PD_Algebra_lineal

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Álgebra lineal 
Unidad 1, 2 y 3 
Programa desarrollado 
 
 
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 1 
 
 
 
Programa desarrollado 
 
Segundo cuatrimestre 
 
 
Programa de la asignatura: 
Álgebra lineal 
 
Clave: 230910205 
190910205 
170910205 
 
 
ESAD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra lineal 
Unidad 1, 2 y 3 
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Índice 
 
 Página 
I. Información general de la asignatura 3 
a. Ficha de identificación 
b. Descripción 
c. Propósito 
II. Competencias a desarrollar 5 
III. Temario 6 
IV. Metodología de trabajo 8 
V. Evaluación 9 
VI. Material de apoyo 10 
VII. Desarrollo de contenidos por unidad 10 
a. Unidad 1 11 
b. Unidad 2 47 
c. Unidad 3 92 
VIII. Calendario de actividades 137 
IX. Anexos 138 
a. Unidad 1 140 
b. Unidad 2 145 
c. Unidad 3 148 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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I. Información general de la asignatura 
 
 A. Ficha de identificación 
 
Nombre de la 
Licenciatura o 
Ingeniería: 
Familia Ambientales 
Nombre del curso o 
asignatura 
Álgebra lineal 
Clave de asignatura: 230910205 
190910205 
170910205 
Seriación: 
Cuatrimestre: Segundo 
Horas contempladas: 72 horas 
 
 
 
B. Descripción 
 
Álgebra lineal es una de las tantas ramas de las matemáticas que se basa en el estudio de los siguientes 
conceptos: vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales, así como de los espacios vectoriales y 
transformaciones. Te proporcionará las herramientas para la resolución de problemas en áreas diversas 
dentro y fuera de las matemáticas, por ejemplo, en el análisis funcional, ecuaciones diferenciales, 
investigación de operaciones, gráficas por computadora y las diversas áreas de estudio de la ingeniería. 
 
La asignatura de Álgebra lineal se aborda en el cuatrimestre II de la Ingeniería en Biotecnología, en 
Energías renovables y Tecnología ambiental. También se aplicará en materias como cálculo diferencial, 
cálculo integral, métodos numéricos, variable compleja y cálculo multivariado. Por ejemplo, los sistemas de 
ecuaciones aparecen en cálculo, ya sea real o complejo y de una o diversas variables, cuando deseas 
saber las intersecciones de funciones o la integral de ciertas funciones. Las funciones de diversas variables 
pueden ser vistas como vectores; otra aplicación de matrices y de sistemas de ecuaciones la encontrarás 
en métodos numéricos, por ejemplo, si pretendes realizar una maximización de producciones o una 
minimización de gastos. 
 
Mediante el estudio del álgebra lineal podrás adquirir la capacidad de abstracción y formalización de ideas 
matemáticas, así como la comprensión de la relación entre el álgebra lineal, la geometría y el manejo de 
técnicas de cálculo, a través del planteamiento y análisis de conceptos y problemas específicos del álgebra 
lineal, ejemplificándolos mediante los procedimientos de sistemas ya conocidos y/o estableciendo métodos 
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y algoritmos para su solución y obtener así los elementos que te permitieron fundamentar lo empleado en el 
análisis y solución de problemas bajo un razonamiento lógico y aplicarlo en tu ámbito profesional. 
Hay una gran cantidad de ejemplos de aplicaciones y relaciones entre el álgebra lineal y otras áreas de la 
matemática. De modo que sólo hablaremos de algunas. En geometría verás que las transformaciones 
rígidas del espacio pueden representarse por medio de matrices y vectores, o bien, utilizarás vectores 
directores para definir rectas y planos en el espacio tridimensional. En cálculo de varias variables, 
descubrirás que es más fácil representar unas funciones por medio de vectores y utilizarás vectores y 
matrices para derivar e integrar las funciones. 
 
 
C. Propósito 
 
La asignatura álgebra lineal es la columna vertebral de las matemáticas. 
 
• El estudio de la asignatura te ayudará a plantear y resolver problemas matemáticos, así como modelos 
que te permitan interpretar lo que sucede con las variables en juego para dar respuesta a las situaciones 
que surjan en las empresas u organizaciones. 
 
 
 
II. Competencia(s) a desarrollar 
 
 Competencia general 
 
• Utiliza principios del álgebra lineal mediante la transformación de los elementos en vectores y 
matrices para la resolución de problemas en su ámbito profesional. 
 
 Competencias específicas 
 
• Utiliza vectores para resolver problemas de distintas áreas mediante el álgebra vectorial. 
• Emplea matrices para resolver problemas de distintas áreas mediante diferentes métodos de 
solución de sistemas de ecuaciones lineales. 
• Utiliza los determinantes para resolver problemas de diversas áreas por medio de la regla de 
Cramer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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III. Temario 
 
1. Álgebra lineal 
1.1. Historia del álgebra lineal 
1.2. Vectores 
1.2.1. Conceptos básicos 
1.2.2. Magnitud y dirección de un vector 
1.2.3. Vectores en el plano y en el espacio 
1.2.4. Vectores unitarios 
1.2.5. Componentes de un vector: horizontal y vertical 
1.2.6 Igualdad de vectores 
1.3. Operaciones con vectores 
1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector 
1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalar 
1.3.3. Suma de vectores 
1.3.4. Resta de vectores 
1.4. Productos vectoriales 
1.4.1. Producto punto 
1.4.2. Condición de perpendicularidad 
1.4.3. Propiedades del producto punto 
1.4.4. Aplicaciones del producto punto 
1.4.5. Producto cruz 
 
1.5. Triples productos 
1.5.1. Triple producto escalar 
1.5.2. Triple producto vectorial 
2. Matrices 
2.1. Introducción a matrices 
2.1.1. Renglones y columnas 
2.1.2. Notación y clasificación 
2.2. Operaciones con matrices 
2.2.1. Suma y resta de matrices 
2.2.2. Producto de un escalar por una matriz 
2.2.3. Producto matricial 
2.3. Representación matricial 
2.3.1. Matriz principal y matriz ampliada 
2.3.2. Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales 
2.4. Operaciones elementales de renglón 
2.4.1. Aplicación de las operaciones elementales de renglón a una matriz 
2.4.2. Matriz inversa mediante operaciones de renglón 
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2.5. Solución de sistemas lineales 
2.5.1. Método de eliminación de Gauss 
2.5.2. Método de Gauss-Jordan 
Unidad 3. Determinantes 
3.1. Bases de los determinantes 
3.1.1. Introducción a los determinantes 
3.1.2. Menores y cofactores de un determinante 
3.1.3. Propiedades de los determinantes 
3.2. Solución de sistemas lineales por determinantes 
3.2.1. Regla de Cramer 
3.3. Ejemplos de aplicación 
3.3.1. Aplicación de matrices 
3.3.2. Aplicación de sistemas de ecuaciones 
 
 
IV. Metodología de trabajo 
 
Para la asignatura de Álgebra lineal se utilizará como metodología de trabajo el aprendizaje basado en 
problemas, en la que a menudo te enfrentarás a situaciones que deberás resolver a partir de lo que has 
aprendido en la asignatura. 
 
Es importantemencionar que para el logro de la competencia es fundamental seguir el cumplimiento cabal 
de cada una de las actividades planteadas, la ejercitación de procedimientos matemáticos o ejercicios 
prácticos, así como el constante estudio de los conceptos que forman parte de la asignatura. La finalidad 
de esta asignatura no sólo es conceptual, si no que la información sea utilizada o aplicada para la solución 
de problemas. A continuación, se describen de forma general las estrategias metodológicas de enseñanza-
aprendizaje. 
 
En cada una de las unidades que integran la asignatura, deberás llevar a cabo la elaboración de diferentes 
actividades como pueden ser, rueda de atributos, cadena de secuencias o ejercicios prácticos, actividades 
en las que utilizarán el foro, el blog; dichas actividades son formativas y debes subirlas a la herramienta de 
tareas. 
 
Al final de cada unidad entregarás una evidencia de aprendizaje sumativa y que formará parte del portafolio 
de evidencias. Es importante tener claro que tanto actividades formativas como sumativas deberán ser 
retroalimentadas por tu Facilitador (a). 
 
 
V. Evaluación 
 
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En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, 
sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual, por lo que 
se le considera desde un enfoque integral y continuo. 
 
Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Álgebra lineal se espera la participación responsable y activa 
del estudiante, así como una comunicación estrecha con su Facilitador(a) para que pueda evaluar 
objetivamente su desempeño, para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar 
el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales. 
 
En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje en el que la retroalimentación 
permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito 
indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la 
participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades dentro 
del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la 
rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de 
realizar la actividad correspondiente. 
 
A continuación, presentamos el esquema general de evaluación. 
 
RECURSOS Y HERRAMIENTAS VALOR 
Actividades formativas (Envíos a taller y tareas). 20% 
Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro, blog, 
wiki, base de datos). 
20% 
Autoevaluaciones de unidad. 20% 
E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje. 40% 
 
Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la 
ESAD. 
 
 
VI. Materiales de apoyo 
 
Bibliografía básica: 
 
• Del Valle, Juan C. (2009).Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Mc Graw Hill Interamericana. 
 
