verdades de la geometría, son 
los efectos que nuestros ojos miden y reconocen, 
de modo que otra cosa sería azar, anomalía, arbi-
trariedad. La geometría es el lenguaje del hombre.
Pero, al determinar las distancias respectivas 
de los objetos, ha inventado ritmos, ritmos sen-
sibles a la vista, claros en sus relaciones. Y estos 
ritmos se encuentran en el nacimiento de los actos 
humanos. Resuenan en el hombre por una fatali-
dad orgánica, la misma fatalidad que hace trazar 
la sección áurea a los niños, los viejos, los salvajes, 
los eruditos.
Un módulo mide y unifica; un trazado regula-
dor construye y satisface.
(Le Corbusier, Hacia una arquitectura, p. 69-71)
RITMO, GEOMETRÍA Y ESCALA
TRAZADOS DINÁMICOS SIMPLES A PARTIR DEL RECTÁNGULO ÁUREO
construcción del rectángulo áureo rectángulo áureo y construcción a partir del cuadrado en ambos sentidos
repetición del gnomon y adición al rectángulo áureo original
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Uno siente muy claramente que la preci-
sión requerida para cualquier acto que 
despierte una calidad superior de emoción 
se basa en la matemática. El resultado 
puede ser expresado por la palabra armo-
nía. La armonía es la feliz coexistencia de 
las cosas; coexistencia implica dualidad o 
multiplicidad y por lo tanto requiere pro-
porciones y consonancias. 
(Le Corbusier, “L ’Architecture et 
l’esprit mathématique”, 1962)
F
F
Interacción de las proporciones áureas entre el pentágono, el pentagrama, el decágono y la estrella de diez puntas, 
basado en la Lámina VII del libro de Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life.
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OTROS RECTÁNGULOS PROPORCIALES
Además de los trazados que utlizan las propor-
ciones áureas, existen otras formas de dividir el 
campo para la realización de trazados.
Si, como decíamos, consideramos trazadosestáticos a toda aquella subdivisión del plano 
que sea regular —como lo sería, por ejemplo, 
SUBDIVISIÓN GEOMÉTRICA DEL RECTÁNGULO EN SERIES INFINITAS
división geométrica del rectángulo a la mitad 
en forma sucesiva 
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SUBDIVISIÓN GEOMÉTRICA DEL RECTÁNGULO EN SERIES INFINITAS
división geométrica y armónica del rectángulo 
en forma sucesiva 
un reticulado o grilla—, serían dinámicas aque-
llas subdivisiones en cuya estructura misma se 
percibe ese dinamismo.
En estas páginas, mostramos ejemplos de 
trazados dinámicos que nos van a ayudar a pen-
sar en otras posibles estructuras del campo.
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√2
1
√4 = 2
√9 = 3
√3 √4 √5 √6 √7 √8 √9
RECTÁNGULOS RAÍZ A PARTIR DE UN CUADRADO
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√2
√3
√4
√5
√6
√7
√8
√9
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RECTÁNGULOS RAÍZ DIVIDIENDO UN CUADRADO
rectángulo dinámico raíz de dos obtenido 
subdividiendo el cuadrado original: los puntos naranjas 
marcan el rectángulo obtenido y los puntos blancos la 
intersección entre la diagonal y la curva que indican 
la proporción obtenida
rectángulos dinámicos raíz obtenidos subdividiendo 
el cuadrado original de forma sucesiva: podemos 
observar que raíz de 4 indica la mitad del cuadrado 
y raíz de 9 indica un tercio, pudiéndose continuar con 
la subdivisión hasta el infinito
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APLICACIÓN DE LOS TRAZADOS EN EL ARTE
Llegados a este punto, es necesario remarcar 
que, cuando un artista ha trabajado mucho 
tiempo configurando el plano a través de una 
subdivisión del mismo y pensando en la geo-
metría como una variable de composición, 
probablemente el adiestramiento de su ojo lo 
lleva a manejarse de forma automática en lo que 
refiere a la disposición de los aspectos geomé-
tricos que da relevancia. Un ejemplo de ello 
son las fotografías de Henri Cartier-Bresson, 
quien trabaja con recortes instántaneos de la 
realidad, lo cual no impide ver en sus imágenes 
el juego compositivo basado en la geometría, 
aprendido a través de la ejercitación del dibujo.
El aparato fotográfico es para mí como un 
cuaderno de esbozos, el instrumento de la 
intuición y de la espontaneidad, el dueño 
del instante que, en términos visuales, cues-
tiona y decide a la vez. Para «significar» el 
mundo, hay que sentirse implicado con lo 
que el visor destaca. Esta actitud exige con-
centración, disciplina del espíritu, sensibili-
dad y sentido de la geometría. La simplici-
dad de la expresión se consigue mediante 
una gran economía de medios. Hay que 
fotografiar siempre partiendo de un gran 
respeto por el tema y por uno mismo.
(Henri Cartier-Bresson, Fotografiar del natural)
Henri Cartier-Bresson. Orillas del río Marne, 1938.
Análisis de la obra de Cartier-Bresson en relación a la espiral áurea. 
