Modelado 2-

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Modelado con ecuaciones diferenciales 
12.g) Un hombre, situado en la terraza de un edificio, lanza una pelota de 0,2 
kg de masa verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. La pelota 
llega al suelo a los 5 segundos después de haber sido lanzada. 
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? 
2. ¿Qué altura tiene el edificio? 
3. ¿con qué velocidad llega la pelota al suelo? 
𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎
𝑚 = 0,2 𝑘𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑎
𝑣 = 10 𝑚/𝑠𝑒𝑔
𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑔
 
La trayectoria es rectilínea en el eje de las ordenadas, llamamos a nuestra 
función incógnita y(t) : “y” es la variable dependiente o función que indica las 
alturas y “t” la variable independiente que indica el tiempo. Debemos elegir 
un sistema de referencia arbitrario, a gusto. Teniendo en cuenta las 
preguntas del problema, voy a elegir el eje “y” con origen en el piso y con 
dirección positiva hacia arriba, y el tiempo inicial to = 0, al instante en que se 
arroja la pelota hacia arriba. 
De la ley de Newton que conocemos de la dinámica: ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 las 
sumatorias de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema (o 
una partícula), es igual a la masa por la aceleración del sistema (o partícula), 
ello es; si la masa permanece constante. Después del instante en que 
lanzamos la pelota, la única fuerza que actúa sobre ella es la fuerza peso. En 
nuestro caso la ecuación del movimiento es: −𝑃 = 𝑚. 𝑎 recordemos que el 
signo menos de la fuerza peso es porque al lanzar la pelota hacia arriba es 
una fuerza resistiva (se opone al movimiento) 
Bien ahora: - m.g = m.a se simplifican las masas y nos queda – g = a, 
pasamos a la cinemática. Sabemos que la aceleración 𝑎 = = 𝑦′′ ; y la 
aceleración de la gravedad en nuestro medio, como estamos en sistema de 
unidades MKS, es: 𝑔 = 9,8 ; y nos queda: 𝑦 = − 9,8 Ecuación 
diferencial ordinaria, lineal de 2° orden completa, a coeficientes constantes, 
que sabemos resolver. Para el problema del valor inicial tenemos. 
𝑦´´ = −9,8
𝑦(0) = ℎ
𝑦 (0) = 10
  aunque no sabemos el valor de h (altura del edificio), lo 
calcularemos después. En cambio si conocemos y’(0) porque es la velocidad 
inicial. Recordemos de la cinemática que la derivada de función de la 
trayectoria es la velocidad. 
Resolución de la EDO: 
𝑦 = −9,8 (1) completa 
𝑦 = 0 (2) homogénea asociada a (1) 
𝑟 = 0 Ecuación característica  𝑟 = 0 raíces reales e iguales 
Solución General de (2): 𝑦 = 𝐶 + 𝐶 𝑡 
Proponemos: 
 𝑦 = 𝑎 𝑡 
𝑦′ = 2 𝑎 𝑡 
𝑦′′ = 2 𝑎 
Reemplazamos en (1): 2 𝑎 = −9,8 => 𝑎 = − 4,9 
𝑦 = 𝐶 + 𝐶 𝑡 − 4,9 𝑡 Solución General de (1), derivamos 
𝑦 = 𝐶 − 2 ∗ 4,9 𝑡 
Las ecuaciones para hallar {𝐶 ; 𝐶 } son: 
ℎ = 𝐶
10 = 𝐶
 ℎ 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜: 𝑦(5) = 0 => 
0 = ℎ + 10 ∗ 5 − 4.9 ∗ 5 => ℎ = 72,5 
𝑦 = 72,5 + 10 𝑡 − 4,9 𝑡 es solución particular de (1) 
Podemos graficar: 𝑦(𝑡) es una cuadrática (no confundir con la trayectoria 
que es lineal). 
 