• Lay, D. C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson Educación. 
 
• Friedberg, Stephen, et. al (2007). Álgebra lineal. Estados Unidos: Illinois State University: Prentice. 
 
• Stanley I, Grossman (2008). Álgebra lineal. México: Mc Graw Hill. 
 
 
Bibliografía complementaria: 
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• Bernard Kolman, David R. Hill (2006). Álgebra lineal. México, Pearson Educación. 
 
• Corcobado, J. L. y Marijuán, J. Matemáticas I. Consultado en: 
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm. 
 
• Marsden, Jerrold y Tromba, Anthony (1991). Cálculo vectorial. Estados Unidos: Addison-Wesley 
Iberoamericana. 
 
• Williams, G. (2004). Álgebra lineal con aplicaciones. México: Mc Graw Hill. Kolman, B. y Hill. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm�
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VII. Desarrollo de contenidos por unidad 
 
 Unidad 1. Álgebra lineal 
 
Propósito 
 
• En esta unidad podrás identificar los aspectos históricos que permitieron el desarrollo del álgebra lineal, 
así como representar los vectores en el plano y en el espacio para resolver problemas matemáticos por 
medio de los productos vectoriales. 
 
 
Competencia específica 
 
• Calcula el producto punto y cruz para resolver problemas matemáticos por medio de las propiedades 
de ambos productos. 
 
 
Presentación de la unidad 
 
 El álgebra lineal tiene un enfoque amplio, ya que se encarga del estudio de conceptos tales como vectores, 
matrices y sistemas de ecuaciones lineales. De manera más formal podemos decir que estudia los espacios 
vectoriales y las transformaciones lineales. 
En esta unidad revisarás temas de historia del álgebra lineal, vectores, operaciones con vectores, productos 
vectoriales y triples productos. También encontrarás ejemplos, ejercicios, planteamientos de problemas y 
conforme vayas conociendo la teoría podrás darte cuenta si esa información es útil para resolver los 
problemas. 
 
Es muy importante conocer un poco sobre el origen del Álgebra lineal, ya que el ser humano desde la 
antigüedad hasta nuestros días ha utilizado las matemáticas para beneficiarse; una de las primeras 
necesidades que tuvo fue la de contabilizar la muestra la podemos encontrar en las diferentes culturas 
como la maya, china, inca, etc. 
 
Las operaciones con vectores, tales como la suma, resta y multiplicación te permitirán resolver situaciones 
de la vida cotidiana, por ejemplo, las ganancias que obtiene un comerciante y que se pueden determinar 
por medio del producto escalar. Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las 
ramas de la física. El triple producto te permitirá hallar el volumen de un paralelepípedo sin necesidad de 
aplicar la fórmula geométrica, esto lo podemos hacer representando la figura en el plano y conociendo los 
valores de cada uno de los componentes del vector. 
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En la actualidad muchos problemas se plantean en términos de una ecuación o de un sistema de 
ecuaciones, los cuales contienen las restricciones de cada uno de los problemas. La interpretación de los 
resultados te permitirá elegir la mejor opción y de esta manera, podrás ofrecer alternativas a la sociedad 
para que se vean beneficiados con las aplicaciones del álgebra lineal. 
 
 
2. Historia del álgebra lineal 
 
Desde la antigüedad el ser humano comenzó a preguntarse sobre diversos aspectos de la vida cotidiana, lo 
que lo llevó a inventar herramientas que le permitieran medir longitudes, ordenar y contar objetos, así como 
reconocer fenómenos periódicos de la naturaleza. Como resultado de este proceso, el ser humano ha 
construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos o que le han ayudado a 
encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con el propósito de favorecer tanto 
su forma de vida como la de los miembros de su medio local. 
 
Hacia el año 1650 a.C., el sacerdote egipcio Ahmés escribió el Papiro de Rhind, uno de los documentos 
matemáticosmás antiguos. En él, se encuentran los primeros conocimientos acerca del álgebra lineal. Éste 
documento contiene 85 problemas redactados en escritura hierática y fue concebido originalmente como un 
manual práctico para los no iniciados. 
 
Los babilonios sabían cómo resolver problemas concretos que involucraban ecuaciones de primer y 
segundo grado, completando cuadrados o por sustitución, así como ecuaciones cúbicas y bicuadráticas y 
sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Algunos ejemplos que se encontraron sobre dichos 
problemas datan del último período sumerio, aproximadamente del año 2100 a.C. 
 
Los matemáticos chinos durante los siglos III y IV a.C. continuaron la tradición de los babilonios y nos 
legaron los primeros métodos del pensamiento lineal. Por ejemplo, en el tratado Nueve capítulos sobre el 
Arte Matemático, publicado durante la Dinastía Han, aparece el siguiente sistema lineal. 
 
3x + 2y + z = 39 
2x + 3y + z = 34 
x + 2y + 3z = 26 
 
Los matemáticos griegos, no se preocuparon por los problemas lineales, a pesar de que poseían un 
reconocido pensamiento lineal. En sus trabajos, se aprecian algunas tentativas del análisis diofántico, 
especialmente en el estudio de las magnitudes (Libro V) y las propiedades aritméticas de los números 
enteros (Libro VII). Sin embargo, la solución general de la ecuación de segundo grado aparece en los 
Elementos de Euclides. Sin embargo, dichos elementos no representaban un pensamiento algebraico 
formalmente hablando como el que se conoce en la actualidad. 
 
En realidad las formalidades algebraicas que se estudian en la matemática actual no vieron la luz sino hasta 
finales del siglo XVII con el redescubrimiento y desarrollo de las ideas originales de los babilonios, y 
principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal, y con la relación entre geometría y álgebra, 
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basada en las ideas de René Descartes y de Pierre de Fermat. Así, hasta el siglo XVIII el álgebra fue el arte 
de resolver ecuaciones de grado arbitrario. 
El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. 
En 1843, el matemático irlandés Sir William Hamilton descubrió los cuaterniones. En 1863, aparecen con 
Hamilton, Arthur Cayley (1821-1895) y Hermann Günther Grassmann (1809-1877) las nociones de vector y 
de espacio vectorial como una axiomatización de la idea de “vector” que era manejada por los estudiosos 
de la mecánica desde fines del siglo XVII. Este hecho representó la génesis del cálculo vectorial y de la 
matemática moderna. 
Además, Grassmann que es considerado el maestro del álgebra lineal, introdujo el producto geométrico y 
lineal y fue el primero de éstos equivalente al producto vectorial. 
El primero que utilizó el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester en 1850, definió 
una matriz como un arreglo cuadrilongo de términos. 
Tiempo después estableció contacto con Cayley quien rápidamente entendió la importancia del concepto de 
matriz. 
Uno de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y 
multiplicación de matrices, aunque indicios de éstas ya aparecían en trabajos anteriores de Euler, Lagrange 
y Gauss. Además, Cayley probó que la multiplicación de matrices es asociativa e introdujo las potencias de 
una matriz, así como las matrices simétricas y antisimétricas. 
 
Desde entonces el álgebra ha seguido evolucionando y seguido varias líneas de desarrollo. Por ejemplo, el 
álgebra moderna es una evolución del álgebra clásica pues ésta dispuso más atención en las estructuras 
matemáticas. Algunos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los 
conectan o relacionan. Así, en su forma más general, una buena definición de álgebra es la que dice que 
“es el idioma de las matemáticas”. 
 
En la actualidad, en forma más particular, podemos decir que el álgebra lineal es la rama de las 
matemáticas que estudia conceptos como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y, en un 
enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. En esta materia estudiarás la 
parte de vectores, matrices y sistemas de ecuaciones. 
Debes saber que esta área de estudio se relaciona con muchas ramas dentro y fuera de las matemáticas 
como lo son el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la investigación de operaciones, las gráficas 
por computadora, la ingeniería, etc. 
 
 
 1.2 Vectores 
 
 ¿Sabías que…? 
 
El matemático irlandés Sir William Hamilton (1805-1865) fue quien inició el estudio de vectores. Deseaba 
encontrar una forma de representar ciertos objetos en el plano y en el espacio, lo que lo llevó a descubrir 
los cuaterniones. Este concepto condujo al desarrollo de lo que actualmente se llaman vectores. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas�
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector�
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1tica%29�
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales�
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial�
http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal�
http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcional�
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial�
http://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operaciones�
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa�
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Lord Kelvin dijo que los cuaterniones, “aun cuando son bellamente ingeniosos, han sido un mal peculiar 
para todos aquellos que los han manejado de alguna manera y los vectores […] nunca han sido de la menor 
utilidad para ninguna criatura”. 
 
