TP10-AM2 2021 MS

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Análisis Matemático II TP 10 2021 
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°10 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 
 
“Scire autem ubi aliquid invenire possis, est summa scientia”. 
(Saber dónde se puede encontrar cualquier cosa, 
es la máxima parte del conocimiento). 
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 
Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables 
independientes, y se clasifican: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Cuándo una ecuación diferencial es lineal? 
a) Sólo puede aparecer la primera potencia de la variable y, y de sus diversas derivadas 
b) No pueden aparecer productos de dicha variable con sus derivadas o de las derivadas entre sí 
c) No pueden aparecer funciones trascendentes de y, ni de sus derivadas 
 
¿Qué significa “encontrar la solución de una ecuación diferencial”? 
 
Es hallar una función )(xfy = que satisface dicha ecuación diferencial. 
 
 
 
 
a) Solución general: 
Es el conjunto de todas las funciones que verifican la ecuación, y tiene tantas constantes de 
integración como es el orden de dicha ecuación diferencial, gráficamente son familias de curvas. 
b) Solución particular: 
Es cualquier función que satisface la ecuación diferencial, y se obtiene dando valores determinados a 
las constantes de integración de la ecuación. 
c) Solución singular: 
Es una solución que no pertenece a la familia de curvas de la solución general. 
General 
Forma implícita 
0 )C ..., ,C ,C y, F(x, n21 =
 
Forma explícita 
 )C ..., ,C ,C f(x,y n21= 
 
 
 
 
 
Ecuaciones diferenciales 
Tipo 
a) Ordinarias: la función 
incógnita depende de una sola 
variable independiente 
b) En derivadas parciales: la 
función incógnita depende de 
dos o más variables 
independientes 
Orden 
Es el orden de la 
mayor derivada 
que aparece en la 
ecuación 
Grado 
Es el exponente (N° 
natural) al que está 
elevada la derivada de 
mayor orden de la 
ecuación 
 
Linealidad 
a) Lineal 
b) No lineal 
 
Soluciones 
Particular 
Se fija el valor de 
las constantes 
Singular 
Es una solución que no 
pertenece a la familia 
de curvas de la Solución 
General 
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¿Cómo se pueden presentar las ecuaciones diferenciales de primer orden? 
 
 
 
 
 
 Ejercicio 1: Verifique que la 
 
Ejercicio 1: indique si las funciones propuestas son solución de la ecuación diferencial y de qué tipo. 
 
ECUACIÓN DIFERENCIAL SOLUCIONES ES O NO ES TIPO DE SOLUCIÓN 
y’’’ = 0 y = ax2 + bx + c 
y’’+4y = 0 y = A sin 2x + B cos2x 
y” + y = 0 y = 3 + sen x 
y = A sen x + B cosx 
y”’ – 2 y” = 0 y = 2 x + e
2x 
y = A + B x + C ex 
y' = 2 y½ y = (x + C) 2 
y” + y` = 0 y = 5 e- x 
 
Ejercicio 2: Indique orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales 
 
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDEN GRADO 
a) 0
dx
dy3 
dx
yd 2
2
2
2
=++




 xeyxysenx 
 
b) senxyxyx 3´23´´2 =−+ 
c) 06
dx
dy5x 
dx
yd 32
2
2
=+




+ y 
 
d) 0 y 4(y´) - (y´´´) 523 =+ 
e) 0
dx
yd2
dx
yd 2
3
34
2
2
=++




 xeyy 
 
 
Ejercicio 3: Halle la ecuación diferencial de la familia de curvas y grafique varios miembros de cada 
familia 
 
a) 3k x y = b) xC y 2 = 
 
Ejercicio 4: Halle la ecuación de curvas ortogonales y grafique 
 
a) 2 xC y = b) xC y = 
 
ECUACIONES DIFERENCIALES DE 
PRIMER ORDEN 
Forma Diferencial 
0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+
 
Forma Implícita 
0))x(y),xy((x, F =′
 
Forma Explícita 
 
 G(x,y) 
Q(x,y)
P(x,y) 
dx
dy y / =−==
 
 
 
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ECUACIONES DIFERENCIALES A VARIABLES SEPARABLES 
 
Ejercicio 5: Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales con variables separables. 
 
a) y’ = y/x; 
b) y’ = -x/y 
c) Compruebe que las soluciones de a) y de b) forman familias de trayectorias ortogonales. 
(Graficar algunas curvas para a) y para b)). 
d) (1+y) dx – (1-x) dy =0; 
 
Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden uno. 
 
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, con M y N funciones homogéneas del mismo grado, o y’ homogénea de 
grado cero. 
 
Entiéndase por función homogénea de orden “m”, a toda función f(x, y, …, u, v) que resiste la prueba: 
f(αx, αy, …,α u, αv) = αm f(x, y, …, u, v), donde α es un parámetro arbitrario, y “m” (real) es el orden 
de la función homogénea f. 
Ejercicio 6: Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son homogéneas y resolverlas: 
 
a) y’ = 𝑥𝑥
2+𝑦𝑦2
2𝑥𝑥𝑦𝑦
 con x≠0 e y≠0 
b) (3xy2) dy + (x3 + y3) dx = 0 
c) x2 y’ -3xy – 2 y2= 0 
d) x sen (y/x) y’ = y sen (y/x) +x 
 
Ecuaciones Diferenciales Exactas: una ecuación es exacta si es el diferencial de primer orden de una 
función escalar F(x, y) = c. 
 
 M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 (Con M y N tales que My = Nx) 
 
 
Ejercicio 7: Comprobar que estas ecuaciones diferenciales son exactas, encontrar la función potencial 
(f) y finalmente la solución (y) (en forma explícita toda vez que sea posible o, de lo contrario, en 
forma implícita), de las siguientes ecuaciones diferenciales. 
 
a) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 (Observe que esta ecuación diferencial también es homogénea y puede 
resolverse como tal) 
 
b) ey dx + (x ey + 2y) dy = 0 
 
c) Encontrar el valor de n para el que estas ecuaciones son exactas, y resolverlas: 
(xy2 + nx2y) dx + (x3 +x2y) dy = 0 
(x + y e2xy) dx + nx e2xy dy = 0. 
 
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden 
 
Ecuación diferencial lineal, definición: “es aquélla en la que la función incógnita y todas sus derivadas 
presentes están elevadas a la primera potencia; ni la incógnita ni sus derivadas intervienen en el 
argumento de funciones trascendentes, y los coeficientes de ellas son constantes o funciones de las 
variables independientes.” 
 
Observe que esta definición no depende del orden de la E. D., es decir que es válida para orden uno 
o mayor. Al decir “variable/s independiente/s” (una o más), es aplicable a E. D. Ordinarias y a E. D. a 
Derivadas Parciales. 
 
En orden 1, su forma típica es: y’ + P(x) y = Q(x) 
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Ejercicio 8: Reconocer entre las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden, cuáles son 
lineales y resolverlas. 
a) y’ + 2x y = 2x; 
b) y’ + y/x = 3x 
c) y’ – 2xy = 6x𝑒𝑒𝑥𝑥2 
d) y’ + 2 sen(y) = 0 
e) (2y – x3) dx = x dy 
E. D. no lineales reducibles a lineales: Ecuación de Bernoulli. 
Su forma clásica es: y’ + P1(x) y = Q1(x) yn; con: n ≠ 1 y n ≠ 0 (¿por qué?). 
Recuerde que el cambio de variables z = y 1-n produce la lineal z’ + P(x) y = Q(x). 
Dónde: P(x) = (1-n) P1(x), y Q(x) = (1-n) Q1 (x). 
 
Ejercicio 9: Resolver: 
a) y’ + 2x y = 2x y3 
b) xy2y’ + y3 = x cos(x) 
c) x dy + y dx = xy2 dx 
d) xy’ + y = x4 y3 
 
Ejercicio 10: Clasifique y resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales 
 
 ECUACIÓN DIFERENCIAL VARIABLES SEPARABLES LINEAL HOMOGÉNEA EXACTA BERNOULLI 
a 0´x =+ yy 
b yxxy −=´ 
c 3 xyy y =+′ 
d 1´ 2 =+ yxy 
e 0´ =+ yyx 
f 332 ´ xyyxy −= 
g ( ) 0 222 =++ dyxydxyx 
h ( ) 0 22 3 =+− dyxdxyxy 
j sen2x cosx y y =+′ 
j 0 2yxdy -dx )y (x 2 =+ 
k 0 dy )y y (x dx ) xy (x 3223 =+++ 
l ( ) 0 3 /233 =++ yxyyx 
m 
xy
yxy
22
´ += 
 
Ejercicio 11: Halle la solución particular que verifique la condición inicial indicada. Grafique una de 
ellas. 
a) 
( )



=
=+
20
0´ 2
1
2
1
y
yyx
 
d) 



3= y(3)
2 =y + y´
 
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b) 
( )
( )


=
=++
11
0´3 233
y
yxyyx
 
e) 



5 = y(1)
3x =2y + xy´ 2
 
c) ( )


=
=+
10
2cos 
y
xsenxyý
 
f ) �𝑥𝑥𝑥𝑥` = 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
4 cos(𝑥𝑥)
𝑥𝑥(2𝜋𝜋) = 0 
PROBLEMAS DE APLICACIÓN 
 
Ejercicio 12: Escribir una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita: 
 a) La aceleración de un auto deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 km/h y la 
velocidad del auto. 
b) En una población fija de P habitantes, la razón de cambio del número N de personas que han 
escuchado cierto rumor es proporcional al número de personas que aún no lo han escuchado. 
c) En una población fija de P habitantes, la razón de cambio del número N de personas infectadas 
por una enfermedad, es proporcional al número de personas infectadas y al número de personas 
no infectadas. 
d) Si la población de un país se duplica cada 50 años ¿en cuántos años será el triple? suponiendo 
que la velocidad de aumento es proporcional al número de habitantes. 
e) En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al número presente. 
f) Si se ha hallado que el número se duplica en cuatro horas ¿qué número cabe esperar al cabo de 
12 horas? 
 g) Si hay 10.000 bacterias al cabo de una hora ¿cuántas había al principio de la observación? 
 
Optativos 
 
Ejercicio 13: La desintegración de un núcleo radiactivo de Uranio es tal que la velocidad de 
desintegración es proporcional a la masa de Uranio remanente. El Uranio emite núcleos de Helio 
(partículas alfa) y se convierte en Thorio: 
 
23892U → 23490Th + 42He. 
 
Obtener el modelo matemático y la ley de desintegración del Uranio, utilizando como constante de 
proporcionalidad: k = constante de desintegración. 
 
Ejercicio 14: El famoso problema del “barrenieve” 
 
 A cierta hora de la mañana, to, comienza a nevar a régimen constante. El encargado de limpiar la 
ruta sale a las 9:00 a barrerla, dado que ya se torna necesario. Conforme el espesor va aumentando, 
la velocidad del barrenieve disminuye. A las 11:00, se han limpiado 2 Km; a las 13:00, un Km adicional 
(total 3Km). ¿A qué hora comenzó a nevar? 
 
Solución: 
 
Sea T = t – to el tiempo transcurrido desde el comienzo de la nevada; t la hora observada, to la hora 
en que comenzó a nevar. 
 
Si llamamos y(t) al camino recorrido en función del tiempo t, y’(t) será la velocidad de avance del 
barrenieve. Ésta es inversamente proporcional al espesor E, el cual aumenta con régimen constante a 
medida que aumenta el tiempo de la nevada. 
 
E = AT = A (t-to); 
 
Luego: y’ = K 1
A (t−to)
 es el modelo matemático del problema, donde A y K son 
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constantes de proporcionalidad. 
 
Continúe resolviendo y aplique las condiciones dadas. 
 
Respuesta: to = comenzó a nevar a las 7:45 hs 
 
Ejercicio 15: Aplicación a un circuito eléctrico sencillo: una inductancia (bobina) L en serie con una 
resistencia R. 
 
El circuito LR de la figura se encuentra en reposo: i(0) = 0 al momento de cerrar la llave S. No hay 
energía almacenada en la bobina L. Encontrar la corriente i(t) en amperios a partir del cierre de la 
llave S (t = 0) siendo E = V (voltios). 
 
Resolución: La ley de las tensiones de Kirchoff nos lleva a plantear: 
 
L i’(t) + i R = E, o re-escrita: i’(t) + i(t) R/L = E/L 
 
Resuelva y grafique para V = 12 voltios, R = 10 ohms L = 2 Henrios. 
 
Respuesta: i(t) = V/R (1 – e-t/τ); donde τ = L/R = constante de tiempo del circuito. 
 
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT 
 
Forma de la ecuación diferencial de Clairaut: y = xy’ + f(y’) (1) 
(La función f debe ser analítica) 
 
Su resolución es bastante sencilla: derivando m. a m.: y’ = y’ + xy” + f’(y’)y” 
 
Llamamos p a y’. Así: 
 
p = p + xp’ + f’(p) p’; cancelamos las p, quedando: xp’ + f’(p) p’ = 0 (2) 
 
En (1) queda: y = xp + f(p) 
 
En la (2) vemos que p’ [ x + f’(p) ] = 0; a) p’ = 0; b) x + f’(y’) = 0 
 
Obtenemos de a) la primera solución: 
 
p’ = 0; luego p = C. 
 
Así, en (1): y = x C + f(C), familia de rectas, solución general 
 
Y de b), x + f’(y’) = 0, surge la segunda solución: solución singular (su 
gráfica es envolvente de las rectas anteriores). 
 
Ejemplo resuelto: 
 
y = xy’ + e-y’ 
 
derivando resulta: 
 
y’ =1y’ + xy’’ + (-y’’e-y’) 
 
si reemplazamos p=y’ 
 
p=p+xp’ - e-pp’ 
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0=xp’ – e-pp’ luego 0= p’(x-e-p) o sea 
 
P’=0 0 x- e-p= 0 
 
Si p’= 0 entonces p=c luego y’ = c entonces y = cx + k solución general 
 
Si x- e-p=0 x=e-p y ln (x)= -p luego y`= -ln (x) entonces y= -x ln (x) + x solución singular 
 
Ejercicio 16: Resolver las siguientes ecuaciones de Clairaut: 
 
a) y = xy’ – ¼ (y’)2 
b) y = xy’ + e-y’; (la primitiva de ln (x) es: x ln (x) – x + K; considere K=0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial de Clairaut del inciso b) 
(En línea de trazos, la gráfica de la solución singular; cada recta representa una solución particular; 
todas las infinitas rectas, la solución general). 
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