La espiral áurea divide al campo rectangular, enmarcando a los personajes y a los principales objetos 
puestos en juego en la fotografía, a la vez que acompaña el movimiento que la fotografía expresa. 
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Un ejemplo analizado y repetido en muchos 
libros que estudian la proporción áurea es El 
Partenón, templo griego del siglo IV a.C. Mu-
chos autores en distintas épocas han trabajado 
teorías y presentado las relaciones áureas que 
subyacen a sus proporciones como una prueba 
de la utilización del número de oro en su confi-
guración general, demostrando así su relación 
geométrica con la armonía y la belleza del tem-
plo. Más recientemente, otros matemáticos han 
puesto en duda estos análisis, ya que los prime-
ros autores no siempre estuvieron de acuerdo 
con las dimensiones del edificio y, para justifi-
car la relación áurea, algunas de sus partes son 
dejadas fuera de los análisis.
Al contrario, sobre todo a partir del Renaci-
miento se observa sin discusión la utilización 
de estructuras de composición basadas en el 
número de oro. Podemos encontrar F en obras 
pertenecientes a Piero della Francesca, Leonardo 
da Vinci, Sandro Botticelli y Miguel Angel, entre 
otros aspectos tanto geométricos como cien-
tíficos en los que estos artistas se interesaron. 
A continuación, un trazado dinámico —sim-
ple en algunos aspectos y complejo en otros— 
utilizado en un tondo de Miguel Angel.
La Sagrada Familia con San Juan (Tondo Doni), 
Miguel Ángel, c. 1504. 
Observamos que dentro del campo circular, la 
estructura pentagonal en el centro a la cual se suma 
un pentágono invertido, determina el espacio donde 
se ubican las figuras principales y secundarias.
Ubicando un triángulo áureo en el eje vertical, vemos 
que delimita la posición dominante de la figura femenina. 
El sector superior de este eje nos muestra la reunión de 
las cabezas de las tres figuras principales.
Si dibujamos el pentagrama o pentalfa dentro de la 
estructura pentagonal, vemos que se refuerza la articulación 
dinámica de la Virgen: en la posición del cuerpo en general 
y en la de la cabeza, hombros y brazos en particular. 
Si subdividimos el sector superior del triángulo áureo 
siguiendo su crecimiento gnómico, la angulación del rostro 
de la figura femenina coincide con un lado del triángulo y 
refuerza la dirección de su mirada (y de la nuestra).
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PROPORCIÓN Y TRAZADOS DINÁMICOS COMPLEJOS
Retomando algunos conceptos ya desarrolla-
dos, entendemos la proporción no solo como 
aquella relación que se establece entre la altura 
y la anchura de un objeto visual a estudiar, sino 
que también abarca la relación entre las par-
tes y el todo. Para nosotros esto es un aspecto 
significativo porque ‹hace› a la totalidad de la 
forma en más de un aspecto: no nos referimos 
únicamente a la medida ya que también nos in-
teresa la configuración interna del campo visual 
sobre el que estamos trabajando.
En el caso de la sección áurea, donde habla-
mos de un modo de proporcionar en particu-
lar, pondremos el acento en su aspecto diná-
mico antes que en su exactitud geométrica. Si
decíamos que en una sucesión áurea —nu-
mérica o de forma—, a medida que la serie se 
va incrementando, esa relación se vuelve más 
precisa (como, por ejemplo, en la sucesión de 
Fibonacci), es por eso mismo que, en el campo 
visual, contamos con un margen de imprecisión 
posible. No hay que olvidar que estamos estu-
diando aspectos de la geometría con una fina-
lidad artística o, por lo menos, visual. Nuestra 
preocupación no es necesariamente la preci-
sión matemática. Con esto queremos decir que 
vamos a enfocarnos en una aproximación que 
nos acerque lo mejor posible a la proporción 
buscada antes que a la exactitud que nos dé la 
medida. Veámoslo en un ejemplo:
Tauromaquia 20, Goya, 1815. 
El desarrollo de este ejemplo fue tomado del libro de 
Kimberly Elam, La geometría del diseño, 2014.
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Podemos observar en primer lugar, la relación de proporción entre altura y ancho, la cual se encuentra bastante cercana 
a la proporción áurea 1:1,618, indicada por el rectángulo áureo general.
En segundo lugar, el cuadrado a la izquierda es el que contiene el centro de la acción, y su límite derecho se encuentra reforzado 
por la lanza del torero. Tercero, la cabeza del torero se encuentra en otro de los cuadrados, el más pequeño de la subdivisión. 
Por último, el ángulo del cuerpo del torero y las patas traseras del toro coinciden con la diagonal principal. 
Al ubicar en espejo un segundo rectángulo áureo general, se suman algunos datos al análisis de esta composición.
El pie del torero,el cuerno del toro y el límite de la sombra tocan la diagonal principal reflejada y la nueva diagonal más corta 
(izquierda del cuadro) nos muestra el punto donde termina el rabo del toro. 
Es probable que Goya hubiera conocido y estudiado a los grandes maestros y sus modos de proporcionar, aunque aquí solo se 
muestre un análisis posterior —aunque obviamente visible—, de un trazado que nos ayuda a comprender su estructura compositiva.
+ =