Sin embargo, Kelvin estaba equivocado, hoy en día, casi todas las ramas de la física clásica y moderna se 
representan por medio del lenguaje de vectores. Estos, también se usan cada día más en las ciencias 
biológicas y sociales.1
 
 
En diferentes libros se encuentra el concepto de vector, en la mayoría de ellos, se representa como una 
línea que apunta hacia alguna parte. En diferentes áreas de las ciencias, se utilizan para facilitar la 
información que se tiene de algún fenómeno, proyecto o situación que se plantea, debido a que ofrece la 
información de manera general y ordenada, inclusive podríamos decir que es un símbolo general que 
facilita la representación de un problema. 
Cabe mencionar que existen diferentes métodos para resolver problemas que evitan el uso de los vectores, 
sin embargo, éstos nos enseña a representar la información de manera ordenada, general y simple en 
muchos de los casos. 
Hemos hecho uso de los vectores sin darnos cuenta, por ejemplo al ver una señal en la carretera en la cual 
se muestra una flecha, al ver los juegos de video cuyos controles indican diferentes direcciones para 
moverse o cuando observamos correr el agua en una pendiente, en fin, podríamos numerar muchos 
ejemplos. A continuación, daremos los elementos que forman a los vectores, así como algunas de sus 
características más importantes. 
 
 
1.2.1. Conceptos básicos 
 
Uno de los conceptos más importantes en matemáticas es el de vector pues por medio de éste podemos 
ubicar el lugar en el que se encuentra un avión, un barco, un automóvil, etc. Para determinar la ubicación de 
cada uno de ellos es necesario conocer la distancia la dirección y el sentido. 
 
Definición geométrica de un vector. El conjunto de todos los segmentos 
de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se 
llama vector. A cualquier segmento de recta en ese conjunto, se le conoce 
como una representación del vector. 
 
Entonces, un vectortiene muchas representaciones que dependen del lugar donde se ubique su punto 
inicial, tal y como lo muestra la siguiente figura, en donde aparecen varias representaciones del mismo 
vector. 
 
Definición algebraica de vector. Un vector v en el plano 
coordenado es un par ordenado de números reales (a, b). 
 
1 Ortega Pulido, Pedro (2002). La enseñanza del álgebra lineal mediante sistemas informáticos de cálculo algebraico. Trabajo de 
grado. Universidad Complutense de Madrid. Madrid. 
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Los números a y b se llaman elementos o componentes del vector v. 
 
 
 
Las partes que componen un vector son: 
 
 
Punto inicial: Es el punto del plano en donde inicia o parte el vector. 
Punto final: Es el punto del plano en donde finaliza el vector. 
Magnitud: Es la longitud o tamaño del vector. 
Dirección: Está formada por la línea que se sigue para ir desde el punto inicial hasta el punto final. 
Sentido: Es el lugar hacia donde apunta el vector, puede ser arriba, abajo, izquierda, derecha, etcétera. 
 
 
 1.2.2. Magnitud y dirección de un vector 
 
Para obtener la magnitud de un vector v (que representaremos como |v|), cuyas coordenadas del punto 
inicial son (a, b) y las coordenadas del punto final (c, d), trazamos el vector en el plano cartesiano. De esta 
manera podemos conocer la magnitud del vector v, tal y como se muestra en la figura. 
 
Primero, ubicamos el punto inicial y final del vector, que en este caso es (a, b) y (c, d), después se traza la 
semirrecta l paralela al eje x que pase por el punto (a, b) y se traza la recta m paralela al eje y que pase por 
el punto (c, d). Al punto de intersección de ambas rectas lo 
llamaremos Q. Como se puede observar, se ha formado un 
triángulo rectángulo con vértices en (a, b), (c, d) y Q. 
A partir del triángulo podemos conocer los valores de sus lados 
paralelos a los ejes coordenados, tal y como se muestra en la 
siguiente figura. 
 
 
 
 
Entonces, el lado horizontal del triángulo tiene una longitud de c – a, el lado vertical tiene una longitud de d 
– b. Con esto, podemos utilizar el teorema de Pitágoras y encontrar la longitud de la hipotenusa del 
triángulo, entonces la hipotenusa estará dada por: 
 
�(a − c)2 + (b − d)2 
 
La magnitud del vector v con punto inicial en (a, b) y punto final en (c, d), es: 
 
|v| = �(c − a)2 + (d − b)2 
 
Hemos calculado la magnitud de un vector con extremos en (a, b) y (c, d). 
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Basándonos en el ejemplo del cálculo de la magnitud de un vector, podemos aclarar los siguientes puntos: 
• Los vectores tienen un punto inicial y un punto final. 
• Las coordenadas de un vector están dadas por las coordenadas del punto final menos las coordenadas 
de un punto inicial. 
• La magnitud de un vector, está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus 
componentes. 
Los vectores tienen un punto inicial y un punto final. Este punto ha quedado claro, ya que los vectores están 
delimitados por sus extremos que son dos puntos, en este caso, del plano. 
Las coordenadas de un vector están dadas por las coordenadas del punto final menos las coordenadas de 
un punto inicial. Este punto nos da las coordenadas del vector, en el ejemplo para calcular la magnitud de 
un vector, el punto final del vector tiene coordenadas (c, d) y el punto inicial tiene coordenadas (a, b), de 
esta manera las coordenadas del vector son (c – a, d – b). 
 
La magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes. 
El último punto nos indica que la magnitud de un vector está dada por la raíz cuadrada de la suma de los 
cuadrados de sus coordenadas, de acuerdo a nuestro ejemplo, estará representado como: 
�(c − a)2 + (d − b)2 
 
La justificación del resultado, ya se ha demostrado. 
Cuando el punto inicial del vector es el (0,0) y el punto final es (a, b), la magnitud está dada por: 
 
|𝑣| = �𝑎² + 𝑏² 
 
 Dirección de un vector 
 
Definiremos la dirección de un vector v = (a, b) como el ángulo θ, medido en radianes que forma el vector 
con el lado positivo del eje x. 
Para encontrar el ángulo de un vector utilizaremos cuatro casos diferentes, ya que un vector puede estar 
ubicado en cualquiera de los cuatro cuadrantes que tiene el plano cartesiano. De acuerdo con el cuadrante 
en el que se encuentre las componentes del vector serán positivas, negativas o combinadas. 
 
 
 
 
Caso 1 
 
Sea el vector (a, b) con a>0 y b>0, elegimos el ángulo θ = φ >0. 
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Cuando el vector se encuentra en el primer cuadrante, el ángulo θ es igual a: 
 
 
φ = θ = 𝑡𝑎𝑛−1
|𝑏|
|𝑎|
 
Caso 2 
 
Si a<0 y b>0, elegimos φ = π - θ >0 
 
 
Caso 3 
 
Si a<0 y b<0, elegimos φ = θ + π>0 
 
 
Caso 4 
 
Si a>0 y b<0, elegimos φ = 2π - θ>0 
 
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Ejemplo: 
 
Calcula la dirección y el sentido que tiene el vector v = (3, -6). 
 
Para calcular la dirección, debemos encontrar el valor del ángulo que tiene el 
vector con respecto al eje x positivo, para ello, aplicamos la fórmula: 
 
φ = 2π - θ 
Primero calculamos el valor del ánguloθ: 
 
θ = 𝑡𝑎𝑛−1
|−6|
|3|
 
 
 
 
 
 
De esta manera, tenemos: 
 
tanθ = 2 
Despejando: 
θ = tan−1(2) 
θ ≈ 63.435 ° 
 
 
Sustituyendo en la fórmula: φ = 2π - θ = 2π-63.435 = 296.565°. 
 
Por lo tanto, se tiene que la dirección del vector con coordenadas (3, -6) es aproximadamente de unos 
296.565 grados y su sentido es hacia la derecha y hacia abajo, tal como lo puedes observar en la figura. 
 
 
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 1.2.3. Vectores en el plano y en el espacio 
Los vectores se utilizan en casi todas las situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, en un plano; si 
buscamos la casa de un amigo en una ciudad desconocida y preguntamos “¿cómo llegamos a esta 
dirección?” Nos podrían contestar: “caminen 500 metros en línea recta”; con esta información por supuesto 
que no sería suficiente para que encontráramos la casa porque podemos caminar 500 metros en al menos 
dos direcciones distintas. 
Preguntando de nuevo a la misma persona hacia qué dirección, nos dirá: “caminen 500 metros en línea 
recta por esta calle hacia ese lado”, con esta información, la persona informante nos habrá dado un vector 
sin darse cuenta, tomamos las instrucciones y llegamos a la dirección correspondiente. Esto es un claro 
ejemplo en el cual cotidianamente se utilizan los vectores en un plano. 
 
Vectores en el plano. Se le llaman vectores en el plano a todos aquellos vectores que se encuentran en ℝ2 
o bien, a aquellos que se representan únicamente con dos coordenadas o componentes, por ejemplo, el 
vector v = (a, b). 
 
Los vectores en el espacio, también se aplican en nuestro entorno debido a que nuestro mundo tiene tres 
dimensiones. Por ejemplo, retomando la situación en la cual se busca un amigo en una ciudad 
desconocida, una vez que se llega a ladirección deseada nos encontramos frente a un edificio de 20 pisos, 
en este caso, sabemos que vamos a caminar hacia el edificio y que nuestro amigo vive en el quinto piso, en 
el departamento que se encuentre hacia nuestra derecha. Esta es la manera en la que se presentan los 
vectores en el espacio, ya que además de indicar lo mismo que el vector en el plano también nos indica un 
dato más, en este caso, la altura. 
 
Vectores en el espacio. Se le llaman vectores en el espacio a todos aquellos vectores que se encuentran 
en ℝ3 o bien, a aquellos vectores que se representan utilizando tres coordenadas o componentes, por 
ejemplo, el vector w = (a, b, c). 
 
 
 
 1.2.4. Vectores unitarios 
 
 Un vector unitario es un vector cuya magnitud es igual a 1. 
Ejemplo: El vector 𝑢 = �3
5
, 4
5
� es un vector unitario, ya que: 
|𝑢| = ��
3
5
�
2
 + �
4
5
�
2
 
 = �
9
25
 + 
16
25
 
 = √1 
 = 1 
 
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Veamos lo siguiente: 
 
Sea u = (a, b) un vector unitario, entonces |𝑢| = √𝑎2 + 𝑏2 = 1, lo cual 
significa que 𝑎2 + 𝑏2 = 1, por esta razón, podemos representar a u por un 
punto en el círculo unitario, tal y como se muestra en la figura. 
Si 𝜃 es la dirección de u, entonces, 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y 𝑏 = cos𝜃, de esta manera, 
podemos representar al vector 𝑢 = (𝑎, 𝑏) como 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + cos𝜃. 
 
 
 
 
Recordando las identidades trigonométricas, se tiene que: 
|𝑢| = �𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 
 
Lo cual, nos indica que la magnitud de 1 no se ha modificado al hacer la sustitución de las funciones seno y 
coseno por a y b. 
Sea v un vector, entonces el vector u con magnitud igual a la unidad y con la misma dirección que v, esta 
dado por: 
𝑢 = 
𝑣
|𝑣|
 
Para cualquier vector, podemos encontrar otro vector que tenga la misma dirección que el primero y cuya 
magnitud sea igual a 1. 
 
Ejemplos: 
 
Sea v = (3, 4) un vector, encuentra un vector que tenga la misma dirección que v y cuya magnitud sea 1. 
 
Solución: Sea u el vector buscado, para poder encontrar el vector unitario que tenga la misma dirección 
que v, realizamos la división 𝑣
|𝑣|
 y tenemos lo siguiente: 
𝑢 = 
𝑣
|𝑣|
 
= 
(3, 4)
√32 + 42 
 
= �
3
5
,
4
5
, � 
 
Entonces, el vector unitario que tiene la misma dirección que v es: 
𝑢 = �
3
5
,
4
5
� 
Se puede verificar su magnitud, esto es: 
|𝑢| = �
32 + 42 
(5)2
 
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= �
25
25
 
= 1 
La dirección del vector v está dada por: 
tan 𝜃 = 
4
3
 
Mientras que la dirección de u está dada por: 
tan𝛼 = 
4
5
3
5
 
 
tan𝛼 = 
4
3
 
Y como podemos observar, tan𝜃 = tan𝛼. 
 
Por lo tanto, u y v tienen la misma dirección. 
 
 
1.2.5. Componentes de un vector: horizontal y vertical 
 
Existen dos vectores en el plano, los cuales nos permiten obtener a todos los demás, dichos vectores son el 
(1, 0) representado por i y el vector (0, 1) representado por j. Así, si v = (a, b) es un vector del plano, 
entonces, podemos escribir (a, b) de la siguiente manera: 
 
(𝑎, 𝑏) = 𝑎(1, 0) + 𝑏(0, 1) 
 
También podemos escribir a v como: 
 
𝑣 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎𝒊 + 𝑏𝒋 
 
Con esta representación, se dice que v está en términos de sus componentes rectangulares. 
Los vectores unitarios i y j tienen las siguientes propiedades: 
I) Ninguno de ellos es múltiplo de otro vector. 
II) Cualquier vector se puede escribir en términos de i y j, tal y como se hizo con v en la ecuación anterior. 
 
 
1.2.6. Igualdad de vectores 
 
Diremos que dos vectores son iguales, únicamente cuando cada uno de sus componentes son iguales entre 
sí. Es decir, para que los vectores u = (a, b, c) y v= (d, e, f) sean iguales, entonces, a =d, b=e, c = f. 
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Los vectores: u = (2, 3, -5) y v = (2, -3, -5) son vectores distintos debido al signo la segunda coordenada de 
u es diferente de la segunda coordenada de v, por lo cual no podemos decir que los vectores sean los 
mismos. 
 
Si bien, es cierto que dos vectores necesitan tener las mismas coordenadas para ser iguales, a pesar de 
esto, dos vectores pueden tener diferentes extremos y ser iguales, por ejemplo: 
 
Sean M = (3, 5) y N = (2, - 1) el punto inicial y final de un vector y sean P = (6, 2) y Q = (5, -4) el punto inicial 
y final de otro vector. Demostrar si los vectores son iguales o no. 
Encontraremos el vector que inicia en M y termina en N y lo representamos por MN������⃗ , tal y como se muestra a 
continuación: 
MN������⃗ = (2 − 3,−1 − 5) 
MN������⃗ = (−1,−6) 
Por otra parte, encontramos el vector que inicia en P y termina en Q, al cual representamos por PQ�����⃗ , de la 
siguiente manera: 
 
PQ�����⃗ = (5 − 6,−4 − 2) 
PQ�����⃗ = (−1,−6) 
 
Dado que las coordenadas de ambos vectores son iguales, entonces, los vectores MN������⃗ y PQ�����⃗ son iguales. 
 
 
1.3. Operaciones con vectores 
 
Debido a su uso, los vectores poseen ciertas propiedades que nos permiten sumarlos, restarlos y 
multiplicarlos, sin estas propiedades prácticamente serían inservibles, ya que se utilizarían únicamente 
como una representación de un problema sin mayor uso que eso. 
Actualmente, se les da un uso similar al de los números racionales, ya que a pesar de no poder colocar 
todos sus elementos, se sobrentiende la manera en que estos se extienden, como por ejemplo, al colocar 
una serie de números: 2, 4, 6, 8, …, se entiende que se deben de colocar los números pares, de manera 
análoga con el uso de vectores, se puede escribir u = (2, 4, 6, 8,….) y de igual manera se entiende con este 
lenguaje. En lo presente veremos las operaciones que se pueden efectuar con los vectores, sus 
propiedades y algunos de sus usos. 
 
 
 1.3.1. Multiplicación de un escalar por un vector 
 
Para comenzar con esta sección, utilizaremos vectores y los multiplicaremos por un escalar o bien un 
número. 
 
Sea el vector v = (a, b) y sea un número, tenemos que: 
 
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Con lo que: 
 
 
 
 
 
Esto significa que cuando un vector es multiplicado por un escalar distinto de cero, hace que la longitud de 
dicho vector se multiplique por el valor absoluto del escalar. 
 
 
 
 
 
1.3.2. Propiedades del producto de un vector por un escalar 
 
Cuando un vector es multiplicado por un escalar, o bien por un número, puede causarle un cambio de 
sentido o de magnitud. A continuación, se darán algunas propiedades del producto por un escalar. 
 
Sea v y w vectores y sean y escalares, entonces, se cumplen las siguientes propiedades del producto; 
 también es un vector. 
. 
. 
. 
 
Hasta el momento, únicamente hemos utilizado y comprobado la primera propiedad. Conforme avancemos 
en el curso, usaremos y demostraremos las demás si resulta necesario. 
 
 
1.3.3. Suma de vectores 
 
Sean y dos vectores en el plano, se define la suma de dos vectores como un nuevo 
vector, cuyas componentes están formadas por la suma de las componentes de u y de v, el vector 
resultante de la suma se denota por u + v, y la suma se representa como: 
 
 
Para sumar vectores en el espacio el proceso es similar, lo único que cambia es que serealiza la suma de 
tres coordenadas, como se muestra a continuación. 
 
Sean y dos vectores, entonces la suma de ellos se representa por u + v, 
 
 
Con esto ya estamos preparados para poder realizar la suma de dos vectores. 
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Ejemplos: 
1. Encuentra las coordenadas del vector que representa la suma de los vectores: u = (3,5) y v = (-1,6). 
Vamos a encontrar u + v, tal y como se muestra a continuación. 
𝑢 + 𝑣 = (3 + (−1), 5 + 6) 
𝑢 + 𝑣 = (2, 11) 
 
Veamos ahora lo que representa la suma de dos vectores 
en el plano. 
 
Sean 𝑢 = (𝑎1,𝑎2) y 𝑣 = (𝑏1,𝑏2), los colocamos en el 
plano cartesiano, tal y como se muestra en la siguiente 
figura. 
Podemos visualizar a ambos vectores, como líneas que 
tienen un punto inicial, un punto final, una dirección y 
sentido. En este caso, los tomamos en el primer cuadrante 
del plano cartesiano, de igual manera pueden presentarse 
en cuadrantes distintos, ambos negativos o con signos 
distintos, esto no afecta el significado que tiene la suma de dos vectores desde el punto de vista 
geométrico. 
 
En la figura de la izquierda, se observa el vector , y en la de la derecha, se puede apreciar que dicho 
vector representa a la diagonal de un paralelogramo que tiene por lados |u| y |v|. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta es la representación geométrica de la suma de dos vectores, se utiliza para resolver problemas tales 
como, encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores u y v o para encontrar el área del 
triángulo con lados u y v. Esto último también es posible con tres vectores que no sean colineales, es decir, 
que no se encuentren en una misma línea recta. 
 
 
u 
v 
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1.3.4. Resta de vectores 
 
 La resta de vectores es muy similar a la suma. Para poder obtener la resta de dos vectores, se restan las 
coordenadas que se encuentran en la misma posición de cada uno de los vectores, para ser más explícitos, 
observemos la siguiente representación. 
 
Sean y dos vectores en el plano, encontrar la diferencia de los vectores v – u = 
( . 
Los representamos en el plano cartesiano, tal y como se muestra a continuación. 
 
 
En la izquierda se encuentra la representación de los vectores u y v, en la derecha se muestra el vector 
resultante de la diferencia v – u. 
Para entender de donde surge la diferencia, realizaremos los siguientes cálculos. 
𝑣 = 𝑣 
𝑣 = 𝑣 + (−𝑢 + 𝑢) 
𝑣 = (𝑣 – 𝑢) + 𝑢 
 
Esto significa que el vector v es el vector resultante de la suma de los vectores v – u y u, dado que u y v ya 
están trazados, únicamente los unimos mediante otro vector debido a que el punto final del vector resultante 
coincide con el punto final de la suma de los vectores, entonces v – u tiene su punto final en la punta de v y 
su punto inicial en la punta de u. 
 
 
 
1.4. Productos vectoriales 
 
Los productos vectoriales tienen diversas aplicaciones, sobre todo en las ramas de la física, de igual 
manera los encontramos en diferentes situaciones de nuestra vida. 
Por ejemplo, al realizar una competencia de salto de longitud aparentemente, esta consiste en correr, saltar 
y caer pero en esta actividad también intervienen los vectores. Si todos los atletas tienen las mismas 
capacidades físicas, los vectores definirían quién sería el ganador debido a un producto de dos vectores, 
uno que estaría representado por la velocidad con la que corre un atleta y el otro representado por la 
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velocidad con la cual salta; este producto nos permitiría encontrar el ángulo entre los vectores ya 
mencionados y a partir de él, podemos encontrar en qué dirección deben saltar para llegar más lejos. 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.1. Producto escalar 
 
Sean 𝑢 = (𝑎1,𝑏1) y 𝑣 = (𝑎2,𝑏2), entonces, se define el producto escalar o producto punto de dos vectores 
𝑢 ∙ 𝑣 como sigue: 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑎1𝑎2 + 𝑏1𝑏2 
Esto significa que el producto escalar de dos vectores, nos da como resultado un escalar, de ahí que lleve 
el nombre de producto escalar. 
 A continuación, veremos la representación geométrica del producto escalar de dos vectores. 
Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces el ángulo 𝜃entre u y v está definido como el ángulo 
más pequeño entre las representaciones de u y v que tienen el origen como punto inicial. Si 𝑢 = 𝛼𝑣 para 
algún escalar 𝛼, entonces: 
 
𝜃 = 0, 𝑠𝑖 𝛼 > 0 
 
𝜃 = 𝜋 𝑠𝑖 𝛼 < 0 
 
El ángulo comprendido entre dos vectores puede presentarse de diferentes formas, tal y como se muestra 
en las siguientes figuras: 
 
 
 
a) b) 
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En las figuras a) y b) se observa el ángulo que forman dos vectores entre sí, en c) se observa a v cuando v 
= 𝛼u con 𝛼 < 0 y por último en d) se observa a 𝑣 = 𝛼𝑢 con 𝛼 > 0. 
 
Ahora que ya sabemos realizar el producto escalar de dos vectores, podemos demostrar el siguiente 
teorema. 
 
Teorema 
 
Sea v un vector. Entonces: 
 
|𝑣| = 𝑣 ∙ 𝑣 
 
Este teorema lo podemos demostrar fácilmente como sigue: 
Sea v = (a, b), entonces: 
|𝑣|2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Y además: 
𝑣 ∙ 𝑣 = (𝑎, 𝑏) ∙ (𝑎, 𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑏 = 𝑎2 + 𝑏2 = |𝑣|2 
 
 
La parte más importante del producto escalar entre dos vectores, es que nos permite conocer el valor del 
ángulo que existe entre ellos, eso es lo que precisamente nos dice el siguiente teorema. 
 
Teorema 
 
Sean u y v dos vectores diferentes de cero, si 𝜃 es el ángulo que existe entre ellos, entonces: 
 
cos𝜃 = 
 𝑢 ∙ 𝑣 
|𝑢||𝑣|
 
 
Con la fórmula anterior podemos encontrar el ángulo que existe entre dos vectores, a la vez, que nos da 
otra manera de definir el producto escalar de u con v, despejando y nos quedaría como sigue: 
 
d) c) 
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𝑢 ∙ 𝑣 = |𝑢||𝑣| cos𝜃 
 
 
Ejemplos: 
 
1. Calcula el ángulo que existe entre los vectores 𝑢 = 3𝑖 + 5𝑗 y 𝑣 = 𝑖 − 2𝑗. 
Aplicaremos la fórmula para obtener el ángulo entre dos vectores como sigue: 
 
cos𝜃 = 
𝑢 ∙ 𝑣
|𝑢| ∙ |𝑣|
 
 
cos𝜃 = 
(3𝑖 + 5𝑗) ∙ (𝑖 − 2𝑗)
√32 + 52 �12 + (−2)2 
 
 
cos𝜃 = 
−7
√170
 
 
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 �
−7
√170
� 
 
𝜃 ≈ 122.47 
 
El ángulo que hay entre u y v es de aproximadamente 122.47 grados. 
 
 
1.4.2. Condición de perpendicular 
 
Antes de comenzar con las condiciones que deben de cumplir dos vectores para ser perpendiculares, 
vamos a ver los vectores paralelos. 
 
Definición de vectores paralelos 
 
Dos vectores diferentes de cero u y v son paralelos si el ángulo que existe entre ellos es cero o 𝜋. 
Esta condición nos dice que los vectores paralelos pueden tener la misma dirección o diferente, 
dependiendo del valor del ángulo que entre ellos existe. 
Al calcular el producto escalar de dos vectores paralelos, este se realiza de manera similar al producto de 
dos vectoresno paralelos, el resultado del producto es lo que nos hace ver si dos vectores son o no 
paralelos. 
 
Ejemplo: 
 
Encuentra el producto escalar del siguiente par de vectores y establece si son o no paralelos entre si, 
además, encuentra también si tienen la misma dirección o no. 
 
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Realizando el producto escalar, tenemos: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (6, 8) ∙ (3, 4) 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 18 + 32 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 50 
 
cos𝜃 = 
50
√62 + 82 √32 + 42 
 
 
 = 
50
√2500
 
 
 = 
50
50
 
 
= 1 
 
Por lo tanto, los vectores son paralelos, ya que el cos𝜃 = 1 únicamente cuando el ángulo es cero y como 
el ángulo es cero, entonces u y v tienen la misma dirección. 
 
Sobre los vectores paralelos, tenemos el siguiente teorema. 
 
Teorema 
 
Si 𝑢 ≠ 0, entonces 𝑣 = 𝛼𝑢 para alguna constante 𝛼 si y solo si u y v son paralelos. 
 
Ahora vamos a conocer el momento cuando dos vectores son perpendiculares entre sí. 
 
Los vectores u y v diferentes de cero, son perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos es 𝜋
2
. 
 
Ejemplo: 
 
Demuestra que los vectores 𝑢 = 𝑖 + 2𝑗 y 𝑣 = −4𝑖 + 2𝑗 son perpendiculares. 
Primero obtenemos el producto escalar de los vectores. 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (𝑖 + 2𝑗) ∙ (−4𝑖 + 2𝑗) 
 = −4 + 4 
= 0 
Ahora, obtenemos el ángulo que existe entre ambos vectores. 
cos𝜃 = 
−4 + 4
√12 + 22 + �(−4)2 + 22
 
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Debido a que el numerador es cero, entonces: 
cos𝜃 = 0 
 
Tenemos que el ángulo, o bien es de 90° o de 270°, para que no existan confusiones siempre utilizaremos 
ángulos que se encuentren dentro del intervalo [0, 180°]. Tomando esto en cuenta podemos asegurar que 
dos vectores u y v diferentes de cero son perpendiculares, si y sólo si, su producto escalar es cero. 
 
Ahora, vamos a demostrar el siguiente teorema. 
 
Teorema 
 
Sea v un vector diferente de cero, entonces, para cualquier otro vector u distinto de cero, el vector: 
𝑤 = 𝑢 − 
𝑢 ∙ 𝑣
|𝑣|2
𝑣 
Es un vector perpendicular a v. 
 
 
1.4.3. Propiedades del producto escalar 
 
El producto escalar tiene propiedades básicas dentro del álgebra lineal, las cuales son: 
 
a) Propiedad conmutativa 
 
Sean u y v dos vectores, entonces: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 
) Propiedad asociativa, respecto al producto por un escalar 
 
Sean u y v dos vectores y sea 𝛼 un escalar, entonces: 
 
𝛼(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝛼𝑢 ∙ 𝑣 
 
c) Propiedad distributiva respecto de la suma vectorial 
 
Sean u, v y w vectores, entonces: 
 
𝑤 ∙ (𝑢 + 𝑣) = 𝑤 ∙ 𝑢 + 𝑤 ∙ 𝑣 
 
Vamos a demostrar la primera de las propiedades, entonces, tenemos que: 
Dados los vectores u y v, demostrar que: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢 
 
Álgebra lineal 
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Supongamos que u = (a, b) y además que v = (c, d). Ahora: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (𝑎, 𝑏) ∙ (𝑐,𝑑) 
= 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 
Debido a que 𝑎𝑐 y 𝑏𝑑, es el producto ordinario de dos números, entonces se puede utilizar la 
conmutatividad de la multiplicación: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑐𝑎 + 𝑑𝑏 
= (𝑐,𝑑) ∙ (𝑎, 𝑏) 
= 𝑣 ∙ 𝑢 
 
Con lo cual, se demuestra la primera propiedad del producto escalar. 
 
 
1.4.4. Aplicación del producto escalar 
 
En esta sección vamos a dar respuesta a uno de los problemas que nos planteamos al inicio de la unidad, 
esto, con el fin de mostrar las aplicaciones que tiene el producto escalar. 
El primer problema que planteamos es el siguiente: 
 
Problema 1 
 
Un piloto de una prestigiada aerolínea mexicana tuvo vacaciones en su trabajo y regresó con su familia a la 
capital mexicana. Como viajó por todo el mundo traía monedas de los lugares que había visitado, entre 
ellas se encontraban 8,500 yen, 300 libras esterlinas, 400 euros, 85 dólares, 500 soles y 200 francos 
suizos, si el tipo de cambio en moneda mexicana es de 0.16 el yen, 20.15 una libra esterlina, 16.76 un euro, 
12.96 el dólar, 4.7 el sol y 13 el franco suizo. 
 
a) Representa las cantidades en efectivo que tiene el piloto mediante un vector. 
Sea u el vector que representa las cantidades que tiene el piloto, entonces, tendremos que 
𝑢 = (8500, 300, 400, 85, 500, 200) 
 
b) Representa el tipo de cambio de cada moneda mediante un vector. 
Sea v el vector que representa los tipos de cambio, entonces, siguiendo el mismo orden que u, tenemos 
que 
 
𝑣 = (0.16, 20.15, 16.76, 12.96, 4.7, 13) 
c) Encuentra la cantidad total de efectivo en pesos mexicanos que tiene el piloto, para esto, utiliza el 
producto escalar. 
 
Desarrollando el producto escalar de los vectores anteriores, tenemos: 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (8500)(0.16) + (300)(20.15) + (400)(16.76) + (85)(12.96) + (500)(4.7) + (200)(13) 
𝑢 ∙ 𝑣 = 1360 + 6045 + 6704 + 1101.6 + 2350 + 2600 
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Entonces, el piloto tiene un total equivalente a $20160.6. 
 
 
 
 
 
 
1.4.5. Producto cruz 
 
Hasta este momento, hemos visto todo lo referente al producto escalar de dos vectores. A continuación 
veremos lo que corresponde al producto cruz o bien, producto vectorial, el cual está definido únicamente en 
ℝ3, tal y como se muestra a continuación. 
 
Sean 𝑢 = 𝑎1𝑖 + 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑘 y 𝑣 = 𝑎2𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑘, el producto cruz de u y v, representa un nuevo vector 
que se denotará como 𝑢 × 𝑣 y se define por: 
 
𝑢 × 𝑣 = (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)𝑖 + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑘 
 
El producto cruz es muy diferente del producto escalar de dos vectores, la diferencia más notoria, radica en 
que el resultado del producto escalar es un escalar y el resultado del producto cruz es un vector. 
 
Realizaremos algunos ejemplos del producto cruz. 
Sean 𝑢 = 3𝑖 + 𝑗 − 2𝑘 y 𝑣 = 4𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 dos vectores en el espacio, calcula su producto cruz. 
 
En este caso, para calcular el producto cruz, debemos utilizar la definición que acabamos de conocer e 
identificar los elementos de cada vector, del vector u son: 𝑎1 = 3, 𝑏1 = 1 y 𝑐1 = −2, por otra parte, los 
elementos del vector v son: 𝑎2 = 4, 𝑏2 = −2 y 𝑐2 = 1, ahora vamos a sustituir estos valores. En la 
fórmula que define el producto cruz de ambos vectores, como sigue: 
𝑢 × 𝑣 = (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)𝑖 + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑘 
 
𝑢 × 𝑣 = [(1)(1) − (−2)(−2)]𝑖 + [(4)(−2) − (3)(1)]𝑗 + [(3)(−2) − (4)(1)]𝑘 
= [1 − 4]𝑖 + [−8 − 3]𝑗 + [−6 − 4]𝑘 
 
= −3𝑖 − 11𝑗 − 10𝑘 
 
Más adelante, conoceremos un método más sencillo para realizar el cálculo de este tipo de productos, de 
momento, los resolveremos mediante el uso de la definición. 
 
Propiedades del producto cruz: 
 
1) 𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0 
2) 𝑢 × 𝑣 = −(𝑣 × 𝑢) 
3) (𝛼𝑢) × 𝑣 = 𝛼(𝑢 × 𝑣). 
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Programa desarrollado 
 
 
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 31 
4) 𝑢 × (𝑣 +𝑤) = (𝑢 × 𝑣) + (𝑢 ×𝑤) 
5) 𝑢 ∙ (𝑢 × 𝑣) = 𝑣 ∙ (𝑢 × 𝑣) = 0. 
6) 𝑢 × 𝑣 = 0 , con 𝑢 y 𝑣 distintos de cero, únicamente cuando u y v son paralelos. 
 
Estas son algunas de las propiedades del producto cruz, haremos la demostraciónde las dos primeras. 
 
1) 𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0 
Sea u un vector, vamos a demostrar que: 
𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0 
 
Antes de comenzar con la demostración debemos entender que el producto cruz se puede realizar 
únicamente entre dos vectores, así entonces, el 0 por el cual se está multiplicando u es el vector 0 el cual 
tiene por coordenadas 0 = 0i + 0j + 0k. 
 
Ahora ya estamos listos para comenzar. 
 
Supongamos que 𝑢 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘 y ya sabemos que 0 = 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 
 
Identificamos los valores correspondientes para aplicar la definición del producto cruz, con lo cual tenemos: 
𝑎1 = 𝑎, 𝑏1 = 𝑏 y 𝑐1 = 𝑐, y a su vez, 𝑎2 = 𝑏2 = 𝑐2 = 0 
 
Teniendo los vectores u y 0, se define el producto cruz de ambos como: 
 
𝑢 × 0 = [(𝑏)(0) − (𝑐)(0)]𝑖 + [(𝑐)(0) − (𝑎)(0)]𝑗 + [(𝑎)(0) − (𝑏)(0)]𝑘 
= [0 − 0]𝑖 + [0 − 0]𝑗 + [0 − 0]𝑘 
= 0𝑖 + 0𝑗 + 0𝑘 
= 0 
 
El producto 0 × 𝑢 se realiza de manera análoga a la que se desarrolló, de esta manera hemos demostrado 
la primera propiedad del producto cruz. 
 
2) 𝑢 × 𝑣 = −(𝑣 × 𝑢) 
Vamos a realizar la demostración de la segunda propiedad, para esto, sean u = 𝑎1𝑖 + 𝑏1𝑗 + 𝑐1𝑘 y 𝑣 =
 𝑎2𝑖 + 𝑏2𝑗 + 𝑐2𝑘, entonces, tenemos: 
𝑢 × 𝑣 = (𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1)𝑖 + (𝑎2𝑐1 − 𝑎1𝑐2)𝑗 + (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)𝑘 
 
= −(𝑏2𝑐1 − 𝑏1𝑐2)𝑖 − (𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)𝑗 − (𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑘 
= −[(𝑏2𝑐1 − 𝑏1𝑐2)𝑖 + (𝑎1𝑐2 − 𝑎2𝑐1)𝑗 + (𝑎2𝑏1 − 𝑎1𝑏2)𝑘]] 
 
En este último cálculo, se puede observar que los elementos de u se han cambiado con los elementos de v, 
así que por la definición del producto cruz, se tiene que: 
𝑢 × 𝑣 = −[𝑣 × 𝑢] 
 
 
Álgebra lineal 
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 1.5. Triples productos 
 
Por medio del producto escalar y vectorial de tres vectores, A, B y C se pueden formar productos de la 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.1. Triple producto escalar 
 
Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene de un producto cruz entre dos vectores, seguido 
de un producto escalar, es decir: 
 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, el producto definido como sigue: 
(𝑢 × 𝑣) ∙ 𝑤 
Se conoce como triple producto escalar a la interpretación geométrica que tiene este producto y que es 
similar a la que tiene el producto punto, puesto que se realiza como operación final: el producto entre dos 
vectores, el que resulta del producto cruz y el último vector introducido. 
 
Sobre los triples productos escalares, tenemos la siguiente propiedad. 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, entonces: 
(𝑢 × 𝑣) ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ (𝑣 ×𝑤) 
 
Se llama triple producto escalar, al escalar que se obtiene como resultado de un producto cruz entre dos 
vectores, seguido de un producto escalar, es decir: 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, el producto definido como sigue: 
 
(𝑢 × 𝑣) ∙ 𝑤 
 
Se conoce como triple producto escalar a la interpretación geométrica que tiene este producto y que es 
similar a la que tiene el producto punto porque al final de cuentas se realiza como operación final; el 
producto entre dos vectores, el que resulta del producto cruz y el último vector introducido. 
CBA )( ⋅
)( CBA ×⋅
)( CBA ××
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Sobre los triples productos escalares, tenemos la siguiente propiedad. 
 