Respuestas: 
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? 𝒉𝒎𝒂𝒙 = 𝟕𝟕, 𝟔 𝒎 
𝑦 = 0 => 0 = 10 − 9,8 𝑡 => 𝑡 = ,
= 1,02 
ℎ = 𝑦(1,02) = 72,5 + 10 ∗ 1,02 − 4,9 ∗ 1,02 = 77,6 
2. ¿Qué altura tiene el edificio? h = 72,5 m 
𝑦(0) = 72,5 
3. ¿con qué velocidad llega la pelota al suelo? 𝒗𝒔 = 𝟑𝟗 
𝒎
𝒔
 en dirección hacia 
abajo. 
𝑦 (5) = 10 − 9,8 𝑡 = −39 
12.i) Una fuerza de 400 N estira 2metros un resorte. Después al extremo de 
ese resorte se fija una masa de 50 kg y parte de la posición de equilibrio a 
una velocidad de 10 m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento, 
resuélvala y esboce su gráfica. 
𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧𝑘 =
400 𝑁
2 𝑚
= 200 
𝑁
𝑚
𝑚 = 50 𝑘𝑔
𝑣 = 10
𝑚
𝑠
 
Consideraciones teóricas: Si tenemos un movimiento a partir de la figura 
donde podemos ver una masa m suspendida desde el techo 
con un resorte de constante k, y un amortiguador con 
constante c, esquema como el del croquis, en estado de 
reposo. Queremos saber cuál es su movimiento, utilizaremos 
nuevamente la Ley de Newton de la dinámica. ∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 
Sin que actúe ninguna fuerza exterior, podemos observar que 
si lo apartamos de su posición de equilibrio, por ejemplo hacia 
abajo y lo liberamos, por efecto el resorte volverá a su 
posición inicial, llegando a esa posición con cierta velocidad, energía cinética 
adquirida a partir de la energía potencial acumulada por el resorte (principio 
de conservación de la energía) a partir de allí estudiaremos el movimiento 
con (to = 0). 
 
Observar que da lo mismo para el análisis si el movimiento es horizontal o 
vertical. Pues la fuerza peso que actúa cuando la masa está colgada como en 
nuestro caso, es constante y solamente nos dará una posición inicial distinta, 
el resorte estará un poco más estirado, pero después no influye para nada, 
debido a que su acción es constante. 
 
La fuerza del resorte: 𝐹 = 𝑘 . 𝑦 por ley de Hooke 
 
La fuerza del amortiguador: 𝐹 = 𝑐 . = 𝑐. 𝑦′ como un amortiguador de 
automóvil, proporcional a la velocidad. 
 
∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 → −𝑘 𝑦 − 𝑐 𝑦 = 𝑚 𝑦 las fuerzas son negativas porque se 
oponen al movimiento (resistivas) 
 
Es decir, tenemos una EDO, lineal de 2° orden homogénea, a coeficientes 
constantes. 
𝑚 𝑦 + 𝑐 𝑦 + 𝑘 𝑦 = 0 modela el movimiento. 
Si quisiéramos podríamos agregar una fuerza más, que actúe sobre el sistema 
que sea función del tiempo, fuerza activa que produce movimiento. 
∑ 𝐹 = 𝑚. 𝑎 → 𝐹(𝑡) − 𝑘 𝑦 − 𝑐 𝑦 = 𝑚 𝑦 
 
 
Ahora tengo una EDO, lineal de 2° orden completa, a coeficientes constantes. 
𝑚 𝑦 + 𝑐 𝑦 + 𝑘 𝑦 = 𝐹(𝑡) modela el movimiento. 
Volviendo al problema planteado, tomemos el sentido positivo del eje y(+), 
hacia abajo para el ejercicio dado, recordemos que el sistema de referencia 
que elijo es totalmente arbitrario, el que me resulte cómodo. Se trata de 
establecer la ecuación del movimiento, una y(t), no hay fuerza exterior F(t), ni 
amortiguador (F(t) = 0; c = 0) 
 
La ecuación diferencial queda: 𝑦 + 𝑦 = 0 → 𝑦 = −4 𝑦 por el planteo 
del problema del valor inicial: 
 
𝑦 = − 4 𝑦
𝑦(0) = 0
𝑦 (0) = −10
 Ecuación característica  𝑟 = −4 ; 𝑟 = 0 ± 2 𝑖 
 
Solución General: 𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(2 𝑡) + 𝐵 𝑠𝑒𝑛(2 𝑡) 
𝑦 (𝑡) = −2 𝐴 𝑠𝑒𝑛(2 𝑡) + 2 𝐵 cos(2 𝑡) 
0 = 𝐴
−10 = 2 𝐵 => 𝐵 = −5
 
 
Solución Particular: 𝑦(𝑡) = −5 𝑠𝑒𝑛(2 𝑡) ecuación del movimiento 
solicitada en el ejercicio. Graficando. 
 