Sean u, v y w tres vectores en el espacio, entonces: 
(𝑢 × 𝑣) ∙ 𝑤 = 𝑢 ∙ (𝑣 ×𝑤) 
 
 
 
1.5.2. Triple producto vectorial 
 
Se le llama triple producto vectorial al producto que se realiza entre tres vectores, del cual se obtiene un 
cuarto vector que estará en el mismo plano que los dos primeros vectores que se multiplicaron. En este 
subtema se introduce una breve noción de este producto, debido a que más adelante lo utilizaremos, 
aunque no especificaremos que es un triple producto vectorial, pero es necesario que conozcas las 
herramientas y procedimientos que estás utilizando. La representación de un triple producto vectorial, es la 
siguiente: 
 
Sean u, v y w, tres vectores en el espacio, el producto cruz de estos tres vectores está representado por: 
𝑢 × (𝑣 × 𝑤) 
 
El resultado del producto anterior, es un vector que se encuentra en el mismo plano que v y que w. 
 
 
Volumen de un paralelepípedo 
 
El volumen de un paralelepípedo de aristas a, b y c, con signo positivo o negativo según que a, b y c 
formen un triedro a derechas o a izquierdas. 
kji 321 aaaa ++= kji 321 bbbb ++= kji 321 cccc ++= 
 
)()()()( 122131331223321
321
321
321
cbcbacbcbacbcba
ccc
bbb
aaa
cba −+−−−==×⋅ 
La interpretación geométrica la podemos observar en la siguiente imagen: 
 
 
 
Ejemplo: Calcular el volumen del paralelepípedo 
formado por los vectores: 
a = (3, -2, 5), b = (2, 2,-1) y c = (-4,3,2) 
Solución: 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 34 
³917021)]4)(2()3)(2[(5)]4)(1()2)(2)[(2()]3)(1()2)(2[(3
234
122
523
)( ucba =+=−−+−−−−−−−=
−
−
−
=×⋅ 
 
 
 
 
 
Consideraciones específicas de la unidad 
 
Para trabajar esta unidad pueden apoyarse del curso en versión electrónica: Introducción a MATLAB, en el 
cual encontrarán ejemplos para determinar las operaciones entre vectores. 
Te recomendamos resolver todos los ejercicios del cuadernillo para adquirir mayor habilidad. 
 
 
Fuentes de consulta 
 
Lay, D. C. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones (tercera edición). México: Pearson Educación. 
 
Corcobado, J. L. y Marijuán, J. Matemáticas I. Consultado en: < http://www.sectormatematica.cl/libros.htm>. 
 
Williams, G. (2004). Álgebra lineal con aplicaciones. México: Mc Graw Hill. Kolman, B. y Hill 
 
Bernard Kolman, David R. Hill (2006). Algebra lineal. (8a. Edición), México: Pearson Educación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.sectormatematica.cl/libros.htm�
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Unidad 2. Matrices 
 
 
Propósito 
 
• En esta unidad utilizarás los métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales para resolver 
problemas de distintas áreas por medio del método de eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan. 
 
 
Competencia específica 
 
• Emplea matrices para resolver problemas de distintas áreas mediante diferentes métodos de solución 
de sistemas de ecuaciones lineales. 
 
 
Presentación de la unidad 
 
Las matrices aparecen tanto en forma explícita como implícita en nuestras actividades cotidianas y 
profesionales. Por ejemplo, una lista de los alumnos de un grupo es una matriz, los gastos y entradas de 
una empresa también se pueden modelar con matrices. La presentación de una muestra de ADN o las 
celdas de un panel solar puede ser estudiada como un arreglo matricial. 
En esta unidad, conocerás la importancia de las matrices, las aplicaciones que tiene en nuestra vida 
cotidiana y en las diferentes áreas de estudio, y la forma en que nos pueden beneficiar. También podemos 
modelar un problema que surja en las empresas u organizaciones planteando un sistema de ecuaciones. 
El sistema de ecuaciones lineales lo podrás resolver por medio de una matriz, con el método de 
operaciones elementales de renglón pero antes de conocer este método, es necesario que conozcas cómo 
se realiza la suma y resta de matrices, el producto de un escalarpor una matriz y el producto matricial, 
estas operaciones nos permiten comprender el método de operaciones elementales de renglón. 
 
Asimismo, podrás resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio del método de eliminación de 
Gauss o el método de Gauss-Jordan. 
 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 36 
En esta unidad, también se abordará todo lo referente a las principales características y elementos de los 
que se compone una matriz, asimismo, conoceremos los diferentes tipos de matrices que se utilizan en la 
actualidad, así como la forma que estas tienen. En general, se darán los conceptos fundamentales de las 
matrices para poder continuar en los siguientes temas y con el desarrollo de las mismas. 
 
 
 
 
 
 
 Introducción a matrices 
 
Una matriz es un arreglo de entradas organizadas en renglones y columnas. 
 
El estudio de matrices es muy importante dentro de nuestra vida cotidiana ya que constantemente las 
utilizamos sin darnos cuenta de ello. Por ejemplo, una boleta de calificaciones es una matriz con los datos 
acomodados en filas y columnas, la lista de compras del mercado, el horario de clases, una cartilla de 
vacunación, etc., también son ejemplos de matrices. 
 
 
Álgebra lineal 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Sabías que…? 
 
El buscador Google utiliza matrices para mostrar las páginas de búsqueda, de hecho, para que el servidor 
funcione se necesita álgebra lineal, teoría de grafos y probabilidad. 
¿Podrías explicar cómo el buscador Google atiende 200 millones de consultas diarias aproximadamente e 
indexa varios miles de millones de páginas web? ¿Qué papel juegan las matemáticas en este servidor? 
 
 
Para que este servidor funcione, se necesita un criterio de ordenación. Si se etiquetan con los símbolos P1, . 
. . , Pn cada una de las páginas de la red, se le puede asignar a cada Pj un número xj , que representará su 
importancia. Estos números podrían ser, por ejemplo, números entre 0 y 1. 
 
Supongamos que después de un censo de los sitios de la red, se construye la lista de páginas web, y que 
se le ha asignado a cada una de ellas, de la manera que sea, una importancia. Esta lista queda a nuestra 
disposición para ser utilizada cada vez que realicemos una determinada consulta: las páginas 
seleccionadas se mostrarán en el orden que indique dicha lista, ¿cómo se construye esa lista? 
 
Cuando se tratan con grafos, se recurre a los dibujos en 
el papel, en los que los vértices son puntos del plano, 
mientras que las aristas son flechas que unen esos 
puntos, conviene considerar una interpretación alternativa, 
en este caso por medio de matrices. 
La dimensión de una matriz está dada como el número de 
filas por el número de columnas. Por ejemplo, el horario se 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 38 
trata de una matriz de dimensión 6X6, o bien de 5X5, si sólo te fijas en las entradas y no en la información 
que proporcionan, mientras que la boleta de calificaciones es una matriz de 11X10, o bien de 9X8. La 
dimensión de una matriz también se conoce como el orden de la matriz. 
Ahora bien, en la matriz que formamos, las filas y columnas van etiquetadas con los P1, . . . , Pn, y cuyas 
entradas son ceros y unos. La entrada mij de la matriz será un uno si es que hay un enlace de la página Pj a 
la página Pi; y un cero en caso contrario: 
 
 
 
 
 
 
 
Supongamos, por ejemplo, que la página P1 es citada desde las páginas P2, P25 y P256, que P2 sólo se cita 
desde P1 y P256, etc., mientras que, digamos, hay enlaces a la última página, Pn, desde P1, P2, P3, P25 y Pn−1. 
 
La página P1 tiene tres enlaces los cuales son: P2, P25 y P256, la página P2 tiene dos enlaces, P1 y P256, la 
página Pn tiene cinco enlaces que son: P1, P2, P3, P25 y Pn−1. 
 
De acuerdo con esto, x1 debería ser proporcional a 3, porque tiene tres enlaces; x2 lo sería a 2, etc., 
mientras que xn habría de ser proporcional a 5. 
 
Pero ahora nuestra asignación x1, . . . , xn debe cumplir que x1 = K (x2 + x25 + x256), x2 = K (x1 + x256), 
...xn = K (x1 + x2 + x3 + x25 + xn−1), donde K es una constante de proporcionalidad. Nos encontramos así con 
un enorme sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las posibles asignaciones de x1, . . . , xn. 
En este curso aprenderás a calcular las soluciones de una matriz, sin las cuales, como te podrás dar 
cuenta, no podría existir una herramienta tan valiosa como Google. 
 
 
2.1.1. Renglones y columnas 
 
Ya hemos trabajado a lo largo de la primera unidad los conceptos referentes a los vectores, en esta unidad, 
clasificaremos los vectores por su tipo, es decir, por renglón o por columna, de esta manera, tenemos la 
siguiente definición. 
 
Definición 
 
Un vector renglón de n componentes u, es un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente 
manera: 
 = (𝑢1,𝑢2,𝑢3, . . ,𝑢𝑛) 
 
Con este tipo de vectores, ya estamos familiarizados, ya que han sido los que utilizamos durante la primera 
unidad. 
 
Álgebra lineal 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 39 
Definición 
 
Se define un vector columna de n componentes v, como un conjunto ordenado de n números escritos de la 
siguiente manera: 
= 
⎝
⎜
⎛
𝑣1
𝑣2
𝑣3
⋮
𝑣𝑛⎠
⎟
⎞ 
En ambos vectores (renglón o columna), 𝑢1 se conoce como primera componente, 𝑣2 se llama segunda 
componente, y así sucesivamente. Por ejemplo: �
3
5
−7
2
� es un vector columna, en el cual, 3 es la primera 
componente, 5 la segunda componente, -7 la tercera componente y el 2 es la cuarta componente. 
 
Mientras tanto, en el vector renglón (3, 5, -7, 2), 3 es la primera componente, 5 es la segunda, -7 es la 
tercera y 2 es la cuarta. 
 
Este vector, tanto la columna como el renglón, se puede utilizar, por ejemplo, para escribir el ahorro de una 
persona al día, así el vector puede expresarse como: ahorré 3 pesos el lunes, 5 pesos el martes, gasté 7 el 
miércoles, ahorré 2 el jueves. 
 
Ahora que conocemos los vectores, estamos listos para dar a conocer otro concepto, en este caso, el de las 
matrices. 
 
 
2.1.2. Notación y clasificación 
 
En 1858, Cayley introdujo la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m 
ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de 
sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones diferenciales y derivadas parciales. Además son útiles para el 
estudio de sistemas de ecuaciones lineales, y aparecen de forma natural en geometría, estadística, 
economía, informática, física, en las diferentes ingenierías, etc., y, como viste, también pueden aparecer en 
tus actividades cotidianas. 
Su utilización actualmente constituye una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la 
mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas, por 
ejemplo hojas de cálculo, bases de datos, etc. 
 
Notación que se utiliza para una matriz 
 
Una matriz A de m x n (m por n) es un arreglo rectangular de m por n números dispuestos en m filas y n 
columnas tal y como se muestra a continuación. 
 
 
Álgebra lineal 
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Los elementos que conforman una matriz son los vectores fila y los vectores columna, entonces, cada fila 
de una matriz es precisamente un vector fila y cada columna de la misma es un vector columna. Ahora, ya 
podemos representar diferentes situaciones mediante matrices, de manera muy similar a cuando 
utilizábamos vectores pero con más información. A continuación observa las calificaciones que obtuvo un 
alumno: 
 
 Unidad 
1 
Unidad 
2 
Unidad 
3 
Cálculo 8 9 9 
Álgebra 9 7 9 
Computación 10 9 10 
 
Si vamos a trabajar una tabla como la anterior que nos ofrece la información ordenada y clara, sería una 
pérdida de tiempo utilizarla sólo una ocasión, ya que se tiene que trazar. Sin embargo, con la ayuda de las 
matrices, una vez que tenemos establecido el orden podemos representar la información tal y como sigue, 
una y otra vez. 
 
�
8 9 9
9 7 9
10 9 10
� 
 
Esta sería una forma más cómoda para continuar trabajando con los datos de la tabla. 
 
En algunos textos para representar una matriz, se utilizan paréntesis cuadrados o bien corchetes, en este 
curso, utilizaremos la notación de los paréntesis normales o como algunos les llaman, paréntesis redondos. 
 
Por otra parte, para establecer la cantidad de elementos que contiene una matriz, la nombraremos como 
una matriz de m x n, donde m representara el número de filas y n el número de columnas. 
 
Para referirnos a una matriz, vamos a utilizar datos similares a las coordenadas en un plano cartesiano, 
pero en lugar de utilizar un plano con eje x y eje y, utilizaremos la fila i y la columna j, en ese mismo orden, 
por ejemplo, supongamos que tenemos la siguiente matriz de 3 x 3. 
Álgebra lineal 
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Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias de la Salud, Biológicas y Ambientales 41 
 
El elemento a11 = 3 se ubica en la fila 1, columna 1, el elemento a22=2, y en el a32 se encuentra el 1, de esta 
manera, cada elemento de la matriz se ubica mediante la fila en la que se encuentre, ordenadas de arriba 
hacia abajo, y en la columna, ordenadas de izquierda a derecha. Como puedes observar, no existen dos 
elementos distintos que tengan la misma posición dentro de una matriz. 
 
A partir de las matrices nos podemos dar cuenta de que un vector, es precisamente una matriz que está 
formada únicamente por una fila o por una columna, dependiendo del tipo de vector. 
A todas las matrices las vamos a representar mediante una letra mayúscula, así, tendremos a las matrices 
A, B, C, D, etc. Para hacer referencia a sus elementos, generalmente utilizaremos la notación de la misma 
letra, pero con minúsculas y con dos subíndices, el primero de los cuales indica la fila y el segundo la 
columna, así 𝑎𝑖𝑗 es el elemento que está en la fila i columna j. De esta manera 𝑎34, significa que el elemento 
que se encuentra en la fila 3 y columna 4. 
 
De modo general, las matrices pueden clasificarse en matrices cuadradas y matrices no cuadradas, las 
matrices cuadradas tienen características especiales y son aquellas con las cuales trabajaremos durante 
todo el curso. 
Todas las matrices, ya sean cuadradas o no, pueden escribirse en su forma escalonada reducida por 
renglones. Este tipo de matriz tiene las siguientes características. 
a) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la 
matriz. 
 
 
b) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos elementos 
no todos son cero es 1. 
 
c) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón de 
abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba. 
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d) Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene cero en el resto de sus elementos. El 
primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llama pivote para ese renglón. 
 
 
Las siguientes matrices, son ejemplos de matrices escalonadas reducidas por renglones. 
2. �
1 3 −2
0 1 4
0 0 1 
0 0 0 
� 3. �
1 5
0 1
0 0
 
3 −2
0 0
0 1
� 1. �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
� 
4. �
1 0
0 0 
3 1
1 0
0 0 0 0
� 
 
Matriz cuadrada 
 
Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas, por ejemplo la matriz de las 
calificaciones de cálculo, álgebra y computación, tiene 3 filas y 3 columnas. 
 
Los elementos que se encuentran en las posiciones donde el número de filas coincide con el de la columna, 
forman la diagonal de la matriz, en este ejemplo, las posiciones son 𝑎11 = 8, 𝑎22 = 7 y 𝑎33 = 10. 
Una matriz que no es cuadrada tiene diferente número de filas y de columnas. Por ejemplo, el vector fila y 
vector columna. 
 = (𝑢1,𝑢2,𝑢3, . . ,𝑢𝑛) 
 
= 
⎝
⎜
⎛
𝑣1
𝑣2
𝑣3
⋮
𝑣𝑛⎠
⎟
⎞ 
 
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Una diagonal de una matriz es la que forman las entradas comenzando por cualquiera de la primera 
columna y dirigiéndose hacia abajo en forma escalonada. 
La diagonal principal de una matriz se define para matrices de nxn. Esta es la diagonal que va desde la 
esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. Es decir, si tenemos una matriz cuadrada de 
nxn, la diagonal principal está formada por las entradas aii. 
Dentro de las matrices cuadradas podemos encontrar diferentes tipos de matrices, como son: 
 
Matriz triangular 
 
Una matriz es triangular superior si es una matriz cuadrada y todos los elementos que se encuentran abajo 
de la diagonal principal son cero, en una matriz inferior sucede a la inversa, es decir, todos los elementos 
que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero. 
 
 
𝑨 = �
𝟐 𝟑 𝟓
𝟎 𝟗 𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
� 𝑩 = �
𝟔 𝟎 𝟎
𝟐 𝟓 𝟎
𝟕 𝟏 𝟒
� 
 
La matriz A es triangular superior porque al construir un triángulo por arriba de la diagonal lo que queda 
abajo del triángulo son ceros (fíjate bien que no importa como sean las entradas que quedan dentro del 
triángulo, lo importante es que debajo de él todas las entradas son ceros). 
La matriz B es triangular inferior porque al construir un triángulo por debajo de la diagonal lo que queda 
arriba del triángulo son ceros (fíjate bien que no importa como sean las entradas que quedan dentro del 
triángulo, lo importante es que arriba de él todas las entradas son ceros). 
 
Matriz diagonal 
 
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales son todas cero (fíjate bien que 
no importa como sean las entradas que quedan en la diagonal, lo importante es que tanto arriba de la 
diagonal como debajo de la misma, las entradas son ceros). 
 
 
 
 
 
Una matriz diagonal es tanto triangular superior como triangular inferior. 
 
 
Matriz identidad 
 
Es la matriz que en la diagonal principal solo tiene números uno y en los demás 
elementos ceros. En la siguiente matriz se ilustra la definición. 
 
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Matriz cero 
 Es la matriz cuyos elementos son todos cero, por ejemplo: �
0 0 0
0 0 0
0 0 0
�. 
 
La matriz cero es tanto triangular superior, como triangular inferior, como diagonal. 
Existen otros tipos especiales de matrices, las cuales daremos a conocer en el momento en que las 
utilicemos. Definimos las anteriores debido a que en todo momento las