Tenemos un Movimiento oscilatorio armónico, ya conocido desde Física I. 
 
Otros datos: 
𝑠𝑖 𝐹(𝑡) = 0 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒
𝑠𝑖 𝐹(𝑡) ≠ 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎𝑑𝑜
 
 
Recordemos que se define: 
 = 𝜔 (𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛) → 𝜔 = = 2 𝜋 𝑓 → 2𝜋 𝑓 = 
 
 
 
 
 
12.k) Determinar la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC 
en serie cuando: L = 1 h, R = 2 Ω, C = 0,25 f, E(t) = 50 cos (t) V 
 En el circuito aplicamos la Ley de malla de Kirchhoff, de 
conservación de la energía, “la sumatoria de las caídas de tensión en un 
circuito es igual a las sumatorias de todas las fem conectadas” 
∑ 𝑐𝑎í𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 = ∑ 𝐸 (𝑡) , sabiendo además que 𝑖 = 
Componente Bobina: L Resistencia: R Condensador: C 
Caída de tensión 
𝐿 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
𝑅 𝑖 1
𝐶
 𝑞 =
1
𝐶
𝑖 𝑑𝑡 
 
𝐿 + 𝑅 𝑖 + ∫ 𝑖 𝑑𝑡 = 𝐸(𝑡) => 𝐿 𝑞 + 𝑅 𝑞 + 𝑞 = 𝐸(𝑡) modela las 
cargas en el condensador. Si queremos modelar la corriente del circuito 
derivamos respecto de t, miembro a miembro. 𝐿 𝑖 + 𝑅 𝑖 + 𝑖 = 𝐸′(𝑡) 
 
La ecuación del modelo es 𝐿 + 𝑅 + 𝑞 = 𝐸(𝑡), siendo E(t) el 
voltaje, L la inductancia, R la resistencia y C la capacitancia, en este caso al 
reemplazar los valores del ejercicio se tiene 
 
𝑑 𝑞
𝑑𝑡
+ 2 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 4 𝑞 = 50 𝑐𝑜𝑠(𝑡)(1) 
Se forma la ecuación característica 
𝑟 + 2𝑟 + 4 = 0; 𝑟 = −1 ± √3 𝑖 
La solución Homogénea es la siguiente 
𝑞 = 𝑒 (𝐶 cos √3𝑡 + 𝐶 𝑠𝑒𝑛 √3𝑡 ) 
La solución particular propuesta será 
𝑞 = 𝐴 cos(𝑡) + 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (2) 
Derivando 2 veces (2) se tiene 
𝑞 = −𝐴 sen(𝑡) + 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝑡) (3) 
𝑞 = −𝐴 cos(𝑡) − 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑡) (4) 
Reemplazando (3) y (4) en (1) se tiene 
−𝐴 cos(𝑡) − 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 2[−𝐴 sen(𝑡) + 𝐵 𝑐𝑜𝑠(𝑡)] + 4[𝐴 cos(𝑡) + 𝐵 𝑠𝑒𝑛(𝑡)]
= 50 cos (𝑡) 
[2𝐵 + 3𝐴] cos(𝑡) + [3𝐵 − 2𝐴] 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = 50 cos (𝑡) 
Igualando los coeficientes 
2𝐵 + 3𝐴 = 50
3𝐵 − 2𝐴 = 0
 
𝐴 =
150
3
 ˄ 𝐵 =
100
13
 
𝑞 = 𝑞 + 𝑞 
𝑞(𝑡) = 𝑒 𝐶 cos √3𝑡 + 𝐶 𝑠𝑒𝑛 √3𝑡 +
150
3
cos(𝑡) +
100
13
 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
El primer termino 𝑒 𝐶 cos √3𝑡 + 𝐶 𝑠𝑒𝑛 √3𝑡 corresponde a la parte 
transitoria de la carga, es decir, aquella que desaparece a medida que 
transcurre el tiempo, ya que el valor de 𝑒 se vuelve muy pequeño para t 
grande. 
Los demás términos cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) son los que “permanecen” 
conforme transcurre el tiempo, a esto se lo conoce como solución de estado 
estable. 
Con lo cual la solución de estado estable es 𝑞 = cos(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 
Como la derivada de la carga respecto al tiempo es la corriente, es decir 
𝑖 = derivando se tiene 𝑖(𝑡) = − sen(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝑡)